第五章 极值点偏移问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义以“极值点偏移问题”为核心，通过概念解析、类型归纳、方法提炼三级框架构建知识体系，用对比表格呈现极值点左移与右移的特征，以思维导图梳理对称构造法、换元法、对（指）数平均不等式三大求解方法的逻辑关系，突出双变量转化单变量的重难点。 讲义的亮点在于“题型-方法-素养”三位一体设计，如题型1通过函数零点问题引导用对称构造法证明不等式，培养逻辑推理能力；题型2以换元法（设比值t转化单变量）为例，细化“设比-代换-构造函数”四步流程，提升运算能力。梯度例题适配不同层次学生，助力自主复习突破，为教师分层教学提供精准支持。

第五章 极值点偏移问题 目录 题型1：对称构造法 3 题型2：换元法 4 题型3：对（指）数平均不等式 4 1. 极值点偏移的概念 若直线与函数的图像交于两点，且函数在区间上存在唯一极值点，极值点偏离区间的中点的现象就是极值点偏移. ①若，称为极值点左移； ②若，称为极值点右移； 2. 极值点偏移的常见类型及求解方法 (1) 常见类型 ①；②； ③对数平均不等式（隐蔽偏移）：； 已知，由得，. 又的极值点，即. 要证，即证；要证，即证. (2) 常见求解方法 1) 对称构造法 2) 换元法 通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换(含对数式时常用)或(含指数式时常用)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 以代换为例的解题步骤： 第一步：设比值：设，且，令; 第二步：将代入式子中，解出关于的方程; 第三步：将用表示，代入要证的不等式，得到关于的单变量不等式. 第四步：根据上面的不等式构造关于的函数，求导证明不等式在上成立. 题型1：对称构造法 【例1.1.】 已知函数有两个零点． (1)求的取值范围； (2)若，求证：． 【例1.2.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【例1.3.】 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 【例1.4.】 已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 【例1.5.】 已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求、； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 题型2：换元法 【例2.1.】 已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【例2.2.】 已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【例2.3.】 已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【例2.4.】 已知，若有两个不等实根，，求证：． 题型3：对（指）数平均不等式 【例3.1.】 已知函数.若存在，，使得.证明：. 【例3.2.】 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【例3.3.】 已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 极值点偏移问题 目录 题型1：对称构造法 3 题型2：换元法 11 题型3：对（指）数平均不等式 17 1. 极值点偏移的概念 若直线与函数的图像交于两点，且函数在区间上存在唯一极值点，极值点偏离区间的中点的现象就是极值点偏移. ①若，称为极值点左移； ②若，称为极值点右移； 2. 极值点偏移的常见类型及求解方法 (1) 常见类型 ①；②； ③对数平均不等式（隐蔽偏移）：； 已知，由得，. 又的极值点，即. 要证，即证；要证，即证. (2) 常见求解方法 1) 对称构造法 2) 换元法 通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换(含对数式时常用)或(含指数式时常用)化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 以代换为例的解题步骤： 第一步：设比值：设，且，令; 第二步：将代入式子中，解出关于的方程; 第三步：将用表示，代入要证的不等式，得到关于的单变量不等式. 第四步：根据上面的不等式构造关于的函数，求导证明不等式在上成立. 题型1：对称构造法 【例1.1.】 已知函数有两个零点． (1)求的取值范围； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究双变量问题、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求导，分，，，三种情况结合单调性与最值及函数零点存在性定理分类讨论求解即可； （2）构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）． ①当时，只有一个零点，不合题意． ②当时，可得下表． 1 － 0 ＋ 减 最小值 增 由，，可得在上有一个零点． ， 令且， 可得， 所以在上也有一个零点，满足题意． ③当时，再分三种情况讨论． （i）当时，，单调递增，至多有一个零点，不满足题意， （ii）当时，，列表如下． 1 ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 因为，所以至多有一个零点，不满足题意， （iii）当时，，列表如下． 1 ＋ 0 － 0 ＋ 增 极大值 减 极小值 增 因为当时，，，所以，至多有一个零点，不满足题意， 综上，的取值范围为； （2）欲证，即证． 由（1），设，得． 又由（1）知在上单调递减，所以欲证，即证． 又，即证． 设， 则 ． 由，得，从而，，在上单调递增， 所以，得，原命题得证． 【例1.2.】 已知函数有两个不同的零点.求证：. 【答案】证明见解析 【难度】0.4 【知识点】导数中的极值偏移问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数可得在处取得极小值，设，要证明，只需证，构造函数，求导证明即可. 【详解】定义域为， ，所以在上单调递减. ，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值， 又， 所以先保证必要条件成立，即满足题意. 当时，； ， 由以上可知，当时，有两个不同的零点. 由题意，设，要证明，只需证明. 因为在上单调递减，且， 只需证. 又，即只需证， 构造函数， 因为， 所以 ，， 则， 所以在单调递减， 所以. 因为，所以，成立，即， 所以. 【例1.3.】 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)记函数，若，存在两个相异的正实数满足，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.35 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数中的极值偏移问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，点斜式即可求解； （2）由，要证，只要证，即证，由的单调性知只要证，结合 只要证，移项作差构造函数即可求解． 【详解】（1）当时，． 所以切线的方程是即． （2）可得． 令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 不妨设，令， 则， 所以函数在上单调递增，从而， 即时，恒成立． 而，从而，又， ，函数在上单调递减． ，得． 令，则，当时单调递增； 当时单调递减，所以，即， 由不等式得， 成立，所以． 【例1.4.】 已知函数． (1)当时，函数恒成立，求实数的最大值； (2)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.38 【知识点】利用导数研究双变量问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式 【分析】（1）将不等式恒成立问题转化为求函数最值，通过分离参数，构造辅助函数并利用导数分析单调性，进而求得参数的取值范围； （2）利用函数单调性将和的不等式转化为函数值不等式，通过构造对称辅助函数并换元分析其单调性，完成极值点偏移类的和的不等式证明. 【详解】（1）当时，恒成立， 即恒成立，只需即可， 令，则， 令，则， 当时，恒成立，在单调递增，所以， 所以在恒成立，在单调递增， 所以，所以，即实数的最大值为2． （2）当时，， 所以，在上单调递增， 又，且，不妨设， 要证，即证明， 因为在上单调递增，即证， 因为，即证， 设 ， 令，则， 则， 由可得，在（0，1）单调递增，所以，即， 所以成立，所以． 【例1.5.】 已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求、； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数存在极值点，且有两个不相等的零点、，证明：． 【答案】(1)， (2)当时，的减区间为；当时，的增区间为，减区间为 (3)证明见解析 【难度】0.3 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数中的极值偏移问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，解之即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）利用分析法可知，要证，即证，即证，分析函数的单调性，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，结合可证得结论成立. 【详解】（1）由题意， 由曲线在点处的切线为， 可知，解得. （2）易知的定义域为， 当时，，所以的减区间为，无增区间； 当时，令，得， 由可得，由可得， 此时函数的增区间为，减区间为. 综上：当时，的减区间为； 当时，的增区间为，减区间为. （3）由（2）知，且需满足，， 要证，即证，即证， 因为，所以， 由在上为减函数，只需证， 由，即证， 令， 则 ， 由，得，，所以， 所以在上为增函数，所以， 所以，所以. 题型2：换元法 【例2.1.】 已知函数. (1)求的最大值； (2)已知关于的方程恰有两个实数根、，若，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求出函数的最大值； （2）设，代入，可将化简为，设，对求导，得出的单调性，可求出在上的值域. 【详解】（1）函数的定义域为，，令，解得， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值，即. （2）由题意可得，整理得， 不妨设，所以，所以， 所以， 设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递增，所以. 所以的取值范围为. 【例2.2.】 已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.44 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）证明：由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 【例2.3.】 已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.36 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式、导数中的极值偏移问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 【例2.4.】 已知，若有两个不等实根，，求证：． 【答案】证明见解析 【难度】0.25 【知识点】导数中的极值偏移问题 【分析】先设，将变为，将问题转化为有两个不相等实根，利用导数求出的单调性，进而找到，再将问题转化为，再令将问题转化为证明不等式，构造函数借助导数证明即可. 【详解】设，，则， 则有两不等实根，（不妨设）， 要证，只要即可；又， 令，解得， 所以时，，单调递增；时，单调递减； 所以， 方程要有两个不等实根，则，即，且， 下面证明，由，两式作差得（①）， 作和得（②）， 由①②两式化简可得， 若要证明，只需证明， 只需证明，只需证明， 令，即证明， 只需证明， 令， 令，解得，故，单调递减， 所以，故不等式成立，从而原不等式成立. 所以得证，所以，所以． 题型3：对（指）数平均不等式 【例3.1.】 已知函数.若存在，，使得.证明：. 【答案】证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数证明不等式 【分析】由，可得，利用对数平均值不等式可得，得，得证. 【详解】由函数，可得，， 设，由，可得，则， 令，则， 所以函数在上单调递增，故， 由，得，即， ，即，整理得， ， 故，得证! 【例3.2.】 已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明： 【答案】(1) . (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究双变量问题 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题； （ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，，则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【例3.3.】 已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. （3）先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 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