精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高一下学期开学数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则正确的是（ ） A. B.  C.  D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数式的关系计算判定集合间的关系即可. 【详解】由，可知集合是由所有奇数除以4的商构成的集合， 而，可知集合是由所有整数除以4的商构成的集合， 显然. 故选：B 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解分式不等式并根据两范围的大小即可得出结论. 【详解】将不等式可化为，解得或； 所以可得“”可以推出“”，即充分性成立； 而“”时也可能“”，推不出“”，因此必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和符号性逐项分析判断. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数，故AC错误； 又因为当时，则，可知， 此时的符号性与的符号性一致，故D错误； 故选：B. 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A. 23 B. 100 C. 150 D. 232 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，列出方程，再利用指数式与对数式的互化关系求解即可. 【详解】令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，天后，甲、乙的“日能力值”分别， 依题意，，即，两边取对数得， 因此， 所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 故选：B 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数单调性和定义域，列出不等式求解即可. 【详解】根据复合函数的单调性，要满足题意，则在单调递减，且在恒成立； 故可得：，解得，故的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设可得函数图象的对称轴为，可得，在区间上有且只有一个使得，可得，可求解. 【详解】依题意得，，  解得，且①， 当时，， 又在区间上有且只有一个使得，  故，  解得②，  联立，解得．  故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D. 【详解】A，由终边上的点，知，对； B，由锐角，则也是锐角，错； C，设扇形半径为，根据弧长公式有弧长，则， 所以扇形面积为，对； D，由题设，则， 又，则，结合，可得， 所以，对. 故选：ACD 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意求出函数的解析式，再画出函数的图象，然后结合图象逐个分析判断即可. 【详解】当时，，当时，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 当时，则，， 依次类推，可得函数的解析式，作出函数的大致图象如图所示， 对于A，由，得， 令，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以函数有3个零点，所以A正确， 对于B，当时，，即，由图象可知与的图象只有3个交点， 所以关于x的方程有3个不同的解，而当时，，所以B错误， 对于C，对于实数，不等式恒成立，即恒成立， 由图可知函数的图象的每一个上顶点都在曲线上，所以恒成立，所以C正确， 对于D，当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为， 当时，则，此时函数的图象与x轴围成的图形的面积为，……， 当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，夹角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量数量积公式可得夹角. 【详解】由，， 则， 解得， 又，所以， 故答案为：. 13. 函数的最小值为___________. 【答案】## 【解析】 【详解】， 当时，等号成立，所以函数的最小值为. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以， 所以； ， 画出的图象， 要使方程恰有5个实数根， 结合图像可知，，解得. 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，再进行并集运算； （2）首先说明，通过分析及，可知在集合的左右侧端点的函数值大于0，解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以=. 【小问2详解】 对于， 因为其对应的方程的判别式，所以. 又图象的对称轴为，且， 即只需的图象与轴的两个交点的横坐标均位于区间内， 如图， 所以只需，解得，即的取值范围是. 16. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】（1）36万元； （2）9万件，72万元； 【解析】 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【小问1详解】 设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； 【小问2详解】 当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 （1）请将表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、（），求. 【答案】（1） 0 x 0 2 0 0 ； （2）； （3） 【解析】 【小问1详解】 0 x 0 2 0 0 由题意及表可知，， ， ∴，， ∴，解得， ∴. 【小问2详解】 由题可得， 当时，，则， 函数的值域为. 【小问3详解】 函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、（）， 因为，所以直线是的一个对称轴，而区间的区间长度为一个周期. 所以两个交点关于直线对称 所以，且，代入得， 18. 已知函数 （1）计算，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，证明见解析 （3）证明见解析， 【解析】 【详解】（1）. （2）函数在上单调递减.证明如下： 由条件.任取，且， 因为，所以， 所以，即，故函数在上单调递减. （3）证明：设，则. 因为函数定义域为，且， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于点成中心对称图形. 19. 已知函数. （1）证明函数为偶函数； （2）设函数，若函数在定义域上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用偶函数的定义即可证明结论； （2）求出函数的定义域，利用函数在定义域上有且仅有一个零点即可求出的值； （3）化简不等式，令，通过换元解不等式可得，构造函数，结合的范围与函数的单调性可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 在中，，解得或， 又，∴为偶函数. 【小问2详解】 由题意及（1）得，或， ∵函数在定义域上有且仅有一个零点， ∴即在定义域内有唯一解， ∵为偶函数，∴，即， 当，解得，零点为， 检验：当时，的定义域为，符合题意. 当时，的定义域为，符合题意； 当，由，可得方程有两解， 由得或，解得或； 现在要求两个解中恰好一个满足定义域，定义域满足 ， 若不在定义域内，在定义域内，则且， 即且 解 ，可得或或； 解，可得， 因为时，没有意义，所以， 所以； 若不在定义域内，在定义域内，则且， 即且 解 ，可得或或； 解，可得， 因为时，没有意义，所以， 所以； 综上所述，. 【小问3详解】 由题意得， 由在上恒成立，得在上恒成立， 整理得， 令，则，不等式变形为， 解得， 要使不等式对任意恒成立，则， 令，， 因为，又对勾函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又在上单调递增， 所以，， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高一下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则正确的是（ ） A. B.  C.  D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列不等关系正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据：，，） A. 23 B. 100 C. 150 D. 232 7. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，对任意的恒有，且在区间上有且只有一个使得，则的值可以是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列四个命题中，说法不正确的是（ ） A. 空间任意两个单位向量必相等 B. 对于非零向量，由，则 C. 是共线的充分不必要条件 D. 若向量满足，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若终边上一点的坐标为，则 B. 若角为锐角，则为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 D. 若，且，则 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数有3个零点 B. 关于x的方程有个不同的解 C. 对于实数，不等式恒成立 D. 在区间内，函数的图象与x轴围成的图形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，夹角__________. 13. 函数的最小值为___________. 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合， （1）求； （2）若，求的取值范围. 16. 在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： （1）当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. （2）要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 2 0 （1）请将表数据补充完整，并直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象.当时，求函数的值域； （3）设函数的图象与直线在区间上的两个交点的横坐标分别为、（），求. 18. 已知函数 （1）计算，的值； （2）判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； （3）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数，依据上述结论，证明：的图象成中心对称图形，并求其对称中心. 19. 已知函数. （1）证明函数为偶函数； （2）设函数，若函数在定义域上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $