5.1.2数列中的递推（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第三册

第五章 数 列 5.1 数列基础 5.1.2数列中的递推 学 习 目 标 1 2 经历问题探究，认识与理解数列的递推关系（或递推公式），并能准确求解已知数列的递推公式和未知项（数学抽象、数学运算、数据分析•重点）. 经历问题探究，理解与掌握数列前项和的定义，并能灵活利用数列前项和求数列的通项公式（数学抽象、数据分析、数学运算•难点）. （一）问题探究 1.问题：如下是某次智力测试中的一道题,你能做出来吗?你能用数列的语言来描述有关问题吗? 观察 中数字出现的规律,写出第8个数. 一、数列的递推关系 2.探究： 设表示数列“”， ∵, , , , ∴可以猜测，数列满足 , , 即, , 从而可知 , , . 显然，上述数列可以由 , 完全确定. （二）递推关系（递推公式）的定义 像这样，如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）. 一、数列的递推关系 【温馨提示】由递推关系（或递推公式）的定义可知 已知首项（或前几项） + 项与项的关系式 (规则) = 确定整个数列 （三）实例运用 例1 分别写出下列数列的一个递推关系,并求出各个数列的第7项. (1)1,2,4,7,11, ... (2)-1,2,5,8,11, ... (3)1,-2,4,-8,16,00. 一、数列的递推关系 解（1）设表示数列“1,2,4,7,11, ... ”， ∵, , , , ∴数列满足 , , 即, , 从而可知 , . （三）实例运用 例1 分别写出下列数列的一个递推关系,并求出各个数列的第7项. (1)1,2,4,7,11, ... (2)-1,2,5,8,11, ... (3)1,-2,4,-8,16,00. 一、数列的递推关系 解（2）设表示数列“-1,2,5,8,11, ... ”， ∵, , , , ∴数列满足 , , 即, , 从而可知 , . （三）实例运用 例1 分别写出下列数列的一个递推关系,并求出各个数列的第7项. (1)1,2,4,7,11, ... (2)-1,2,5,8,11, ... (3)1,-2,4,-8,16,.... 一、数列的递推关系 解（3）设表示数列“1,-2,4,-8,16,.... ”， ∵, , , , ∴数列满足 , , 即, , 从而可知 , . 【方法小结】一般来说,根据数列的首项(或前几项)以及数列的递推关系,可以求出这个数列中的每一项，具体步骤为： ①观察规律；②建立递推关系；③求解未知项. （四）扩展提升——斐波那契数列 例2 意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题: 假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子,且从第3个月起每个月都生1对小兔子,兔子均不死亡,由1对新生的小兔子开始,记每个月的兔子对数构成的数列为,试写出以 及数列的递推关系. 一、数列的递推关系 解：根据题意可知，∵前2个月内，小兔子都还没有长成大兔子， ∴． 又∵第3个月时，第1个月的那对小兔子会生1对小兔子， ∴． 又 ∵第4个月时，第1个月的那对小兔子还会再生1对小兔子， ∴． 又∵第5个月时，除了第1个月的那对小兔子会再生一对小兔子外，第3个月出生的那对小兔子也会生1对小兔子， ∴． 又∵第6个月时，第1个月的那对小兔子、第3个月出生的小兔子以及第4个月出生的小兔子，都会生1对小兔子， ∴．   一般地，当时，第个月的兔子对数，应该等于第个月的兔子对数加上新生的兔子对数， 又∵第个月的兔子对到了第个月都能生1对兔子， ∴有． 【知识扩展】例2中的数列,通常称为斐波那契数列,可以证明,斐波那契数列 1,1,2,3,5,8, ... 的通项公式为 ∵,恰好是黄金分割比, ∴斐波那契数列也称为黄金数列. 令人惊奇的是,斐波那契数列在很多领域都有广泛的应用,而且自然界处处都有斐波那契数列的影子,现代金融技术分析方法中,还有专门的斐波那契分析法! 二、数列的前n项和 （一）问题探究 已知某电子书今年上半年每个月的销售量构成数列 220,530,950,1360,1820,2350,2 350. 假设你是该电子书的销售人员,关于上述数列,除了每一个数字的大小和增长趋势外,你还会关心什么? 探究：作为销售人员,一般来说还会关心上半年电子书的总销售量,即 220+530+950+1360+1820+2350=7230. （二）数列前项和的定义 一般地,给定数列,称 , 为数列的前项和. 例如,对于问题探究中的数列“220,530,950,1360,1820,2350,2 350.”来说, , , 等等. 二、数列的前n项和 （三）利用数列前项和求数列的通项公式 探究：∵， ∴, 而, ∴. 又∵, 而, ∴. 又∵, 而, ∴. 1.问题探究 已知数列的前项和为,你能写出吗?你能总结出一般规律吗? 二、数列的前n项和 （三）利用数列前项和求数列的通项公式 2.利用数列前项和求数列的通项公式 一般地,如果数列 项和为,,那么当, ∵, ① , ② ∴ 用②-①可得 （或）, 故 例如,对于问题探究中的数列的前项和为, ∵当时，, ∴ . 二、数列的前n项和 （四）实例运用 例3 已知数列前项和为，且，求数列的通项公式.   解：当时，， 当且时， ， 而，即也满足， ∴，. 三、提升演练 例4 2500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子．他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形（如图），并称这样的数为“三角形数”，记图中小圆的个数依次构成数列，试写出数列的一个递推关系．        【知识点】求递推关系式 【分析】结合题意，观察图形找到规律，从而得解. 【详解】依题意，可知，，，，，， 而且，由图可知，在第个“三角形数”图案的下面添加个小圆，即得到第个“三角形数”图案， 因此，为数列的一个递推关系．   三、提升演练 例5 根据递推公式和初始条件，出数列的前5项．   【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题目给出的递推公式赋值求解即可. 【详解】 所以数列的前5项分别是1，3，7，15，31． 三、提升演练 例6 已知数列中，．设数列的前n项和为， 写出． 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由递推公式依次算出，即可求解对应 【详解】由可得，， ，， 故. 三、提升演练 例7 已知数列的前n项和为，求的通项公式． 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由题得，所以，两式相减得解. 【详解】当时，， 由题得，所以， 两式相减得，适合， 所以数列的通项为.   三、提升演练 例8 已知数列的前项和为，若数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和．   【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据的关系得到数列的递推关系，再根据求出的通项公式； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， 整理得，即， 又，所以， 所以，从而．（累乘法也可） （2）因为， 所以 ．   今天我们都学习了什么知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了数列的递推关系（或递推公式），并能准确求解已知数列的递推公式和未知项（数学抽象、数学运算、数据分析•重点）. 2.经历问题探究，理解与掌握了数列前项和的定义，并能灵活利用数列前项和求数列的通项公式（数学抽象、数据分析、数学运算•难点）. 四、课堂小结 感谢聆听! $