重难专题04 导数大招之一：二阶导数的应用（7大基础题型+能力提升+拓展提升）高二数学人教A版选择性必修第二册

重难专题04 导数大招之一：二阶导数的应用 【知识方法剖析】 一、二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 二、二阶导数与一阶导数及原函数的关系 1.一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减. 2.二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减. 三、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 四、曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的.从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的. 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧. 五、曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点.因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点. 六、解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题. 题型一 利用二阶导解决函数单调性问题 1.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，① 因为函数为偶函数，则，② 联立①②可得， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上为减函数，即函数在上为减函数， 故当时，，所以，函数在上为减函数， 由可得， 所以，，整理可得，解得或. 故选：D. 2．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】在上单调递增 【解析】依题意，. 令，故，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，即， 故函数在上单调递增. 3.设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 【解析】（1）当时，，函数的定义域为， 所以，令有， 由有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由， 所以的定义域为， 所以，令， 当时，，，所以在单调递减； 当时，令有，， 所以， 所以由有，，有，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； 综上有：当时，的单调减区间为，无增区间； 当时，的单调增区间为，单调减区间为. 题型二 利用二阶导数解决极值、最值问题 1．设函数,求在上的最小值； 【解析】， 令， 得， 因为，得， 所以，故在单调递增； 所以， 所以在单调递增， 故在上的最小值为. 2．已知函数,当时，证明：存在极小值. 【解析】当时，， ， 设，. 则在时恒成立. 所以在上单调递增. 且，，设. 则当时，，则；当时，，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 3．已知函数，其中. （1）若，求在处的切线方程； （2）若是的极大值，求a的取值范围. 【解析】（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程. （2）解法1：由题意，，，，所以，若，则，，所以不是的极值，不合题意；若，则，，所以是的极大值，满足题意；若，则，，所以是的极小值，不合题意；综上所述，a的取值范围是. 解法2：由题意，，①当时，，所以在上单调递增，又，所以，，从而在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意； ②当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，若，则，可知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值，不合题意；若，则，恒成立，从而在上单调递减，故无极值，不合题意；若，则，可知当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值，满足题意；综上所述，a的取值范围是. 题型三 利用二阶导解决不等式恒(能)成立问题 1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，设函数，则， 令，故，所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，，故函数在上单调递增，在上单调递减，故，则.故选：B． 2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又关于的不等式在上有解， 所以在上有解，即，令，，则，设，，则，即在上单调递增，则，于是有，从而得在上单调递增， 因此，，则，所以的取值范围是.故选：D 3．若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为变形令 求导：，令求导 在上为增函数； 令=0，零点满足即， 所以在时，是单减，在时，是单增的 ，再令， ,所以，，取整数，那么的最大值是4 4．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 题型四 利用二阶导解决零点问题 1．已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】定义域为，显然， 若是零点，则， ， 所以也是零点，函数有三个零点， 不妨设，则， 所以，， 当时，结合定义域和判别式易知恒成立， 即函数在上单调递增，不符合题意； 当时，设的两根分别为， 易知，所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， ，当，， 所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意. 综上，的取值范围是. 2．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 【分析】（1）求导可得，分类讨论当、时函数对应的单调性即可求解； （2）由得，令，利用二次导数讨论函数的性质可得，即可下结论. 【解析】（1）函数的定义域为R，且， 当时恒成立，所以在R上单调递减， 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上可得：当时在R上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为． （2），则，令，即， 令，则， 令，则， 所以当时，则单调递减，且， 当时，则单调递增， 又，，故当时， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以，所以方程无实根， 所以函数与的图象无交点. 3．已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解； （2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明. 【解析】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 题型五 利用二阶导证明不等式 1．已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可； （2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证. 【解析】（1）由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. （2）由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 2．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： 【解析】（1）因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； （3）令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 且当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 3．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解. （2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可. 【解析】（1）当时， 所以 令在恒成立，所以函数在单调递增，且 ， 所以当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，无极大值； （2）当时， 所以． 令在恒成立 所以函数在单调递增， 且当时，；当时，， 所以函数在存在唯一零点， 即， 且当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增, 所以函数在处取得极小值, 也为最小值， 要证不等式成立， 即证成立， 即 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论． 题型六 利用二阶导解决拐点、对称中心问题 1．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】依题意得，，， 令，解得x＝1， ∵，∴函数的对称中心为， 则， ∵ ∴． 故选：A. 2．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 . 【答案】8090 【解析】由题意因为， 所以，， 令，解得，， 由题意得对称中心为， 所以， ， 题型七 利用二阶导解决图象的凹凸性 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故. 故选:  C 2．给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ） ①，②，③，④. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】①,则，当时，，则，选项①满足； ②，则，当时，，即，②不符题意； ③，则，选项③满足； ④，当时，，选项④满足. 综上有个函数符合题意. 故选：B 题型八 利用二阶导解决其他问题 1．已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 【分析】（1）求出的定义域，分别求出和即可证明； （2）写出函数并求导，令，，利用导数分别判断和的单调性，进而得到的单调性，再结合即可求解. 【详解】（1）由得或，所以函数的定义域为， 因为， ， 所以，所以关于对称， 即曲线是轴对称图形； （2）因为， 则， 令， 则， 令， 则，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 所以，即，所以在单调递增， 又， 则，即，所以， 所以不等式的解集为. 2．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）利用导数讨论函数的单调性即可； （3）构造函数，利用二阶导数讨论函数的单调性，即可下结论. 【详解】（1）当时，，所以． 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为，且． 令，得． 与的情况如下： - - 0 + 所以的单调递增区间为；单调递减区间为和． （3）当且时，，证明如下： 令，则． 设，则． 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 从而，即． 所以的单调递增区间为和． 当时，，即； 当时，，即． 综上，当且时，． 1.定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 2.定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得：，令， 则， 且， 再令，则， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数， ， 在上恒成立，在上为减函数； ，，即. 故选：C. 3.若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为变形令 求导：，令求导 在上为增函数； 令=0，零点满足即， 所以在时，是单减，在时，是单增的 ，再令， ,所以，，取整数，那么的最大值是4 4.已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（    ） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【详解】由，化简可得，即．令，则原不等式可化为， 由已知在上为单调递减函数，又，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当时，，当时，．故当时，，当时，．即在上单调递增，在上单调递减．所以．所以正数m的最小值是1，故选：B． 5．已知函数． (1)当时，证明：只有一个零点． (2)若，求的取值范围． 【分析】（1）求解的单调性，从而证明； （2）根据，即对进行构造函数多次求导后分类讨论从而求解的范围. 【解析】（1）证明：当时，， 所以：是减函数． 又因为：，所以：只有一个零点． （2）由题意得：，，即：， 令函数， 则：， 因为，要使得，则存在，使得在0,x1上单调递增，即当时，. 令函数， 则：， 因为：，要使得，则存在，使得在上单调递增，即当时，， 令函数， 则：，得：， 当，即时， 令函数，， 令函数，， 因为：在上恒成立，所以函数在上单调递增． 因为：，所以在上恒成立， 所以：在上单调递增. 因为：，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以：在上单调递增，符合题意． 当，即时，存在，使得当时，，即在上单调递减． 因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减． 因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减． 因为：，所以当时，，与题意不符． 综上：的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（2）问中采用多次求导法并结合函数的单调性，然后分类讨论，从而求解出的取值范围， 6．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【解析】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【解析】（1）函数的定义域为， 因为，所以， 则， 所以斜率，又， 所以切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数有唯一极值点. （3）由（2）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)若，且存在两个极值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【分析】（1）求导后可得再计算，则可得切线方程. （2）①令，利用导数求其单调性及最值，由条件列不等式可求的范围，并检验所得结果. ②设，由（1）知要证，只需证，令，则需证，设，利用导数求出的最小值即可证明. 【解析】（1），则，则 又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）①的定义域为， 设，则，令，得. 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为存在两个极值点，所以有两个零点， 所以，得. 又当时，，当时，， 所以满足有两个零点，有两个极值点，故的取值范围是. ②不妨设，由（1）知， 两式相减，可得，得. 要证，只需证， 即证， 即证. 令，则需证，即证. 设，则当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以. 综上，. 2．设函数. (1)当时，判断在上的单调性； (2)当时，证明：； (3)设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：令， 则， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 所以，所以在上单调递增， 所以，所以不等式成立. （3）由题可知：， 则， 令且， 所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点， 又因为且， 令， 则且 ①当时，， （i）当时，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又因为，， 由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时，， （ii）当时，， 所以， 所以由（i）（ii）知：在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 又因为， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 又因为，由（2）知：， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 当时，；当时，， 即为在上唯一变号零点，所以符合题意； ②当时，由时，得： ， 令且， 则且， 令， 又因为，则在上单调递增， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，， 即在上无零点，所以不符合题意. 综上：，即实数的取值范围为. 3．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的 ，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可； （2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解； （3）令，，则问题转化为在上恒成立，对分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解. 【解析】（1），， 所以， ， 因为，所以 ， 所以在为凸函数. （2）由（1）知在内为凸函数， 又，且（，，，）， 所以 所以 （3）令，，则在上恒成立， 则，且， 当，，不合题意舍去; 当，则， 故， 令，则 ， 令，，则， 所以在上递增，所以， 所以，即在上递增， 又，则，所以在上递增， 又，即，，符合题意; 当，令，则，， 所以，不合题意舍去， 综上，正整数a的取值集合为 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难专题04 导数大招之一：二阶导数的应用 【知识方法剖析】 一、二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 二、二阶导数与一阶导数及原函数的关系 1.一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减. 2.二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减. 三、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 四、曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的.从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的. 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧. 五、曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点.因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点. 六、解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题. 题型一 利用二阶导解决函数单调性问题 1.已知函数及其导函数的定义域都是，若函数是偶函数，也是偶函数，且，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，讨论函数的单调性. 3.设函数． (1)若，试求函数的极值； (2)设，讨论的单调性． 题型二 利用二阶导数解决极值、最值问题 1．设函数,求在上的最小值； 2．已知函数,当时，证明：存在极小值. 3．已知函数，其中. （1）若，求在处的切线方程； （2）若是的极大值，求a的取值范围. 题型三 利用二阶导解决不等式恒(能)成立问题 1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 题型四 利用二阶导解决零点问题 1．已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 3．已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 题型五 利用二阶导证明不等式 1．已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 2．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： 3．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 题型六 利用二阶导解决拐点、对称中心问题 1．对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 2．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 . 题型七 利用二阶导解决图象的凹凸性 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ） ①，②，③，④. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型八 利用二阶导解决其他问题 1．已知函数. (1)证明曲线是轴对称图形； (2)设函数，解不等式（是自然对数的底数）. 2．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)当且时，判断与的大小，并说明理由． 1.定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2.定义在上的可导函数，满足，且，若，，，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 3.若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.已知，若，恒成立，则正数m的最小值是（    ） A． B．1 C． D．e 5．已知函数． (1)当时，证明：只有一个零点． (2)若，求的取值范围． 6．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)若，且存在两个极值点. ①求的取值范围； ②证明：. 2．设函数. (1)当时，判断在上的单调性； (2)当时，证明：； (3)设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 3．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的 ，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $