精品解析：湖南省岳阳市2026届高三下学期开学摸底检数学测试卷

2026年高三开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ） A. 68 B. 63 C. 35 D. 48 5. 设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有 ，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有 字母的卡片代表小林参加 场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加 场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加 场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加 场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加 场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 11. 在中，边所对的角分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列，若数列满足，则数列的前 项和___________ 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 14. 常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求 ； （2）若，求BC边上的高的最大值． 16. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点 满足直线与直线所成角的余弦值为，求点 到直线的距离． 17. 已知点，点在圆 ：上运动，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过圆心 的直线与曲线相切，求直线的方程. 18. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． （1）按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； （2）按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 19. 已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三开学摸底检测 数学 分值：150分 时间：120 分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性求解不等式得集合，再由并集定义计算即得. 【详解】由可得，解得 ，即， 因，则. 故选：D. 2. 世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）种. A. 120 B. 60 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，小张和小赵只能从事前两项工作，由此分为2种情况讨论，结合排列组合，即可求解. 【详解】根据题意可分为2种情况讨论： （i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案； （ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案， 综上可得，共有种不同的选派方案. 故选：D 3. 已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知确定的区间单调性，进而得到 或 时 ，或时，即可求不等式的解集. 【详解】由，且，都有，则在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 由，则，且， 故 或 时 ，或时， 所以的解集为. 故选：D 4. 某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（ ） A. 68 B. 63 C. 35 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故选：B 5. 设函数和的零点分别为，其中．当时，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数零点的定义可得分别为函数的图象与的图象的交点横坐标，再利用互为反函数的图象关系可得，结合函数图象确定的范围并借助对勾函数的单调性求解. 【详解】由 ，得，设的图象与的图象的交点为， 由，得，设的图象与的图象的交点为， 而的图象与的图象关于直线对称，函数的图象也关于直线对称， 因此点与点关于直线对称，则， 而当时， ；当时，，函数在 上单调递减， 所以. 故选：C 6. 如图所示，在三棱柱中，若点分别满足，，平面将三棱柱分成体积为的两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可求得，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. 【详解】，，，，； ，几何体为三棱台， 设三棱柱的高为， ， ，. 故选：A. 7. 若直线与直线垂直，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件列出关于的方程,求解的值即可. 【详解】对于直线和直线垂直,则. 已知直线中,直线中. 因为,即. 故选：C. 8. 双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与C在第二象限交于点P，若坐标原点O到直线的距离为，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到⊥，作出辅助线，结合双曲线定义求出，，由勾股定理得到方程，求出离心率. 【详解】由题意得⊥，取的中点，连接， 因为为的中点，所以，且， 故，即为坐标原点O到直线的距离，则， 所以， 由双曲线定义可得，所以， 又，由勾股定理得， 故，解得，故离心率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题.每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可. 【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故错误； 对于：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故正确； 对于：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故错误. 故选：AC. 10. 某省开展慈善文化进机关、进企业、进乡村、进社区、进家庭活动，通过讲座、公益市集、志愿服务等形式，重点帮扶特殊困难群体.现有，，共3场慈善知识竞赛和慰问活动需要安排志愿者，小林从右图中四张同样大小的卡片中随机抽取一张，卡片上的字母代表小林参加的活动场次，例如抽到写有字母的卡片代表小林参加场活动，若抽到写有3个字母的卡片代表小林参加3场活动，则（ ） A. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”互斥 B. “小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立 C. “小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立 D. “小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】由互斥事件的定义即可判断A，由相互独立的定义若，则事件 相互独立即可判断BCD. 【详解】若选到第一张卡片，则小林同时参加3场活动，故A错误. “小林参加A场活动”的概率为，“小林参加B场活动”的概率为， “小林同时参加A场和B场活动”的概率为，因为， 所以“小林参加场活动”与“小林参加场活动”相互独立，故B正确. “小林不参加A场活动”的概率为，“小林不参加B场活动”的概率为， “小林同时不参加A场与B场活动”的概率为，因为， 所以“小林不参加场活动”与“小林不参加场活动”相互独立，C正确. “小林参加场或场活动”的概率为，“小林不参加场活动，参加场或场活动”的概率为， 因为，所以“小林不参加场活动”与“小林参加场或场活动”不相互独立， 故D错误. 故选：BC. 11. 在中，边所对的角分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由余弦定理可得，求得，再由化简可得，求得，，即可得出结果. 【详解】，则由余弦定理可得， ，， ，， 即，， ，，则， . 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 等比数列，若数列满足，则数列的前 项和___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的基本量计算求得 ，，进而得，，再结合等差等比前 项和公式分组求和即可得答案. 【详解】设等比数列的公比，因为， 所以，即，解得 ， 所以，， 所以， 所以数列的前 项和 故答案为： 13. 已知函数，则满足的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令函数并确定函数的奇偶性，再利用导数确定函数的单调性，进而求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R，令函数， 则，即函数是R上的奇函数， 又，当且仅当时取等号， 因此函数在R上单调递增， 所以不等式， 则，解得 ，所以实数m的取值范围是. 故答案为： 14. 常数，椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为__________． 【答案】3或 【解析】 【分析】分，讨论，根据条件列出等式，即求. 【详解】由椭圆，可得椭圆， 当时，表示焦点在x轴上的椭圆， ∴，即 ， 当时，表示焦点在y轴上的椭圆， ∴，即， 综上，实数a的值为3或. 故答案为：3或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求； （2）若，求BC边上的高的最大值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与和角公式，求出，再由三角形内角范围即可求得角； （2）设BC边上的高为，由三角形等面积可得，由余弦定理和基本不等式推得，即得BC边上的高的最大值. 【小问1详解】 由可得， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 因为 ，所以． 【小问2详解】 依题意，，设BC边上的高为， 由，可得， 由余弦定理 可得， 即，当且仅当时等号成立， 因此， 所以BC边上的高的最大值为2． 16. 如图，在三棱锥 中，平面平面 是边长为2的等边三角形，． （1）证明： ； （2）若线段上的点 满足直线与直线所成角的余弦值为，求点 到直线的距离． 【答案】（1）在中， ， 由余弦定理可得： ， 则 ，所以有，则 由平面平面，平面 平面， 且， 平面，则 平面 ， 又 平面 ，则 . （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质，可得 平面 ，据此可得线线垂直； （2）建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点 的坐标，再由点到直线的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取 中点分别为 ，连接 由为正三角形知， ， 结合（1）中 平面 ，由 ，可知 平面 ，则 两两垂直， 如图所示，以为原点，分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则 ， 可得 设 ，则 ，且 ， 可得 由，解得或（舍去）， 则 ，且 故点 到直线的距离 17. 已知点，点在圆：上运动，线段的中点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过圆心的直线与曲线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 或. 【解析】 【分析】（1）设，，由为的中点可得，，进而将点代入圆的方程即可求解； （2）分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 设，， 由，为的中点，则，， 解得，， 因为点在圆：上， 所以，即， 化简得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 易知，曲线是以为圆心，为半径的圆. 显然当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线不相切； 故直线的斜率存在，设为，则直线的方程为，即， 由直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 化简得，解得或， 故直线的方程是 或. 18. 已知甲、乙两个袋子，其中甲袋内有1个红球和3个白球，乙袋内有2个红球和2个白球．根据下列规则进行连续有放回的摸球（每次只摸1个球）：先随机选择一个袋子摸球．若选中甲袋，则后续每次均选择甲袋摸球；若选中乙袋，则后续再随机选择一个袋子摸球． （1）按照上述规则摸球3次．当第1次选中的是甲袋，求摸到红球的个数的分布列及期望； （2）按照上述规则进行连续摸球，若摸到2次红球则停止摸球．求3次之内（含3次）停止摸球的概率． 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项分布的概率和期望公式求解即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 法一：由题意得的可能取值为 ． ，， ，． 所以的分布列为 0 1 2 3 因此． 法二：由题意得的可能取值为 ． 又，故（）． 因此． 【小问2详解】 设事件 “次之内（含次）停止摸球”， 事件“第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到红球，第次摸到白球，第次摸到红球”； 事件“第次摸到白球，第次摸到红球，第次摸到红球”； 事件 “首次选择甲袋是第次摸球”（）， 事件“一直没有选择甲袋”． 则 ． ． ． 因此． 19. 已知函数. （1）证明函数存在唯一零点； （2）的零点为，证明. 【答案】（1）函数 的定义域为 ，当 时， ，（这是因为 ） 故函数 在 没有零点； 当 时， ，易见在 上是减函数， 且 ，故存在 ，使得 在 上递增，在 上递减， 且 ， 所以 在 上存在唯一零点，又 ，所以在 上无零点， 故 在 上存在唯一零点. （2）注意到 ，由（1）知存在唯一 使得 ， 即有，故. 令， 令，显然当 时， .故在 上单调递减， 所以. 【解析】 【分析】（1）分析函数的单调性，再结合零点存在定理证明； （2）根据 得到满足的关系式，再将 转化，最后通过研究函数的单调性来证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $