专题02等腰三角形重难点题型汇编（八大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题02 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................1 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................2 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................2 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................4 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................5 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................7 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................8 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 2．等腰三角形的周长为15，一边长为6，则另一边长为（    ） A．9 B．6 C．3 D．3或4.5 3．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（　　） A．1 B．1 C．1或 D．1 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 5．如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．已知等腰三角形一个角的度数是50°，则该等腰三角形底角的度数为（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80° 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 3．若等腰三角形有一个外角为，则这个等腰三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 ，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 5．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时，___________． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 2．若等腰三角形的一个角为，则底角为________． 3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为α，则α的度数为___________． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 2．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．且，P点为坐标轴上的点，若为等腰三角形．则满足条件的P点的个数为（　　） A．6 B．8 C．9 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 5．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数是（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 6．如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿以的速度运动，点P，Q同时出发．设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或3或4 D．2或4 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（   ）． A． B． C． D．或 3．如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. (1)_____cm；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ (3)当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 2．如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 3．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 4．如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 5．在边长为8的等边三角形中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，当t取何值时？ (2)若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（在图2中画出示意图）． (3)如图3，将边长为的等边三角形变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且，，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，直接写出a的值． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等腰三角形重难点题型汇编 【题型1 腰和底不明时需分类】............................................................................................1 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】.....................................................................................3 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】.....................................................................................7 【题型4 等腰三角形个数的讨论】.......................................................................................10 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】..............................................................................15 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】..............................................................................19 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】....................................................29 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】......................................................34 【题型1 腰和底不明时需分类】 1．若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，边分为腰和底两种情况讨论，再根据构成三角形的条件取舍即可解答． 【详解】当是等腰三角形的底边时，则其腰长是(10-2)÷2=4，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是10-2×2=6，不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为. 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件等知识点，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 2．等腰三角形的周长为15，一边长为6，则另一边长为（    ） A．9 B．6 C．3 D．3或4.5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况：当等腰三角形的腰长为6时；当等腰三角形的底边长为6时，然后分别进行计算即可解答．分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为6时， 等腰三角形的周长为15， 等腰三角形的底边长； 当等腰三角形的底边长为6时， 等腰三角形的周长为15， 等腰三角形的腰长； 综上所述：等腰三角形的周长为15，一边长为6，则另一边长为3或， 故选：． 3．已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则三角形的周长为（　　） A．1 B．1 C．1或 D．1 【答案】C 【分析】分是腰长和底边两种情况讨论求解． 【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长为， 是底边时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长为， 综上所述，此三角形的周长是或． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 4．等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 分边长为的边为腰和底边两种情况，结合构成三角形的条件进行求解． 【详解】解：①当边长为的边是腰时，则另一腰长为，底边长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； ②当边长为的边是底边时，则腰长为， 此时三角形的三边分别为， 满足任意两边之和大于第三边（，，）， 能组成三角形，符合题意； 故底边长为或． 故答案为：或． 5．如果一个等腰三角形的一边长为，周长为，那么这个等腰三角形的底边长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质，腰长相等，周长为，一边长为，可能为腰长或底边长，结合三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：若腰长为，则底边长为 ， 验证三角形三边关系：，成立； 若底边长为，则腰长为， 验证三角形三边关系：，成立； 这个等腰三角形的底边长为或， 故答案为：或． 【题型2 顶角和底角不明时需讨论】 1．已知等腰三角形一个角的度数是50°，则该等腰三角形底角的度数为（　　） A．50° B．65° C．50°或65° D．50°或80° 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可求解，解题的关键是熟知等腰三角形的两底角相等． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数＝； ②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为， 故它的底角度数是或． 故选：C． 2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形底角的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】在等腰中，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出． 【详解】解：在等腰中，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， ∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴； 当在外部时，如图2， ∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 3．若等腰三角形有一个外角为，则这个等腰三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质，分两种情况，利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：若等腰三角形的一个底角的外角为，则底角的度数为， ∴顶角的度数为； 若等腰三角形的顶角的外角为，则顶角的度数为， 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故选：D． 4．如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．当是等腰三角形时，的度数为____ ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得的度数，是等腰三角形，分情况讨论：①时，②时，③时，分别求解即可． 【详解】解：， ， ， ，是等腰三角形， 分情况讨论：①时，， ，此时D点与B点重合，不符合题意； ②时，， ； ③时，， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 5．如图，在中，，，为线段上一动点，当为等腰三角形时，___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，熟练掌握分类讨论等腰三角形的腰（或底）的情况是解题的关键．先求出的度数，再分三种情况讨论为等腰三角形时的可能值． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 情况1：当时， ∵， ∴， ∴， 情况2：当时， ∵， ∴，此时，点P不在线段上，不符合题意，应舍去； 情况3：当时， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【题型3 涉及中线、高位置的讨论】 1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角为______°． 【答案】50或130 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， ∴； 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：50或130． 2．若等腰三角形的一个角为，则底角为________． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，由于等腰三角形的一个角为，但未指明是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：当是顶角时，底角为；当是底角时． 【详解】解：分以下两种情况： 情况一：若是顶角，则底角为； 情况二：若是底角，则另一个底角也为． 因此，底角为或． 故答案为：或． 3．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，设这条高与等腰三角形底边上的高所在的直线的夹角中，有一个锐角为α，则α的度数为___________． 【答案】70°或20° 【分析】分为两种情况，分别画出图形，根据等腰三角形性质求出∠C＝∠ABC，可得∠EBC＝∠ABC50°＝∠C50°，根据∠BEC＝90°求出∠C，进而可求出∠EBC，然后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：分为两种情况： ①如图1， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠ABE＝50°， ∴∠EBC＝∠ABC50°＝∠C50°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C＋∠EBC＝90°， ∴∠C＋∠C50°＝90°， ∴∠C＝70°， ∴∠EBC＝70°50°＝20°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴α＝∠BFD＝90°∠EBC＝90°20°＝70°； ②如图2， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC， ∵∠ABE＝50°， ∴∠EBC＝∠ABC＋50°＝∠C＋50°， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C＋∠EBC＝90°， ∴∠C＋50°＋∠C＝90°， ∴∠C＝20°， ∴∠EBC＝20°＋50°＝70°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴α＝∠BFD＝90°∠EBC＝90°70°＝20°； 故答案为：70°或20°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，关键是求出∠C和∠EBC的度数． 【题型4 等腰三角形个数的讨论】 1．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A，B是两格点，使得为等腰三角形的格点C的个数是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：如图： 分三种情况： ①当时，以点A为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ②当时，以点B为圆心，以长为半径作圆，则点即为所求； ③当时，作的垂直平分线，则点，，，即为所求， 综上所述，使得为等腰三角形的格点C的个数是6个． 故选：C． 2．如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 3．且，P点为坐标轴上的点，若为等腰三角形．则满足条件的P点的个数为（　　） A．6 B．8 C．9 D． 【答案】D 【分析】由且得出m的值，再分为等腰三角形的底边和腰两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 若，则满足条件的点有4个；如图：    若，则满足条件的点有3个，如图：    若，则满足条件的点有3个，如图：    ∴满足条件的P点的个数为个， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是要考虑到m的值有两个，等腰三角形的三种情况都有考虑到． 4．如图，在平面直角坐标系中，已知，，若点在轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点的个数是（   ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形、等腰三角形的定义．根据等腰三角形的定义，分别以为圆心，为半径画圆，以为圆心，为半径画圆，作的垂直平分线，它们分别与轴的交点即为点的位置． 【详解】解：∵，， ∴， 如图： 以为圆心，为半径画圆，交轴于，得到以为顶点的等腰， 以为圆心，为半径画圆，交坐标轴于，，得到以为顶点的等腰，， 作的垂直平分线，交坐标原点于，得到以为顶点的等腰， 综上所述，符合条件的一共有4个， 故选：C． 5．如图，坐标平面内一点，O为原点，P是坐标轴上一点，如果以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的点P的个数是（    ）个 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰． 【详解】解：如图： ①OA为等腰三角形底边，符合条件的动点P有2个； ②OA为等腰三角形一条腰，符合条件的动点P有6个． 综上所述，符合条件的点P的个数共8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解． 6．如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿以的速度运动，点P，Q同时出发．设运动时间为，当是等腰三角形时，的值为（   ） A．2 B．4 C．2或3或4 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定，关键是注意分类讨论． 根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点在线段上时；（2）当点在的延长线上时．分别列式计算即可求． 【详解】解：分以下两种情况： （1）当点在线段上时，，， 当是等腰三角形时， ， ， 是等边三角形， ，即， 解得； （2）当点在的延长线上时，此时，，， 当是等腰三角形时，只能， ， 解得， 故选：D． 【题型5 等腰三角形中动点引起的分类】 1．如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，坐标与图形性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点的运动时间是，则，，然后分两种情况：当点在点左边时或当点在点右边时，列方程，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，， ，， ， 设点的运动时间为， 点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ，， 当点在点左边时，如图， △是等腰三角形，， △是等边三角形， ， ， 解得：， ， ， 此时点的坐标为； 当点在点右边时，如图， ， ， 是等腰三角形， ， ， 解得：， ， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 2．如图，在中，，，点E在边上运动（点E不与A，B重合），作，使交边于点D，连接．在点E的运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，的度数为（   ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，数形结合，分类讨论，①如图所示，；②如图所示，；由此即可求解，解题的关键是正确分类，熟练等腰三角形的判定和性质． 【详解】解：∵，， ∴，则， ①如图所示，，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，，即是等腰三角形，    ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 故选：D 3．如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. (1)_____cm；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ (3)当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)12或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，涉及方程思想及分类讨论思想等思想方法．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴，， ∵当点在上运动时，是等腰三角形， ∴， 则；解得：； ∴当秒时，是等腰三角形； （3）∵点在边上运动时， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ①当，则，解得； ②当，中，， 则是斜边的中线， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，的值为12或11. 【题型6 ：等边三角形中动点综合问题】 1．如图，在中，，点在线段上运动（点不与点重合），连接，作交线段于点． (1)当时，求的度数． (2)当线段的长度为何值时，？并说明理由． (3)若在点的运动过程中，点在上也随着运动，始终保持，那么和同时为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）根据题意和平角算出，再根据等边对等角算出，最后根据三角形外角的性质即可求解； （2）根据等边对等角得出，当时，得出，根据三角形内角和定理求出，即可得出． （3）分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）解：当线段的长度等于7时，． 理由：， ． ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：的度数为或． 分三种情况：①如图，当时， ， 则， ． ． ②如图，当时， 则， ， ， 此时． ③当时，， ，， ，不符合题意，舍去； 综上所述，和同时为等腰三角形时，的度数为或． 2．如图，在中，，，点P以的速度从B处向A处运动，同时点Q以的速度从A处向C处运动，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当运动时间为_______秒，是等边三角形． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，由题意得：，则，根据即可建立方程求解； 【详解】解：由题意得：， ∴； 若是等边三角形．则， ∴，解得； 故答案为： 3．（1）如图1，点P，Q分别是边长为的等边三角形的边上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿运动，且它们的速度都为． ①点P，Q运动多少时间是等边三角形？说明理由； ②连接交于点M，则P，Q运动的过程中，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； （2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线上运动，直线的交点为M，的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数． 【答案】（1）①当点P，Q运动时是等边三角形；②是定值，不会变化，理由见详解； （2），度数不会变化，理由见详解． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质． （1）①根据等边三角形的性质得到，结合题意，设运动时间为，则，由等边三角形的判定得到，由此列式即可求解； ②根据等边三角形的性质可证，得到，结合三角形外角的性质即可求解； （2）根据题意证明，得，再证明，得，最后等量代换即可求解． 【详解】解：（1）①∵是等边三角形， ∴， 设运动时间为， ∴，则， 当时，是等边三角形， ∴， 解得，， ∴当点P，Q运动时是等边三角形； ②是定值，不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P，Q运动的过程中，的度数不会变化； （2），度数不会变化，理由如下， ∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动． (1)经过多少秒，为等边三角形； (2)经过多少秒，为直角三角形． 【答案】(1)经过秒为等边三角形 (2)经过4秒或秒，是直角三角形 【分析】本题主要考查等边三角形的判定、直角三角形的性质及一元一次方程的应用，根据题意分类讨论且掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）设时间为，表示出、，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得； （2）分①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】（1）解：设经过秒，为等边三角形， 则， ， ∵是等边三角形， ∴， 当为等边三角形时，， 根据题意得：， 解得：， 答：经过秒为等边三角形； （2）解：设经过秒，是直角三角形， ①当时， ， ， ∴，即， 解得：； ②当时， ， ， ，即， 解得：， 答：经过4秒或秒，是直角三角形． 5．在边长为8的等边三角形中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． (1)如图1，若，当t取何值时？ (2)若点P从点A向点B运动，同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，为等边三角形（在图2中画出示意图）． (3)如图3，将边长为的等边三角形变换为AB，AC为腰，BC为底的等腰三角形，且，，点P运动到AB中点处静止后，点M，N分别为BC，AC上动点，点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动，同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动，当，全等时，直接写出a的值． 【答案】(1)t=2 (2)t= (3)1或 【分析】（1）根据是等边三角形，PQ//AC，得出 ，，证明出是等边三角形，即可得出； （2）需要进行分类讨论，当点Q在边BC上时，此时不可能为等边三角形；当点Q在边AC上时，若为等边三角形，则，然后求解； （3）当，全等时，分两种情况讨论，当时，当时，设经过秒后全等，，然后再分类讨论，进行计算． 【详解】（1）解：如图1 是等边三角形，PQ//AC， ，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题意可知：，则， ， 解得：， 故t的值为2时，PQ//AC． （2）解：如图2 ①当点Q在边BC上时， 此时不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若为等边三角形，则， 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， 故当秒时，为等边三角形； （3）解：如图3: ， 当，全等时，分两种情况讨论， 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， ， 解得：， 即时，，全等； 当时， 设经过秒后全等， ， 根据， 即， 解得：， ， ， 解得：， 综上：当，全等时，a的值为1或． 【点睛】本题考查了等边三角形、平行线的性质、三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握相应的定理，还需要利用分类讨论的思想进行求解． 【题型7： 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 【题型8： 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题】 1．如图1和图2，是边长为6的等边三角形，P是边上一个动点，Q是延长线上一点，当点P从点A出发向终点C运动时，点Q同时以与点P相同的速度由点B沿射线方向运动，过点P作于点E，连接交于点D． (1)过点P作交于点F，如图2，求证：是等边三角形； (2)在点P（不与点A，C重合时）与点Q的运动过程中． ①嘉嘉说：“点D始终是线段的中点．”你是否同意她的说法？说明理由； ②淇淇说：“线段的长度始终不变．”请你帮淇淇求出的长度； (3)当时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)①同意，理由见解析；②3 (3)1 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解一元一次方程，垂线的性质，平行线的判定，全等三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的性质等知识点，合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）根据得到，则，即可证明； （2）①过P点作，交于F，证明即可； ②由，得到，进而求得； （3）可得均为角直角三角形，设，，，在中，由角直角三角形性质得到，求出，在，再由角直角三角形性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵是等边三角形 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①同意她的说法，理由如下：如图， 过P点作，交于F， ∵， ∴， 由（1）知是等边三角形，且， ∴，， 由题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴ 即D为中点； ②点在运动过程中，线段的长不发生变化，， 理由如下：∵ ∴， ∴， ∴点在运动过程中，线段的长不发生变化，； （3）解：∵，， ∴， ∴， 设， ∵等边三角形边长为 ∴，， ∴， 解得：， ∵，， ∴， ∴． 2．已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    【特例证明】 （1）如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：__________（填“>”、“<”或“=”）． 【类比探究】 （2）如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由． 解：__________（填“>”、“<”或“=”），理由如下： 过点作，交于点．（请你完成以下解答过程）． 【拓展运用】 （3）点在直线上运动，当时，若，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），过程见解析 （3）的长为3或6 【分析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出，求出，求出即可； （2）过作交于，求出等边三角形，证和全等，求出即可； （3）点在延长线上时，如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】解：∵点是等边的边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 过点作，交于点， ∵为等边三角形， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图3，点在上时，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图4，点在的延长线上时，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，三线合一，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $