专题01 三角形的内角和重难点题型汇编（六大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题01 三角形的内角和重难点题型汇编 【题型01 三角形的内角和定理】............................................................................................1【题型02 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】........................................................4 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................5 【题型04 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................8 【题型05 三角形折叠中的角度问题】...................................................................................11 【题型06 三角形的外角的定义及性质】..............................................................................13 【题型01 三角形的内角和定理】 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 2．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 3．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 4．阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作 ∵ ∴（______________________） 同理 ∵（________________） ∴（________________）    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    5．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 【题型02 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】 1．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A． B． C． D． 4．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 5．如图，在中，是的角平分线，点在边上（点不与点重合），与交于点． (1)若，是高，求的度数． (2)若，是角平分线，求的度数． 6．如图，中，、是角平分线，它们相交于点．（）， (1)试说明； (2)当是高，判断与、的关系，并说明理由． 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 6．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 7．在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 8．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【题型04 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图，的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，垂足为E，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝62°，β＝58°，则∠EMF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 5．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①：②；③；④平分；⑤．其中错误的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 8．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，直接写出、、之间的数量关系； (2)如图2，当点在延长线上时，求证：； (3)如图3，平分，交于点，交于点，且1，，，求的度数． 【题型05 三角形折叠中的角度问题】. 1．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．把如图的三角形纸片，沿所在直线折叠，使点落在四边形内部的点处，折痕为，则、、之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型06 三角形的外角的定义及性质】 1．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，、、的大小关系是（   ） A．B． C． D． 5．如图，______ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的内角和重难点题型汇编 【题型01 三角形的内角和定理】............................................................................................1【题型02 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】........................................................7 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】................................................................12 【题型04 与平行线有关的三角形内角和问题】....................................................................24 【题型05 三角形折叠中的角度问题】...................................................................................33 【题型06 三角形的外角的定义及性质】..............................................................................37 【题型01 三角形的内角和定理】 1．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360° C．直角三角形的两个锐角互余D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答． 【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角， 即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理． 故选：A． 2．为了证明“三角形的内角和是”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法．回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是”的方法是______（请填写序号）； (2)在（1）的正确方法中，任意选择其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)选择图①，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行线的性质和三角形内角和定理，牢记平行线的性质是解题的关键． 证明“三角形的内角和是”的方法均是将三角形的三个内角的和转化为平角． 【详解】（1）①②③ （2）当选择图①时，证明：如图． ． ， 三角形的内角和为． 当选择图②时， 证明：． ， ，三角形的内角和为． 当选择图③时，证明：， ． ， ∴三角形的内角和为．（答案不唯一，选择一种方法证明即可）． 3．在探索三角形内角和定理时，彭老师启发同学们讨论． 如图，已知是的内角，求证：． 小颖、小星、小红三位同学分别得到以下三种方法： 小颖作的辅助线如图①，过点作；小星作的辅助线如图②，作的延长线，作；小红作的辅助线如图③，作； 请你认真阅读思考并完成如下问题： (1)请从小颖、小星、小红三位同学中选择一种方法来证明，写出完整的证明过程． (2)在图2中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明： （1）利用平行线的性质即可证明； （2）利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：选择小星的作图进行证明 ， ， ， ； 选择小颖的作图进行证明： ， ， ， ； 选择小红的作图进行证明： ， ， ， ； （2）证明： ， ， 即． 4．阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于． 我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如下图两种方法．    欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于．证明过程如下： 已知：如图，． 求证：． 证明：如图，过点作 ∵ ∴（______________________） 同理 ∵（________________） ∴（________________）    (1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； (2)由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于的另一种证法，请你完成．    【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换 (2)见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得，，再根据平角定义得，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于； （2）过点作，延长到，根据平行线的性质得，，再根据平角的定义得，进而可得出三角形内角和等于． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∵ ∴（两直线平行，内错角相等） 同理 ∵（平角定义） ∴（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角定义；等量代换；    （2）如图，过点作，延长到 ∴， ∵ ∴    5．数学活动：一数学活动小组在完成课本习题时，一同学说根据平行线的性质推理证明“三角形的内角和等于180”，下面请你帮助该同学用不同方法完成该命题推理证明． (1)如图①，在三角形中，直线经过点，，试推理说明； (2)如图②，在三角形中，点在边上，过点作交于点，作交于点，试推理说明； (3)如图③，在三角形中，用不同于（1）（2）方法，试推理说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明； （1）如图，过点作，依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． （2）根据平行线的性质，将三个内角转化为，根据平角的定义，即可求得证； （3）作的延长线，过点作射线 ．根据平行线的性质得出＝，＝，进而根据平角的定义，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点A作，    则，．(两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， （3）证明：作的延长线，过点作射线 ． ＝，＝ ＋＋＝ ＋＋＝ 【题型02 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】 1．如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角的性质等，关键是角的转换； 先由求出，再根据角平分线求得，进而可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，在中，是的一条角平分线，是的边上的高，，相交于点O．若，，则的度数是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．由三角形的内角和可求得，再由角平分线求得，再结合是高，从而可求的度数，根据三角形内角和定理，即得解． 【详解】解：∵，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． (1)当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； (2)当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高． （1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，接着计算出，然后计算即可． 【详解】（1）解：∵为边上的高，的面积为24， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，是的角平分线，点在边上（点不与点重合），与交于点． (1)若，是高，求的度数． (2)若，是角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，三角形的外角定理，三角形的内角和定理，熟练运用三角形的角平分线的定义，三角形的外角定理解题是本题的关键． （1）根据三角形的角平分线的定义求出的度数，再根据三角形的外角定理即可求解； （2）根据三角形的角平分线的定义得到，再根据三角形的内角和定理得到即可求解． 【详解】（1）解：在中，为角平分线， ， 为高， ， ； （2）， 在中，为角平分线，为角平分线， ， ， 在中， 6．如图，中，、是角平分线，它们相交于点．（）， (1)试说明； (2)当是高，判断与、的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出是解决问题的关键． （1）先利用三角形内角和定理和角平分线的定义求得，以及，即可得出结论； （2）根据角平分线定义可求，然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出即可． 【详解】（1）解：∵中，、是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：．理由如下： ∵，是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型03 与角平分线有关的三角形内角和问题】 1．如图，在中，，是角平分线，且，相交于点，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵在中，，是角平分线，且，相交于点， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，平分，平分的外角，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，由角平分线的定义可得，，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在中，，，平分，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：，， ，， ， 又， ， ， ， ，故正确； ，，而， ， 即，故正确； ， ， ∴， ， 若， 则需， 设， 即需， 则， 即只有当时，B结论成立．但题目没有此条件，故错误； ， ． 和的平分线交于点， ． ， ， ， ，故正确． 故选：． 【点睛】 4．如图，，，，分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定与性质．根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故②不正确； ③在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 故正确的结论有①③④． 故选：C． 5．在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．根据三角形内角和定理，外角的性质，角平分线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：由条件可知， ，， ，， 故③正确，符合题意； 由条件可知，， ，， ， ， 故④正确，符合题意； ，，， ， 平分，平分， ，， ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， ， 故①正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 6．在中，与的平分线相交于点． (1)如图1，试探究与的数量关系； (2)如图2，作外角的平分线，交于点．请分别写出与，与的数量关系，不需要证明； (3)如图3，延长线段，交于点．在中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接用（1）和（2）中的相关结论求的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解即可． （2）证明，可得结论． （3）首先证明，分3种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，与的平分线相交于点， ， ， ； （2）解：；，理由如下： 理由：如图②中，外角，的角平分线交于点， ， ， ， ； （3）解：如图，延长至， 平分， ， ，， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ， ， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分3种情况： ①，则，， ②，则，； ③，则， 综上所述，的度数是或或． 7．在中，已知． (1)如图（1），角平分线和相交于点M，求的度数． (2)如图（2），外角平分线和相交于点N，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义． （1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解； （2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到． 【详解】（1）解：， ， ∵平分 平分， ， ， ， ， ， 当时，； （2）解：， ∵平分 平分， ， ， ∵， ， ∵， ， 即． 当时，． 8．如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若与相交于点，，请直接写出，所满足的数量关系式； (3)如图，若，判断，的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． （1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：四边形的内角和为， ， 和是四边形的外角， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，， 、分别平分四边形的外角和， ， ， ， 在中，， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为； （3）解：． 理由：如图，过点作，    则， ， 由（1）知， ， ， 又、分别平分和， ， ， 又， ， ， 又， ． 【题型04 与平行线有关的三角形内角和问题】 1．如图，的直角顶点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据平行线的性质得出的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵，， ， ， ． 故选：B． 2．如图，，，垂足为E，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 4．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG、FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若α＝62°，β＝58°，则∠EMF的度数为（　　） A．57° B．58° C．59° D．60° 【答案】D 【分析】根据平行线的性质得到∠DEG＝α＝62°，∠AFH＝β＝58°，由折叠得∠DEM＝2∠DEG＝124°，∠AFM＝2∠AFH＝116°，求出∠MEF和∠MFE，然后根据三角形内角和等于180°即可求出答案． 【详解】解：∵在长方形ABCD中，ADBC， ∴∠DEG＝α＝62°，∠AFH＝β＝58°， 由折叠得：∠DEM＝2∠DEG＝124°，∠AFM＝2∠AFH＝116°， ∴∠MEF＝180°－∠DEM＝56°，∠MFE＝180°－∠AFM＝64°， ∴∠EMF＝180°－∠MEF－∠MFE＝180°−56°－64°＝60°， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、三角形内角和定理，解决本题的关键是掌握三角形内角和等于180°． 5．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角．以下结论：①：②；③；④平分；⑤．其中错误的结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵AD平分∠EAC， ∴∠EAC=2∠EAD， ∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB， ∴∠EAD=∠ABC， ∴AD∥BC，∴①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，∴②正确； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90° ∴∠ADC=90°-∠ABD，∴③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC， ∴∠ADB不等于∠CDB，∴④错误； ∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC， ∴∠BAC=2∠BDC，即∠BDC=∠BAC，∴⑤正确； 即错误的有1个， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 6．两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 7．如图，，定点，分别在定直线，上，动点不在，，上． (1)当动点位于，之间时，如图②、图③，连接，，，，，之间满足怎样的数量关系？请说明理由； (2)当点在不同的位置时，请画出当，，三个角的其中一个角的度数等于另外两个角的度数之和时的所有示意图，并直接写出相应关系式，第（1）小题的关系式除外． 【答案】(1)或，理由见解析 (2)示意图有四种，见解析；图①和③关系式：， 图②和④关系式： ． 【分析】（1）①如题图②中，结论：．利用平行线的性质得到，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可．②如题图③中，结论：．利用平行线的性质，利用三角形的内角和定理得到，再根据角度的和差关系解决问题即可． （2）有四种情形，分别画出图形写出结论即可． 【详解】（1）解：第一种情况：如题图②，． 理由：， ， 即． ， ． 第二种情况：如题图③，． 理由：， ． ， ， 即． （2）解：如图，； 如图，； 如图，； 如图，． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 8．已知，，点为射线上一点． (1)如图1，直接写出、、之间的数量关系； (2)如图2，当点在延长线上时，求证：； (3)如图3，平分，交于点，交于点，且1，，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)0度 【分析】本题主要应用了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． （1）过作，根据两直线平行，内错角相等，即可得出； （2）设与交于点，根据是的外角，即可得出，进而得到； （3）设，则，进而得出，，再根据是的外角，可得，求得，即可根据三角形内角和定理，得到的度数． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：如图2，设与交于点， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴可设，则， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵1， ∴， ∵是的外角， ∴， 即， 解得， ∴， ∴中，． 【题型05 三角形折叠中的角度问题】. 1．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 2．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得的度数，由平角的定义可得的度数，再由折叠的性质可得的度数，据此由角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 故选：C． 3．如图，把纸片沿折叠，点落在四边形的外部，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形外角的性质，理解折叠前后对应角相等是解题关键．根据翻折的性质可得，再利用三角形外角的性质表示出，然后根据角的和差整理即可解答． 【详解】解：如图， 由题意可得，， 在中，， ， ， ， ，， ， 故选：A． 4．把如图的三角形纸片，沿所在直线折叠，使点落在四边形内部的点处，折痕为，则、、之间满足的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键． 连接，分别在、中，利用三角形的外角性质表示出；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论． 【详解】解：如图，连接， ∵沿折叠后，点的对应点为， ∴，，， 在中，， 在中，， ， 即. 故选：B． 5．如图，将沿翻折，使其顶点均落在点处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，延长交于点，根据折叠的性质得到，利用三角形内角和得到，结合三角形外角定理即可求． 【详解】解：延长交于点 将沿翻折，使其顶点均落在点处， ， ， ， ， 由三角形外角定理可知：， ， 即：， ， ， 故选：B． 【题型06 三角形的外角的定义及性质】 1．如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 2．如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵在中，是外角， ∴． ∵在中，是外角， ∴． 故选：C． 3．将一副三角板按如图所示位置摆放，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．先根据三角形的内角和得出，再利用可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 则， 故选：C． 4．如图，、、的大小关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． 根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：∵三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角， ∴，， 即． 故选：B． 5．如图，______ ． 【答案】180 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理． 根据三角形外角的性质得到，，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】解：如图， ，，， ． 故答案为：180． 1 学科网（北京）股份有限公司 $