第七章 复数核心基础知识清单（含pdf可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数核心基础知识清单 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 基本概念/性质定理 1. 复数的定义：形如 （）的数叫做复数，其中： · 称为复数的实部，记为 ； · 称为复数的虚部，记为 ； · 是虚数单位，满足 。 2. 复数的分类（）： · 实数：（即 ，与实数等价）； · 虚数：； · 纯虚数： 且 （即 ）。 3. 复数相等的充要条件：若 ，（），则 。 解题技巧 · 判断复数类型：先确定实部、虚部，再根据是否为0分类； · 利用复数相等求参数：将等式两边拆分为“实部+虚部”形式，列方程组求解。 易错点拨 1. 虚部是“实数”，不是“”（如的虚部是3，不是）； 2. 纯虚数需同时满足“且”，仅不成立（如是实数）。 典型例题 例1：指出复数、、的实部、虚部，并分类。 解：：实部3，虚部-2，是虚数； ：实部0，虚部5，是纯虚数； ：实部-4，虚部0，是实数。 例2：若（），求的值。 解：由复数相等，得，解得。 7.1.2 复数的几何意义 基本概念/性质定理 1. 复平面：用平面直角坐标系表示复数，其中： · 横轴为实轴（表示实部），纵轴为虚轴（表示虚部）； · 复数与复平面内的点一一对应； · 复数与平面向量一一对应（为坐标原点）。 2. 复数的模：复数对应的向量的模，记为，即 （模是实数，非负）。 解题技巧 · 复数与点/向量的转化：直接将实部、虚部对应为坐标/向量分量； · 求复数的模：代入公式计算。 易错点拨 复平面的“虚轴”包含原点（对应实数0），但纯虚数对应的点在虚轴非原点位置。 典型例题 例：已知复数，求其对应复平面内的点坐标、对应向量的坐标及。 解：对应点坐标：； 对应向量坐标：； 模：。 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 基本概念/性质定理 1. 加减运算法则：设，（），则 （实部相加减，虚部相加减）。 2. 几何意义：复数加减对应复平面内向量的加减运算（三角形法则/平行四边形法则）。 解题技巧 · 复数加减：直接拆分实部、虚部分别运算； · 几何意义应用：用向量加减表示复数加减，结合模的几何意义求范围。 典型例题 例：计算，并说明其几何意义。 解：运算结果：； 几何意义：复平面内，对应向量与的和向量。 7.2.2 复数的乘、除运算 基本概念/性质定理 1. 乘法运算法则：设，，则 （类似多项式乘法，注意）。 2. 除法运算法则：设，，则 （分子分母同乘的共轭复数，化简后拆分实部、虚部）。 3. 共轭复数：复数的共轭复数为，满足： · ； · ，。 解题技巧 · 乘法：按多项式乘法展开，合并实部、虚部（替换为-1）； · 除法：“分母实数化”——分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。 易错点拨 1. 除法运算中，分母实数化的核心是“乘共轭复数”，不要直接约分； 2. 共轭复数是“虚部变号”，不是“实部变号”（如的共轭是）。 典型例题 例1：计算。 解：展开得：。 例2：计算。 解：分子分母同乘： 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 基本概念/性质定理 1. 复数的三角形式：设复数对应复平面内的点，模为，为向量与实轴正方向的夹角（称为辐角），则（，）。 2. 辐角的主值：在内的辐角，记为。 解题技巧 · 代数形式转三角形式：先求模，再求辐角（由、确定）； · 三角形式转代数形式：展开，得，。 典型例题 例：将化为三角形式。 解：模：； 辐角：，，主值； 三角形式：。 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基本概念/性质定理 设，，则： 1. 乘法：； 几何意义：模相乘，辐角相加。 2. 除法：（）； 几何意义：模相除，辐角相减。 解题技巧 · 三角形式的乘除：直接应用“模运算+辐角运算”的规则，无需展开为代数形式。 典型例题 例：已知，，求。 解：模：； 辐角：； 结果：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数核心基础知识清单 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 基本概念/性质定理 1. 复数的定义：形如 （）的数叫做复数，其中： · 称为复数的 ，记为 ； · 称为复数的 ，记为 ； · 是虚数单位，满足 。 2. 复数的分类（）： · 实数： （即 ，与实数等价）； · 虚数： ； · 纯虚数： （即 ）。 3. 复数相等的充要条件：若 ，（），则 。 解题技巧 · 判断复数类型：先确定实部、虚部，再根据是否为0分类； · 利用复数相等求参数：将等式两边拆分为“实部+虚部”形式，列方程组求解。 易错点拨 1. 虚部是“实数”，不是“”（如的虚部是3，不是）； 2. 纯虚数需同时满足“且”，仅不成立（如是实数）。 典型例题 例1：指出复数、、的实部、虚部，并分类。 例2：若（），求的值。 7.1.2 复数的几何意义 基本概念/性质定理 1. 复平面：用平面直角坐标系表示复数，其中： · 横轴为 （表示实部），纵轴为 （表示虚部）； · 复数与复平面内的点一一对应； · 复数与平面向量一一对应（为坐标原点）。 2. 复数的模：复数对应的向量的模，记为，即 （模是实数，非负）。 解题技巧 · 复数与点/向量的转化：直接将实部、虚部对应为坐标/向量分量； · 求复数的模：代入公式计算。 易错点拨 复平面的“虚轴”包含原点（对应实数0），但纯虚数对应的点在虚轴非原点位置。 典型例题 例：已知复数，求其对应复平面内的点坐标、对应向量的坐标及。 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 基本概念/性质定理 1. 加减运算法则：设，（），则 （实部相加减，虚部相加减）。 2. 几何意义：复数加减对应复平面内向量的 运算（三角形法则/平行四边形法则）。 解题技巧 · 复数加减：直接拆分实部、虚部分别运算； · 几何意义应用：用向量加减表示复数加减，结合模的几何意义求范围。 典型例题 例：计算，并说明其几何意义。 7.2.2 复数的乘、除运算 基本概念/性质定理 1. 乘法运算法则：设，，则 （类似多项式乘法，注意）。 2. 除法运算法则：设，，则 （分子分母同乘的共轭复数，化简后拆分实部、虚部）。 3. 共轭复数：复数的共轭复数为 ，满足： · ； · ，。 解题技巧 · 乘法：按多项式乘法展开，合并实部、虚部（替换为-1）； · 除法：“分母实数化”——分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。 易错点拨 1. 除法运算中，分母实数化的核心是“乘共轭复数”，不要直接约分； 2. 共轭复数是“虚部变号”，不是“实部变号”（如的共轭是）。 典型例题 例1：计算。 例2：计算。 7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 基本概念/性质定理 1. 复数的三角形式：设复数对应复平面内的点，模为，为向量与实轴正方向的夹角（称为辐角），则（，）。 2. 辐角的主值：在内的辐角，记为。 解题技巧 · 代数形式转三角形式：先求模，再求辐角（由、确定）； · 三角形式转代数形式：展开，得，。 典型例题 例：将化为三角形式。 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基本概念/性质定理 设，，则： 1. 乘法：； 几何意义：模相乘，辐角相加。 2. 除法：（）； 几何意义：模相除，辐角相减。 解题技巧 · 三角形式的乘除：直接应用“模运算+辐角运算”的规则，无需展开为代数形式。 典型例题 例：已知，，求。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 第七章复数核心基础知识清单 71复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 基本概念/性质定理 1.复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中： 。a称为复数的，记为Re(z): 。b称为复数的 记为Im(Z): 。i是虚数单位，满足2=-1。 2. 复数的分类(a,b∈R): 。实数： (即a+0i,与实数等价)： 。虚数： 。纯虚数： (即0+bi)。 3.复数相等的充要条件：若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i（a1,a2,b1,b2∈R),则 21=22台 解题技巧 ·判断复数类型：先确定实部、虚部，再根据b是否为0分类： ·利用复数相等求参数：将等式两边拆分为“实部+虚部形式，列方程组求解。 易错点拨 1.虚部是“实数b”,不是“b”(如z=2+3的虚部是3，不是3)： 2.纯虚数需同时满足“a=0且b≠0”，仅a=0不成立（如z=0+0i是实数）。 典型例题 例1：指出复数z1=3-2i、22=0+5i、23=-4的实部、虚部，并分类。 例2：若(x+2y)+(2x-y)i=3+3i（x,y∈R),求x,y的值。 7.1.2复数的几何意义 基本概念/性质定理 1.复平面：用平面直角坐标系表示复数，其中： 。横轴为一（表示实部），纵轴为一（表示虚部）： 。复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应： 。复数z=a+bi与平面向量0Z=(a,b)一一对应(0为坐标原点)。 2.复数的模：复数z=a+bi对应的向量0Z的模，记为z,即川z=一（模是实数，非负）。 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 解题技巧 复数与点向量的转化：直接将实部、虚部对应为坐标/向量分量： 求复数的模：代入公式z=Va2+bz计算。 易错点拨 复平面的“虚轴包含原点（对应实数0），但纯虚数对应的点在虚轴非原点位置。 典型例题 例：已知复数z=1-2i,求其对应复平面内的点坐标、对应向量的坐标及z。 72复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 基本概念/性质定理 1.加减运算法则：设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i（a1,a2,b1,b2∈R)，则 Z1士Z2= (实部相加减，虚部相加减)。 2.几何意义：复数加减对应复平面内向量的运算（三角形法则/平行四边形法则）。 解题技巧 复数加减：直接拆分实部、虚部分别运算： 几何意义应用：用向量加减表示复数加减，结合模的几何意义求范围。 典型例题 例：计算(3+2i)+(1-4i),并说明其几何意义。 7.2.2复数的乘、除运算 基本概念/性质定理 1.乘法运算法则：设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则 Z1·Z2= (类似多项式乘法，注意2=-1)。 2. 除法运算法则：设z1=a1+b1i,22=a2+b2i≠0，则 Z2 (分子分母同乘z2的共轭复数z=a2-b2i,化简后拆分实部、虚部)。 3. 共轭复数：复数z=Q+bi的共轭复数为z=,满足： 。zz=a2+b2=lz2; 。Z1士Z2=万士2五，Z1'2五=万·Z0 解题技巧 ·乘法：按多项式乘法展开，合并实部、虚部(2替换为-1) 函学科网·上好课 Www.Z××k.C0m 上好每一堂课 。 除法：“分母实数化”一分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。 易错点拨 1.除法运算中，分母实数化的核心是“乘共轭复数”，不要直接约分： 2.共轭复数是“虚部变号”，不是“实部变号”（如z=2一3i的共轭是2+3i)。 典型例题 例1：计算(2+i)3-4i)。 例2：计算+24 3-4i9 7.3*复数的三角表示 7.3.1复数的三角表示式 基本概念/性质定理 1,复数的三角形式：设复数z=a+bi对应复平面内的点Z(ab),模为r=z=Va2+b2,0为向量0Z 与实轴正方向的夹角（称为辐角），则z=r(cos6+isin)(r≥0,6ER)。 2.辐角的主值：在[0,2π)内的辐角，记为Ag2。 解题技巧 ·代数形式转三角形式：先求模r=Va2+b,再求辐角（由cos6-sin=确定）； 。 三角形式转代数形式：展开rcos0+rsin0·i,得a=rcos0,b=rsin6。 典型例题 例：将z=1+化为三角形式。 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基本概念/性质定理 设z1=(cos61+isin01),z2=r2(cos02+isin02),则： 1.乘法：z1z2=r2[cos(01+02)+isin(01+62)]小： 几何意义：模相乘，辐角相加。 2。除法：号=号os(01-02)+isin(0-02】(2≠0)： 几何意义：模相除，辐角相减。 解题技巧 ·三角形式的乘除：直接应用模运算+辐角运算的规则，无需展开为代数形式。 典型例题 例：已知z1=2(cos写+isin),z2=3(cosg+isin羽)，求z1'z2。学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 第七章复数核心基础知识清单 71复数的概念 7.1.1数系的扩充和复数的概念 基本概念/性质定理 l1.复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中： 。a称为复数的实部，记为Re(z): 。b称为复数的虚部，记为Im(z): 。i是虚数单位，满足2=-1。 2.复数的分类(a,b∈R): 。实数：b=0(即a+0i,与实数等价)： 。虚数：b≠0： 。纯虚数：a=0且b≠0（即0+bi)。 3.复数相等的充要条件：若21=a1+b1i,22=a2十b2i（a1,a2,b1,b2∈R)，则 z1=z2台a1=a2且b1=b2。 解题技巧 ·判断复数类型：先确定实部、虚部，再根据b是否为0分类； ·利用复数相等求参数：将等式两边拆分为实部+虚部形式，列方程组求解。 易错点拨 1.虚部是“实数b”,不是b”(如z=2+3i的虚部是3，不是3i): 2.纯虚数需同时满足“a=0且b≠0”，仅a=0不成立（如z=0+0i是实数）。 典型例题 例1：指出复数21=3-2i、22=0+5i、23=-4的实部、虚部，并分类。 解：z1:实部3，虚部-2，是虚数： 22:实部0，虚部5，是纯虚数： z3:实部-4，虚部0，是实数。 例2：若(x+2y)+(2x-y)i=3+3i（x,y∈R),求x,y的值。 x=2 解复数相华，十子解得 5 3 (y= 71.2复数的几何意义 基本概念/性质定理 1.复平面：用平面直角坐标系表示复数，其中： 。横轴为实轴（表示实部），纵轴为虚轴（表示虚部）； 。复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)一一对应： 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 。复数z=a+bi与平面向量0Z=(a,b)一一对应(0为坐标原点)。 2.复数的模：复数z=a+bi对应的向量0Z的模，记为z,即 |z=√a2+b2(模是实数，非负)。 解题技巧 。 复数与点/向量的转化：直接将实部、虚部对应为坐标/向量分量： ·求复数的模：代入公式z=√a2+b2计算。 易错点拨 复平面的“虚轴”包含原点（对应实数0），但纯虚数对应的点在虚轴非原点位置。 典型例题 例：己知复数z=1一2i,求其对应复平面内的点坐标、对应向量的坐标及|z。 解：对应点坐标：(1一2)： 对应向量坐标：(1-2)： 模：|z=√12+(-2)z=V5。 7.2复数的四则运算 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 基本概念/性质定理 1.加减运算法则：设z1=a1+b1i,22=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R),则 z1±z2=(a1±a2)+(b1±b2)i(实部相加减，虚部相加减)。 2.几何意义：复数加减对应复平面内向量的加减运算（三角形法则/平行四边形法则）。 解题技巧 复数加减：直接拆分实部、虚部分别运算： ·几何意义应用：用向量加减表示复数加减，结合模的几何意义求范围。 典型例题 例：计算(3+2i)+(1-4i),并说明其几何意义。 解：运算结果：(3+1)+(2-4)i=4-2i: 几何意义：复平面内，对应向量(3,2)与(1-4的和向量(4-2)。 7.2.2复数的乘、除运算 基本概念/性质定理 1.乘法运算法则：设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则 z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i（类似多项式乘法，注意2=-1)。 2.除法运算法则：设Z1=a1+b1i,22=a2+b2i≠0，则 =1？+b:2+az:i(分子分母同乘z2的共轭复数五=a2-b2i,化简后拆分实部、虚部)。 Z2 a2+b2 a2+b经 3.共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数为z=a-bi,满足： 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 0z·z=a2+b2=|z2: 0Z1士22=万士2五，z1'Z2=方·Z0 解题技巧 ·乘法：按多项式乘法展开，合并实部、虚部(2替换为-1)； 除法：“分母实数化”一分子分母同乘分母的共轭复数，再化简。 易错点拨 1.除法运算中，分母实数化的核心是“乘共轭复数'，不要直接约分： 2.共轭复数是“虚部变号”，不是“实部变号”（如z=2一3的共轭是2+3i)。 典型例题 例1：计算(2+i)3-4)。 解：展开得：2×3+2×(-4i)+i×3+i×(-4i)=6-8i+3i-4i2=6-5i+4=10-5i。 例2：计算+2 3-4i 解：分子分母同乘3+4i: (1+2i)3+4)3+4i+6i+823+10i-8-5+10i1,2 3-4i)(3+4i) 32+42 25 25 =-5+5 7.3*复数的三角表示 7.31复数的三角表示式 基本概念/性质定理 1.复数的三角形式：设复数z=a+bi对应复平面内的点Z(ab),模为r=z=Va2+b2,0为向量0Z 与实轴正方向的夹角（称为辐角），则z=r(cos6+isin0)(r≥0,0ER)。 2.辐角的主值：在[0,2π)内的辐角，记为Arg2。 解题技巧 代数形式转三角形式：先求模r=Va2+b2,再求辐角0（由cos0=gsin0-确定）： 。 三角形式转代数形式：展开rcos0+rsin0·i,得a=rcos0,b=rsin0。 典型例题 例：将z=1+化为三角形式。 解：模：r=V12+12=V2 辐角：cos6=友sin6=方：主值0=寻 三角形式：z=V2(cos年+isin羽)。 7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基本概念/性质定理 设z1=(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin02),则： 1.乘法：z1·z2=r2[cos(01+62)+isin(01+02)]: 学科网·上好课 Www.Z××k.C0m 上好每一堂课 几何意义：模相乘，辐角相加。 2. 除法：号=月[cos(0-02)+isin(81-02】(2红≠0）： 22 几何意义：模相除，辐角相减。 解题技巧 ·三角形式的乘除：直接应用“模运算+辐角运算”的规则，无需展开为代数形式。 典型例题 例：己知z1=2(cos写+isin),z2=3(cos名+isin),求乙1·z2 解：模：2×3=6： 辐角：+=受 结果：Z12=6(c0s2+isin)=6(0+i×1)=6i。