第14讲 三角形（讲义）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第14讲 三角形 ( 课标要求 ) 1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性 2．探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 3．证明三角形的任意两边之和大于第三边 4．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 5．探索并证明三角形的中位线定理 6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。 7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．三角形的概念与分类 （1）概念：由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形 （2）三角形的分类： 按边的大小分： 按角的大小分： 2.三角形的边角关系 (1)边与边：三角形任何两边的和 第三边；任何两边的差小于第三边． (2)角与角：三角形三个内角的和等于 ，外角和等于 ；三角形的一个外角等于 ． 3．三角形中的重要线段 名称 定义 性质 角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 (1)AD是△ABC的角平分线⇔∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等，或构造全等三角形 中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段 (1)AE是△ABC的中线⇔BE＝CE＝BC； (2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形； (3)中线位于一般三角形中，可利用倍长中线法解题 高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 (1)AF是△ABC的高线⇔∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通过作三角形的高线求三角形的面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题 中位线 连结三角形两边的中点的线段 (1)DE是△ABC的中位线⇔DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线的性质来解题 4．等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质：①等腰三角形的两腰 ; ②等腰三角形的两底角 ,即“ ”; ③等腰三角形的 、 、 互相重合,即“三线合一”; ④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.  （3）判定：① 的三角形是等腰三角形; ② 的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”. 5．等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形是等边三角形. （2）性质：①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°; ②“三线合一”; ③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.  （3）判定：① 的三角形是等边三角形; ② 的三角形是等边三角形; ③ 的等腰三角形是等边三角形.  6．直角三角形 （1）性质：①直角三角形的两锐角 ; ②直角三角形30°角所对的直角边等于 ; ③直角三角形中，斜边上的中线长等于 . ④勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． （2）判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形.  ②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ③勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． ( 考点精析 ) ■考点一　三角形三边关系► 【例1.1】（2025•衡阳模拟）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，8cm，2cm D．2cm，5cm，6cm 【例1.2】（2025•河北模拟）如图，x的值可能是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 ■考点二　三角形的中线、高线、角平分线► 【例2.1】（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【例2.2】（2025•广东模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【例2.3】（2024•宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　　 °． ■考点三　三角形的内角与外角► 【例3.1】（2025•宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【例3.2】（2025•十堰校级模拟）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　 （填“增加”或“减少”） 　 　 度． 【例3.3】（2025•青岛模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°， （1）∠BAC的度数为　　 ； （2）求∠P的度数． ■考点四　等腰三角形的性质与判定► 【例4.1】（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．20° 【例4.2】（2024•花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【例4.3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADE的度数； （2）判断△ADE的形状，并说明理由． ■考点五　等边三角形的性质与判定► 【例5.1】（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　　 ． 【例5.2】（2025•光山县二模）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD． （1）求∠E的度数． （2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：BM＝EM． ■考点六　直角三角形的性质与判定► 【例6.1】（2025•杭州二模）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 【例6.2】（2024•金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【例6.3】（2025•宁波三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若E为BC上一点，使得∠AEB＝∠ADB，且AB＝12，BE＝5，则EC＝　　 ． 【例6.4】（2025•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝5，AB＝12，BC＝13，过点B作BE⊥CD于点E，则DE的长为（　　） A．5 B． C．7 D． 【例6.5】（2025•浙江模拟）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 　12　 尺． ■考点七　三角形的中位线► 【例7.1】（2025•洞头区模拟）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　　 ． 【例7.2】（2025•余姚市三模）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE于点E．若DE＝3，AC＝8，则AB的长为　　 ． ( 巩固训练 ) 1．（2025•温州模拟）已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一个底角的度数是（　　） A．40° B．50° C．70° D．100° 2．（2025•任泽区一模）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023•金华模拟）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝30° B．∠B+∠C＝120° C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 D．AB＝AC＝1，BC＝ 4．（2025•杭州模拟）如图，AD是△ABC的中线，下列说法错误的是（　　） A．△ABD和△ACD全等 B．若AD平分∠BAC，则△ABC是等腰三角形 C．若AD⊥BC，则△ABC是等腰三角形 D．若点D到AB和AC的距离相等，则AD⊥BC 5．（2025•缙云县二模）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 6．（2025•建邺区二模）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 7．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8．在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2﹣PC2的值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．72 8．（2025•浙江模拟）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结CE．若正方形EFGH的面积为8，，则正方形ABCD的面积为（　　） A．56 B．60 C．64 D．68 9．（2025•萧山区一模）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　） A．10 B．15 C．20 D．40 10．（2024•衢州一模）已知三角形两边长为3，4，则第三条边的长可以是 　 　 （写出一种即可）． 11．（2025•嘉兴二模）如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为 　　 ． 12．（2025•浙江模拟）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB＝4.7m，当人从门外走到离该传感器4m及4m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高1.7m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 　　 m． 13．（2025•丽水一模）如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝　　 ． 14．（2025•滨江区校级模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，⋯，在射线ON上，点B1、B2、B3，⋯，在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的面积为　　 ． 15．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12． （1）求BE的长； （2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长． 16．（2025•嘉兴二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在边AB，AC上，且CB＝CE＝CF，连接BF，CE． （1）当∠A＝40°时，求∠BFC的度数． （2）若∠BFC+∠BEC＝126°，求∠A的度数． 17．（2024•新昌县一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF． （1）求证：AD＝CE． （2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积． 18．（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 19．（2025•浙江模拟）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”． （1）若BC边上的“中高距”为0，求证：AB＝AC； （2）若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第14讲 三角形 ( 课标要求 ) 1．理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性 2．探索并证明三角形的内角和定理．掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 3．证明三角形的任意两边之和大于第三边 4．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 5．探索并证明三角形的中位线定理 6.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60。探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。 7.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。 8.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．三角形的概念与分类 （1）概念：由三条线段首尾顺次相接所围成的平面图形 （2）三角形的分类： 按边的大小分： 按角的大小分： 2.三角形的边角关系 (1)边与边：三角形任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边． (2)角与角：三角形三个内角的和等于180°，外角和等于360°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 3．三角形中的重要线段 名称 定义 性质 角平分线 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段 (1)AD是△ABC的角平分线⇔∠BAD＝∠DAC＝∠BAC； (2)遇到角平分线时可利用角平分线上的点到角两边的距离相等，证明线段相等，或构造全等三角形 中线 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段 (1)AE是△ABC的中线⇔BE＝CE＝BC； (2)三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形； (3)中线位于一般三角形中，可利用倍长中线法解题 高线 从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 (1)AF是△ABC的高线⇔∠AFB＝∠AFC＝90°； (2)一般可通过作三角形的高线求三角形的面积或构造直角三角形，利用勾股定理来解题 中位线 连结三角形两边的中点的线段 (1)DE是△ABC的中位线⇔DE∥BC，DE＝BC； (2)遇到中点时，常构造三角形的中位线，利用中位线的性质来解题 4．等腰三角形 （1）定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形. （2）性质：①等腰三角形的两腰相等; ②等腰三角形的两底角相等,即“等边对等角”; ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”; ④等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,对称轴是底边的垂直平分线.  （3）判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形; ②有两个角相等的三角形是等腰三角形,即“等角对等边”. 5．等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形是等边三角形. （2）性质：①等边三角形的三边相等,三角相等,且都等于60°; ②“三线合一”; ③等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.  （3）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形; ②三个角都相等的三角形是等边三角形; ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.  5．直角三角形 （1）性质：①直角三角形的两锐角互余; ②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半; ③直角三角形中，斜边上的中线长等于斜边长的一半. ④勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2． （2）判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形.  ②三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ③勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． ( 考点精析 ) ■考点一　三角形三边关系► 【例1.1】（2025•衡阳模拟）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．2cm，3cm，5cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，8cm，2cm D．2cm，5cm，6cm 【思路点拨】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 【解析】解：A、2+3＝5，不能组成三角形； B、3+3＝6，不能组成三角形； C、2+5＜8，不能组成三角形； D、2+5＞6，能组成三角形． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系的运用，三角形的两边差小于第三边，三角形两边之和大于第三边． 【例1.2】（2025•河北模拟）如图，x的值可能是（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【思路点拨】在两个三角形中分别利用三角形的三边关系求解即可求得x的取值范围，继而求得答案． 【解析】解：∵两边长分别为8，9， ∴此时1＜x＜17， 又∵两边长分别为5，18， ∴此时13＜x＜23， ∵x的取值范围为：13＜x＜17． ∴x的值可能是14． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边． ■考点二　三角形的中线、高线、角平分线► 【例2.1】（2024•拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（　　） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【思路点拨】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答． 【解析】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， ∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 【例2.2】（2025•广东模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高为（　　） A．CE B．AF C．DB D．AB 【思路点拨】此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【解析】解：在△ABC中，BC边上的高为AF； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键． 【例2.3】（2024•宿迁）如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝ 　10　 °． 【思路点拨】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论． 【解析】解：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°， 由作图知，AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠BAC＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝50°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠DAF＝∠BAF﹣∠BAD＝10°， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的定义和三角形内角和定理是解题的关键． ■考点三　三角形的内角与外角► 【例3.1】（2025•宁波三模）一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【思路点拨】根据三角形的内角和定理可得，即可求解． 【解析】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【例3.2】（2025•十堰校级模拟）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　 （填“增加”或“减少”） 　10　 度． 【思路点拨】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可求出结论． 【解析】解：连接CF，并延长至点M，如图所示． 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠DCE＝∠ACB＝70°． ∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E， ∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E， 即110°＝70°+∠D+30°， ∴∠D＝10°， ∴20°﹣10°＝10°， ∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度． 故答案为：减少；10． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠EFD与∠D之间的关系是解题的关键． 【例3.3】（2025•青岛模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°， （1）∠BAC的度数为　76°　 ； （2）求∠P的度数． 【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理求∠BAC的度数即可； （2）利用角平分线的定义得∠BAD的度数，利用外角的性质得∠BDP的度数，利用三角形内角和定理求得∠P的度数． 【解析】解：（1）由三角形内角和定理得： ∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣24°﹣80°＝76°． 故答案为：76°； （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝×76°＝38°， ∵∠BDP＝∠B+∠BAD， ∴∠BDP＝24°+38°＝62°， ∵PE⊥BC于E， ∴∠PED＝90°， ∴∠P＝90°﹣∠BDP＝90°﹣62°＝28°． 即∠P的度数为28°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题的关键． ■考点四　等腰三角形的性质与判定► 【例4.1】（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°．以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD，则∠ACD的度数为（　　） A．12° B．15° C．18° D．20° 【思路点拨】根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠B＝∠ACD＝（180°﹣40°）＝70°， 又∵以点B为圆心，BC为半径画弧，与AB交于点D，连结CD， ∴BD＝BC， ∴∠BCD＝∠ABD＝55°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝70°﹣55°＝15°， 即∠ACD的度数为15°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确理解题意是解题的关键． 【例4.2】（2024•花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　） A．14 B．19 C．21 D．23 【思路点拨】由角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，由平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，因此∠EDB＝∠EBD，推出ED＝EB，同理：FD＝FC，于是得到BE+CF＝DE+DF＝EF，由△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AB+AC＝14，即可求出△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21． 【解析】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD， ∵EF∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠EDB＝∠EBD， ∴ED＝EB， 同理：FD＝FC， ∴BE+CF＝DE+DF＝EF， ∵△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝14， ∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21． 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出FE＝BE+FC． 【例4.3】（2023•永嘉县三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E． （1）求∠ADE的度数； （2）判断△ADE的形状，并说明理由． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC的度数，由角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形外角定理即可求出结果； （2）由平行线的性质求得∠EAC＝72°，由三角形内角和定理求得∠ADE＝72，根据等腰三角形的判定即可证得结论． 【解析】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABC＝36°， ∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°； （2）证明：∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠C＝72°， ∵∠C＝72°，∠DBC＝36°， ∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∴△ADE是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． ■考点五　等边三角形的性质与判定► 【例5.1】（2024•钱塘区三模）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上一点．若，∠CAD＝15°，则AB的长为 　2　 ． 【思路点拨】过点A作AE⊥BC于点E，由等边三角形的性质得出BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC，即可证得∠EAD＝45°，得出△AED是等腰直角三角形，设CE＝x，根据勾股定理即可求出AE的长，在Rt△AED中根据勾股定理即可求出x的值，从而得出AB的长． 【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E， ∵△ABC是等边三角形， ∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°， ∵∠CAD＝15°， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°+15°＝45°， ∴△AED是等腰直角三角形， 设CE＝x， ∵∠CAE＝30°，AE⊥BC， ∴AC＝2CE＝2x， 由勾股定理得，AE＝， ∴DE＝AE＝， 由勾股定理得，AE2+DE2＝AD2， ∴， 解得x＝1， ∴AC＝2x＝2， ∴AB＝AC＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题了等边三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【例5.2】（2025•光山县二模）如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD． （1）求∠E的度数． （2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为M．（不写作法，保留作图痕迹） （3）求证：BM＝EM． 【思路点拨】（1）根据等边三角形的性质和三角形的外角的性质进行求解； （2）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法进行求作； （3）根据等腰三角形的三线合一进行证明． 【解析】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝∠ABC＝60°， 又CD＝CE，∠ACB为△DCE的外角， ∴∠E＝∠CDE＝30°； （2）如图所示： （3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点， ∴∠DBC＝∠ABD＝30°，又∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E， ∴BD＝ED， 又DM⊥BE， ∴BM＝EM． 【点睛】此题综合考查了等边三角形的性质、基本作图和等腰三角形的性质．全等和等腰三角形都是证明线段相等的常用方法． ■考点六　直角三角形的性质与判定► 【例6.1】（2025•杭州二模）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（　　） A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PC B．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BC C．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90° D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90° 【思路点拨】根据直角三角形的性质逐项判定可求解． 【解析】解：A．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠C＝90°， ∵∠BAP＝∠B， ∴∠CAP＝∠C， ∴AP＝PC， 只有当∠B＝30°时，AC＝PC，故错误； B．∵∠BAC＝90°， ∴∠BAP+∠CAP＝90°， ∵∠BAP＝∠C， ∴∠C+∠CAP＝90°， ∴∠APC＝180°﹣（∠C+∠CAP）＝90°， 即AP⊥BC，故正确； C．∵AP⊥BC，PB＝PC， ∴AP垂直平分BC， 而∠BAC不一定等于90°，故错误； D．根据PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，无法证明∠BAC＝90°，故错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查直角三角形，等腰三角形的性质与判定，灵活运用直角三角形的性质是解题的关键． 【例6.2】（2024•金华三模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连结AE． （1）求证：∠AEC＝2∠B． （2）若∠BAC＝60°，EC＝3，求BE的长． 【思路点拨】（1）首先根据线段垂直平分线的性质得AE＝BE，进而得∠EAB＝∠B，然后再根据三角形的外角定理可得出结论； （2）先求出∠B＝30°，再由（1）的结论得∠AEC＝2∠B＝60°，然后在Rt△ACE中求出∠CAE＝30°，进而得AE＝2CE＝6，最后根据线段垂直平分线的性质可得出答案． 【解析】（1）证明：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝2∠B； （2）解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣（∠ACB+∠BAC）＝30°， 由（1）可知∠AEC＝2∠B＝60°， 在Rt△ACE中，∠AEC＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴AE＝2CE＝6， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝6． 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解线段垂直平分线是的点到线段两端的距离相等；直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 【例6.3】（2025•宁波三模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC的中点，若E为BC上一点，使得∠AEB＝∠ADB，且AB＝12，BE＝5，则EC＝　13　 ． 【思路点拨】由直角三角形的性质得BD＝AD＝CD，进而得∠DBC＝∠C，利用三角形的外角性质及∠AEB＝∠ADB得∠DBC＝∠EAC＝∠C，AE＝EC，再利用勾股定理即可得解． 【解析】解：∵∠ABC＝90°，D为AC的中点， ∴BD＝AD＝CD， ∴∠DBC＝∠C， ∵∠AEB＝∠ADB，∠AEB＝∠EAC+∠C，∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠DBC＝∠EAC＝∠C， ∴AE＝EC， ∵AB＝12，BE＝5， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键， 【例6.4】（2025•萧山区模拟）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AD＝5，AB＝12，BC＝13，过点B作BE⊥CD于点E，则DE的长为（　　） A．5 B． C．7 D． 【思路点拨】连接BD，过点D作DF⊥BC于点F，根据AD∥BC，∠A＝90°可知AB⊥BC，故BF＝AD＝5，DF＝AB＝12，再由BC＝13可得出CF的长，利用勾股定理即可得出CD的长，再求出BD长，利用等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】解：连接BD，过点D作DF⊥BC于点F， ∵AD∥BC，∠A＝90°，AD＝5，AB＝12，BC＝13， ∴AB⊥BC， ∴四边形ABFD是矩形， ∴BF＝AD＝5，DF＝AB＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝13﹣5＝8， ∴CD＝＝＝4， 在Rt△ABD中，BD＝＝＝13， ∴BD＝BC， ∵BE⊥CD于点E， ∴DE＝CD＝2． 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理，平行线的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【例6.5】（2025•浙江模拟）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭（jiā）赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈（一丈等于十尺）的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 　12　 尺． 【思路点拨】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB′的长为10尺，则B′C＝5尺，设出AB＝AB′＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【解析】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为B′E＝10尺，所以B′C＝5尺， 在Rt△AB′C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， ∴水深为x﹣1＝12（尺）． 故答案为：12． 【点睛】勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ■考点七　三角形的中位线► 【例7.1】（2025•洞头区模拟）如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为　3　 ． 【思路点拨】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长 【解析】解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点， ∴DF＝AB＝5， ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC＝8， ∴EF＝DE﹣DF＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理；熟记直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理是解决问题的关键． 【例7.2】（2025•余姚市三模）如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，AE平分∠BAC，AE⊥BE于点E．若DE＝3，AC＝8，则AB的长为　14　 ． 【思路点拨】延长BE、AC，交于点F，证明△AEB≌△AEF，根据全等三角形的性质求出得到AF＝AB＝AC+CF，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解析】解：延长BE、AC，交于点F， ∵AE平分∠BAC，AE⊥BE， ∴∠BAE＝∠FAE，∠AEB＝∠AEF＝90°， 在△AEB和△AEF中， ， ∴△AEB≌△AEF（ASA）， ∴AF＝AB， ∵点D是BC边的中点，DE＝3，AC＝8， ∴DE是△BFC的中位线， ∴， ∴CF＝2DE＝6， ∴AB＝AC+CF＝8+6＝14． 故答案为：14． 【点睛】本题主要考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． ( 巩固训练 ) 1．（2025•温州模拟）已知等腰三角形的顶角是40°，则它的一个底角的度数是（　　） A．40° B．50° C．70° D．100° 【思路点拨】根据等腰三角形的两底角相等即可． 【解析】解：∵等腰三角形的顶角是40°， ∴它的一个底角的度数为：＝70°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形两底角相等是解题的关键． 2．（2025•任泽区一模）在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图（其中C′是点C的对应点），其中线段AD一定是△ABC的中线的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，由此即可判断． 【解析】解：A、由折叠的性质得到BD＝CD，因此AD一定是△ABC的中线，故A符合题意； B、由折叠的性质得到DC′＝CD，因此AD不是△ABC的中线，故B不符合题意； C、由折叠的性质得到∠CAD＝C′AD，因此AD是△ABC的角平分线，不一定是△ABC的中线，故C不符合题意； D、如图，由折叠的性质得到CE＝AE，但BD和CD不一定相等，因此AD不一定是△ABC的中线，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，中线、高线，折叠问题，关键是掌握三角形的中线的定义，折叠的性质． 3．（2023•金华模拟）下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A＝30° B．∠B+∠C＝120° C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 D．AB＝AC＝1，BC＝ 【思路点拨】根据直角三角形的判定即可判断选项A和B；求出最大角∠C的度数，即可判断选项C；根据勾股定理的逆定理即可判断选项D． 【解析】解：A．由∠A＝30°无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意； B．∵∠B+∠C＝120°， ∴∠A＝60°，无法得到△ABC为直角三角形，故本选项符合题意； C．∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴最大角∠C＝×180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意； D．∵AB＝AC＝1，BC＝，12+12＝1+1＝2，（）2＝3， ∴12+12≠（）2， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形． 4．（2025•杭州模拟）如图，AD是△ABC的中线，下列说法错误的是（　　） A．△ABD和△ACD全等 B．若AD平分∠BAC，则△ABC是等腰三角形 C．若AD⊥BC，则△ABC是等腰三角形 D．若点D到AB和AC的距离相等，则AD⊥BC 【思路点拨】根据中线的定义、全等三角形的判定判断A；延长AD至E，使DE＝AD，连接CE，证明△ADB≌△EDC，根据全等三角形的性质判断B；根据线段垂直平分线的性质判断C；根据B选项结论判断D． 【解析】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， 但AB与AC的关系不能确定， ∴△ABD和△ACD不一定全等，本选项说法错误，符合题意； B、如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE， 则△ADB≌△EDC（SAS）， ∴AB＝CE，∠BAD＝∠E， ∴AC＝CE， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形，本选项说法正确，不符合题意； C、∵AD⊥BC，BD＝DC， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形，本选项说法正确，不符合题意； D、∵点D到AB和AC的距离相等， ∴AD平分∠BAC， 由B选项可知：AB＝AC， ∴AD⊥BC，本选项说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的中线的定义、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．（2025•缙云县二模）如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，点A在DE上．若DF∥AB，则∠CAD的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．15° 【思路点拨】在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠BAC的度数，由DF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠BAD的度数，再结合∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD，即可求出∠CAD的度数． 【解析】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°． ∵DF∥AB， ∴∠BAD＝∠D＝30°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝45°﹣30°＝15°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的内角和等于180°”是解题的关键． 6．（2025•建邺区二模）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝α，∠C＝β，则∠DAE＝（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据三角形的内角和定理，用α和β表示出∠DAE的度数即可． 【解析】解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β． ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAC＝90°﹣． ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣β， ∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝90°﹣β﹣（90°﹣）＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和定理是解题的关键． 7．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8．在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2﹣PC2的值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．72 【思路点拨】在Rt△BDP及Rt△CDP中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BP2和PC2，在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，据此计算即可得出结果． 【解析】解：PB2﹣PC2＝（BD2+PD2）﹣（CD2+PD2） ＝BD2﹣CD2 ＝（BD2+AD2）﹣（CD2+AD2） ＝AB2﹣AC2 ＝102﹣82 ＝36． 即PB2﹣PC2的值为36， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，关键是勾股定理的熟练掌握． 8．（2025•浙江模拟）如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结CE．若正方形EFGH的面积为8，，则正方形ABCD的面积为（　　） A．56 B．60 C．64 D．68 【思路点拨】由tan∠ECH＝＝，则CH＝5，则HD＝CH﹣HD＝CH﹣EH＝5＝3，即可求解． 【解析】解：∵正方形EFGH是由四个全等的直角三角形， 则AE＝BF＝DH＝CG，AF＝ED＝BG＝CH， ∵若正方形EFGH的面积为8，则EH＝2， 而tan∠ECH＝＝， 则CH＝5， 则HD＝CH﹣HD＝CH﹣EH＝5＝3， 则CD2＝CH2+HD2＝50+18＝68＝正方形ABCD的面积， 故选：D． 【点睛】本题考查的是勾股定理的运用，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中． 9．（2025•萧山区一模）如图，点C是线段AB上一点（AC＞BC），分别以AC，BC为直角边在AB同侧作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE，BD．记S△ACD＝S1，S△BCE＝S2，S△ADE＝S3，S△BDE＝S4，若S1﹣S2＝20，则S3+S4＝（　　） A．10 B．15 C．20 D．40 【思路点拨】依题意设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b，则DE＝CD﹣CE＝a﹣b，进而得S1＝a2，S2＝b2，S3＝（a2﹣ab），S4＝（ab﹣b2），根据S1﹣S2＝20得（a2﹣b2）＝20，则S3+S4＝（a2﹣b2）＝20，据此即可得出答案． 【解析】解：依题意得：△ACD和△BCE都是直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴设AC＝CD＝a，BC＝CE＝b， ∴DE＝CD﹣CE＝a﹣b， ∴S1＝a2，S2＝b2，S3＝a（a﹣b）＝（a2﹣ab），S4＝b（a﹣b）＝（ab﹣b2）， ∵S1﹣S2＝20， ∴a2﹣b2＝20， ∴（a2﹣b2）＝20， ∴S3+S4＝（a2﹣ab+ab﹣b2）＝（a2﹣b2）＝20． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积，准确试题，熟练掌握等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 10．（2024•衢州一模）已知三角形两边长为3，4，则第三条边的长可以是 　6（答案不唯一）　 （写出一种即可）． 【思路点拨】三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，设第三条边的长是x，得到1＜x＜7，于是得到答案． 【解析】解：设第三条边的长是x， ∴4﹣3＜x＜4+3， ∴1＜x＜7， ∴第三条边的长可以是6． 故答案为：6（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 11．（2025•嘉兴二模）如图，直线m∥n，等边△ABC的顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D．若∠α＝22°，则∠β的度数为 　82°　 ． 【思路点拨】利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解． 【解析】解：由条件可知∠ABC＝60°， 由条件可知∠β＝∠α+∠ABC＝22°+60°＝82°， 故答案为：82°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 12．（2025•浙江模拟）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度PB＝4.7m，当人从门外走到离该传感器4m及4m以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高1.7m的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则BD的长为 　　 m． 【思路点拨】过C作CQ⊥AB于点Q，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【解析】解：如图，过点C作CQ⊥AB于点Q， ∴BQ＝CD＝1.7m． ∴PQ＝PB﹣QE＝4.7﹣1.7＝3（m），PC＝4m． 由勾股定理可得： ． 即离门铃米远的地方，门铃恰好自动响起． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 13．（2025•丽水一模）如图EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝　1　 ． 【思路点拨】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF∥BC，EF＝BC，再根据角平分线的性质以及平行线的性质求出∠ABD＝∠BDE，根据等角对等边的性质可得BE＝ED，然后代入数据进行计算即可得解． 【解析】解：∵EF是△ABC的中位线， ∴EF∥BC，EF＝BC＝3， ∴∠CBD＝∠BDE， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∵AB＝4，EF是△ABC的中位线， ∴BE＝×4＝2， ∴DF＝EF﹣DE＝EF﹣BE＝3﹣2＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及等角对等边的性质，熟记性质以及定理，求出DE＝BE是解题的关键． 14．（2025•滨江区校级模拟）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，⋯，在射线ON上，点B1、B2、B3，⋯，在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A7B7A8的面积为　　 ． 【思路点拨】首先根据等边三角形的性质得∠B1A1A2＝60°，进而得∠MON＝∠OB1A1＝30°，再根据等腰三角形的性质得OA1＝A1B1＝A1A2＝2，故得△A1B1A2的边长为2，同理得△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，以此规律可得，△A7B7A8的边长，再根据等边三角形边长求出面积． 【解析】解：∵△A1B1A2为等边三角形， ∴∠B1A1A2＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠OA1B1＝180°﹣∠B1A1A2＝180°﹣60°＝120°，又∠MON＝30°， ∴∠OB1A1＝180°﹣∠OA1B1﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠MON＝∠OB1A1＝30°， ∵OA1＝2， ∴OA1＝A1B1＝A1A2＝2， ∴△A1B1A2的边长为2， 同理：△A2B2A3的边长为4＝22，△A3B3A4的边长为8＝23，以此规律可得，△AnBnAn+1的边长为＝2n， ∴△A7B7A8的边长为＝27＝128， ∴，△A7B7A8的面积为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，规律型：图形的变化类，关键是相关性质的熟练掌握． 15．（2025•宁波模拟）如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E，点D在BC上，连结AD交CE于点F，BC＝13，CE＝12． （1）求BE的长； （2）若∠AFE＝45°，AB＝CF，求AE的长． 【思路点拨】（1）根据勾股定理可得答案； （2）根据题意可得 AE＝EF，再设AE＝x，可表示CF＝12﹣x，AB＝5+x，然后根据AB＝CF得出方程，求出解即可． 【解析】解：（1）由题意可知：CE⊥AB，BC＝13，CE＝12， 在Rt△EBC中，由勾股定理得：； （2）在Rt△AFE中，∠AFE＝45°， ∴AE＝EF． 设AE＝x，则CF＝12﹣x，AB＝5+x， ∵AB＝CF， ∴5+x＝12﹣x， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解一元一次方程，等腰直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键． 16．（2025•嘉兴二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在边AB，AC上，且CB＝CE＝CF，连接BF，CE． （1）当∠A＝40°时，求∠BFC的度数． （2）若∠BFC+∠BEC＝126°，求∠A的度数． 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝70°，求出； （2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠CEB＝∠BCF，推出∠BFC＝∠CBF＝54°，得到∠CBE＝∠BCF＝72°，求出∠A＝180°﹣∠CBE﹣∠BCF＝36°． 【解析】解：（1）由条件可知， ∵CB＝CF， ∴． （2）由条件可知∠CBE＝∠CEB＝∠BCF， ∵∠BFC+∠BEC＝126°， ∴∠BFC+∠BCF＝126°， ∴∠CBF＝180°﹣（∠BFC+∠BCF）＝54°， ∴∠BFC＝∠CBF＝54°， ∴∠BCF＝180°﹣∠BFC﹣∠CBF＝72°， ∴∠CBE＝∠BCF＝72°， ∴∠A＝180°﹣∠CBE﹣∠BCF＝36°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 17．（2024•新昌县一模）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连结AE，DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF． （1）求证：AD＝CE． （2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积． 【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边中线的性质得到CD＝AD＝AB，根据线段垂直平分线的选择得到CE＝CD，于是得到结论． （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到AB＝2AD＝10，由勾股定理得到BC＝＝8，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝AB， ∵CF⊥DE，DF＝EF． ∴CE＝CD， ∴AD＝CE． （2）解：由（1）知，CE＝CD＝AB＝5， ∴AB＝10， 在Rt△ABC中，BC＝＝8， ∴BE＝BC+EC＝13， ∴S△AEB＝BE•AC＝． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 18．（2023•瓯海区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E． （1）过点E作EF∥BC交AB于点F，求证：FB＝FE． （2）若∠C＝36°，求∠BAD的度数． 【思路点拨】（1）由BE平分∠ABC得∠FBE＝∠CBE，由EF∥BC，得∠FEB＝∠CBE，则∠EBF＝∠FEB，所以FB＝FE； （2）由AB＝AC，D是BC边上的中点，得AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°，则∠ADB＝90°，所以∠BAD＝90°﹣∠ABD＝54°． 【解析】（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，即∠FBE＝∠CBE， ∵EF∥BC， ∴∠FEB＝∠CBE， ∴∠EBF＝∠FEB， ∴FB＝FE． （2）解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC，∠ABD＝∠C＝36°， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣36°＝54°， ∴∠BAD的度数是54°． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明∠EBF＝∠FEB及∠ADB＝90°是解题的关键． 19．（2025•浙江模拟）定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”． （1）若BC边上的“中高距”为0，求证：AB＝AC； （2）若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”． 【思路点拨】（1）利用垂直平分线的性质即可解答； （2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AE＝2，BE＝2，根据等腰直角三角形的性质得EC＝AE＝2，可得CD＝+1，由DE＝BE﹣BD即可求解． 【解析】（1）证明：∵BC边上的“中高距”为0， ∴△ABC中BC边上的中线、高线重合， 即AD垂直平分BC， ∴AB＝AC． （2）解：∵∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AE⊥BC， ∴，，EC＝AE， ∴EC＝AE＝2． ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝． ∴DE＝BE﹣BD＝2﹣（+1）＝﹣1． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握直角三角形的性质． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $