模块七 平面解析几何（综合训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块七 平面解析几何综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为 由斜率公式得，故A错误； ，故B错误； 由斜率可得方向向量为，是直线方向向量，所以C正确． 直线方程为：，令得，即直线在轴上截距为，D错误. 2．已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据对称性，不妨设此时的圆心位于第一象限， 由于圆 的半径小于1，且与 外切，故圆的圆心也位于第一象限， 则，，且的半径为，且， 根据两圆外切，则，解得， 故选：C 3．若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 【答案】D 【详解】抛物线准线方程为，过点A作准线的垂线，垂足为B， 根据抛物线的定义可得，所以， 当P，A，B三点共线时，等号成立，所以的最小值为3+1=4. 故选：D 4．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设双曲线的右焦点，过第一象限的渐近线的方程为， 将代入到，得，即点， 将代入到，得，即点， 因为是线段的中点，则有，可得， 联立，整理得， 则双曲线的离心率. 5．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第一象限， 法一：如图，，过B作准线的垂线，垂足为，由，得，    则，即直线AB的倾斜角为，直线方程为，设， 由，得， 则，即以为直径的圆的半径为， 而中点到轴距离， 所以以线段为直径的圆被轴截得的弦长为. 故选：C 法二：记中点为M，分别过作准线的垂线，垂足分别为， 则，即以AB为直径的圆与抛物线准线相切， 由，得，则，即直线AB的倾斜角为， ， 又M到y轴的距离， 所以以线段AB为直径的圆被轴截得的弦长为. 故选：C    6．点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 7．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】C 【详解】对于， 不妨取，右焦点， 设，则，即， ， 在上单调递增， 当， ，故A错误； ， ，，故B错误； 而，， 即的取值范围为，故C正确； 设焦点到渐近线的距离为， ，，故D错误． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】    由的内切圆的圆心为，得点到三边的距离相等， 由，得， 设，则，由双曲线定义知：， ，则，解得， 于是， 在中，由余弦定理得， 在中，，则， 所以该双曲线的离心率为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当直线平分圆的周长时， C．圆心到直线距离的最大值是 D．若点在圆上，则的取值范围为 【答案】AB 【详解】已知圆，得圆心，半径， 直线整理得， 选项A，由直线方程可知，无论取何值，时恒有，因此直线恒过定点，A正确； 选项B，直线平分圆周长，说明直线过圆心，将代入直线方程得：，解得，B正确； 选项C，直线恒过定点，圆心到直线的距离满足， ，即的最大值为，C错误； 选项D，是点到原点的距离平方，原点到圆心的距离， 因此点到原点的距离范围是，故，D错误. 故选：AB. 10．已知焦点为F的抛物线的准线为，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点，则（    ） A． B．若，则直线AB的斜率的绝对值为2 C． D． 【答案】ACD 【详解】设A，B的坐标分别为，直线AB的方程为， 联立方程，消去x后有， 有，可得. 对于A选项，由抛物线C的准线为，有，可得， 故A选项正确； 对于B选项，由， 有，代入，有， 解得或2，可得或， 可得直线AB的斜率的绝对值为，故B选项错误； 对于C选项，直线OA的方程为， 代入，有， 可得点M的坐标为，同理可得点N的坐标为，可得， 故C选项正确； 对于D选项，由， 有，可得，故D选项正确. 故选：ACD. 11．斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．该椭圆的焦点在直线上 B．该椭圆的离心率为 C．的最大值为 D．最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，点关于直线，对称的点分别为，， 若点在曲线上，可知点，在曲线上， 则曲线的图象关于直线和对称； 由图象可知：曲线的长轴在上，则焦点在直线上，A正确； 对于B，由得：或， 则椭圆长轴长，则； 由得：或， 则椭圆短轴长，则； ，离心率，B错误； 对于C，当直线与曲线相切时，取得最大值； 由得：， ，解得：（舍）或， 的最大值为，C正确； 对于D，因为，且焦点在直线上，所以为椭圆的焦点， 中点为椭圆的焦点， ， ，， ，D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 【答案】或 【详解】由，解得，即两直线交点坐标为， 若所求直线在两坐标轴上截距为0，则该直线经过原点和， 方程为，整理得； 若所求直线在两坐标轴上截距不为0，则该直线方程可设为， 将点坐标代入方程可得，所以此时直线方程为， 整理得， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为________． 【答案】 【详解】设抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点为， 设过点的直线方程为，与抛物线联立，消去， 得到，即， 设，则有， ，， ， ，， ， ，，，， ， ， ， 的面积为，，，. 故答案为：. 14．设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 【答案】 【详解】 又，所以， 因为是一个正三角形，所以， 双曲线在点处的切线方程为， ，， 将点的坐标代入双曲线方程得， 则有 ，或， 当时，，不符合条件，舍去； 当时，，双曲线的方程为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）圆经过三点，，. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】 【详解】（1）设圆的方程为， 则有，解得， 故圆的方程为； （2）可化为， 故圆以为圆心，为半径， 若直线斜率不存在，则，此时到的距离， 则弦长，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 此时到的距离， 由所截得的弦长为，则，可得， 故，即，解得， 故，即； 综上可得：直线的方程为或. 16．（15分）已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 【答案】(1)+=1 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以.，解得， 所以椭圆C的方程为； （2）设，，由（1）知，， 因为，所以，所以. 由得， 所以 所以，，，， 所以， 所以，所以， 所以直线的方程为，所以. 所以 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值； 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设直线方程为，即，，. 联立方程组，整理得，所以， 因为直线，的斜率之和为0，即， 而，同理， 所以，整理得， 所以，解得， 所以抛物线的方程为； （2）由（1）可知，，，，点， 所以，. 直线的方程为，令，解得， 所以，同理. 所以， 且，其中为点到直线的距离， 所以 ， 因为，都在轴下方，所以，即， 所以， 所以当且仅当时，取得最大值. 18．（17分）已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得的渐近线方程为， 由的渐近线方程为得， 又，所以， 所以， 故双曲线的方程为； （2）（i）由（1）可知， 由题意得直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，不妨设， 联立 整理得， 则，即， ①， 由得②，由①②得 ， 故 ； （ii）当直线的斜率为时为的两顶点， 此时； 当直线的斜率不为时，设直线的方程为， ， 由（i）知， 则， 因为， 所以与不垂直，即无论取何值，都有成立， 综上，不存在直线，使得. 19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”． (1)若为“－相伴”，求直线的斜率． (2)若为“－相伴”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)或． (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在定点 【分析】 【详解】（1）设，由题意知的焦点为，准线为直线， 由抛物线定义得点到的准线的距离． 易知点在第二象限或第三象限． 当点在第二象限时，设直线的倾斜角为，则， 所以，，所以，即直线的斜率为． 当点在第三象限时，由对称性可得直线的斜率为． 综上，直线的斜率为或． （2）（ⅰ）设，由（1）知的焦点为， 因为点在上，所以，因为点在轴左侧，故，故 因为点在上，所以， 所以，解得，所以． 由椭圆的定义得，又，所以， 所以，即． 设，则，且， 由，可得， 所以，解得，即的取值范围是． （ⅱ） 因为的方程为，所以， 由，及（ⅰ）中，得， 解得（舍去）或， 所以， 所以的方程为． 设，，由，得， 所以，，， 假设存在定点，使得直线与的倾斜角互补，则直线与的斜率之和为0， 即 ， 所以， 所以，即， 所以存在定点，使得直线与的倾斜角互补且． 【点睛】思路点睛：第二问中：根据点在上，且点在上列出等式，得到， 进而得到，又，列出关于的等式， 利用对勾函数的性质即可得到结果.；由，及第一小问中得出a的值， 进而求出的方程为，设出直线方程与的方程联立，用韦达定理即可得到结果. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块七 平面解析几何综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线经过点，则下列选项中正确的是（   ） A．直线的斜率为1 B．直线的倾斜角为 C．直线的方向向量为 D．直线在y轴上的截距为2 2．已知圆 与 轴和 轴都相切，且半径为 1；圆 也与 轴和 轴都相切，并且与圆 外切.若圆 的半径小于 1，则圆 的半径为（　） A． B． C． D． 3．若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（    ） A．2 B．2+ C．2+2 D．4 4．已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线，过焦点的直线与抛物线及准线从右往左依次交于点，若，则以为直径的圆被轴截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 6．点在曲线上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的两条渐近线分别为，点为右支上任意一点，它到的距离分别为，到右焦点的距离为，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左、右两支于两点，记的内切圆的圆心为，若的面积之比为5:8:9，则该双曲线的离心率为（     ） A． B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．当直线平分圆的周长时， C．圆心到直线距离的最大值是 D．若点在圆上，则的取值范围为 10．已知焦点为F的抛物线的准线为，过点F的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，直线AO、BO分别与准线相交于M、N两点，则（    ） A． B．若，则直线AB的斜率的绝对值为2 C． D． 11．斜椭圆是由焦点在坐标轴上的椭圆绕其中心旋转一定角度得到的图象.已知曲线的图象是如图所示的斜椭圆，点是上任意一点，点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．该椭圆的焦点在直线上 B．该椭圆的离心率为 C．的最大值为 D．最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____. 13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，其准线与轴的交点为，若，且的面积为，则p的值为________． 14．设为双曲线与实轴的交点，为双曲线外一点，分别交双曲线于另一个点，过的切线相交于．若是一个正三角形，且面积为，则双曲线的方程为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）圆经过三点，，. (1)求圆的方程； (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程. 16．（15分）已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为，且椭圆C的短轴长为. (1)求椭圆C的方程；(2)如图，若直线与x轴、椭圆C顺次交于点P，Q，R（点P在椭圆左顶点的左侧），且，求的面积. 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知纵坐标为2的点是抛物线上一点，斜率为的直线与抛物线交于，两点，若直线，的斜率之和为0． (1)求抛物线的方程； (2)设，都在轴下方，且点在点的左侧，直线，与轴分别交于点，，记，的面积分别为，，求的最大值； 18．（17分）已知双曲线的虚轴长为，且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于两点. （i）若点均在的右支上，且的面积是面积的倍，求； （ii）证明：不存在直线，使得. 19．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”． (1)若为“－相伴”，求直线的斜率． (2)若为“－相伴”． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $