精品解析：湖南衡阳市 八中教育集团2026年九年级数学春季开学收心自测

湖南衡阳市八中教育集团2026年九年级数学春季开学收心自测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，故不属于最简二次根式，不符合题意； B、属于最简二次根式，符合题意； C、，故不属于最简二次根式，不符合题意； D、，故不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 计算：（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 【详解】解：． 3. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据坡比为可得，据此可得答案． 【详解】解：∵迎水坡的坡比为， ∴， ∵米， ∴米， 故选：A． 4. 如图，在中，是直径，，，则等于（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先由圆周角定理求出的度数，再根据等弧所对的圆心角相等即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴； ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和 相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在 和中，， ． 平分，则，则，故该选项不符合题意； ．，则故该选项不符合题意； ．不是 和对应的比例，不能判断和 相似，故该选项符合题意； ．即，则，故该选项不符合题意； 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与 轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当 时，， ∴抛物线与 轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边同时加上1，再写为完全平方式即可． 【详解】解：两边同时加1，得：， 配方，得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方的方法和步骤． 8. 如图，圆锥的底面半径 ，高，该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 9. 如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为， ，，连接，根据内切圆的性质可知垂足， ，也是三边与的切点，， ，，，利用勾股定理可得，设 ，则 ，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解． 【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为， ，，连接， 根据内切圆的性质可知垂足， ，也是三边与的切点， ， ，，， ，，， ， 设 ，则 ， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A. 9 B. 8 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】用a表示出b、c并求出a的取值范围，再代入S整理成关于a的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出m、n的值，再相减即可得解． 【详解】∵a+b＝2，c﹣3a＝4， ∴b＝2﹣a，c＝3a+4， ∵b，c都是非负数， ∴， 解不等式①得，a≤2， 解不等式②得，a≥﹣， ∴﹣≤a≤2， 又∵a是非负数， ∴0≤a≤2， S＝a2+b+c＝a2+（2﹣a）+3a+4， ＝a2+2a+6， ∴对称轴为直线a＝﹣＝﹣1， ∴a＝0时，最小值n＝6， a＝2时，最大值m＝22+2×2+6＝14， ∴m﹣n＝14﹣6＝8． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用a表示出b、c并求出a的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于a的函数关系式． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 11. 已知 是关于 的方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把 代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 是关于 的方程的一个根， ∴ 解得 ， 故答案为：． 12. 如果关于 的方程没有实数根，那么的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到，据此解答． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 13. 如图，在中，，且，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得 ，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数，当点、在函数图象上时，比较、的大小关系是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大解答即可． 本题考查了函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，且距离对称轴越远，函数值越大，对称轴为直线 ， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，、是的两条切线，A，B为切点， ，，则的半径是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查切线长定理，切线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由切线长定理得到，由含30度角的直角三角形的性质得到． 由切线长定理得到，由切线的性质定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到的半径即可． 【详解】解：、是的两条切线， ，， ， ， ， ， 的半径等于2． 故答案为：2． 16. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位： ）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点 ，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是___ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由折叠的性质得到，可判断结论①正确；连接，得到，由可判断③；当达到最小值时，点在线段上，证明，得到，求出，可判断④；在 中， 随着的增大而增大，当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合，作于点，于点 ，得到，当取得最大值时，有最小值，可判断②． 【详解】解：正方形纸片的边长为，， ， 根据折叠的性质可知， 当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动， 故结论①正确； 如图，连接， ， ， ， ， 的最小值为， 故结论③正确； 当达到最小值时，点在线段上， 由折叠可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论④错误； 在 中，， 随着的增大而增大， ， 当最大时，有最大值，有最大值，此时点与点重合， 如图，作于点，于点 ， ， 四边形是矩形， ， 当取得最大值时，也是最大值， ， 有最小值， 在中，有最大值， 即有最大值， 此时点到的距离最大， 故结论②正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选∶C． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中 ， ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算（完全平方公式、平方差公式）及代数式求值，熟练掌握乘法公式的展开法则与合并同类项的方法是解题的关键． 先利用完全平方公式和平方差公式展开原式，再合并同类项进行化简，最后代入 、的值计算． 【详解】解：原式． 当 ， 时，原式． 19. 如图，在中， ，交于点，． （1）求证： ； （2）若 ，，求线段长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据三角形的外角性质以及已知条件得到，再由 ，即可证明 ； （2）由 得到，求出，则，设，再对运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵ ， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴． 20. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D． （1）求 的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 【答案】（1） （2）轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车 【解析】 【分析】（1）由得到，由得到，由得到，即可得到 的大小； （2）由得到，在 中求得，由勾股定理得到，由得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 的大小为 ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在 中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即轿车至少行驶24米才能发现点A处的货车． 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、垂直定义和平行线的性质、方位角的定义等知识，读懂题意，熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角形函数的定义是解题的关键． 21. 正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 【答案】（1） （2）50 （3）8750 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出函数解析式是解题的关键： （1）根据销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，列出函数关系式，根据单个销售利润不低于10元，且不高于25元，求出 的取值范围； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单个利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，； ，即； 【小问2详解】 由题意，， 解得或（不合题意，舍去）； 答：销售单价为50元时，每天销售利润为8000元； 【小问3详解】 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，最大，为． 22. 如图，在四边形中， ．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 又∵ ， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴为的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）只要证明 ，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在 中，，，，求得，，在 中， ，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得 ，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴ ， ∴， ∵ 中，，，， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ 中， ，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 23. 已知二次函数 的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作 轴于点N，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 当 时， ， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． ∴ ， ∴的值为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，，则，，表示出， ，代入即可求解； （3）设，则，求出直线的解析式，把 代入即可求出线段长度的最大值． 【小问1详解】 ∵二次函数 的图像经过点， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， 当 时， ， ∴当时，线段长度的最大值． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键． 24. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接 ，． （1）如图1，若的延长线经过点D， ，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接 ，，．若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明：由题意知，， ∴，． ∴ ， ∴． 是等腰直角三角形． 理由如下： AI （方法一）作交 于点M，交于点N． ∵， ∴M为的中点． 又， ∴， ∴， ∴N是的中点， ∴是 的中位线， ． ∵，，且， ∴， ∴， 即E为的中点． 又， ∴， ∴． 同理可证， ∴． ∴是等腰直角三角形． （方法二）设，则． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴，． 由①知， ∴． 又， ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得出，，证明，得出，结合正方形的性质可判断 是等腰直角三角形，求出，然后根据勾股定理求出，即可求解； （2）①由正方形的性质和线段的垂直平分线的性质得出，根据等边对等角以及三角形内角和定理可求出，即可求解； ②（方法一）作交 于点M，交于点N．根据三线合一的性质得出M为的中点．可证，根据平行线分线段成比例判断出N是的中点，根据三角形中位线定理得出 ．根据证明，得出，则E为的中点．结合，根据三角形中位线定理和平行线的性质得出．同理可证，得出，即可得出结论； （方法二）设，则．根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理求出，由（1）中，得出，则．根据等边对等角得出．根据三角形内角和定理求出，由角的和差关系求出，，根据证明，得出，．结合①中求出，则，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，的延长线经过点D， ∴，，， 由垂直平分线的性质知，，， 又， ∴， ∴． 又， ∴ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南衡阳市八中教育集团2026年九年级数学春季开学收心自测 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. 3 D. 2 3. 河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡的坡比为，则的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 15米 D. 10米 4. 如图，在中，是直径，，，则等于（　　） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 5. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和 相似的是（ ） A. 平分 B. C. D. 6. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 7. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的底面半径 ，高，该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知非负数a，b，c满足a+b＝2，c﹣3a＝4，设S＝a2+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为（　　） A. 9 B. 8 C. 1 D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分) 11. 已知 是关于的方程的一个根，则 的值为______． 12. 如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是_________． 13. 如图，在中，，且，，则的值是______． 14. 已知二次函数，当点、在函数图象上时，比较、的大小关系是______． 15. 如图，、是的两条切线，A，B为切点， ，，则的半径是______． 16. 一次折纸实践活动中，小王同学准备了一张边长为（单位： ）的正方形纸片，他在边和上分别取点和点，使，又在线段上任取一点（点可与端点重合），再将沿所在直线折叠得到，随后连接，小王同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以点为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，到直线的距离达到最大； ③的最小值为； ④达到最小值时， 你认为小王同学得到的结论正确的是___ 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 ， ． 19. 如图，在中， ，交于点，． （1）求证： ； （2）若 ，，求线段长． 20. 如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知，，线段的延长线交直线于点D． （1）求 的大小； （2）若在点B处测得点O在北偏西 方向上，其中米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车） 21. 正在举行的2025年全运会，其吉祥物“喜洋洋”正火遍全国．某网店售卖一款进价为30元／个的“喜洋洋”，规定单个销售利润不低于10元，且不高于25元．试销期间发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个．该网店决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y个． （1）直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围是_____． （2）当销售单价为多少元时，每天销售利润为8000元？ （3）求该网点每天销售吉祥物“喜洋洋”的利润W（元）的最大值． 22. 如图，在四边形中， ．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 23. 已知二次函数 的图像经过点，点，是此二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作 轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作 轴于点N，求线段长度的最大值． 24. 已知点在正方形内，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接 ，． （1）如图1，若的延长线经过点D， ，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设，相交于点G，连接，，．若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $