专题04 矩形的性质与判定重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

专题04 矩形的性质与判定重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】..........................................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】.......................................................................................................5 【题型3 根据矩形的性质求面积】...........................................................................................................9 【题型4 利用矩形的性质证明】..............................................................................................................14 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】......................................................................................................19 【题型6 矩形与折叠问题】.....................................................................................................................24 【题型7 矩形的判定定理理解】..............................................................................................................29 【题型8 证明四边形是矩形】..................................................................................................................31 【题型9 添一条件使四边形是矩形】.......................................................................................................35 【题型10 根据矩形的性质与判定求解】.................................................................................................38 【题型11 求平行线间的距离】.................................................................................................................44 【题型12 利用平行线间距离解决问题】..................................................................................................46 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用矩形对角线相等且互相平分的性质，结合求出和的度数；再根据得到，在直角三角形中求出的度数． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，． ∵ ∴． 在 中，， ∴ 为等腰三角形． ∵ ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是利用矩形对角线的性质得到等腰三角形，再结合直角三角形的两个锐角互余求出角度． 3．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 4．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 5．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质（矩形的四个角都是直角）以及同角的余角相等这一知识点，通过矩形性质得到直角，再利用角的关系求解．理解矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出相关角的度数，再通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解： 四边形是矩形， 又四边形是矩形， ， ，由， ． 故选：． 6．将两个矩形按如图放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 1．如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据直角三角形所对的边是斜边的一半解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴矩形对角线的长为2． 故选：B ． 2．如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，根据，解答即可． 【详解】解：设的交点为O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质应用、三角形全等、勾股定理，结合三角形全等、勾股定理进行计算是解题的关键． 根据四边形是矩形，，，证明，即可得到，进而得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，设为， 由勾股定理可得：，即， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等，由全等图形的性质可证，即得到，，进而可得是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵矩形和矩形全等， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 5．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则的长度为（   ） A． B．5 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，连接．利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 1．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质，得到轴，轴，进而得到点坐标，求出的长，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，轴，轴， ∵点B的坐标为，点D的坐标为， ∴， ∴， ∴矩形的面积是； 故选B． 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质推出，，求出，根据矩形的面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点H， 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 故选：A． 3．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质及三角形面积，熟练掌握矩形的性质是解题关键．连接，根据矩形的性质得出，由图可知，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵长方形的面积为， ∴， 由图可知， ∴，即， 解得：． 故选：A． 4．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 5．如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形，三角形面积．熟练掌握矩形性质，三角形面积公式，是解题的关键． 为了便于表示添加了两条线段和四个点（如图），要比较阴影部分的总面积与空白部分总面积，需要利用三角形的面积公式空白部分总面积＝三角形的面积+三角形的面积，阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积，然后进行比较． 【详解】解：根据题意和三角形的面积公式得： 空白部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 阴影部分的总面积＝三角形的面积+三角形的面积 ； 由题意和图可知：， 所以阴影部分的总面积＝空白部分的总面积； 故选：C． 6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，证明四边形是平行四边形是解题的关键．证明四边形是平行四边形，根据含角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解： 由题意可得，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形的面积为， 故选：D． 【题型4 利用矩形的性质证明】 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的对角线相等． 根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，故C符合题意， 而A、B、D根据矩形的性质均不能证明，故不符合题意 故选：C． 2．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 4．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （2）由得四边形是菱形，即得，再利用矩形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ∵，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，且，求． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先利用“”证，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得 ，即可得到 结合即可解答． 【详解】（1）证明: ∵四边形是矩形, ∵, ∴, 又∵, ∴, ∴, 又∵, ∴, ∴． （2）解：, ∴, , , ． 6．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）在矩形中，，，由平行线的性质可得，由题意可得，再利用“”证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，再由勾股定理可得，即可得解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ． 在中，， ∴ ． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 1．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环，进而得到旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同，根据旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上，且，即可求解． 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，坐标规律题，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，每秒的速度顺时针旋转，故，故8秒完成一个循环， ，即旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标与旋转1秒时相同， 对角线在第一象限的角平分线上， 得到旋转1秒时，恰好落在x轴的正半轴上， 根据矩形的性质，得， 故点所对应的点的坐标为． 故选：B． 2．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形．根据点的坐标得出，根据勾股定理求得，设，则．在中，由勾股定理，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，， 由折叠的性质，可知，， ． 设，则．在中，由勾股定理， 得， 解得． 点的坐标为， 故选B． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 5．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______． 【答案】 【分析】过点作，过点作，并延长交延长线于点，设，根据三角形全等得到，则，求出直线解析式，代入点求出，即可求解． 【详解】解：过点作，过点作，并延长交延长线于点，如下图： 则，∴， ∴ 在矩形中，， ∴ ∴四边形为矩形 ∴，， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， 设，则， 设直线解析式为 由题意可知，代入得，，解得， 又∵点在直线上，∴ 解得，即 ∴ ∴点坐标为 故答案为 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意，作出合适的辅助线，利用有关性质求解． 【题型6 矩形与折叠问题】 1．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据折叠的性质得出，从而可得，再利用勾股定理列出关于的方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 在中， ∴ 解得：， 故选：B． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是结合折叠的性质与长方形对边平行的性质，通过角度间的数量关系推导的度数． 【详解】解：如图， 长方形纸片沿折叠，设折叠后与对应的角为，根据折叠性质可知：，． 长方形对边互相平行，折叠后原长方形的边仍保持平行关系． 可得 即． ． 故选：D． 3．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由通过折叠得到可得：，，推出，由矩形通过折叠得到矩形可得：，得到为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由通过折叠得到可得：，， 则， 由矩形通过折叠得到矩形可得：， ，， 为等腰直角三角形， ， ， 故选：D． 4．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，由勾股定理得出，从而可得，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 5．如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．若，，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】过点M作于点H，证明四边形是矩形得，，由折叠性质得，，，由此依据“”判定和全等得，，则，在中，由勾股定理求出即可得出的长． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， 四边形是长方形，且，， ， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， ，， 在和中， ， ， ， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 即的长为5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各性质的综合运用是解决问题的关键． 6．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，当线段有最小值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形中的折叠问题，根据矩形的性质和折叠的性质，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．根据矩形的性质得到的长，由勾股定理求得的长，折叠的性质求得的长，再利用两点间线段最短得出当在上时，线段长的最小值为，在中根据勾股定理列方程求得的长，从而得到点P的坐标． 【详解】解：连接， ∵点的坐标为，由题意可知：，，， ∴， 由折叠可知：，， ∵，即， ∴当在上时，线段长的最小值为， 如图： 将沿折叠，使点C恰好落在对角线上Q处， 设，则，， 在中，， ， 解得， ∴P点的坐标为， 故选：B． 【题型7 矩形的判定定理理解】 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理，逐一分析各选项的方案是否能判定该四边形为矩形． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴A选项错误； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，∴B选项错误； ∵一组对角为直角的四边形，另外两个内角和为，但这两个角不一定都是直角，无法判定为矩形，∴C选项错误； ∵四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，四个角都是直角的四边形是矩形，∴D选项正确； 故选：D． 2．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 3．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 4．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【答案】对角线相等的平行四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键． 先明确平行四边形的性质，再根据对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，判断该平行四边形是否为矩形，从而得出侧边与上下底垂直的结论． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 若对角线， 则平行四边形是矩形， 其数学依据是对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形． 【题型8 证明四边形是矩形】 1．如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，再根据，由平行线的性质得，即可证明，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）证出四边形是平行四边形，再由得，则可得出结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，于点D， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的判定、等腰三角形的性质、平行线的性质，先根据等腰三角形的三线合一性质得到，再结合平行线的性质和垂直定义得到，进而根据矩形的判定可得结论． 【详解】证明：在中，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 3．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 4．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 5．如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点O在中点时，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，掌握等腰三角形和矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，得到相等角，利用等角对等边得到线段的相等关系即可； （2）一个四边形是矩形的前提是该四边形是平行四边形，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，确定点O的位置，再通过角平分线的性质得到直角即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，可得， ∴； （2）解：当点O为的中点时，四边形是矩形， 理由：当点O为的中点时，， 又由（1），得， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 1．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形这一判定方法是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项能否判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴不能判定为矩形． 选项B： ∵是边长与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项C： 是边与对角线的数量关系， ∴不能判定平行四边形为矩形． 选项D： ∵， ∴平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故选：D． 2．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，要把变成矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形即可求出． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∵，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形， ∴四边形 是矩形， ∴需要添加的条件是：； 故选：B． 4．如图，在中，点在边上，，，当___________时，四边形是矩形． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，结合矩形的判定，可得． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形． 故答案是：． 【题型10 根据矩形的性质与判定求解】 1．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 2．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 3．如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 4．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.4 【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性质推出，由勾股定理的逆定理判定是直角三角形， （1）由平行四边形的性质推出，，得到，判定四边形是平行四边形，而，即可证明四边形是矩形． （2）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由三角形面积公式得到，即可求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：由（1）知：四边形是矩形，又， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积， ∴， ∴． 5．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据等腰三角形的性质得，再根据平行线的性质得，然后根据，可得，即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质求出，再根据勾股定理得，然后根据矩形的性质得，，最后根据三角形的面积相等得出答案． 【详解】（1）证明： 中，，平分， ，， ，， ，， 四边形是矩形； （2）解：，平分，，， ． 在直角三角形中，由勾股定理得：． 四边形是矩形， ，． ， ． 6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【题型11 求平行线间的距离】 1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 2．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 3．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 4．如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形面积公式和点到直线的距离，根据三角形面积公式求出点A到的距离，即可求得与之间的距离． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∴， 设点A到的距离是h， ∴， ∴， ∴， ∵点A到的距离是1，， ∴与之间的距离为：， 故选：A． 【题型12 利用平行线间距离解决问题】 1．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴设和之间的距离为h， ∴，，， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，同理可得，设之间的距离为，然后将面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由，设之间的距离为， 则， ∴ ∴， 故选：D． 3．如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，平行线间的距离，掌握含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离是解题的关键．分别作于E点，于F点，则有，根据含的直角三角形的性质，等腰直角三角形和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：如图，分别作于E点，于F点，    ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：D． 4．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点B作于E，于F，由题意得，，，则可证明四边形是平行四边形，得到，由等面积法可得，则，求出，得到，由勾股定理可得，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于E，于F， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴它们重叠部分的面积为， 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 矩形的性质与判定重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】..........................................................................................................1 【题型2 根据矩形的性质求线段长】.......................................................................................................3 【题型3 根据矩形的性质求面积】...........................................................................................................4 【题型4 利用矩形的性质证明】..............................................................................................................5 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】......................................................................................................7 【题型6 矩形与折叠问题】.....................................................................................................................8 【题型7 矩形的判定定理理解】..............................................................................................................10 【题型8 证明四边形是矩形】..................................................................................................................11 【题型9 添一条件使四边形是矩形】.......................................................................................................12 【题型10 根据矩形的性质与判定求解】.................................................................................................13 【题型11 求平行线间的距离】.................................................................................................................15 【题型12 利用平行线间距离解决问题】..................................................................................................16 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，，则的大小是（    ） A． B． C． D． 3．在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．将两个矩形按如图放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 1．如图所示，矩形的对角线相交于点，，则矩形对角线的长等于（    ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 3．如图所示，在矩形中，点在边上，于点，若，，则线段的长为（   ） A． B．4 C． D． 4．如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案，点在上，已知矩形的长为，宽为，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线分别与，，交于点，，．若，，则的长度为（   ） A． B．5 C．4 D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 1．如图，已知矩形的两边分别平行坐标轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 2．如图，在矩形中，对角线与相交于点O．若，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D．32 3．如图，长方形的面积为，那么三角形的面积是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 5．如图内，P点是长方形内任意的一点．阴影部分的总面积与空白部分的总面积比较（　　） A．阴影部分的面积大 B．空白部分的面积 C．一样大 D．无法确定 6．两张全等的矩形纸片，按如图所示的方式交叉叠放，，．与交于点G，与交于点H，且，则四边形的面积为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【题型4 利用矩形的性质证明】 1．如图，在矩形中，对角线和相交于点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 3．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 4．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 5．如图，在矩形中，点在上，，，垂足为点． (1)求证：； (2)若，且，求． 6．如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型5 求矩形在坐标系中的坐标】 1．如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从如图所示的位置开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转的第2025秒时，点所对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(    ) A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 5．如图，平面直角坐标系中，长方形，点，分别在轴，轴的正半轴上，，，，，分别交，于点，，且，则点坐标为______． 【题型6 矩形与折叠问题】 1．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D． 2．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，矩形纸片中，，，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段长为（   ） A．8 B．5 C． D． 4．如图，折叠长方形纸片，使得点D落在边上的点F处，折痕为，已知，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 处，与交于点．若，，则的长度为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 6．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴上，顶点的坐标为，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为点，连接，当线段有最小值时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【题型7 矩形的判定定理理解】 1．数学课上，老师让班里的学生判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位学生拟定的方案，其中正确的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否都为直角 2．如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 3．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 4．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是_____________________． 【题型8 证明四边形是矩形】 1．如图，在中，，于点D，过点A作且，连接，，与交于点E． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形． 2．如图，在中，，平分，，．求证：四边形是矩形． 3．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 4．如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 5．如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【题型9 添一条件使四边形是矩形】 1．如图，在下列条件中，能够判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，对角线相交于点，要把变成矩形，需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，点在边上，，，当___________时，四边形是矩形． 【题型10 根据矩形的性质与判定求解】 1．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 2．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 3．如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 4．如图，在中，于点E，延长至点F，使，连接，与交于点O． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 5．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于，若，，求的长． 6．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型11 求平行线间的距离】 1．已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 3．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（  ） A． B．2 C． D．3 【题型12 利用平行线间距离解决问题】 1．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，四边形中，，则的长为（　　）    A．12 B． C． D． 4．如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（    ） A． B． C．2 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $