精品解析：2026年第21届中国北方数学奥林匹克邀请赛第一天学术能力测试试题

2026年学术能力测试 中国·商洛（2026.8.6） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡对应答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷共19题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对复数进行化简，可得在复平面中对应的点，即可求得到原点的距离. 【详解】因为复数，在复平面中对应的点为， 所以到原点的距离为. 2. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设向量坐标，再应用向量平行的坐标关系列式排除A，B，C，再应用模长公式计算D选项符合题意即可. 【详解】由，可设，设， 结合得，即，A，B,C选项错误； 再结合得，代入验证仅选项D满足上述条件，故D为正确选项； 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 5. 将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第次正面向上的点数为，，，则的所有可能抛掷情况数为（ ） A. 96 B. 54 C. 48 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意得到与或，再列出所有情况，最后利用分类加法计数原理求解即可. 【详解】结合题意，设三次点数的最小值为，最大值为，剩下的为，且， 当时，，而，不满足，故排除， 则，此时，故或， 当，时，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当，时，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，当时，有种情况， 当时，有种情况，由分类加法计数原理得情况数如下， 共有种情况. 6. 已知，下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 即，可得， 令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 可得， 所以， 当时，，选项A错误； 当时，，所以B错误； 可知， 当，则， 可得，所以C错误； 当时，， 可知， 当时，， 即，选项D正确. 7. 已知集合．其两个子集，，对任意的，，存在，使得，则的最大值为（ ） A. 100 B. 110 C. 121 D. 132 【答案】C 【解析】 【分析】通过任意性判断出子集内元素同余，设出余数后，并通过中元素求出最大值. 【详解】因为，所以. 因为对任意的，，，，适用，所以，且， 两式相减可知，同理，， 因此中所有元素模同余，设余数为. 同理可知，中所有元素模同余，设余数为. 因此可转变为. 因为，所以中模余数为的各有个，余数为的各有个. 综上，要使个数积最大，应该选择和都落在到之间， 在可行的对中，唯一满足且的是， 且时，，而，所以，此时， 所以，即为最大值. 8. 2026年8月6日，2026年学术能力测试如期举行，二百余名全国各地学子共赴一场意蕴悠长的数学雅集．营中学子甲、乙、丙三人籍贯各不相同，且彼此清楚对方家乡属地．三人各撷两句古典诗章，分别描摹余下二人故里风物．已知三人的表述有三种结果：一人的两句话全部为真，一人的两句话全部为假，剩余一人的两句话一真一假． 甲言：乙之乡邦，恰合“白日地中出，黄河天外来”所咏之地；丙之故土，正应“城阙辅三秦，风烟望五津”所指之域． 乙云：甲之故里，正是“秦时明月汉时关，万里长征人未还”所咏边关；丙之桑梓，恰为“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”所赋古都． 丙言：甲之故土，可观“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发”的烂漫春色；乙之故园，可瞻“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”的苍茫景致． 下列诗句依次对应甲、乙、丙家乡的是（ ） A. 洛水桥边春日斜，碧流清浅见琼砂；汉家旌帜满阴山，不遣胡儿匹马还；长安回望绣成堆，山顶千门次第开 B. 洛阳三月花如锦，多少功夫织得成；东风吹雨过青山，却望千门草色闲；居延城外猎天骄，白草连天野火烧 C. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还；若问古今兴废事，请君只看洛阳城；冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲 D. 一上高城万里愁，蒹葭杨柳似汀洲；回乐烽前沙似雪，受降城外月如霜；天津桥下冰初结，洛阳陌上人行绝 【答案】C 【解析】 【分析】首先明确各诗句对应地域：边塞类诗句对应边关地域，描写洛阳的诗句对应洛阳，描写长安的诗句对应长安. 结合三人表述一全真、一全假、一真一假的约束条件，以表述重合点为突破口，通过假设法推理三人对应的籍贯. 【详解】整理三人表述如下： 甲：①乙对应“白日地中出，黄河天外来”所指边塞地域；②丙对应“城阙辅三秦”所指长安地域. 乙：①甲对应“秦时明月汉时关”所指边塞地域；②丙对应“春风得意马蹄疾”所指长安地域. 丙：①甲对应“洛阳城里花如雪”所指洛阳地域；②乙对应“黄河远上白云间”所指边塞地域. ∵ 甲的表述②与乙的表述②均指向丙为长安，二者真假性一致. 若二者均为假，则丙≠长安，此时甲、乙均至少有一句假，故全真者只能为丙. ∵ 若丙全真，则甲为洛阳、乙为边塞，剩余丙只能为长安，与丙≠长安矛盾，故该假设不成立. ∴ 甲的表述②与乙的表述②均为真，即丙为长安. 此时全假者只能为丙，即丙的两句话均为假，可得：甲≠洛阳，乙≠边塞. ∵ 三人籍贯各不相同，丙为长安，剩余地域为洛阳、边塞，乙≠边塞， ∴ 乙为洛阳，剩余甲为边塞. 验证可知：乙两句话均为真，属于全真；甲的表述①为假、表述②为真，属于一真一假；丙两句话均为假，属于全假，完全符合题设条件. 即甲对应边塞、乙对应洛阳、丙对应长安，选项C的三句诗依次对应边塞、洛阳、长安，符合要求. 【点睛】方法归纳：逻辑推理类题目优先提取表述的重合内容作为突破口，采用假设法验证是否存在矛盾，可快速排除错误假设得到正确结论. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多个项目符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 无论为何值，恒过定点 C. 存在，使为奇函数 D. 在上单调不减 【答案】ABD 【解析】 【分析】A，求解；B，时，；C，取，验证时得到矛盾；D，由单调不减的定义：对任意，都有，进行验证. 【详解】选项 A，，由题意 ，A 正确； 选项 B，时，，，时恒成立，因此函数一定经过点，B 正确； 选项 C，奇函数的定义：对定义域内任意，都满足， 取，由高斯函数定义，因此（），对应，，则 若为奇函数，需满足，但不可能等于 0，矛盾； 同时负数的非整数次幂在实数域无意义，因此不存在使为奇函数，C 错误； 选项 D，单调不减的定义：对任意，都有， 在上，高斯函数本身是单调不减函数：增大时，取整结果要么保持不变，要么增加，不会减小； 已知，幂函数在上单调递增,两者复合后，可推出，即，因此在上单调不减，D 正确. 10. 在中，角，，的对边为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，，使为等边三角形 B. 存在，，使为直角三角形 C. 存在，，使为锐角三角形 D. 存在，，使为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，，结合题意求出，进而发现矛盾判断A，举特例判断B，D，结合题意得到，进而得到与题意不符判断C即可. 【详解】由正弦定理得，而，可得， 由正弦定理得，而，可得， 对于A，若为等边三角形，则，此时，故A错误， 对于B，若为直角三角形，可设，此时， 得到，此时，， 此时，符合题意，故B正确， 对于C，若为锐角三角形，则，则， 得到，则，且， 可得，即，与题意不符，故C错误， 对于D，若为钝角三角形，可设为钝角， 此时，则，得到， 得到，则，同理可得， 不妨设，则，， 由同角三角函数的基本关系得，且， 可得，，由两角和的正切公式得， 而，此时符合题意，故D正确. 11. 已知，，定义，下列表述不正确的是（ ） A. 有最小值 B. 无极大值 C. 对任意，都有， D. 不存在实数，使得直线与有四个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，且，，，成等差数列 【答案】BC 【解析】 【分析】首先化简函数定义：，即取和中较小值.先求导得到，，故.结合奇偶性、单调性，的对称性、单调性分析的图像性质，逐一判断选项. 【详解】由 知 为偶函数. ，. 当 时，.故 在 上单调递增. 又 ，故 在 上为正， 在 上单调递增. 令 ，则 为偶函数， ，，故 在 上单调递增. 又 ，故 在 上为正， 在 上单调递增. ，即将 向左平移两个单位. 此时， 关于直线 对称，且在 上单调递增. 又由绝对值的性质可知 ，即 . 注意到 ，，可作出示意图， 不妨设 与 交于点 ，则 .即 . 对于A，结合图象知 ，A表述正确. 对于B， 在 上单调递增， 上单调递减，故 ，B表述错误. 对于C：∵关于直线对称，∴ 对任意实数，有. 又∵ 在上单调递增，在上单调递减，且的分界点，即： 当时，；当时，，且此时. 分两种情况讨论： ① 当时， ∵ ，∴ . 若，即，则，故. 若，即，则， 故. 综上，当时，. ② 当时，令， 则，， 由①的结论可知，即，故. 由于的取值正负不定时，与的大小关系不确定，因此无法直接比较二者大小. 此处，可取任意实数，无法判断与的大小关系，故该部分不成立. 对于D：当（为的极大值）时，与有四个交点， 其中为的根，满足；为的根，满足. 若四个数成等差数列，设公差为，则，联立和得，对应. 此时，，二者不相等，不存在这样的，故D表述正确. 【点睛】方法归纳：对于取最值的复合函数，先明确其本质为两个函数的上下包络，结合原函数的奇偶性、对称性、单调性分析图像特征，可快速判断极值、交点等性质；涉及等差数列的交点问题，利用函数对称性可简化推导. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法令，转化为，求解，再求解. 【详解】，令 ，则变形为 所以，因为 ，所以 ，所以 所以，或 （舍去）， 又 ，所以，所以. 13. 已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线于点．若．则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用弦切角定理，即可得，结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】如图所示： 因为是过点的的外接圆的切线， 所以根据弦切角定理可得：， 在等腰中，因为，所以， 且， 所以， 设，在直角中，，所以， 所以，即， 所以， 又，所以，所以. 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点．为的中位三角形，其中，，分别为三边，，的中点．以为底面，将，，分别沿，，向上折起，使得，，三点重合，记为点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由椭圆定义得，再由三角形中位线的性质可得，把三棱锥放到长宽高分别为的长方体中，最后根据该长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径及基本不等式求解. 【详解】由椭圆定义得， 由三角形中位线的性质可得， 如图所示，把三棱锥放到长宽高分别为的长方体中， 则该长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径， 设，则， 因为，三式相加得， 因为， 当时取等号， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积. 【点睛】当三棱锥的3组相对棱的长分别相等时，可把该棱锥放到一个长方体中，使得该三棱锥的顶点都是长方体的顶点，则该长方体的体对角线就是球的直径. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15. 网络热词是依托互联网社交、短视频平台诞生，兼具简洁性与情绪表达功能的特色词汇，当下在高中生群体中传播广泛，常被用于课间交流、线上聊天．秦韵调研小组整理得到20个高中生高频网络热词：6、尊嘟假嘟、emo、破防、老六、包的包的、搭子、下头、拿捏、栓Q、我嘞个豆、内耗、摆烂、活人感、松弛感、惜己模式、夯爆了、偷感很重、大冤种、前途一片大专．现将20个词汇按使用倾向分为两类： A类（正向社交用语）：用于夸赞他人、友好邀约、舒缓情绪、正向交流： B类（负面情绪用语）：用于抒发焦虑、负面感慨、消极自我调侃， （1）按照你的理解，将题干所给的20个词及数量按要求填入表格． 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量 你的常用词 常用词数量 A类 B类 事件A：词语为A类．事件B：词语为B类．事件C：词语为你的常用词．求，． （2）现采取分层抽样从类和类词语中共抽取（m值由你给定，即在解答中先写出你所给的值）个词，再从这个词中抽取3个．用随机变量表示抽取到的类词的数量，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量 你的常用词 常用词数量 A类 6、尊、包、搭、拿、 我、活、松、惜、夯 10 搭、拿 2 B类 栓、emo、破、老、下、 内、摆、偷、大、前 10 emo 1 ， （2）取，随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息填写表格，再利用条件概率公式求解. （2）取，由（1）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取，分层抽样得A类3个、B类3个，的所有可能值为 则， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 16. 已知数列的前项和为，， （1）若为等差数列，求的取值范围； （2）若为等比数列，其公比为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式及求和公式可得，由求解即可； （2）由等比数列的通项公式及求和公式可得，从而可得，再检验即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 则，． 又， 所以， 化简并整理得：． 视作关于的一元二次方程， 则， 整理得，解得或． 故． 【小问2详解】 设等比数列的公比为q， 则，． 又， 即． 又，， 故，故． 对任意的，取满足题意． 故． 17. 在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． （1）求证：平面平面； （2）当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由题意得：平面，面， 则． 又，，面，面， 故面，面， 故． 又，，面，面， 故面． 又面， 故面面. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，再由判定定理可得面，从而得，结合，可得面，由面面垂直的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系，设，由，可得，由三点共线及，可得．再由异面直线与夹角的余弦值为，求得，取，求出两平面与平面的法向量，即可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 以为坐标原点，，为，轴，垂直于的方向为轴，建立空间直角坐标系： 因为圆锥的高为3．母线长为5， 所以底面半径, 由题意，，，，． 设， 则，， 又，即， 即， 又， 设， ， 又， 代入坐标得：， 解得：． 故． 又， ，． 设异面直线与夹角为， 则， 解得． 由对称性，结合， 不妨取， 此时，，． 设面的法向量， 则， 不妨令，则． 同理，设面的法向量， 则． 设平面与平面夹角为， ． 18. 已知双曲线：，是双曲线第一象限上一点，过点的切线交轴于．过点且垂直于的直线依次交的左右两支于，两点，点与关于原点对称，直线，分别交轴于，两点． （1）是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）求证：，，，四点共圆；，，，四点共圆； （3）是否存在点，使得圆和圆的圆心距为20260806． （参考公式：双曲线在点处的切线方程为：．） 【答案】（1）是定值， （2）法一：设，的方程为：, 由消去得， 即，于是，， ，， ， 则，，同理得， 所以，，，四点共圆且以为直径，则， 由对称性得，所以，，，四点共圆且以为直径． 法二： 先证明一个引理：已知点不在二次曲线：（不同时为负且）上， 过点且斜率为的直线分别交二次曲线于和，则四点共圆的充要条件是． 法①：设直线：，：， 则过的二次曲线方程为， 其项系数为，因此四点共圆等价于方程不含项，即； 法②：直线的参数方程为，（其中为直线的倾斜角，为参数）， 将直线的方程与二次曲线的方程联立得： ， 而，由参数方程的几何意义得：， 同理设直线的倾斜角为，则， 而四点共圆，故同在线段上或同在线段的延长线上， 故四点共圆等价于即， 故，因为,故或， 而为倾斜角且，则，因此，即． 由（1）知，所以，，，四点共圆，且， 又点，在双曲线上，即，两式相减得：， ，则，， 由对称性得，所以，，，四点共圆且以为直径． （3）存在这样的点 【解析】 【分析】（1）设点，求出直线的斜率即可. （2）法1：由（1）求出直线的方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示，结合双曲线的对称性推理得证；法二，利用引理结合（1）的结论推理得证. （3）由（2）求出两个圆的圆心坐标，进而求出圆心距的平方，再借助对勾函数的单调性推理得证. 【小问1详解】 设点，依题意，直线的方程为，令得， 直线的斜率，由，得直线的斜率，又点， 因此，所以，为定值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设的中点为，由（2）得圆的圆心为，圆的圆心为， 设点，则，， 因此，令， ，由对勾函数性质得函数在上单调递增， ， ， 则存在实数使得，所以存在这样的点． 19. 设函数的定义域为．对于任意正实数，定义，． （1）若，对任意给定正实数，求集合与． （2）设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 【答案】（1），． （2）（ⅰ）依题意，，所以， 因为对任意都成立，所以取， 则有，即①， 同理，因为对任意都成立，所以取， 则有，即②， 由①②得， 取，所以，所以. （ⅱ）定义， 于是，对每个，均有． 又因为， 所以，所以由（ⅰ）可知，若，且，对于任意，有， 下面证明中只有一个元素， 任取，所以对每个，有． 所以函数图像关于直线对称， 假设中存在两个不同的元素，，不妨设，函数图像既关于对称，也关于对称． 所以对任意，． 故是函数的一个周期． 由周期性，对任意和，有． 因此．③ 任取．由③，对于任意整数，均有． 由（ⅰ）知，， 对每个整数都成立．这些区间的并集为整个，故． 此时，矛盾，所以中不可能有两个不同的元素． 又因为，故存在唯一实数，使得， 下面证明或， 因为，所以， 所以不可能同时包含小于的点和大于的点，否则由（ⅰ）知，有，矛盾 若中存在大于的元素，则． 于是每个小于的实数均属于． 若还存在某个且，则因为，必有． 任取，则，并且． 由（ⅰ）知，必有，与矛盾． 因此每个都属于，从而． 同理，若中存在小于的元素，则． 【解析】 【分析】（1）由集合与的定义和的性质求解； （2）（ⅰ）由已知可得，取，有，可证得结论； （ⅱ）由（ⅰ）可知，是实数集上的连通开集，，证明不可能同时包含小于的点和大于的点，且大于的实数均属于或小于的实数均属于． 【小问1详解】 的函数值只取决于，当增大时，函数值严格增大．所以 因此，对于任意，均有 ，． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年学术能力测试 中国·商洛（2026.8.6） 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔，将答案写在答题卡对应答题区域内．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 4．本卷共19题，满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则在复平面上对应的点到原点的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，其中，，若，，则可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则曲线在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷3次，记第次正面向上的点数为，，，则的所有可能抛掷情况数为（ ） A. 96 B. 54 C. 48 D. 32 6. 已知，下列说法中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合．其两个子集，，对任意的，，存在，使得，则的最大值为（ ） A. 100 B. 110 C. 121 D. 132 8. 2026年8月6日，2026年学术能力测试如期举行，二百余名全国各地学子共赴一场意蕴悠长的数学雅集．营中学子甲、乙、丙三人籍贯各不相同，且彼此清楚对方家乡属地．三人各撷两句古典诗章，分别描摹余下二人故里风物．已知三人的表述有三种结果：一人的两句话全部为真，一人的两句话全部为假，剩余一人的两句话一真一假． 甲言：乙之乡邦，恰合“白日地中出，黄河天外来”所咏之地；丙之故土，正应“城阙辅三秦，风烟望五津”所指之域． 乙云：甲之故里，正是“秦时明月汉时关，万里长征人未还”所咏边关；丙之桑梓，恰为“春风得意马蹄疾，一日看尽长安花”所赋古都． 丙言：甲之故土，可观“洛阳城里花如雪，陆浑山中今始发”的烂漫春色；乙之故园，可瞻“黄河远上白云间，一片孤城万仞山”的苍茫景致． 下列诗句依次对应甲、乙、丙家乡的是（ ） A. 洛水桥边春日斜，碧流清浅见琼砂；汉家旌帜满阴山，不遣胡儿匹马还；长安回望绣成堆，山顶千门次第开 B. 洛阳三月花如锦，多少功夫织得成；东风吹雨过青山，却望千门草色闲；居延城外猎天骄，白草连天野火烧 C. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还；若问古今兴废事，请君只看洛阳城；冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲 D. 一上高城万里愁，蒹葭杨柳似汀洲；回乐烽前沙似雪，受降城外月如霜；天津桥下冰初结，洛阳陌上人行绝 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分．在每小题给出的选项中，有多个项目符合题目要求．全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 高斯函数表示不超过实数的最大整数，已知函数（为大于0的实数），下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 无论为何值，恒过定点 C. 存在，使为奇函数 D. 在上单调不减 10. 在中，角，，的对边为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，，使为等边三角形 B. 存在，，使为直角三角形 C. 存在，，使为锐角三角形 D. 存在，，使为钝角三角形 11. 已知，，定义，下列表述不正确的是（ ） A. 有最小值 B. 无极大值 C. 对任意，都有， D. 不存在实数，使得直线与有四个交点，其横坐标从小到大依次为，，，，且，，，成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，则________． 13. 已知在等腰中，．过点作外接圆的切线，交的延长线于点．若．则________． 14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点．为的中位三角形，其中，，分别为三边，，的中点．以为底面，将，，分别沿，，向上折起，使得，，三点重合，记为点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤． 15. 网络热词是依托互联网社交、短视频平台诞生，兼具简洁性与情绪表达功能的特色词汇，当下在高中生群体中传播广泛，常被用于课间交流、线上聊天．秦韵调研小组整理得到20个高中生高频网络热词：6、尊嘟假嘟、emo、破防、老六、包的包的、搭子、下头、拿捏、栓Q、我嘞个豆、内耗、摆烂、活人感、松弛感、惜己模式、夯爆了、偷感很重、大冤种、前途一片大专．现将20个词汇按使用倾向分为两类： A类（正向社交用语）：用于夸赞他人、友好邀约、舒缓情绪、正向交流： B类（负面情绪用语）：用于抒发焦虑、负面感慨、消极自我调侃， （1）按照你的理解，将题干所给的20个词及数量按要求填入表格． 词语类型 词语（可简写首字） 词语数量 你的常用词 常用词数量 A类 B类 事件A：词语为A类．事件B：词语为B类．事件C：词语为你的常用词．求，． （2）现采取分层抽样从类和类词语中共抽取（m值由你给定，即在解答中先写出你所给的值）个词，再从这个词中抽取3个．用随机变量表示抽取到的类词的数量，求随机变量的分布列及数学期望． 16. 已知数列的前项和为，， （1）若为等差数列，求的取值范围； （2）若为等比数列，其公比为，求的取值范围． 17. 在圆锥中，是圆锥顶点，是底面圆圆心，圆锥的高为3．母线长为5．是底面圆的一条直径，点在底面所在的平面内，且．于． （1）求证：平面平面； （2）当异面直线与夹角的余弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知双曲线：，是双曲线第一象限上一点，过点的切线交轴于．过点且垂直于的直线依次交的左右两支于，两点，点与关于原点对称，直线，分别交轴于，两点． （1）是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由； （2）求证：，，，四点共圆；，，，四点共圆； （3）是否存在点，使得圆和圆的圆心距为20260806． （参考公式：双曲线在点处的切线方程为：．） 19. 设函数的定义域为．对于任意正实数，定义，． （1）若，对任意给定正实数，求集合与． （2）设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $