第13讲 平面几何初步（讲义）-备战2026年浙江中考数学一轮复习

备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第13讲 几何图形初步 ( 课标要求 ) 1．通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念 2．会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义 3．掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短 4．理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 5．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差 6．理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质 7．理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线 8．掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 11．识别同位角、内错角、同旁内角 12．理解平行线的概念 13．掌握平行线基本事实1：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 14．掌握平行线基本事实2：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 15．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行 16．掌握平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．*了解定理的证明 17．探索并证明平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补) 18．了解平行于同一条直线的两条直线平行 19．能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．线段向一方无限延伸就成为 ．线段向两方无限延伸就成为 ．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． 2．直线有以下的基本事实： ． 线段有以下的基本事实： ． 连结两点的 叫做这两点间的距离． 3．由两条有 的 所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的 ．角也 可以看成是由一条 绕着它的端点旋转而成的图形． 1周角＝ 平角＝ 直角＝360°；1°＝ ，1′＝ ． 4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角 ，简称互余．同角或等角的 余角相等． 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角 ，简称互补．同角或等角的补角相等． 5．两条直线相交，只有 个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对 角叫做对顶角．对顶角 ． 6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线 ，其中 的一条直线叫做另一条直线的 ，它们的交点叫做 ． 从直线外一点到这条直线的 ，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有 条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短． 7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的 ，简称中垂线． 8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做 ．经过直线外一点，有 条直线与这条直线平行． 9．平行线的判定及性质： (1)判定： ①在同一平面内， 的两条直线叫做平行线． ②同位角 ，两直线平行． ③内错角 ，两直线平行． ④同旁内角 ，两直线平行． ⑤在同一平面内， 同一条直线的两条直线互相平行． ⑥ 同一条直线的两条直线互相平行． (2)性质： ①两直线平行， ． ②两直线平行， ． ③两直线平行， ． ( 考点精析 ) ■考点一　线段、射线、直线的概念、度量及计算► 【例1.1】（2025•九台区一模）如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【例1.2】（2025•滨州）如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【例1.3】（2025•朝阳区校级一模）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【例1.4】（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定 【例1.4】（2025•遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm ■考点二　角的概念、度量及计算► 【例2.1】（2025•市南区校级模拟）下列四个图中，能用∠1、∠ACB、∠C三种方法表示同一角的是（　　） A． B． C． D． 【例2.2】（2025•南通）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【例2.3】（2025•桥西区一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（　　） A．35° B．50° C．85° D．90° 【例2.4】（2025•雁塔区校级模拟）计算：15.4°＝（　　） A．15°4' B．15°24' C．15°36' D．15°40' 【例2.5】（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．76° B．74° C．64° D．52° 【例2.6】（2022•温州二模）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　） A．120° B．60° C．30° D．150° ■考点三　两直线相交及其性质► 【例3.1】（2025•北京模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 【例3.2】（2025•慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数． ■考点四　平行线的判定与性质► 【例4.1】（2025•宁波模拟）如图，平行线AB，CD被EF所截，若∠1＝50°，则∠2等于（　　） A．100° B．130° C．140° D．150° 【例4.2】（2025•开化县模拟）如图，直线a，b被直线c，d所截形成的角中，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝70°，则∠4＝（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【例4.3】（2025•苏州模拟）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE． （1）证明：AC∥BF； （2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长． ( 巩固训练 ) 1．（2023•金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　） A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′ 2．（2025•保定模拟）如图，这是嘉嘉绘制的从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km，从上到下分别为路线M，N，P，Q，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（　　） A．路线M B．路线N C．路线P D．路线Q 3．（2025•安次区校级二模）如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 4．（2025•莲池区校级模拟）已知线段AB＝16cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．8cm B．9cm C．7cm或5cm D．7cm或9cm 5．（2024•邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 6．（2025•广西模拟）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于8：00．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（　　） A．800° B．150° C．130° D．120° 7．（2025•池州一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠1＝36°，则∠COE＝（　　） A．26° B．72° C．108° D．144° 8．（2025•广饶县二模）如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 9．（2025•椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．111° B．127° C．137° D．143° 10．（2025•朝阳区校级一模）计算35°20'+25°50'＝　　 ． 11．（2025•金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　　 °． 12．（2025•福建模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　　 ． 13．（2025•南京模拟）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，∠AOD＝60°，则∠AOB＝　80°　 ． 14．（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　　 ． 15．（2025•长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数． 16．（2024•永昌县三模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC． 17．（2025•闽侯县校级模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，∠BOD：∠BOE＝1：2． （1）求∠AOF的度数； （2）若过点O作射线OG，使得∠GOE＝∠AOC，求∠AOG的度数． 18．（2024•凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥AE； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $备战2026年浙江中考数学一轮复习·讲义 第四单元 三角形与四边形 第13讲 几何图形初步 ( 课标要求 ) 1．通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念 2．会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义 3．掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短 4．理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离 5．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差 6．理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质 7．理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线 8．掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 10．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 11．识别同位角、内错角、同旁内角 12．理解平行线的概念 13．掌握平行线基本事实1：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 14．掌握平行线基本事实2：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 15．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行 16．掌握平行线的性质定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．*了解定理的证明 17．探索并证明平行线的性质定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补) 18．了解平行于同一条直线的两条直线平行 19．能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 ( 知识网络 ) ( 知识清单 ) 1．线段向一方无限延伸就成为射线．线段向两方无限延伸就成为直线．线段是直线上两点间的部分，射线是直线上某一点一旁的部分． 2．直线有以下的基本事实：经过两点有一条而且只有一条直线． 线段有以下的基本事实：两点之间线段最短． 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离． 3．由两条有公共端点的射线所组成的图形叫做角，这个公共端点叫做这个角的顶点．角也 可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形． 1周角＝ 2 平角＝ 4 直角＝360°；1°＝ 60′ ，1′＝ 60″ ． 4．如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余．同角或等角的 余角相等． 如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互补．同角或等角的补角相等． 5．两条直线相交，只有一个交点．两条直线相交形成四个角，我们把其中相对的任何一对 角叫做对顶角．对顶角相等． 6．当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时，我们说这两条直线互相垂直，其中 的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 7．垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线． 8．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 9．平行线的判定及性质： (1)判定： ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． ②同位角相等，两直线平行． ③内错角相等，两直线平行． ④同旁内角互补，两直线平行． ⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． ⑥平行于同一条直线的两条直线互相平行． (2)性质： ①两直线平行，同位角相等． ②两直线平行，内错角相等． ③两直线平行，同旁内角互补． ( 考点精析 ) ■考点一　线段、射线、直线的概念、度量及计算► 【例1.1】（2025•九台区一模）如图，用一个钉子把一根木条钉在墙上，发现木条可以转动，若用2个钉子钉木条，则木条被固定在墙上，其运用到的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行 【思路点拨】过一点可作无数条直线，而两点确定一条直线． 【解析】解：运用到的数学原理是两点确定一条直线， 故选：C． 【点睛】本题考查直线的性质，关键是根据两点确定一条直线在生活中的应用解答． 【例1.2】（2025•滨州）如图，秦岭终南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【思路点拨】依据线段的性质，即可得出结论． 【解析】解：两点之间，线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的性质，熟练掌握两点之间，线段最短是关键． 【例1.3】（2025•朝阳区校级一模）如图，C是线段AB上的一点，M是线段AC的中点，若AB＝8cm，BC＝2cm，则MC的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【思路点拨】由图形可知AC＝AB﹣BC，依此求出AC的长，再根据中点的定义可得MC的长． 【解析】解：由图形可知AC＝AB﹣BC＝8﹣2＝6cm， ∵M是线段AC的中点， ∴MC＝AC＝3cm． 故MC的长为3cm． 故选：B． 【点睛】考查了两点间的距离的计算；求出与所求线段相关的线段AC的长是解决本题的突破点． 【例1.4】（2024•滦南县校级模拟）如图AB＝CD，则AC与BD的大小关系是（　　） A．AC＞BD B．AC＜BD C．AC＝BD D．无法确定 【思路点拨】根据AB＝CD两边都加上线段BC得出AB+BC＝CD+BC，即可得出答案． 【解析】解：∵AB＝CD， ∴AB+BC＝CD+BC， ∴AC＝BD， 故选：C． 【点睛】本题考查了比较线段的长度的应用，主要考查学生的推理能力． 【例1.4】（2025•遵义模拟）线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm，那么BQ的长是（　　） A．2cm或22cm B．18cm或28cm C．8cm或28cm D．8cm或18cm 【思路点拨】P点可确定，但Q点不能确定，需分Q点在P点左侧和右侧两种情况考虑． 【解析】解：如图1，当Q点在P点右侧时， ∵线段AB上有P，Q两点，AB＝30cm，AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴BQ＝AB﹣AP﹣PQ＝30﹣12﹣10＝8（cm）． 如图2，当Q点在P点左侧时， ∵AP＝12cm，PQ＝10cm， ∴AQ＝AP﹣PQ＝12﹣10＝2（cm）， ∵AB＝30cm， ∴BQ＝AB﹣AQ＝30﹣2＝28（cm）， 综上所述，BQ长为8cm或28cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的和差，能进行分类讨论求解是解题的关键． ■考点二　角的概念、度量及计算► 【例2.1】（2025•市南区校级模拟）下列四个图中，能用∠1、∠ACB、∠C三种方法表示同一角的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据角的表示方法进行判断即可． 【解析】解：根据角的表示方法可知，选项C中的∠1，∠ACB，∠C表示同一角， 故选：C． 【点睛】本题考查角的定义及其表示方法，正确认识角和记忆角的表示方法是解决本题的关键． 【例2.2】（2025•南通）上午9时整，钟表的时针和分针构成的角的度数为（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【思路点拨】根据时钟上一大格是30°进行计算，即可解答． 【解析】解：由题意得：3×30°＝90°， 故选：C． 【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30°是解题的关键． 【例2.3】（2025•桥西区一模）如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，在B岛的北偏西35°方向，则∠ACB的度数是（　　） A．35° B．50° C．85° D．90° 【思路点拨】过点C作CF∥AD，根据猪脚模型进行计算，即可解答． 【解析】解：过点C作CF∥AD， ∴∠DAC＝∠ACF＝50°， ∵AD∥BE， ∴CF∥BE， ∴∠BCF＝∠EBC＝35°， ∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝85°． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，方向角，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例2.4】（2025•雁塔区校级模拟）计算：15.4°＝（　　） A．15°4' B．15°24' C．15°36' D．15°40' 【思路点拨】根据度分秒之间的进率进行转化即可． 【解析】解：15.4°＝15°+0.4×60′＝15°24′， 故选：B． 【点睛】本题考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的进率是解题的关键． 【例2.5】（2025•陕西）如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．76° B．74° C．64° D．52° 【思路点拨】由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1＝104°，由邻补角的性质即可求出∠2的度数． 【解析】解：∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠1＝2×52°＝104°， ∴∠2＝180°﹣∠AOC＝76°． 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的定义，余角和补角，关键是由角平分线的定义得到∠AOC＝2∠1． 【例2.6】（2022•温州二模）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（　　） A．120° B．60° C．30° D．150° 【思路点拨】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2． 【解析】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°， ∵∠2与∠3互补， ∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°． 故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°． ■考点三　两直线相交及其性质► 【例3.1】（2025•北京模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（　　） A．28° B．30° C．32° D．34° 【思路点拨】首先由OE⊥OF，∠AOF＝28°利用平角的定义可求出∠EOB＝62°，再根据角平分线的定义得∠DOE＝2∠EOB＝124°，进而再根据平角的定义可求出∠COE的度数，最后再根据垂直的定义可求出∠COF的度数． 【解析】解：∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°， 又∠AOF＝28°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，利用平角的定义和垂直的定义找出相关角的关系． 【例3.2】（2025•慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC． （1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数； （2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数． 【思路点拨】（1）由角平分线的定义得到∠EOC＝2∠AOC，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝35°，即可求出∠EOC的度数； （2）由∠EOC：∠EOD＝1：4，求出∠EOC 度数，由角平分线的定义求出∠AOC的度数，由对顶角的性质即可求出∠BOD的度数． 【解析】解：（1）∵OA平分∠EOC， ∴∠EOC＝2∠AOC， ∵∠AOC＝∠BOD＝35°， ∴∠EOC＝2×35°＝70°； （2）∵∠EOC：∠EOD＝1：4，∠EOC+∠EOD＝180°， ∴∠EOC＝×180°＝36°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC＝∠EOC＝18°， ∴∠BOD＝∠AOC＝18°． 【点睛】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，关键是掌握对顶角的性质，邻补角的性质，角平分线的定义． ■考点四　平行线的判定与性质► 【例4.1】（2025•宁波模拟）如图，平行线AB，CD被EF所截，若∠1＝50°，则∠2等于（　　） A．100° B．130° C．140° D．150° 【思路点拨】根据平行线的性质和平角的定义，进行求解即可． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠3＝50°（两直线平行，同位角相等）， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣50°＝130°； 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 【例4.2】（2025•开化县模拟）如图，直线a，b被直线c，d所截形成的角中，∠1＝130°，∠2＝50°，∠3＝70°，则∠4＝（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 【思路点拨】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【解析】解：如图， ∵∠1＝130°，∠2＝50°， ∴∠1+∠2＝180°， ∴a∥b， ∴∠3＝∠5＝70°， ∵∠4+∠5＝180°， ∴∠4＝110°， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． 【例4.3】（2025•苏州模拟）在△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连接ED并延长使DF＝DE． （1）证明：AC∥BF； （2）若BC＝8，AB＝5，DB平分∠ABF，求AD的长． 【思路点拨】（1）证明△BDF≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠FBD＝∠C，然后证明结论即可； （2）证明△ABC为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDE中， ， ∴△BDF≌△CDE（SAS）， ∴∠FBD＝∠C， ∴AC∥BF； （2）解：由条件可知∠FBD＝∠ABD， 由（1）可知，∠FBD＝∠C， ∴∠ABD＝∠C， ∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形， ∴AD⊥BC，， ∴在Rt△ABD中，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解题关键． ( 巩固训练 ) 1．（2023•金华模拟）已知∠α＝76°22′，则∠α的补角是（　　） A．103°38′ B．103°78′ C．13°38′ D．13°78′ 【思路点拨】根据补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互补，列出式子计算即可． 【解析】解：180°﹣76°22′＝103°38′， 故选：A． 【点睛】本题考查了补角的定义，度分秒的换算，掌握1°＝60′是解题的关键． 2．（2025•保定模拟）如图，这是嘉嘉绘制的从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km，从上到下分别为路线M，N，P，Q，其中某条路线所标的数据错误，则数据错误的是（　　） A．路线M B．路线N C．路线P D．路线Q 【思路点拨】这两地之间的最短距离为8km，其他线路都应大于8km，但是N线路的长度为8km，所以N线路所标的数据错误． 【解析】解：∵从A地到B地的路线图，这两地之间的最短距离为8km， ∴其他线路都应大于8km， ∵N线路的长度为3+3+2＝8（km）， ∴路线N所标的数据错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段的性质，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 3．（2025•安次区校级二模）如图，平面上点C为线段AB外一点，AB＝10，连接AC，BC．线段AC+BC的长可能是（　　） A．7 B．9 C．10 D．11 【思路点拨】根据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【解析】解：根据三角形任意两边之和大于第三边可知：AC+BC＞AB＝10， 故线段AC+BC的长可能是11． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离，掌握两点间的距离的计算方法是关键． 4．（2025•莲池区校级模拟）已知线段AB＝16cm，点C是直线AB上一点，BC＝2cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（　　） A．8cm B．9cm C．7cm或5cm D．7cm或9cm 【思路点拨】根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可． 【解析】解：∵点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴AM＝CM＝AC，BN＝CN＝BC， 当点C在线段AB上时，MN＝CM+CN＝ （AC+BC）＝AB＝8cm； 当点C在线段AB的延长线上时，MN＝CM﹣CN＝ （AC﹣BC）＝AB＝8cm． 故选：A． 【点睛】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． 5．（2024•邯郸模拟）如图，某同学利用量角器测量∠AOB的度数，已知OA，OB经过的刻度分别是70°，115°，则∠AOB＝（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【思路点拨】依题意得∠COA＝70°，∠COB＝115°，再根据∠AOB＝∠COB﹣∠COA可得出答案． 【解析】解：如图所示： 依题意得：∠COA＝70°，∠COB＝115°， ∴∠AOB＝∠COB﹣∠COA＝115°﹣70°＝45°， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了量角器的使用，角的计算，熟练掌握量角器的使用，角的计算是解决问题的关键． 6．（2025•广西模拟）为保障学生的睡眠时间，教育部规定，小学生上课时间不能早于8：00．如图，8点钟时，分针与时针所夹的度数是（　　） A．800° B．150° C．130° D．120° 【思路点拨】根据8：00时，分针指向12，时针指向8，从而可得答案． 【解析】解：∵钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为， ∵8：00时，分针指向12，时针指向8， ∴此时所成的角为4×30°＝120°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是钟面角的大小，理解钟面被等分成12份，每一份对应的圆心角为30°是解本题的关键． 7．（2025•池州一模）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOD．若∠1＝36°，则∠COE＝（　　） A．26° B．72° C．108° D．144° 【思路点拨】由邻补角互补可得∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，由角平分线的定义可得，由对顶角相等可得∠COA＝∠1＝36°，然后根据∠COE＝∠COA+∠AOE即可求出∠COE的度数． 【解析】解：根据题意可知，∠AOD＝180°﹣∠1＝144°， ∵OE平分∠AOD， ∴， 又∵∠COA＝∠1＝36°， ∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝36°+72°＝108°． 故选：C． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，掌握几何图形中角度计算问题是解题的关键． 8．（2025•广饶县二模）如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（　　） A．15cm B．7.5cm C．13.1cm D．12.1cm 【思路点拨】由题意可求出水笔的长度，再求出他的一半，加上5，6即可解答． 【解析】解：∵水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm． ∴水笔的长度为20.6﹣5.6＝15，水笔的一半＝15÷2＝7.5， ∴水笔的中点位置的刻度约为5.6+7.5＝13.1． 故选：C． 【点睛】解答此题的关键是求出水笔的长度，再求出他的一半，加上起始长度即可解答． 9．（2025•椒江区二模）如图，直线a∥b，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若∠1＝37°，则∠2的度数为（　　） A．111° B．127° C．137° D．143° 【思路点拨】利用平行线的性质即可解答． 【解析】解：∵a∥b，∠1＝37°， ∴∠2＝90°+∠1＝127°， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 10．（2025•朝阳区校级一模）计算35°20'+25°50'＝　61°10'　 ． 【思路点拨】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解析】解：35°20'+25°50'＝60°70′＝61°10′， 故答案为：61°10'． 【点睛】本题考查了度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 11．（2025•金华模拟）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处，则∠ABC的度数为 　105　 °． 【思路点拨】根据方向角求出∠EBC，再根据平行线的性质求出∠ABE即可得出答案． 【解析】解：如图： ∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东65°方向行走至点C处， ∴∠DAB＝40°，∠CBE＝65°， ∵AD∥BE， ∴∠ABE＝∠DAB＝40°， ∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+65°＝105°． 故答案为：105． 【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键． 12．（2025•福建模拟）如图，M，N位于数轴上原点O两侧，且OM＝3ON．若点M表示的数是9，则点N表示的数是　﹣3　 ． 【思路点拨】先根据点M表示的数是9得出OM＝9，再由OM＝3ON得出ON的长，进而可得出结论． 【解析】解：∵点M表示的数是9， ∴OM＝9， ∵OM＝3ON， ∴ON＝3， ∵点N在x轴的负半轴， ∴点N表示的数是﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】本题考查的是线段的和差，数轴，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解题的关键． 13．（2025•南京模拟）如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠COB的平分线，∠AOD＝60°，则∠AOB＝　80°　 ． 【思路点拨】利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠AOB，利用已知条件∠AOB可求． 【解析】解：∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB． ∵OD是∠COB的平分线， ∴∠COD＝∠BOC＝∠AOB． ∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝∠AOB． ∵∠AOD＝60°， ∴∠AOB＝60°， ∴∠AOB＝80°． 故答案为：80°． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠AOB是解题的关键． 14．（2025•游仙区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝ 　20°　 ． 【思路点拨】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案． 【解析】解：∵AB∥EF， ∴∠BOF＝∠1＝60°， ∵CD∥EF， ∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°， ∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 15．（2025•长安区校级模拟）如图，三条直线AB，CD，EF相交于点O，且CD⊥EF，∠AOE＝70°，若OG平分∠BOF．求∠DOG的度数． 【思路点拨】根据对顶角相等可得∠BOF＝∠AOE＝70°，由CD⊥EF可得∠DOF＝90°，再根据角平分线的性质求得∠GOF，进而根据∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF计算即可． 【解析】解：∵三条直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOE＝70°， ∴∠BOF＝∠AOE＝70°， ∵CD⊥EF， ∴∠DOF＝90°， ∵OG平分∠BOF， ∴， ∴∠DOG＝∠DOF﹣∠GOF＝90°﹣35°＝55°． 【点睛】本题考查了几何图形中角的和差计算，对顶角的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 16．（2024•永昌县三模）如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，∠CFE＝∠E．求证：AD∥BC． 【思路点拨】首先利用平行线的性质以及角平分线的定义得到满足关于AD∥BC的条件，内错角∠2和∠E相等，得出结论． 【解析】证明：∵AE平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥CD，∠CFE＝∠E， ∴∠1＝∠CFE＝∠E， ∴∠2＝∠E， ∴AD∥BC． 【点睛】本题考查角平分线的定义以及平行线的性质定理和判定定理．关键是根据平行线的性质以及角平分线的定义解答． 17．（2025•闽侯县校级模拟）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF＝90°，∠BOD：∠BOE＝1：2． （1）求∠AOF的度数； （2）若过点O作射线OG，使得∠GOE＝∠AOC，求∠AOG的度数． 【思路点拨】（1）根据角平分线定义得出∠COE＝∠BOE，根据∠BOD：∠BOE＝1：2，得出∠BOD：∠BOE：∠EOC＝1：2：2，然后再根据平角的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可． 【解析】解：（1）∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC， 由于∠BOD：∠BOE＝1：2，可设∠BOD＝x，则∠BOE＝∠COE＝2x， ∵∠BOD+∠BOE+∠COE＝180°， 即x+2x+2x＝180， 解得x＝36， ∴∠BOD＝36°，∠BOE＝72°，∠BOC＝144°， ∴∠BOD＝∠AOC＝36°， 又∵∠COF＝90°， ∴∠AOF＝∠COF﹣∠AOC＝90°﹣36°＝54°， （2）由（1）知∠AOC＝36°，∠BOE＝72°， ∴∠GOE＝∠AOC＝36°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE＝∠BOE＝72°， 分两种情况： ①∠AOG＝∠AOC+∠COE+∠GOE＝36°+72°+36°＝144°， ②∠GOC＝∠COE﹣∠GOE＝72°﹣36°＝36°， ∴∠AOG＝∠AOC+∠GOC＝36°+36°＝72°． 即∠AOG＝72° 或∠AOG＝144°． 【点睛】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键． 18．（2024•凉州区三模）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2． （1）求证：FG∥AE； （2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数． 【思路点拨】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABD＝60°，然后利用角平分线的定义可得∠ABH＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答． 【解析】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠FGC， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠FGC， ∴FG∥AE； （2）解：∵FG⊥BC， ∴∠FHB＝90°， ∵AB∥CD，∠D＝120°， ∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABH＝∠ABD＝30°， ∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°， ∴∠1的度数为60°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $