5.3.1函数的单调性与导数教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

滨州实验中学教学设计案 学科： 授课教师： 本月第 课时，本单元第 课时 课 型 新授课 课 题 5.3.1函数的单调性 授课时间 月 日 教学目标 （基于学科核心素养） 1.能结合高台跳水、幂函数等实例，说明导数为正（负）时函数的单调趋势，明确常数函数与导数的关系。 2.给定函数（如多项式函数、三角函数与一次函数的组合、分式函数等），能按“定义域—求导数—找零点—分区间—判正负—得单调区间”的步骤求解，结果规范准确。 3.已知导函数的符号区间或图象，能画出原函数的大致形状；已知原函数图象，能判断导函数在不同区间的正负，解决简单的图象匹配问题。 4.能举出“函数单调但导数不恒正（负）”的反例（如），解释充分不必要条件的含义。 教材分析 （明确时代性、实践性，指向高考） 本节是导数在函数研究中的核心应用开篇，承接必修第一册函数单调性的定义、图象法等知识，以及本章前两节导数的概念、几何意义与运算法则，构建起“导数工具—函数性质”的桥梁。其核心是将复杂函数的单调性判断转化为导数正负的判断，体现“精准刻画变化”的数学价值。 从知识关联看，本节是后续研究函数极值、最值、零点及不等式综合问题的基础，也是连接高中数学与高等数学的重要纽带，强化了导数作为“研究函数性质通法”的核心地位。从思想方法看，教学过程中蕴含数形结合、特殊与一般、转化与化归、程序化等数学思想，是提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养的关键载体。 学情分析（基于兴趣、知识、思维） 学生已在必修第一册掌握函数单调性的定义、图象法、性质法等判断方法，能解决简单函数的单调性问题，但对复杂函数 （如、）的单调性，用定义法难以求解。同时，学生已学习导数的概念、几何意义及运算法则，具备了用导数研究函数性质的知识基础。 从认知难点看，学生易存在以下困惑：一是难以理解“导数正负与函数单调性的内在联系”，因缺少微分中值定理支撑，需依赖几何直观感知；二是对“充分不必要条件”的逻辑关系理解模糊，容易混淆“函数单调”与“导数恒正（负）”的等价性；三是区分原函数与导函数图象时，易受图象升降趋势的干扰，忽视核心的“符号判断”。 学生对具象实例（如高台跳水）的探究兴趣较高，适合通过“实例观察—归纳猜想—验证推广—应用巩固”的流程展开教学，借助几何直观降低抽象思维难度。教学重点：函数单调性与导数正负的关系；利用导数求函数单调区间的基本步骤。教学难点：导数正负与函数单调性关系的理解；“充分不必要条件”的逻辑辨析；原函数与导函数图象的相互转化。 教 学 设 计 （基于学生认知能力、双边活动的核心问题设计） AI赋能下的初案 集备修改 个人复备 探究点1：函数单调性与导数正负的关系 在必修第一册中，我们通过图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质. 思考：判断函数单调性的方法有哪些? 提示：定义法、图象法、性质法、复合函数同增异减法. 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化．能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？ 本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学习过得高台跳水问题． 图5.3-1(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图5.3-1(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象，，是函数的零点． 问题1：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 追问：你能从上述两个图形中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？ 【师生活动】教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论： ，导数的符号与原函数单调性的关系为： 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递增； 在区间内，导数满足：，原函数在区间内单调递减． 问题2：我们看到，函数的单调性与的正负有内在联系.那么,我们能否由的正负来判断函数的单调性呢? 【师生活动】通过上面的探讨，对于高台跳水问题，我们发现： ①当时，导数，函数的图象是“上升”的，函数在区间内单调递增； ②当时，导数，函数的图象是“下降”的，函数在区间内单调递减． 探究点2：导数正负与函数单调性的逻辑关系 问题3：在高台跳水问题中，我们可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种情况是否具有一般性呢？ 追问1：能否从导数的几何意义的角度来探讨导数的正负与函数单调性的关系? 【师生活动】教师给出图如图5.3-3,指出导数表示函数的图象在点处的切线的斜率，引导学生发现： 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近单调递减． 问题4：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有什么关系？ 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 追问1：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性? 如果在某个区间上恒有，那么在这个区间上恒有（c为常数）． 【设计意图】由观察、猜想到归纳、总结，让学生体会数学结论的发现过程，促使学生积极主动地参与知识的建构，体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生直观想象素养. 追问2：在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的什么条件? 【师生活动】教师启发学生思考，得出结论： 在区间内()是函数在区间内单调递增(递减)的充分不必要条件. 充分性上面已经说明，对于不必要性可以尝试让学生举出反例，如在上单调递增，但是当时，. 【设计意图】通过对导数正负与函数单调性之间关系的探究，得出导数的正负只是判断函数单调性的充分条件，而非必要条件，培养学生逻辑思维素养. 问题5：由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数单调性定义是否一致? 追问1:由函数单调性的定义，你能利用平均变化率来表示函数的单调性吗? 追问2:对于在区间上的单调函数,其平均变化率的几何意义与的正负有什么关系? 【师生活动】教师启发学生结合前面学习的平均变化率的几何意义，在学生交流后总结. 设函数在区间上的导数, 下面说明在区间上单调递增. 我们知道，函数在区间上单调递增，等价于,在与之间函数的平均变化率恒为正，即,恒有 ① ①式的几何意义是经过点的割线的斜率. 由于在区间上处处有导数，所以函数的图象在区间上处处有切线.,不妨设,当在区间上从左端点变化到右端点时，函数图象的切线也会随着变化.从直观上看，能找到一点,使函数的图象在点处的切线与直线平行(图5-3).所以，存在,使得 从而①式成立，所以函数在区间上单调递增. 用同样的方法可以说明，如果函数在区间上的导数为负，那么函数在区间上单调递减. 例1利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） ； （3） （3）． 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何利用导数判断函数的单调性，让学生熟悉用导数判断函数单调性的步骤. 例2已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时，． 试画出函数图象的大致形状． 【师生活动】学生观察图象并交流，教师引导学生得出结论： ①从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度随时间的增加而增加，即单调递增． ②从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度随时间的增加而减小，即单调递减． 【设计意图】使用高台跳水的例子引出导数和单调性的关系，能很好的起到承上启下的作用．通过对一以贯之的高台跳水例子的观察、归纳和提炼，激发学生的自主探究欲望，让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系.引导学生从形的角度来验证，既降低了学生的思维难度，又能让学生体会利用导数研究单调性的一般方法 【师生活动】教师给出下列四个函数（图5.3-2），让学生观察其图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系．教师可以选用其中一个函数进行示范探究，然后让学生仿照着探究其他三个函数，看是否可以得出与高台跳水问题一样的结论. 设计意图：引导学生通过从特殊到一般的数学思维活动，归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养. 综上，通过对不同函数的探究发现，尽管对一些函数而言，①都是一个唯一确定的值，但并不是对所有函数，①都是一个唯一确定的值. 【设计意图】通过更多的例子，帮助学生归纳出函数的单调性与其导数正负的关系．4个例子为学生非常熟悉的初等函数，学生可以通过直接计算导数，或者画出原函数导函数图形观察等多种方法得出结论．通过对常见函数的单调性与函数导数的正负之间关系的探究，得出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养． 【师生活动】教师提出问题后，引导学生复习函数在区间上单调递增、单调递减的定义，请学生回答，并归纳描述： ①,且,都有,那么在区间上单调递增； ②,且,都有,那么在区间上单调递减. 【设计意图】 通过复习函数单调性的定义和追问的方式，既可以加深学生对用函数值的改变量与自变量的改变量的比值来描述函数的单调性的理解，又可以启发学生从一般意义上认识导数的符号与函数的单调性之间的关系，特别是用导数的正负判断函数单调性的充分性.同时让学生直观认识到，运用导数来研究函数的单调性，与函数单调性的定义是一致的. 【师生活动】先由学生独立思考、作答，再进行展示，教师强调规范的解答过程，在此基础上，引导学生归纳用导数判断函数单调性的步骤： 一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数的单调性： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各自区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性． 教后反思 （手写） 学科网（北京）股份有限公司 $