重难专题05 导数大招之二：泰勒展开式及其应用(6大基础题型+能力提升+拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第

重难专题05 导数大招之二：泰勒展开式及其应用 【知识方法剖析】 1.泰勒展开式（泰勒公式） 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五。正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2.超越不等式 从中截取片段, 就构成了高考数学考察导数的常见的不等式——超越不等式（注意解答题需先证明后使用）： ①对数型超越不等式（） （略证：由泰勒公式②得，从而得，于是得 ，用替换“”得（）. ②指数型超越不等式：. （略证：由泰勒公式①得，用-x代替x得 当时， ； 当时，对于上式结论）。 ③ 对 恒成立;④ 对 恒成立; ⑤ 对 恒成立;⑥ 对 恒成立 ⑦ 题型一 利用泰勒展开式求近似值 1．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值） A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005 【答案】C 【分析】由题目观察可知，代入即可发现解法. 【解析】 所以=4.755 故选：C 2．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据麦克劳林公式得：， 所以 由于. 故的近似值为. 故选：B. 3．计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有． 其中是的导数，是的导数，是的导数……． 取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，精确到0.01的近似值为 ． 【答案】 【解析】取时，可得 则 ， 所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为， 令，代入上式可得. 题型二 利用泰勒展开式比较大小 1.· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】直接利用泰勒展开式比较大小. 设 ， . 则； ， 所以c<a<b,故选C. 2.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解法1（构造函数）：因为,因为当,所以,即,所以；设，，所以在单调递增，即x>0时， 则,所以，所以,所以.故选A. 解法2（泰勒公式、估算法）:由泰勒公式可得 , 3.（2021·全国乙，12）设，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题方法很多，这里只给出泰勒公式法. 排除A与D,显然只需考虑a与c的大小; ,由泰勒公式⑥，得故选B. 题型三 利用超越不等式比较大小 1．已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法1（超越不等式法）： （超越不等式：，当且仅当时取“=”）. （超越不等式：，当且仅当时取“=”）. 所以 解法2（泰勒公式法）：由泰勒公式得<a; =a,故. 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别构造函数，，和，，求导得到函数，的单调性，由单调性即可比较出，，的大小． 【解析】设，， 则， 所以在上单调递减， 所以， 所以，即，则； 设，则，故在上单调递增， 则，即，则，综上. 故选：C. 3.已知实数a，b，c满足，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由超越不等式，得，所以，即， 又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故选A. 4.若，则的小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， ∴时，，在上单调递增． ∴，即， ∴，． 设，则， ∴当时，，即在上单调递增． ∴，， ∴，即． 综上，. 故选：C． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合幂函数的单调性判断得，再构造函数，推得，从而推得，由此得解. 【解析】因为，所以； 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，故， 则，即，当且仅当时，等号成立， 当，即，有， 从而有； 综上，. 题型四 利用泰勒展开式证明不等式 1．证明不等式：． 【分析】不等式左边是三次二项式的初等函数，右边是三角函数，两边无明显的大小关系 ．这时我们可用在的二阶麦克劳林公式表示出来，然后进行比较判断两者的大小关系． 【解析】证明： 因为，， ，， ，， ，， 将原函数近似函数展开(泰勒展开)至含三阶导的项，则 0，()， ∴0，有. 【点睛】方法点睛：在含有无理函数与幂函数结合的不等式证明问题中，它们之间没有明显的大小关系．如果用常规方法（放缩法、比较法，代换法等），很难比较大小关系，但用泰勒公式却能轻易解答． 2．证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】设，求出再代入的二阶泰勒公式，即得解. 【解析】设，则， ， 代入的二阶泰勒公式，有， ． 所以原题得证. 题型五 利用对数型超越不等式证明不等式 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 【解析】(1) 当时，，故函数在上单调递增 当时， 故函数在上单调递减，在上单调递增 (2)由（1）可知， 令， 即函数在上单调递减，故 故，，故 即. 2．已知函数. (1当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明：. 【解析】（1）由，得恒成立，令，则， 所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以的最小值为， 所以，即，故的取值范围是； (2)由（1）知时，有，所以. ①要证，可证，只需证. 先证， 构造函数，则， 由得，由得，∴在上单减，在上单增， ∴，故（当且仅当时取等号）， 从而当时，.故当时，成立. ②要证，可证. 构造函数，则， 由得，由得，∴在上单增，在上单减， 故，即（当且仅当时取等号）， 从而当时，. 由于，所以，所以， 综上所述，当时， . 【点评】要证明，可通过证明来证得.在利用导数证明不等式的过程中，主要利用的是导数的工具性的作用. 题型六 利用指数型超越不等式证明不等式 1．已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：，． 【分析】（1）求得，转化为在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，得出函数的单调性和最大值，即可求解. （2）当时，得到且，当时，只需使得，利用导数求得单调递增，得到；当时，显然满足；当时，由和，得到，即可得证. 【解析】（1）由函数，可得， 因为在R上单调递增，可得在R上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，可得， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以当时，函数取得极大值，最大值，所以， 即实数a的取值范围为. （2）当时，，可得 可得，要使得，只需使得， 当时，令，可得， 所以在上单调递增， 又由，所以，所以在上单调递增， 所以； 当时，可得且，所以，满足； 当时，可得，因为且， 所以，所以， 综上可得，对于，都有. 2．已知函数． (1)求函数的单调区间和最小值； (2)若，证明：． 【分析】（1）求出函数的导数，判断导数的正负，即可求得单调区间以及函数的最小值. （2）利用基本不等式放缩，将化为，即可证明，由此构造函数，利用导数可推出，故需证明，继而构造函数，再利用导数进行不等式的证明，即可证明结论. 【解析】（1）由于，则， 令，则；令，则； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 则； （2）证明：由题意知，则，故， 当且仅当，即时取等号，由于，而， 故等号取不到，，故， 要证明，只需证， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 故，即； 故只需证明，即证， 令，， 由（1）知，故， 即在上单调递增，则， 故，即成立，故原命题得证. 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可. 【解析】设，则在上单调递减， 所以，所以，，， ， 所以， 故选：A. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用，结合幂函数的单调性判断得，再构造函数，推得，从而推得，由此得解. 【解析】因为，所以； 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，故， 则，即，当且仅当时，等号成立， 当，即，有， 从而有； 综上，. 3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过将，变形，构造函数比较，，将泰勒展开，再与进行比较即可. 【解析】由已知，，， 设，， 则， 其中， 令，则， 当时，，∴在上单调递减，， ∴当时，，， 在上单调递增， ∴，即，∴有. 对于与，， 将泰勒展开，得， ， ∴. 综上所述，，，的大小关系为. 故选：C. 4．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数得到，，，再构造函数比较出，，从而比较出大小. 【解析】令，，则，当时，， 所以在上单调递增，， 故， 令，，则在上恒成立， 故在单调递减，故， 所以， 令，，则， 故在上单调递减， 故，即， 构造，，则， 令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，又，故在恒成立， 故在上单调递增，又，故在恒成立， 故，即，， 构造，， 则，令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，又， 故在上恒成立，故在上单调递减， 又，故在上恒成立，故在上单调递减， 故，即，即， 因为，故. 故选：C 5.（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式 由此可以判断下列各式正确的是（    ）． A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位） C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A、B，将关于的泰勒展开式两边求导得的泰勒展开式，再验证结论是否正确； 对于C，由，再代入关于的泰勒展开式验证是否成立； 对于D，由，证明 即可. 【解析】对于A、B，由， 两边求导得， ， ， 又， ， ，故A正确，B错误； 对于C，已知，则. 因为，则，即成立，故C正确； 故C正确； 对于D，,， ， 当，；；； ，, 所以，所以成立，故D正确. 故选：ACD. 6．若函数，则 ． 【答案】2 【分析】方法一：由泰勒公式可得，则当时，，根据和时不等式成立可得； 方法二：构造函数，并求出导函数，因为恒成立且，根据极值点的性质得，即可求解. 【解析】（方法一）由泰勒公式可知， ，， 故． 当时，． 又， 所以当时，，当时，． 综上，． （方法二）设，， 则． 由题意可得恒成立. 因为，所以函数在处取到最小值， 因为，且在上为连续函数，所以为的极小值点， 所以，解得． 故答案为：2. 7.已知函数的最小值为0. (1)求． (2)证明：（i）； （ii）对于任意. 【分析】（1）求导，结合分类讨论确定函数的单调性，即可求解最值， （2）根据和得，即可求证（i），根据. 代入即可求证. 【解析】（1）的定义域为，且. 若，恒有单调递减，没有最小值，不符合题意. 若，令，解得，当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，取最小值，即， 得，所以. （2）（i）由（Ⅰ）可知时，， 即，所以①， 由，可得②， 因为①②等号成立的条件不同，所以由①②可得，所以，即. （ii）当时，，即. 令，得. 所以， 即， 所以，于是得证. 8．已知函数． (1)证明：曲线是中心对称图形； (2)若当且仅当，求b的取值范围． 【分析】（1）根据函数的对称性证明，根据定义域联想到为定值是关键； （2）利用泰勒展开式得到一个不等式，通过换元法即可得到目标不等式，进而求解. 【解析】（1）因为，所以的定义域为. 所以 ， 所以曲线关于点中心对称，即曲线是中心对称图形． （2）假设，则1在的解集中， 与“当且仅当”矛盾，所以； 假设，则由函数的连续性知存在实数， 使得，与“当且仅当”矛盾，所以， 所以. ,即亦即， 由泰勒展开知， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 两式相加后就得到了泰勒展开加强式，， 令，即，得， 当且仅当时等号成立，所以当时，恒成立. 又当时，， 所以，解得， 即b的取值范围是． 9．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式．比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据） 【分析】（1）利用泰勒展开公式将在处展开即可求解； （2）利用泰勒展开公式将在展开，将代入。利用即可求解； （3）由在处的泰勒展开式，先证，再令，，利用导数研究恒成立即可. 【解析】（1）由，，，， 其中， 在处的泰勒展开式为：， （2）记，则， ， 所以， 因为， 所以且， ，． （3）因为， 由在处的泰勒展开式，先证， 令， ，易知，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，，易得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而，所以恒成立， 当时， ，所以成立， 当时，令，，易求得， 所以必存在一个区间，使得在上单调递减， 所以时，，不符合题意． 综上所述，． 10．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性． (1)用前三项计算； (2)已知，，，试证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用泰勒计算即可； （2）利用泰勒展式可得，法1，利用单位圆可证，故可得三者的大小关系；法2，利用泰勒展式并放大可得，利用泰勒展式并缩小可得，两者作差即可比较大小，可得三者的大小关系. 【解析】（1）由泰勒公式，则． （2）法1：由泰勒公式可知 ， 下面证：. 证明：如图，在单位圆中，，与单位圆的交点为，， 因大于扇形的面积，故， 故. 由上述不等式可得，故， 综上，有，即. 法2：由泰勒公式可知 ， 而 ， 又因为 ， 故有，所以. 11．设函数． (1)当时，讨论的单调性，并证明； (2)证明：①当时，； ②当时，，当时，； ③当时，函数存在唯一的零点． 【分析】（1）求导得，令，继续求导发现即在上单调递增，结合即可得的单调性，从而也可得证； （2）①构造函数，求导得其单调性、最值即可得证； ②构造函数，求导得其单调性即可得证； ③当时，，，设，则，由①、②得在单调递增，然后分类讨论得在单调递减，从而，由此可得单调，由零点存在定理即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 设，则， 所以当时，，函数在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以当时；当时， 因此，当时，在单调递减，在单调递增， 所以． （2）①设，则， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，即时，． ②设，则， 所以在上单调递增，且， 所以当时，，即； 当时，，即． ③当时，，， 设，则， 当时，由①、②，得 ， 所以在单调递增； 当时， （ⅰ）若，由①知，得，故， 又由②知当时，成立， 则，此时单调递减， （ⅱ）若，则， 此时单调递减， 由（ⅰ）（ⅱ）可知在单调递减，即在单调递减． 综上，可知当时，，所以在上单调递增， 又，， 所以根据零点存在定理可知在上存在唯一零点． 【点睛】关键点点睛：第二问③的关键是结合①、②结论得在单调递增，然后分类讨论得在单调递减，由此即可顺利得解. 12．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：； (3)若且，求证：． 【分析】（1）求，令，求，讨论的大小可证得，即，即可得出的单调性； （2）法一：要证，即证，记，讨论的单调性和最值即可证明；法二：通过构造函数结合已知条件放缩要证即证即可. （3）法一：由（1）可知为减函数，所以，要证即证，构造函数证明即可；法二：先证，即，则，再结合基本不等式即可证明. 【解析】（1）的定义域为，， 记， 当时，单调递增；当时，单调递减， 所以，即， 所以在区间上单调递减． （2）法一：先证，记， 则， 记，则，所以时，递增； 时，递减． 所以，所以，又，所以，故． 再证，即证，记， 则， 记，则，所以在递增， 所以，所以，即， 所以. 法二：构造函数， 当时，单调递增，，所以， 构造函数， 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以，即，即成立． 所以， 所以， 则只需证明，即，而显然成立， 所以． （3）法一：由（2）知的最大值为0． 因为且，则之中至少有一个大于1， 不妨设，则，由（1）可知为减函数，所以， 所以， 因为 ， 记，则， 因为，所以，所以，所以． 法二：先证，记， 则， 记，则，所以时，递增； 时，递减． 所以，所以，又，所以，故． 所以， 因为且， 所以， 所以，所以，则． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题05 导数大招之二：泰勒展开式及其应用 【知识方法剖析】 1.泰勒展开式（泰勒公式） 泰勒展开式，也称泰勒公式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值.如果一个函数足够平滑，即若函数在包含的某个闭区间具有阶导数, 且在开区间 上存在阶导数, 则对上任意一点, 有 =++++ +， 其中称为余项，泰勒展开式也叫泰勒级数.我们更多的是用泰勒公式在0时的特殊形式： 即=+++++. 以下列举一些常见函数的泰勒公式： ①; ② ; ③; ④; ⑤. ⑥. ⑦ 只需记住公式①②③⑥，公式③求导即得公式④，公式②求导即得公式⑦,再将x换成-x即得公式⑤ 【记忆口决】指对函数一二三，正弦函数一三五。正弦对数隔一换，正弦指数有感叹. 注：有感叹：就是阶乘，隔一换：是指正负号变换. 2.超越不等式 从中截取片段, 就构成了高考数学考察导数的常见的不等式——超越不等式（注意解答题需先证明后使用）： ①对数型超越不等式（） （略证：由泰勒公式②得，从而得，于是得 ，用替换“”得（）. ②指数型超越不等式：. （略证：由泰勒公式①得，用-x代替x得 当时， ； 当时，对于上式结论）。 ③ 对 恒成立;④ 对 恒成立; ⑤ 对 恒成立;⑥ 对 恒成立 ⑦ 题型一 利用泰勒展开式求近似值 1．苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值） A．2.322 B．4.785 C．4.755 D．1.005 2．苏格兰数学家科林麦克劳林(Colin Maclaurin)研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为（    ）（可能用到数值） A． B． C． D． 3．计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有． 其中是的导数，是的导数，是的导数……． 取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，精确到0.01的近似值为 ． 题型二 利用泰勒展开式比较大小 1.· 新高考I，7) 设. 则 A. B. C. D. . 2.（2022·全国甲,12） 已知，则（ ） A. B. C. D. 3.（2021·全国乙，12）设，，，则　　 A． B． C． D． 题型三 利用超越不等式比较大小 1．已知，则的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2.已知，则（    ） A． B． C． D． 3.已知实数a，b，c满足，且，则（       ） A． B． C． D． 4.若，则的小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 利用泰勒展开式证明不等式 1．证明不等式：． 2．证明不等式：． 题型五 利用对数型超越不等式证明不等式 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 2．已知函数. (1当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)当时，证明：. 题型六 利用指数型超越不等式证明不等式 1．已知函数． (1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：，． 2．已知函数． (1)求函数的单调区间和最小值； (2)若，证明：． 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5.（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式 由此可以判断下列各式正确的是（    ）． A．（i是虚数单位） B．（i是虚数单位） C． D． 6．若函数，则 ． 7.已知函数的最小值为0. (1)求． (2)证明：（i）； （ii）对于任意. 8．已知函数． (1)证明：曲线是中心对称图形； (2)若当且仅当，求b的取值范围． 9．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式．当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式．比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式请利用上述公式和所学知识完成下列问题： (1)写出在处的泰勒展开式； (2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位； (3)若，恒成立，求a的范围．（参考数据） 1．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性． (1)用前三项计算； (2)已知，，，试证明：． 2．设函数． (1)当时，讨论的单调性，并证明； (2)证明：①当时，； ②当时，，当时，； ③当时，函数存在唯一的零点． 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：； (3)若且，求证：． 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $