第六单元 长方体的体积（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 长方体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 长方体体积的定义：长方体所占空间的大小，叫做长方体的体积。与长方体表面积（平面面积之和）不同，体积描述的是立体图形的“空间容量”，单位为体积单位，这是体积与表面积的核心区别。 核心关联概念：① 长方体体积的基本公式：长方体体积 = 长×宽×高，用字母表示为V=abh（其中a=长，b=宽，h=高）；② 体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个单位间的进率是1000；③ 体积与容积的关联：容积是容器所能容纳物体的体积，长方体容器的容积计算方法与体积相同（忽略容器厚度时），容积单位除了体积单位，还有升（L）、毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米；④ 核心思想：“数形结合”，通过长方体的长、宽、高三个维度，计算其占据的空间大小，灵活应用于实际场景中的空间计算、容量估算等；⑤ 与长方体表面积的区别：表面积是“面的面积和”（单位：面积单位），体积是“空间大小”（单位：体积单位），二者计算方法、意义、单位均不同，不可混淆。 2. 长方体体积应用的核心意义 本知识点是长方体特征的延伸，也是立体图形体积计算的入门重点，核心是掌握“运用长方体体积公式，解决实际场景中的空间、容量相关问题”，摆脱“机械套公式”的误区，培养“空间感知能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与长方体空间、容量相关的场景（如计算长方体容器的容积、长方体物体的体积、堆放物体的体积、用料体积等），是后续学习正方体体积、圆柱圆锥体积的基础，也是连接立体图形与实际生活的重要纽带。 3. 常见场景 ① 基本体积计算：已知长方体的长、宽、高，直接计算长方体的体积； ② 长方体容器的容积计算：计算长方体水箱、鱼缸、抽屉等容器能容纳物体的体积（忽略厚度时，容积=体积）； ③ 体积与容积单位换算：结合体积、容积单位的进率，解决单位换算相关的体积计算问题； ④ 逆用公式计算：已知长方体体积和其中两个维度（长、宽或长、高或宽、高），求第三个维度（高或宽或长）； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如计算长方体物体的用料体积、堆放的长方体货物的总体积、不规则物体体积（排水法，借助长方体容器）等； ⑥ 综合运用：结合长方体表面积、单位换算，解决与体积相关的对比、计算、设计类问题（如判断不同长方体的体积大小、设计指定体积的长方体容器）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体的特征：有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱长度相等，相对的面完全相同； 2.长方体体积基本公式：V=abh，逆用公式：a=V÷b÷h、b=V÷a÷h、h=V÷a÷b； 3.体积与容积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.体积与表面积的区别：明确二者的意义、计算方法、单位不同，避免混淆； 5.空间感知能力：能根据题意，明确长方体的长、宽、高对应的实际物体维度，理解体积的实际意义。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1.方法一：基本长方体体积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：已知长方体的长、宽、高，直接代入体积公式计算，关键是找准三个维度的数值，确保单位统一（均为体积单位对应的长度单位）； ② 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式V=abh，依次计算长×宽×高；3. 标注正确的体积单位； ③ 示例：一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，计算这个木块的体积。解：V=5×3×4=60（立方分米）。 2.方法二：长方体容器的容积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：长方体容器的容积是其内部能容纳物体的体积，忽略容器厚度时，容积=体积，直接用体积公式计算；若考虑厚度，需用“内部长、宽、高”计算（苏教版题目通常忽略厚度）； ② 常用公式：容积（忽略厚度）= V=abh，若单位为升/毫升，需进行单位换算（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升）； ③ 步骤：1. 确认容器的长、宽、高（内部尺寸，忽略厚度时用外部尺寸），统一单位；2. 代入体积公式计算容积；3. 必要时进行体积单位与容积单位的换算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽4分米，高5分米，计算这个水箱的容积（忽略厚度）。解：V=8×4×5=160（立方分米），160立方分米=160升。 3.方法三：体积与容积单位换算（基础，苏教版必考） ① 核心思路：明确体积、容积单位的进率，大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，换算后再结合体积公式计算； ② 关键：牢记进率（相邻体积单位进率1000，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米），避免与面积单位进率（100）混淆； ③ 步骤：1. 明确题目中的单位，判断是大单位换小单位还是小单位换大单位；2. 根据进率进行单位换算；3. 代入体积公式计算，标注正确单位； ④ 示例：一个长方体礼盒，长20厘米，宽8厘米，高5厘米，计算它的体积（用立方分米表示）。解：单位换算：20厘米=2分米，8厘米=0.8分米，5厘米=0.5分米，V=2×0.8×0.5=0.8（立方分米）。 4.方法四：逆用体积公式计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：已知长方体体积和其中两个维度（如长和宽），求第三个维度（如高），用体积公式逆用，即h=V÷a÷b（同理可求长或宽），关键是确保体积和长度单位统一； ② 步骤：1. 确认已知条件（体积、两个维度的长度），统一单位；2. 选择对应的逆用公式；3. 代入数值计算，得出第三个维度的长度；4. 标注正确单位； ③ 示例：一个长方体体积是120立方分米，长6分米，宽5分米，求它的高。解：h=120÷6÷5=4（分米）。 5.方法五：结合实际场景的复杂应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：根据实际场景，将问题转化为长方体体积计算，如不规则物体体积（排水法）：不规则物体体积=上升（或下降）的水的体积=长方体容器底面积×水面变化高度；用料体积=长方体体积×个数； ② 关键：找准实际场景与长方体体积的关联，明确计算的是“体积”还是“容积”，是否需要单位换算或结合其他条件（如水面高度变化）； ③ 步骤：1. 分析实际场景，将问题转化为长方体体积相关计算；2. 提取所需数据（长、宽、高、体积、水面变化高度等），统一单位；3. 代入公式计算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长方体玻璃容器，长10分米，宽5分米，水深4分米，放入一个不规则石块后，水深上升到4.5分米，求石块的体积（水未溢出）。解：石块体积=上升的水的体积=10×5×(4.5-4)=10×5×0.5=25（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：长、宽、高的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），或体积与长度单位不匹配，未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.体积与表面积混淆：误将表面积公式用于体积计算，或混淆二者的单位（如体积用平方分米，表面积用立方厘米）； 3.公式逆用错误：已知体积和两个维度，求第三个维度时，误将“体积÷两个维度的和”，正确应为“体积÷一个维度÷另一个维度”； 4.忽略隐含条件：如计算容器容积时，未注意“从里面量”（苏教版常考），误用外部尺寸计算；排水法中，未计算水面上升/下降的高度，直接用最终水深计算； 5.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1升=1立方厘米）； 6.计算失误：长×宽×高计算错误，或逆用公式时除法计算失误，导致最终结果错误； 7.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算容积，仍用外部尺寸，导致结果偏大。 三、长方体体积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目是求长方体体积、容积，还是逆用公式求维度，判断是否涉及单位换算、排水法等实际场景。 2.统一单位：提取题目中的长、宽、高、体积等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式（体积公式、逆用公式、排水法公式等），代入数值逐步计算，步骤规范。 4.单位换算（若需）：若题目要求的单位与计算结果单位不一致，根据进率进行单位换算，确保单位统一。 5.检验验证：检验公式套用、单位统一、计算过程是否无误，确认符合题意（如排水法中水面未溢出）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见长方体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：基本长方体体积计算（基础题） 例：一个长方体橡皮，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，计算这个橡皮的体积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：基本体积计算，已知长、宽、高，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：V=abh，其中a=6cm，b=4cm，h=2cm； ③ 计算：6×4×2=48（立方厘米）； 检验：公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个橡皮的体积是48立方厘米。 2. 场景二：长方体容器的容积计算（基础题） 例：一个长方体鱼缸，从里面量长7分米，宽5分米，高6分米，这个鱼缸能容纳多少升水？（忽略鱼缸厚度） 解：① 确认场景：容器容积计算，忽略厚度，容积=体积，需将立方分米换算为升； ② 代入公式：V=7×5×6=210（立方分米）； ③ 单位换算：1立方分米=1升，210立方分米=210升； 检验：公式套用正确，单位换算无误，符合容积计算要求。 答：这个鱼缸能容纳210升水。 3. 场景三：体积与容积单位换算（基础题） 例：一个长方体货物，长1.2米，宽0.8米，高0.5米，计算这个货物的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：体积计算+单位换算，需将米转化为分米； ② 单位换算：1.2米=12分米，0.8米=8分米，0.5米=5分米； ③ 代入公式计算：V=12×8×5=480（立方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：这个货物的体积是480立方分米。 4. 场景四：逆用体积公式计算（进阶题） 例：一个长方体体积是180立方厘米，长10厘米，宽6厘米，求这个长方体的高是多少厘米？ 解：① 确认场景：逆用体积公式求高，已知体积、长、宽，单位已统一； ② 选择逆用公式：h=V÷a÷b； ③ 计算：180÷10÷6=3（厘米）； 检验：公式逆用正确，计算准确，代入原公式验证：10×6×3=180（立方厘米），符合题意。 答：这个长方体的高是3厘米。 5. 场景五：结合实际场景（排水法，拓展题） 例：一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，水深3分米，将一个铁块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到3.5分米，求这个铁块的体积。 解：① 确认场景：排水法求不规则物体体积，铁块体积=上升的水的体积； ② 计算水面上升高度：3.5-3=0.5（分米）； ③ 代入公式计算：上升的水的体积=8×6×0.5=24（立方分米），即铁块体积=24立方分米； 检验：思路正确，水面未溢出，计算准确，符合实际场景。 答：这个铁块的体积是24立方分米。 培优练习 一、选择题 1．一个长方体，长是12cm，宽是长的一半，高是宽的一半，长方体的体积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知长方体的长是12cm，宽是长的一半，用长除以2求出宽为6cm；已知高是宽的一半，用宽除以2求出高为3cm。最后根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，代入长、宽、高的数值，即可求出长方体的体积。据此解答。 【详解】宽：12÷2＝6（cm） 高：6÷2＝3（cm） 体积：12×6×3 ＝72×3 ＝216（cm3） 所以长方体的体积是216cm3。 故答案为：C 2．一个长方体的长、宽、高分别为a米、b米、h米。如果宽和高不变，长减少3米，那么新的长方体体积比原来减少（    ）立方米。 A．3ab B．3bh C．（h－3）ab D．（a－3）bh 【答案】B 【分析】长方体的体积公式为。当宽和高不变，长减少3米时，减少的体积可以看作是一个新的小长方体的体积，这个小长方体的长为3米，宽和高与原长方体相同。（见下图） 【详解】当宽和高不变，长减少3米时，减少的体积就是虚线部分的体积，见下图 所以，减少的体积为：3×b×h＝3bh（立方米） 故答案为：B 3．将一块正方体形状的橡皮泥捏成长方体，长方体和正方体（    ）。 A．体积和表面积都相等。 B．体积不相等，表面积相等 C．体积和表面积都不相等。 D．体积相等，表面积不相等。 【答案】D 【分析】把一块正方体橡皮泥捏成一个长方体后，它的形状变了，但它所占空间的大小不变，所以体积不变；长方体的表面积会变大，因为正方体属于长方体的一种，而同体积时正方体是长方体中表面积最小的一种。据此作答。 【详解】假设正方体的棱长为6厘米，长方体的长、宽、高分别为12厘米、3厘米、6厘米，则： 正方体的体积＝6×6×6＝216（立方厘米） 长方体的体积＝12×3×6＝216（立方厘米） 所以长方体的体积＝正方体的体积； 正方体的表面积＝6×6×6＝216（平方厘米） 长方体的表面积＝（12×3＋3×6＋6×12）×2 ＝（36＋18＋72）×2 ＝126×2 ＝252（平方厘米） 长方体的表面积＞正方体的表面积。 所以长方体和正方体体积相等，表面积不相等。 故答案为：D 4．一个长为8分米，宽为6分米，高为4分米的长方体盒子里最多可以放（    ）个棱长是2分米的小正方体木块。 A．36 B．32 C．30 D．24 【答案】D 【分析】8、6、4都是2的倍数，所以沿着长、宽、高摆，都刚好能摆满；用长、宽、高分别除以2，求出商，把三个商相乘即可求出放小正方体的个数。 【详解】（8÷2）×（6÷2）×（4÷2） ＝4×3×2 ＝24（个） 即长方体盒子里最多可以放24个棱长是2分米的小正方体木块。 故答案为：D 5．一个长方体棱长总和是40厘米，长、宽、高比是5∶3∶2，这个长方体体积是（    ）。 A．40立方厘米 B．1920立方厘米 C．30立方厘米 D．50立方厘米 【答案】C 【分析】长方体棱长总和÷4＝长宽高的和，将比的各项看成份数，长宽高的和÷总份数＝一份数，一份数分别乘长、宽、高的对应份数，即可求出长、宽、高，根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】40÷4÷（5＋3＋2） ＝10÷10 ＝1（厘米） 1×5＝5（厘米） 1×3＝3（厘米） 1×2＝2（厘米） 5×3×2＝30（立方厘米） 这个长方体体积30立方厘米。 故答案为：C 6．一个长为8分米，宽为6分米，高为4分米的长方体盒子里最多可以放（    ）个棱长是2分米的小正方体木块。 A．36 B．32 C．30 D．24 【答案】D 【分析】已知长方体盒子长8分米、宽6分米、高4分米，小正方体木块棱长为2分米，分别用长、宽、高除以小正方体的棱长计算出长方体长、宽、高方向能容纳的小正方体数量，最后相乘即可。 【详解】（8÷2）×（6÷2）×（4÷2） ＝4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 所以最多可以放24个棱长是2分米的小正方体木块。 故答案为：D 二、填空题 7．一个长方体玻璃缸容器，从容器里面量长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.5分米，现在把一个棱长是3分米的正方体铁块放入水中（完全浸没），玻璃缸中的水会溢出( )升。 【答案】12 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，计算出正方体铁块体积、长方体容器中水的体积、长方体容器的容积。然后用正方体铁块的体积加上长方体容器中水的体积再减去长方体容器的容积就是溢出水的体积，再根据1立方分米＝1升进率换算解答即可。 【详解】3×3×3＋6×5×3.5－6×5×4 ＝9×3＋30×3.5－30×4 ＝27＋105－120 ＝132－120 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 所以，玻璃缸中的水会溢出12升。 8．一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为2cm和4cm的长方体，剩下的部分便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的表面积是( )平方厘米，体积( )立方厘米。 【答案】 270 275 【分析】①从长方体木料上部和下部分别截去高为2cm和4cm的长方体，相当于截去一个高为2＋4＝6cm的长方体；表面积减少的120平方厘米，即因为截去高减少的侧面积（可看作由一条边为6cm的四个长方形组成）。原长方体剩下的部分为一个正方体，说明原长方体的长和宽相等，且等于剩下的正方体的棱长，那么根据“原长方体减少的表面积÷4÷6”可计算出剩下的正方体的棱长（同时也是原长方体的长和宽），然后用棱长加上截去的6cm的高，计算出原长方体的高。最后分别将求得的原长方体的长、宽、高分别代入公式“长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×4”“长方体的体积＝长×宽×高”，分别计算出原长方体的表面积和体积。据此解答。 【详解】120÷4÷（2＋4） ＝120÷4÷6 ＝30÷6 ＝5（厘米） 5＋2＋4 ＝7＋4 ＝11（厘米） 5×5×2＋5×11×4 ＝50＋220 ＝270（平方厘米） 5×5×11 ＝25×11 ＝275（立方厘米） 即原长方体的表面积是270平方厘米，体积是275立方厘米。 【点睛】本题考查的是长方体的切拼问题，解题的关键是明确：减少的表面积是哪些面的面积，这些面与原长方体的长、宽、高和剩下的正方体的棱长之间是什么关系。注意掌握长方体的表面积公式和体积公式，不要混淆。 9．如图，一个长方体沿高截去2厘米后，表面积减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】288 【分析】一个长方体沿高截去2厘米后，剩下部分是一个正方体，说明原长方体的高比长或宽多2厘米，且长和宽相等，也就是原长方体的底面是正方形。表面积减少48平方厘米，四个侧面共减少48平方厘米，那么一个侧面减少48÷4＝12（平方厘米），用每个面减少的面积除以2，得到原长方体的长或宽，根据长方体的体积＝长×宽×高计算。 【详解】48÷4÷2＝6（厘米） 6×6×（6＋2） ＝6×6×8 ＝288（立方厘米） 原来长方体的体积是288立方厘米。 【点睛】用减少的表面积除以4，得到每个侧面减少的面积，再除以2得到原长方体的长或宽是解题关键。 10．一个长方体油箱的容积是50升，从里面量得底面积是10平方分米，已知箱内装了箱油，油的高度是( )分米。 【答案】3 【分析】根据容积单位与体积单位之间的关系，1升＝1立方米，首先把50升换算成体积单位，求出箱内油的体积；再利用长方体的体积公式：v＝sh，用体积除以底面积即可求出它的高。 【详解】根据分析得： 50升＝50立方分米 （立方分米） （分米） 油的高是3分米。 11．将一根长1.5米的长方体木料沿横截面切成3段，表面积增加24平方分米，这根长方体木料的体积是( )立方分米。 【答案】 90 【分析】解答这道题的关键是明确增加的表面积是这个木料的横截面积，且横截面的面积就是这个长方体的底面积；长方体的体积＝底面积×高。切成3段需要切2次，切1次增加两个横截面，2次就要增加个横截面。根据增加的表面积，求出一个横截面的面积即可。另外，问题的单位是立方分米，题目中木料的长为1.5米，需要进行单位换算，将1.5米化成15分米。据此解答。 【详解】根据分析： 求增加的横截面的数量： （个） 求横截面的面积： （平方分米） 求长方体体积： 1.5米＝15分米 （立方分米） 所以这根长方体木料的体积是90立方分米。 【点睛】长方体沿横截面切段，需要切次，表面积会增加个横截面的面积，这是解决此类因切割导致表面积变化问题的关键。计算过程中还需注意单位不统一，必须先进行单位换算，否则会导致计算结果错误。 12．如下图是一个长方体的平面展开图，这个长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】240 【分析】由图可知，长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高＝（28－长×2）÷2，再根据长方体的体积＝长×宽×高；据此解答。 【详解】（28－10×2）÷2 ＝（28－20）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 10×6×4 ＝60×4 ＝240（立方厘米） 所以这个长方体的体积是240立方厘米。 三、计算题 13．计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 【答案】224平方厘米；192立方厘米 【分析】由图知长方体的长、宽、高分别为12厘米、4厘米、4厘米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，将长、宽、高的数值代入公式，即可解答。 【详解】表面积：（12×4＋12×4＋4×4）×2 ＝（48＋48＋16）×2 ＝（96＋16）×2 ＝112×2 ＝224（平方厘米） 体积：12×4×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 表面积是224平方厘米，体积是192立方厘米。 14．求出下面立体图形的表面积和体积。 【答案】216平方厘米，180立方厘米 【分析】长方体的表面积公式：，长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 四、解答题 15．如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】(1)144立方厘米 (2)48平方厘米 【分析】（1）根据题意，原来长方体的长和宽相等，是6厘米；用6厘米减去2厘米可以算出原来长方体的高是4厘米。长方体的体积＝长×宽×高。 （2）正方体的表面积比长方体的表面积多了4个长6厘米、宽2厘米的长方形的面积之和。 【详解】（1）6×6×（6－2） ＝6×6×4 ＝144（立方厘米） 答：原来长方体的体积是144立方厘米。 （2）6×2×4＝48（平方厘米） 答：表面积增加了48平方厘米。 16．李叔叔用84厘米长的铁丝围成一个长方体（接头处忽略不计），已知围成的长方体的长、宽、高的比是4∶2∶1，长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】216立方厘米 【分析】铁丝总长84厘米就是长方体的棱长总和。先用棱长总和除以4，得到1组长、宽、高的和；已知长、宽、高的比是4∶2∶1，把 1 组长、宽、高的和按比分配，其中长占，宽占，高占，用1组长、宽、高的和分别乘长、宽、高所占分率，求出长、宽、高的值；最后根据“长方体体积＝长×宽×高”，代入数值，即可求出长方体的体积。 【详解】84÷4＝21（厘米） 长：21×＝12（厘米） 宽：21×＝6（厘米） 高：21×＝3（厘米） 体积：12×6×3 ＝72×3 ＝216（立方厘米） 答：长方体的体积是216立方厘米。 17．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 【答案】(1)2360平方厘米 (2)9厘米 【分析】（1）求水与容器接触的面积，就是求长是20厘米，宽是10厘米，高是36厘米的长方体5个面的面积和；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，先求出水的体积；由于水的体积不变，以这个容器的前面为底放在桌上，变成一个新的长方体，已知长是40厘米，宽是20厘米，求高，用水的体积÷长方体的长是40厘米，宽是20厘米的底面面积，即可解答。 【详解】（1）20×10＋（20×36＋10×36）×2 ＝20×10＋（720＋360）×2 ＝20×10＋1080×2 ＝200＋2160 ＝2360（平方厘米） 答：水与容器接触的面积是2360平方厘米。 （2）20×10×36÷（20×40） ＝20×10×36÷800 ＝200×36÷800 ＝7200÷800 ＝9（厘米） 答：这时水深9厘米。 18．如下图，玻璃容器从里面量长为8dm，宽为6dm，高为3dm，现在水深为2.2dm。在容器中放入一个棱长为0.4m的正方体石块，水是否会溢出？若会溢出，请你算出溢出水的体积；若不会溢出，请说明理由。 【答案】 水会溢出，溢出水的体积为。 【分析】先计算容器剩余的体积，再将正方体石块的棱长单位换算成分米作单位，因为石块的棱长大于容器高度，所以可以先假设水会溢出，计算出正方体石头没入水的体积，与容器剩余容积比较大小，若没入水的石块体积大于剩余体积则水会溢出，用没入水的石块体积减去剩余体积得到溢出水的体积；据此解答。 【详解】容器剩余体积： （立方分米） 0.4米＝4分米 石块体积：（立方分米） （立方分米） 答：水会溢出，溢出水的体积为9.6立方分米。 【点睛】分别算出容器剩余体积和没入水的正方体石块体积，再比较大小来判断水是否溢出，是解题的关键，同时需注意换算单位计算。 19．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽3.5分米，高6分米。 （1）制作这个鱼缸需要玻璃多少平方分米？ （2）如果把140升水倒进这个鱼缸，这时鱼缸水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】（1）166平方分米 （2）5分米 【分析】（1）鱼缸是无盖长方体，所以计算表面积时只需算5个面的面积和，即：底面（长×宽）＋前后两个面（长×高×2）＋左右两个面（宽×高×2）。代入长8分米、宽3.5分米、高6分米的数值，分别计算各面面积后求和，即可求出所需玻璃的总面积。 （2）因为玻璃厚度忽略不计，水的体积等于长方体中水的体积，根据1升＝1立方分米，所以140升＝140立方分米。根据长方体底面积＝长×宽，代入数据求出底面积。根据长方体体积＝底面积×高，可得出高（水深）＝体积÷底面积，用水的体积除以底面积，即可得到水深。据此解答。 【详解】（1）8×3.5＋8×6×2＋3.5×6×2 ＝28＋48×2＋21×2 ＝28＋96＋42 ＝124＋42 ＝166（平方分米） 答：制作这个鱼缸需要玻璃166平方分米。 （2）140升＝140立方分米 140÷（8×3.5） ＝140÷28 ＝5（分米） 答：这时鱼缸水深5分米。 20．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 【答案】6厘米 【分析】首先观察题目中的图形和条件：长方体水槽的长为10厘米、宽为8厘米，放入铁块后水面从8厘米上升到9.5厘米；铁块是长5厘米、宽4厘米的长方体。 思考过程：要计算铁块的高，需先确定铁块的体积——根据“排水法”，铁块的体积等于水面上升部分的水的体积（因为水槽是封闭的长方体容器，水面上升的空间体积就是铁块占据的体积）。 接下来，先计算水面上升的高度，再用“水槽底面积×水面上升高度”算出上升水的体积（即铁块体积），最后利用“长方体体积＝长×宽×高”的公式，变形得到“高＝体积÷（长×宽）”，代入铁块的长和宽即可求出高。 【详解】水面上升的高度：9.5－8＝1.5（厘米） 水槽的底面积：10×8＝80（平方厘米） 上升水的体积：80×1.5＝120（立方厘米） 铁块的底面积：5×4＝20（平方厘米） 铁块的高：120÷20＝6（厘米） 答：这个铁块的高是6厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 长方体体积的定义：长方体所占空间的大小，叫做长方体的体积。与长方体表面积（平面面积之和）不同，体积描述的是立体图形的“空间容量”，单位为体积单位，这是体积与表面积的核心区别。 核心关联概念：① 长方体体积的基本公式：长方体体积 = 长×宽×高，用字母表示为V=abh（其中a=长，b=宽，h=高）；② 体积单位：常用的体积单位有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个单位间的进率是1000；③ 体积与容积的关联：容积是容器所能容纳物体的体积，长方体容器的容积计算方法与体积相同（忽略容器厚度时），容积单位除了体积单位，还有升（L）、毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米；④ 核心思想：“数形结合”，通过长方体的长、宽、高三个维度，计算其占据的空间大小，灵活应用于实际场景中的空间计算、容量估算等；⑤ 与长方体表面积的区别：表面积是“面的面积和”（单位：面积单位），体积是“空间大小”（单位：体积单位），二者计算方法、意义、单位均不同，不可混淆。 2. 长方体体积应用的核心意义 本知识点是长方体特征的延伸，也是立体图形体积计算的入门重点，核心是掌握“运用长方体体积公式，解决实际场景中的空间、容量相关问题”，摆脱“机械套公式”的误区，培养“空间感知能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与长方体空间、容量相关的场景（如计算长方体容器的容积、长方体物体的体积、堆放物体的体积、用料体积等），是后续学习正方体体积、圆柱圆锥体积的基础，也是连接立体图形与实际生活的重要纽带。 3. 常见场景 ① 基本体积计算：已知长方体的长、宽、高，直接计算长方体的体积； ② 长方体容器的容积计算：计算长方体水箱、鱼缸、抽屉等容器能容纳物体的体积（忽略厚度时，容积=体积）； ③ 体积与容积单位换算：结合体积、容积单位的进率，解决单位换算相关的体积计算问题； ④ 逆用公式计算：已知长方体体积和其中两个维度（长、宽或长、高或宽、高），求第三个维度（高或宽或长）； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如计算长方体物体的用料体积、堆放的长方体货物的总体积、不规则物体体积（排水法，借助长方体容器）等； ⑥ 综合运用：结合长方体表面积、单位换算，解决与体积相关的对比、计算、设计类问题（如判断不同长方体的体积大小、设计指定体积的长方体容器）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体的特征：有6个面、12条棱、8个顶点，相对的棱长度相等，相对的面完全相同； 2.长方体体积基本公式：V=abh，逆用公式：a=V÷b÷h、b=V÷a÷h、h=V÷a÷b； 3.体积与容积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.体积与表面积的区别：明确二者的意义、计算方法、单位不同，避免混淆； 5.空间感知能力：能根据题意，明确长方体的长、宽、高对应的实际物体维度，理解体积的实际意义。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1.方法一：基本长方体体积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：已知长方体的长、宽、高，直接代入体积公式计算，关键是找准三个维度的数值，确保单位统一（均为体积单位对应的长度单位）； ② 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式V=abh，依次计算长×宽×高；3. 标注正确的体积单位； ③ 示例：一个长方体木块，长5分米，宽3分米，高4分米，计算这个木块的体积。解：V=5×3×4=60（立方分米）。 2.方法二：长方体容器的容积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：长方体容器的容积是其内部能容纳物体的体积，忽略容器厚度时，容积=体积，直接用体积公式计算；若考虑厚度，需用“内部长、宽、高”计算（苏教版题目通常忽略厚度）； ② 常用公式：容积（忽略厚度）= V=abh，若单位为升/毫升，需进行单位换算（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升）； ③ 步骤：1. 确认容器的长、宽、高（内部尺寸，忽略厚度时用外部尺寸），统一单位；2. 代入体积公式计算容积；3. 必要时进行体积单位与容积单位的换算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长方体水箱，从里面量长8分米，宽4分米，高5分米，计算这个水箱的容积（忽略厚度）。解：V=8×4×5=160（立方分米），160立方分米=160升。 3.方法三：体积与容积单位换算（基础，苏教版必考） ① 核心思路：明确体积、容积单位的进率，大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，换算后再结合体积公式计算； ② 关键：牢记进率（相邻体积单位进率1000，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米），避免与面积单位进率（100）混淆； ③ 步骤：1. 明确题目中的单位，判断是大单位换小单位还是小单位换大单位；2. 根据进率进行单位换算；3. 代入体积公式计算，标注正确单位； ④ 示例：一个长方体礼盒，长20厘米，宽8厘米，高5厘米，计算它的体积（用立方分米表示）。解：单位换算：20厘米=2分米，8厘米=0.8分米，5厘米=0.5分米，V=2×0.8×0.5=0.8（立方分米）。 4.方法四：逆用体积公式计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：已知长方体体积和其中两个维度（如长和宽），求第三个维度（如高），用体积公式逆用，即h=V÷a÷b（同理可求长或宽），关键是确保体积和长度单位统一； ② 步骤：1. 确认已知条件（体积、两个维度的长度），统一单位；2. 选择对应的逆用公式；3. 代入数值计算，得出第三个维度的长度；4. 标注正确单位； ③ 示例：一个长方体体积是120立方分米，长6分米，宽5分米，求它的高。解：h=120÷6÷5=4（分米）。 5.方法五：结合实际场景的复杂应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：根据实际场景，将问题转化为长方体体积计算，如不规则物体体积（排水法）：不规则物体体积=上升（或下降）的水的体积=长方体容器底面积×水面变化高度；用料体积=长方体体积×个数； ② 关键：找准实际场景与长方体体积的关联，明确计算的是“体积”还是“容积”，是否需要单位换算或结合其他条件（如水面高度变化）； ③ 步骤：1. 分析实际场景，将问题转化为长方体体积相关计算；2. 提取所需数据（长、宽、高、体积、水面变化高度等），统一单位；3. 代入公式计算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长方体玻璃容器，长10分米，宽5分米，水深4分米，放入一个不规则石块后，水深上升到4.5分米，求石块的体积（水未溢出）。解：石块体积=上升的水的体积=10×5×(4.5-4)=10×5×0.5=25（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：长、宽、高的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），或体积与长度单位不匹配，未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.体积与表面积混淆：误将表面积公式用于体积计算，或混淆二者的单位（如体积用平方分米，表面积用立方厘米）； 3.公式逆用错误：已知体积和两个维度，求第三个维度时，误将“体积÷两个维度的和”，正确应为“体积÷一个维度÷另一个维度”； 4.忽略隐含条件：如计算容器容积时，未注意“从里面量”（苏教版常考），误用外部尺寸计算；排水法中，未计算水面上升/下降的高度，直接用最终水深计算； 5.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1升=1立方厘米）； 6.计算失误：长×宽×高计算错误，或逆用公式时除法计算失误，导致最终结果错误； 7.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算容积，仍用外部尺寸，导致结果偏大。 三、长方体体积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目是求长方体体积、容积，还是逆用公式求维度，判断是否涉及单位换算、排水法等实际场景。 2.统一单位：提取题目中的长、宽、高、体积等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式（体积公式、逆用公式、排水法公式等），代入数值逐步计算，步骤规范。 4.单位换算（若需）：若题目要求的单位与计算结果单位不一致，根据进率进行单位换算，确保单位统一。 5.检验验证：检验公式套用、单位统一、计算过程是否无误，确认符合题意（如排水法中水面未溢出）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见长方体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：基本长方体体积计算（基础题） 例：一个长方体橡皮，长6厘米，宽4厘米，高2厘米，计算这个橡皮的体积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：基本体积计算，已知长、宽、高，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：V=abh，其中a=6cm，b=4cm，h=2cm； ③ 计算：6×4×2=48（立方厘米）； 检验：公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个橡皮的体积是48立方厘米。 2. 场景二：长方体容器的容积计算（基础题） 例：一个长方体鱼缸，从里面量长7分米，宽5分米，高6分米，这个鱼缸能容纳多少升水？（忽略鱼缸厚度） 解：① 确认场景：容器容积计算，忽略厚度，容积=体积，需将立方分米换算为升； ② 代入公式：V=7×5×6=210（立方分米）； ③ 单位换算：1立方分米=1升，210立方分米=210升； 检验：公式套用正确，单位换算无误，符合容积计算要求。 答：这个鱼缸能容纳210升水。 3. 场景三：体积与容积单位换算（基础题） 例：一个长方体货物，长1.2米，宽0.8米，高0.5米，计算这个货物的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：体积计算+单位换算，需将米转化为分米； ② 单位换算：1.2米=12分米，0.8米=8分米，0.5米=5分米； ③ 代入公式计算：V=12×8×5=480（立方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：这个货物的体积是480立方分米。 4. 场景四：逆用体积公式计算（进阶题） 例：一个长方体体积是180立方厘米，长10厘米，宽6厘米，求这个长方体的高是多少厘米？ 解：① 确认场景：逆用体积公式求高，已知体积、长、宽，单位已统一； ② 选择逆用公式：h=V÷a÷b； ③ 计算：180÷10÷6=3（厘米）； 检验：公式逆用正确，计算准确，代入原公式验证：10×6×3=180（立方厘米），符合题意。 答：这个长方体的高是3厘米。 5. 场景五：结合实际场景（排水法，拓展题） 例：一个长方体玻璃缸，长8分米，宽6分米，水深3分米，将一个铁块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到3.5分米，求这个铁块的体积。 解：① 确认场景：排水法求不规则物体体积，铁块体积=上升的水的体积； ② 计算水面上升高度：3.5-3=0.5（分米）； ③ 代入公式计算：上升的水的体积=8×6×0.5=24（立方分米），即铁块体积=24立方分米； 检验：思路正确，水面未溢出，计算准确，符合实际场景。 答：这个铁块的体积是24立方分米。 培优练习 一、选择题 1．一个长方体，长是12cm，宽是长的一半，高是宽的一半，长方体的体积是（    ）。 A． B． C． D． 2．一个长方体的长、宽、高分别为a米、b米、h米。如果宽和高不变，长减少3米，那么新的长方体体积比原来减少（    ）立方米。 A．3ab B．3bh C．（h－3）ab D．（a－3）bh 3．将一块正方体形状的橡皮泥捏成长方体，长方体和正方体（    ）。 A．体积和表面积都相等。 B．体积不相等，表面积相等 C．体积和表面积都不相等。 D．体积相等，表面积不相等。 4．一个长为8分米，宽为6分米，高为4分米的长方体盒子里最多可以放（    ）个棱长是2分米的小正方体木块。 A．36 B．32 C．30 D．24 5．一个长方体棱长总和是40厘米，长、宽、高比是5∶3∶2，这个长方体体积是（    ）。 A．40立方厘米 B．1920立方厘米 C．30立方厘米 D．50立方厘米 6．一个长为8分米，宽为6分米，高为4分米的长方体盒子里最多可以放（    ）个棱长是2分米的小正方体木块。 A．36 B．32 C．30 D．24 二、填空题 7．一个长方体玻璃缸容器，从容器里面量长6分米，宽5分米，高4分米，水深3.5分米，现在把一个棱长是3分米的正方体铁块放入水中（完全浸没），玻璃缸中的水会溢出( )升。 8．一个长方体木料，从上部和下部分别截去高为2cm和4cm的长方体，剩下的部分便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原长方体的表面积是( )平方厘米，体积( )立方厘米。 9．如图，一个长方体沿高截去2厘米后，表面积减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。 10．一个长方体油箱的容积是50升，从里面量得底面积是10平方分米，已知箱内装了箱油，油的高度是( )分米。 11．将一根长1.5米的长方体木料沿横截面切成3段，表面积增加24平方分米，这根长方体木料的体积是( )立方分米。 12．如下图是一个长方体的平面展开图，这个长方体的体积是( )立方厘米。 三、计算题 13．计算下面图形的表面积和体积。 表面积： 体积： 14．求出下面立体图形的表面积和体积。 四、解答题 15．如图，一个长方体如果高增加2厘米，就变成棱长为6厘米的正方体。 (1)原长方体的体积是多少？ (2)正方体与长方体相比，表面积增加了多少平方厘米？ 16．李叔叔用84厘米长的铁丝围成一个长方体（接头处忽略不计），已知围成的长方体的长、宽、高的比是4∶2∶1，长方体的体积是多少立方厘米？ 17．如图，一个密封的长方体容器，长20厘米，宽10厘米，高40厘米，里面水深36厘米。 (1)水与容器接触的面积是多少平方厘米？ (2)如果以这个容器的前面为底放在桌上（厚度忽略不计），这时水深多少厘米？ 18．如下图，玻璃容器从里面量长为8dm，宽为6dm，高为3dm，现在水深为2.2dm。在容器中放入一个棱长为0.4m的正方体石块，水是否会溢出？若会溢出，请你算出溢出水的体积；若不会溢出，请说明理由。 19．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长8分米，宽3.5分米，高6分米。 （1）制作这个鱼缸需要玻璃多少平方分米？ （2）如果把140升水倒进这个鱼缸，这时鱼缸水深多少分米？（玻璃厚度忽略不计） 20．如图，在长方体水槽（长为10厘米、宽为8厘米，初始水位高度8厘米和上升后高度9.5厘米）内放一个长为5厘米，宽为4厘米的长方体铁块，这个铁块的高是多少？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $