第六单元 长方体和正方体的组合体的表面积（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 长方体和正方体的组合体的表面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 组合体的定义：由两个或多个长方体、正方体拼接（或叠加）而成的立体图形，称为长方体、正方体组合体。组合体的表面积是指组合体所有外表面的面积之和，不包括拼接处（重叠部分）的面积——这是组合体表面积与单个长方体、正方体表面积的核心区别。 核心关联概念：① 单个长方体、正方体表面积公式：长方体S=ab+ah+bh×2（a=长、b=宽、h=高），正方体S=6a²（a=棱长）；② 拼接重叠：两个立体图形拼接时，会有两个面完全重合，重合部分的面积会被“遮挡”，计算组合体表面积时需减去2倍的重合面面积（两个重合的面，各遮挡1个）；③ 组合体的类型：常见的有“两个长方体拼接”“两个正方体拼接”“长方体与正方体拼接”，拼接方式分为“面与面完全贴合”（最常见）、“棱与面拼接”（少见，苏教版重点考查面与面贴合）；④ 单位换算：面积单位仍为平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻进率100，计算前需统一单位；⑤ 核心思想：“整体减重叠”，即先计算所有单个立体图形的表面积之和，再减去重叠部分的面积（2×重合面面积）。 2. 组合体表面积应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体表面积计算的综合延伸，核心是掌握“识别重叠部分、灵活计算外表面面积”的方法，摆脱“单个图形机械套公式”的误区，重点培养“空间想象能力”和“逻辑推理能力”——能通过题意判断组合体的拼接方式、找到重叠面、计算重叠面积，进而求出外表面总面积。它广泛应用于生活中与组合立体图形相关的场景（如组合礼盒包装、组合家具用料、积木拼接后的表面积计算等），是立体图形表面积知识的难点和重点，也是后续学习复杂立体图形的基础。 3. 常见场景 ① 两个长方体拼接（面与面贴合）：如两个相同或不同的长方体拼接成一个大长方体，计算大长方体的表面积； ② 两个正方体拼接（面与面贴合）：如两个相同的正方体拼接成一个长方体，计算这个长方体的表面积； ③ 长方体与正方体拼接（面与面贴合）：如一个长方体和一个正方体拼接，计算组合体的表面积； ④ 多个（3个及以上）长方体/正方体拼接：如3个相同的正方体拼接成一个大长方体，计算其表面积； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如组合礼盒包装（考虑重叠包装纸面积）、组合家具粉刷（扣除重叠部分和门窗面积）、拼接积木的表面积计算等； ⑥ 综合运用：结合单位换算、单个图形表面积计算，解决组合体表面积的对比、计算、设计类问题（如判断不同拼接方式的表面积大小）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：长方体相对面相同，正方体6个面完全相同； 2.单个图形表面积公式：长方体S=ab+ah+bh×2，正方体S=6a²； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前统一单位； 4.空间想象能力：能根据题意判断组合体的拼接方式（哪个面与哪个面贴合），准确找到重叠面的形状和面积。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：两个相同正方体拼接（面与面贴合，基础） ① 核心思路：两个相同正方体拼接后，形成一个长方体（长=2a，宽=a，高=a），重叠1个面（面积a²），组合体表面积 = 两个正方体表面积之和 - 2×重叠面面积（或直接计算拼接后长方体的表面积）； ② 常用公式：方法一（整体减重叠）：2×6a²−2×a²=12a²−2a²=10a²；方法二（直接算长方体）：2a×a+2a×a+a×a×2=2a²+2a²+a²×2=10a²； ③ 步骤：1. 确认正方体棱长a，统一单位；2. 选择一种方法，计算组合体表面积；3. 标注正确面积单位； ④ 示例：两个棱长3分米的正方体拼接成一个长方体，计算其表面积。解：方法一：2×6×3×3−2×3×3=108−18=90（平方分米）；方法二：6×3+6×3+3×3×2=18+18+9×2=90（平方分米）。 2.方法二：两个不同长方体拼接（面与面贴合，重点） ① 核心思路：两个不同长方体拼接，需先确定“哪个面贴合”（题目通常明确，如“把两个长方体的上下面贴合”“把长×宽的面贴合”），重叠1个面（面积为贴合面的面积），组合体表面积 = 两个长方体表面积之和 - 2×贴合面面积； ② 关键：贴合面的面积决定重叠面积，贴合面不同，组合体表面积不同（贴合面面积越大，组合体表面积越小）； ③ 步骤：1. 确认两个长方体的长、宽、高，统一单位；2. 确定贴合面，计算贴合面面积；3. 分别计算两个长方体的表面积，求和；4. 减去2×贴合面面积，得出组合体表面积； ④ 示例：一个长方体长5分米、宽4分米、高3分米，另一个长方体长4分米、宽3分米、高2分米，将两个长方体的“长×宽”面（5×4和4×3，贴合面取较小的4×3）贴合，计算组合体表面积。解：第一个长方体表面积5×4+5×3+4×3×2=94平方分米，第二个4×3+4×2+3×2×2=52平方分米，贴合面面积4×3=12平方分米，组合体表面积94+52−2×12=146−24=122（平方分米）。 3.方法三：长方体与正方体拼接（面与面贴合，进阶） ① 核心思路：长方体与正方体拼接，贴合面为“正方体的一个面”和“长方体的一个面”（需保证两个面完全重合，即长方体贴合面的长和宽与正方体棱长相等），重叠1个面（面积a²，a为正方体棱长），组合体表面积 = 长方体表面积 + 正方体表面积 - 2×a²； ② 关键：确保贴合面完全重合，若长方体贴合面与正方体面不相等，需先调整（苏教版题目通常设计为贴合面完全重合）； ③ 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高和正方体的棱长，统一单位；2. 计算长方体和正方体的表面积，求和；3. 减去2×正方体一个面的面积（重叠部分）；4. 标注单位； ④ 示例：一个长方体长6分米、宽4分米、高4分米，一个正方体棱长4分米，将正方体的一个面与长方体的“宽×高”面（4×4）贴合，计算组合体表面积。解：长方体表面积6×4+6×4+4×4×2=128平方分米，正方体表面积6×4×4=96平方分米，重叠面积2×4×4=32平方分米，组合体表面积128+96−32=192（平方分米）。 4.方法四：多个（3个及以上）相同立体图形拼接（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：3个及以上相同正方体/长方体拼接，拼接次数 = 个数 - 1，每次拼接重叠1个面，总重叠面个数 = 2×(个数 - 1)（每个拼接处重叠2个面），组合体表面积 = 所有单个图形表面积之和 - 总重叠面面积； ② 常用场景：3个相同正方体拼接成一个大长方体（长=3a，宽=a，高=a），表面积 = 3×6a²−2×2a²=18a²−4a²=14a²； ③ 步骤：1. 确认单个图形的棱长/长、宽、高，统一单位；2. 计算单个图形表面积，乘个数求和；3. 计算总重叠面面积（拼接次数×2×单个重叠面面积）；4. 用总和减去总重叠面面积，得出结果； ④ 示例：3个棱长2分米的正方体拼接成一个大长方体，计算其表面积。解：单个正方体表面积6×2×2=24平方分米，3个总和24×3=72平方分米，总重叠面面积2×2×3−1=8平方分米，组合体表面积72−8=64（平方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：不同立体图形的棱长/长、宽、高单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.重叠面判断错误：找不到拼接后的重叠面，或误将“1个重叠面”当作“1倍面积”，忽略需减去“2倍重叠面面积”（两个面重合，各遮挡1个）； 3.拼接方式混淆：题目未明确拼接方式时，未结合题意判断贴合面（如“拼接成一个大长方体”，需选择能拼成大长方体的贴合面）； 4.公式套用错误：机械计算单个图形表面积之和，忘记减去重叠部分的面积，或多减、少减重叠面积； 5.多个图形拼接失误：计算3个及以上图形拼接时，误将“拼接次数”当作“重叠面个数”，导致总重叠面面积计算错误； 6.忽略实际场景：如组合礼盒包装，未考虑包装纸的重叠部分，或粉刷组合家具时，未扣除门窗、重叠遮挡的面积； 7.计算失误：单个图形表面积计算错误，或求和、减重叠面积时出错，导致最终结果错误。 三、组合体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨拼接：明确组合体是由几个、哪种立体图形（长方体/正方体）拼接而成，确定贴合面的类型（哪个面与哪个面贴合）。 2.统一单位：提取所有立体图形的棱长/长、宽、高数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位）。 3.计算单个与总和：分别计算每个立体图形的表面积，求出所有单个图形的表面积之和。 4.计算重叠面积：根据拼接次数（个数-1），计算总重叠面面积（拼接次数×2×单个重叠面面积）。 5.求组合体表面积：用单个图形表面积之和减去总重叠面面积，若有实际场景需求（如扣除门窗），再减去对应面积。 6.检验验证：检验贴合面判断、单位统一、重叠面积计算、公式套用是否无误，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见组合体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：两个相同正方体拼接（基础题） 例：两个棱长5厘米的正方体，将它们的一个面完全贴合，拼接成一个大长方体，计算这个大长方体的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：两个相同正方体拼接，贴合面为正方体的一个面（面积5×5=25平方厘米），拼接次数1次； ② 统一单位：均为厘米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个正方体表面积6×5×5=150平方厘米，两个总和150×2=300平方厘米； ④ 计算重叠面积：2×25=50平方厘米； ⑤ 组合体表面积：300−50=250（平方厘米）； 检验：贴合面判断正确，重叠面积计算无误，步骤规范。 答：这个大长方体的表面积是250平方厘米。 2. 场景二：两个不同长方体拼接（基础题） 例：一个长方体长4分米、宽3分米、高2分米，另一个长方体长3分米、宽2分米、高1分米，将两个长方体的“宽×高”面（3×2和2×1，贴合面取2×1）完全贴合，计算组合体的表面积。 解：① 确认场景：两个不同长方体拼接，贴合面为2×1（较小的贴合面），拼接次数1次； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：第一个长方体表面积4×3+4×2+3×2×2=52平方分米，第二个3×2+3×1+2×1×2=22平方分米，总和52+22=74平方分米； ④ 计算重叠面积：2×2×1=4平方分米； ⑤ 组合体表面积：74−4=70（平方分米）； 检验：贴合面选择正确，重叠面积计算无误，结果准确。 答：组合体的表面积是70平方分米。 3. 场景三：长方体与正方体拼接（进阶题） 例：一个长方体长8分米、宽5分米、高5分米，一个正方体棱长5分米，将正方体的一个面与长方体的“宽×高”面（5×5）完全贴合，计算组合体的表面积。 解：① 确认场景：长方体与正方体拼接，贴合面为5×5（完全重合），拼接次数1次； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：长方体表面积8×5+8×5+5×5×2=210平方分米，正方体表面积6×5×5=150平方分米，总和210+150=360平方分米； ④ 计算重叠面积：2×5×5=50平方分米； ⑤ 组合体表面积：360−50=310（平方分米）； 检验：贴合面完全重合，重叠面积计算正确，步骤规范。 答：组合体的表面积是310平方分米。 4. 场景四：3个相同正方体拼接（进阶题） 例：3个棱长4厘米的正方体，依次将它们的一个面完全贴合，拼接成一个大长方体，计算这个大长方体的表面积。 解：① 确认场景：3个相同正方体拼接，拼接次数2次，每次重叠1个面（面积4×4=16平方厘米）； ② 统一单位：均为厘米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个正方体表面积6×4×4=96平方厘米，3个总和96×3=288平方厘米； ④ 计算重叠面积：2×2×16=64平方厘米（2次拼接，每次2个重叠面）； ⑤ 组合体表面积：288−64=224（平方厘米）； 检验：拼接次数判断正确，重叠面积计算无误，结果准确。 答：这个大长方体的表面积是224平方厘米。 5. 场景五：结合实际场景（包装，拓展题） 例：一个长方体礼盒长6分米、宽3分米、高2分米，另一个相同的长方体礼盒，将两个礼盒的“长×宽”面完全贴合，包装成一个大礼盒，不计包装纸重叠部分，需要多少平方分米的包装纸？ 解：① 确认场景：两个相同长方体拼接，贴合面为6×3，包装纸面积即组合体的表面积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个礼盒表面积6×3+6×2+3×2×2=72平方分米，两个总和72×2=144平方分米； ④ 计算重叠面积：2×6×3=36平方分米； ⑤ 包装纸面积（组合体表面积）：144−36=108（平方分米）； 检验：贴合面判断正确，符合包装实际场景，计算准确。 答：需要108平方分米的包装纸。 培优练习 一、选择题 1．一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 【答案】C 【分析】大正方体一个角挖掉一个小正方体，减少3个面，又增加了3个面，现在几何体的表面积等于原来大正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此求出表面积，据此解答。 【详解】2×2×6 ＝4×6 ＝24（cm2） 一个棱长为2cm的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为1cm的小正方体，这时它的表面积是24cm2。 故答案为：C 2．用体积是1cm3的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，（    ）；①和②的表面积比较，（    ）。 A．①＞②；①＝② B．①＝②；①＜② C．①＜②；①＞② 【答案】A 【分析】比较两个立体图形可知：②比①少1个小正方体，两个图形的体积分别是组成的小正方体的体积和；②中缺少1个小正方体，表面积比①少3个小正方形的面，又增加3个小正方形的面。据此解答。 【详解】由分析可得：②比①少1个小正方体，所以①的体积大于②的体积，所以①＞②；②的表面积比①少3个小正方形的面，又增加3个小正方形的面，所以①和②的表面积比较，①＝②。 故答案为：A 3．图形是由7个棱长1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（    ）平方厘米。 A．21 B．24 C．7 【答案】B 【分析】看上去，这个立体图形的表面积比棱长2厘米的大正方体的表面积少了3个正方形的面，里面又出现了同样的3个正方形，因此这个立体图形的表面积＝棱长2厘米的大正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【详解】1×2＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 它的表面积是24平方厘米。 故答案为：B 4．一个长方体木块的表面积是96平方厘米，底面是面积为12平方厘米的正方形。在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体底面各边的中点上（如图）。这个组合体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．126 C．132 【答案】A 【分析】看图并结合题意可知，正方体的底面积恰好是长方体底面积的一半。将长方体的底面积除以2，求出正方体的底面积。将正方体粘在长方体上面后，长方体的表面积减少了1个小正方形的面积，将正方体的上面借给长方体，长方体的表面积就不变了。正方体的底面粘在里面，只有5个面露在外面，又借给长方体1个面，那么计算组合体的表面积时，只需要计算正方体4个面的面积。将长方体表面积加上正方体4个面的面积，即可求出组合体的表面积。 【详解】12÷2＝6（平方厘米） 96＋6×4 ＝96＋24 ＝120（平方厘米） 所以，这个组合体的表面积是120平方厘米。 故答案为：A 5．4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？（    ） A．90 B．900 C．360 【答案】B 【分析】从上面看有3个小正方形，从前面看有3个小正方形，从后面看也是3个小正方形，一共有3×3＝9（个）小正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个小正方形的面积，再乘9即可解答。 【详解】3×3＝9（个） 10×10×9 ＝100×9 ＝900（平方厘米） 所以露在外面的面积是多少平方厘米900平方厘米。 故答案为：B 6．下图是摆放在桌子上的3个正方体，有（    ）个面露在外面。 A．16 B．14 C．12 【答案】C 【分析】前面、后面、左面、右面和上面露在外面，其中前面和后面看到的形状一样，左面和右面看到的形状一样，观察可知，前面看有3个小正方形，右面看有2个小正方形，上面看有2个小正方形，前面看到的个数×2＋右面看到的个数×2＋上面看到的个数＝露在外面的个数，据此分析。 【详解】3×2＋2×2＋2 ＝6＋4＋2 ＝12（个） 有12个面露在外面。 故答案为：C 二、填空题 7．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个。 【答案】 27 4 【分析】本题是一道立体图形计数与表面积计算的综合题，核心在于准确理解 “靠墙摆放” 这一条件，即与墙面和地面接触的面不计入外露面积和装饰画范围。解题的关键在于通过分层或三视图的方法，清晰地数出外露的面和符合条件的小正方体，避免因空间想象不足而漏数或重复计数。 【详解】（1）计算露在外面的面积 每个小正方体的一个面的面积为1×1＝1平方厘米。物体靠墙摆放，我们只需数出正面、右面、上面三个方向的外露面数量。 正面：可以看到9个小正方形的面。 右面：可以看到9个小正方形的面。 上面：可以看到9个小正方形的面。总外露面数为9×3＝27个，因此露在外面的面积为27×1＝27平方厘米。 （2）统计三个面都有装饰画的小正方体“三个面都有装饰画” 意味着小正方体的正面、右面、上面都外露。我们逐层排查： 底层：1个；中层：1个；顶层：2个。1＋1＋2＝4个，因此，共有4个小正方体三个面都有装饰画。 【点睛】解题时，将复杂的立体图形分解为简单的面和层进行分析，是化繁为简的关键技巧。对于此类问题，养成 “先定方向（正面、侧面、上面），再分层计数” 的习惯，可以有效避免错误。 8．下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 10 14 (2)4n＋2 【分析】（1）图②长方体由2个小正方体排成一排，此时长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为1厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可得其表面积为（2×1＋2×1＋1×1）×2，计算得10平方厘米；图③长方体由3个小正方体排成一排，此时长方体的长为3厘米、宽为1厘米、高为1厘米。其表面积为（3×1＋3×1＋1×1）×2，计算得14平方厘米； （2）由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体，长为n厘米，宽为1厘米，高为1厘米。其表面积为（n×1＋n×1＋1×1）×2，化简即可。 【详解】（1）（2×1＋2×1＋1×1）×2 ＝（2＋2＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（平方厘米） （3×1＋3×1＋1×1）×2 ＝（3＋3＋1）×2 ＝（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（平方厘米） 图②的表面积是10平方厘米，图③的表面积是14平方厘米。 （2）（n×1＋n×1＋1×1）×2 ＝（n＋n＋1）×2 ＝（2n＋1）×2 ＝2n×2＋1×2 ＝（4n＋2）平方厘米 由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 9．如图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是( )平方厘米；至少再添上( )个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有( )个小正方体的三面是涂色的。 【答案】 44 11 6 【分析】这个几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的，即小正方体的每个面的面积为1×1＝1（平方厘米）。这个物体上面的面积是1×8＝8（平方厘米），右面的面积是1×6＝6（平方厘米），前面的面积是1×8＝8（平方厘米），求出这三个面的面积之和后再乘2，即可求出表面积；数一数，这个几何体一共由2＋6＋8＝16（个）小正方体搭成，将原物体补成的大正方体的棱长至少是3厘米，一共由3×3×3＝27（个）棱长为1厘米的小正方体，则至少添27－16＝11（个）这样的小正方体； 最上面一层有2个小正方体，没有3面涂色的；中间一层有6个小正方体，3面涂色的有3个；下面一层有8个小正方体，3面涂色的也有3个，共3＋3＝6（个）。 【详解】1×1＝1（平方厘米） 1×8＝8（平方厘米） 1×6＝6（平方厘米） 1×8＝8（平方厘米） （8＋6＋8）×2 ＝（14＋8）×2 ＝22×2 ＝44（平方厘米） 它的表面积是44平方厘米； 2＋6＋8 ＝8＋8 ＝16（个） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（个） 27－16＝11（个） 至少再添上11个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。 3＋3＝6（个） 若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有6个小正方体的三面是涂色的。 如题图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是44平方厘米；至少再添上11个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有6个小正方体的三面是涂色的。 10．把一些棱长为1厘米的小正方体按如图所示的方法搭成下面的立体图形。 搭到第5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】90 【分析】由题图可知，每个立体图形从上、下、左、右、前、后六个方向看到的小正方形的个数都是一样的。第一个图形，有1层，每个方向看到的小正方形的个数都是1；面数：1×6＝6个面，第二个图形，有2层；每个方向看到的小正方形的个数都是1＋2＝3个；面数：3×6＝18个；第三个图形，有3层；每个方向看到的小正方形的个数都是1＋2＋3＝6个；面数：6×6＝36个；第四个图形，有4层；每个方向看到的小正方形的个数都是1＋2＋3＋4＝10个；面数：10×6＝60个；由此可知，第n个图形，有n层，每个方向看到的小正方形的个数都是（1＋2＋3＋…＋n）个；面数：（1＋2＋3＋…＋n）×6，据此求出n＝5时，求出面数，根据正方形面积＝边长×边长，求出1个面的面积，再乘面的个数，即可解答。 【详解】根据分析可知，第n个图形，每个方向看到的小正方形的个数都是（1＋2＋3＋…＋n）个；面数：（1＋2＋3＋…＋n）×6。 当n＝5时。 （1＋2＋3＋4＋5）×6 ＝（3＋3＋4＋5）×6 ＝（6＋4＋5）×6 ＝（10＋5）×6 ＝15×6 ＝90（个） 1×1×90 ＝1×90 ＝90（平方厘米） 搭到第5层时，这个立体图形的表面积是90平方厘米。 11．如图所示为由棱长为1分米的小正方体搭成的立体图形，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 【答案】 42 14 【分析】棱长为1分米的小正方体，每个面都是边长1分米的正方形，面积是1平方分米；棱长1分米的正方体，体积是1立方分米。从前面看有5个小正方形，即5平方分米，从上面看有8个小正方形，即8平方分米，从右面看有8个小正方形，即8平方分米，它的表面积＝（前面的面积＋上面的面积＋右面的面积）×2；这个立体图形底层摆了8个小正方体，体积8立方分米，第二层摆了5个小正方体，体积5立方分米，最上层摆了1个小正方体，体积1立方分米，将三层体积相加是这个立体图形的体积。 【详解】（5＋8＋8）×2 ＝21×2 ＝42（平方分米） 8＋5＋1＝14（立方分米） 它的表面积是42平方分米，体积是14立方分米。 12．有4个棱长为5厘米的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面是( )个面，露在外面的面积一共是( )平方厘米。 【答案】 9 225 【分析】从正面、上面、右面看，露在外面各有3个小正方形，即露在外面的面一共有3×3＝9（个），根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算出一个正方形的面积，进而求9个正方形的面积即可。 【详解】3×3＝9（个） 5×5×9＝225（平方厘米） 露在外面的面是9个面，露在外面的面积一共是225平方厘米。 三、计算题 13．如下图，一个物体摆放在地面上，露在外面的面积是多少？（单位：dm） 【答案】200dm² 【分析】物体的上面是两个长方形组成，一个长为10分米，宽为2分米，另一个长为10分米，宽为6分米，根据长方形的面积＝长×宽，分别计算它们的面积再相加； 物体的侧面是两个相同的长方形组成，一个长为10分米，宽为分米，根据长方形的面积＝长×宽，计算一个长方形的面积再乘2； 物体的前面和后面是两个相同的组合图形组成，可看作由一个长为4分米，宽为2分米，另一个长为6分米，宽为2分米的长方形组成的组合图形，根据长方形的面积＝长×宽，先计算一个组合图形的面积再乘2； 将所有露在外面的面的面积相加起来，即可解答。 【详解】 （平方分米） 露在外面的面积是200平方分米。 14．计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 【答案】 【分析】因为正方体与长方体粘合在一起，所以求表面积时，上面的正方体只求它的4个侧面的面积，下面的长方体求表面积，根据长方体的表面积公式：，正方形的面积公式：把数据代入公式解答。 【详解】 立体图形的表面积为。 15．求下面图形的表面积。（单位：cm） （1） （2） 【答案】（1）150cm2 （2）112cm2 【分析】（1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 （2）由图可知，两个长方体的组合体，减少的表面积是两个图形相接的部分，组合体的表面积＝下面长方体的表面积＋上面长方体4个侧面的面积。再根据长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2，代入相应数值计算即可。 【详解】（1）（cm2） 正方体的表面积是150cm2。 （2） （cm2） 组合图形的表面积是112cm2。 四、解答题 16．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 【答案】（1）14个 （2）21个；21平方分米 【分析】（1）数小正方体的个数可分为上、中、下三层，分别数出每层个数，上层有1个，中间层有5个，下层有8个，再相加。 （2）这个几何体露在外面的部分包括从上面、前面和右面这三个方向看到的图形，从上面可以看到8个小正方形，从前面可以看到7个小正方形，从右面可以看到6个小正方形，再相加。已知棱长为1分米，先根据棱长×棱长求出一个面的面积，再乘总数量，即可求出露在外面的总面积。据此解答。 【详解】（1）1＋5＋8 ＝6＋8 ＝14（个） 答：墙角一共堆放了14个小正方体。 （2）8＋7＋6 ＝15＋6 ＝21（个） 1×1×21 ＝1×21 ＝21（平方分米） 答：这些小正方体露在外面的小正方形一共有21个，露在外面的总面积是21平方分米。 17．如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 【答案】4.88平方米 【分析】领奖台上面由3个长为0.8米，宽为0.5米的长方形组成，根据长方形面积公式 S＝长×宽，上面的总面积为1.2平方米； 前面由3个长方形组成，高度分别为0.6米，（0.4＋0.4）米，0.4米，宽度均为0.8米；后面与前面面积相等，前面（或后面）的总面积为2.88平方米； 左面和右面的面积相同由高度为0.8米、宽度为0.5米的长方形组成，左右面总面积为0.8平方米； 将上面，前面（后面），左面（右面）的面积相加，得到刷油漆的总面积为5.2平方米。 【详解】前后面： （平方米） 左面和右面：（平方米） 上面：（平方米） 总面积：（平方米） 答：刷油漆的面积是4.88平方米。 18．如图是用棱长3厘米的小正方体堆成的图形，堆成的图形的表面积是多少平方厘米？把它补成大正方体，表面积至少是多少平方厘米？ 【答案】306平方厘米；486平方厘米 【分析】图中图形表面向左有5个小正方形面，向右的小正方形面个数与向左的相同；向下有5个小正方形面，向上的小正方形面个数与向下的相同；向后有7个小正方形面，向前的小正方形面个数与向后的相同，据此先算出整个图形表面有多少个小正方形面，再求出每个小正方形面的面积，最后用小正方形面个数乘每个小正方形面的面积，即是这个图形的表面积；把它补成一条棱上有3个小正方体的大正方体，棱长为3×3＝9（厘米），根据“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”计算即可。 【详解】（5＋5＋7）×2 ＝17×2 ＝34（个） 3×3＝9（平方厘米） 34×9＝306（平方厘米） 9×9×6＝486（平方厘米） 答：堆成的图形的表面积是306平方厘米；把它补成大正方体，表面积至少是486平方厘米。 19．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 【答案】182平方分米 【分析】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 【点睛】解题关键是：分析挖孔后正方体表面积的变化，即原来的表面积减去被挖去部分的面积，再加上孔内部新增的与水接触的面积。 20．笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】12600平方厘米 【分析】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面5个正方形，右面5个正方形，上面4个正方形，一共有5＋5＋4＝14个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘14就是露在外部的总面积。 【详解】5＋5＋4 ＝10＋4 ＝14（个） 30×30×14 ＝900×14 ＝12600（平方厘米） 答：露在外面的面积是12600平方厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体的组合体的表面积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 组合体的定义：由两个或多个长方体、正方体拼接（或叠加）而成的立体图形，称为长方体、正方体组合体。组合体的表面积是指组合体所有外表面的面积之和，不包括拼接处（重叠部分）的面积——这是组合体表面积与单个长方体、正方体表面积的核心区别。 核心关联概念：① 单个长方体、正方体表面积公式：长方体S=ab+ah+bh×2（a=长、b=宽、h=高），正方体S=6a²（a=棱长）；② 拼接重叠：两个立体图形拼接时，会有两个面完全重合，重合部分的面积会被“遮挡”，计算组合体表面积时需减去2倍的重合面面积（两个重合的面，各遮挡1个）；③ 组合体的类型：常见的有“两个长方体拼接”“两个正方体拼接”“长方体与正方体拼接”，拼接方式分为“面与面完全贴合”（最常见）、“棱与面拼接”（少见，苏教版重点考查面与面贴合）；④ 单位换算：面积单位仍为平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻进率100，计算前需统一单位；⑤ 核心思想：“整体减重叠”，即先计算所有单个立体图形的表面积之和，再减去重叠部分的面积（2×重合面面积）。 2. 组合体表面积应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体表面积计算的综合延伸，核心是掌握“识别重叠部分、灵活计算外表面面积”的方法，摆脱“单个图形机械套公式”的误区，重点培养“空间想象能力”和“逻辑推理能力”——能通过题意判断组合体的拼接方式、找到重叠面、计算重叠面积，进而求出外表面总面积。它广泛应用于生活中与组合立体图形相关的场景（如组合礼盒包装、组合家具用料、积木拼接后的表面积计算等），是立体图形表面积知识的难点和重点，也是后续学习复杂立体图形的基础。 3. 常见场景 ① 两个长方体拼接（面与面贴合）：如两个相同或不同的长方体拼接成一个大长方体，计算大长方体的表面积； ② 两个正方体拼接（面与面贴合）：如两个相同的正方体拼接成一个长方体，计算这个长方体的表面积； ③ 长方体与正方体拼接（面与面贴合）：如一个长方体和一个正方体拼接，计算组合体的表面积； ④ 多个（3个及以上）长方体/正方体拼接：如3个相同的正方体拼接成一个大长方体，计算其表面积； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如组合礼盒包装（考虑重叠包装纸面积）、组合家具粉刷（扣除重叠部分和门窗面积）、拼接积木的表面积计算等； ⑥ 综合运用：结合单位换算、单个图形表面积计算，解决组合体表面积的对比、计算、设计类问题（如判断不同拼接方式的表面积大小）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：长方体相对面相同，正方体6个面完全相同； 2.单个图形表面积公式：长方体S=ab+ah+bh×2，正方体S=6a²； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前统一单位； 4.空间想象能力：能根据题意判断组合体的拼接方式（哪个面与哪个面贴合），准确找到重叠面的形状和面积。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：两个相同正方体拼接（面与面贴合，基础） ① 核心思路：两个相同正方体拼接后，形成一个长方体（长=2a，宽=a，高=a），重叠1个面（面积a²），组合体表面积 = 两个正方体表面积之和 - 2×重叠面面积（或直接计算拼接后长方体的表面积）； ② 常用公式：方法一（整体减重叠）：2×6a²−2×a²=12a²−2a²=10a²；方法二（直接算长方体）：2a×a+2a×a+a×a×2=2a²+2a²+a²×2=10a²； ③ 步骤：1. 确认正方体棱长a，统一单位；2. 选择一种方法，计算组合体表面积；3. 标注正确面积单位； ④ 示例：两个棱长3分米的正方体拼接成一个长方体，计算其表面积。解：方法一：2×6×3×3−2×3×3=108−18=90（平方分米）；方法二：6×3+6×3+3×3×2=18+18+9×2=90（平方分米）。 2.方法二：两个不同长方体拼接（面与面贴合，重点） ① 核心思路：两个不同长方体拼接，需先确定“哪个面贴合”（题目通常明确，如“把两个长方体的上下面贴合”“把长×宽的面贴合”），重叠1个面（面积为贴合面的面积），组合体表面积 = 两个长方体表面积之和 - 2×贴合面面积； ② 关键：贴合面的面积决定重叠面积，贴合面不同，组合体表面积不同（贴合面面积越大，组合体表面积越小）； ③ 步骤：1. 确认两个长方体的长、宽、高，统一单位；2. 确定贴合面，计算贴合面面积；3. 分别计算两个长方体的表面积，求和；4. 减去2×贴合面面积，得出组合体表面积； ④ 示例：一个长方体长5分米、宽4分米、高3分米，另一个长方体长4分米、宽3分米、高2分米，将两个长方体的“长×宽”面（5×4和4×3，贴合面取较小的4×3）贴合，计算组合体表面积。解：第一个长方体表面积5×4+5×3+4×3×2=94平方分米，第二个4×3+4×2+3×2×2=52平方分米，贴合面面积4×3=12平方分米，组合体表面积94+52−2×12=146−24=122（平方分米）。 3.方法三：长方体与正方体拼接（面与面贴合，进阶） ① 核心思路：长方体与正方体拼接，贴合面为“正方体的一个面”和“长方体的一个面”（需保证两个面完全重合，即长方体贴合面的长和宽与正方体棱长相等），重叠1个面（面积a²，a为正方体棱长），组合体表面积 = 长方体表面积 + 正方体表面积 - 2×a²； ② 关键：确保贴合面完全重合，若长方体贴合面与正方体面不相等，需先调整（苏教版题目通常设计为贴合面完全重合）； ③ 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高和正方体的棱长，统一单位；2. 计算长方体和正方体的表面积，求和；3. 减去2×正方体一个面的面积（重叠部分）；4. 标注单位； ④ 示例：一个长方体长6分米、宽4分米、高4分米，一个正方体棱长4分米，将正方体的一个面与长方体的“宽×高”面（4×4）贴合，计算组合体表面积。解：长方体表面积6×4+6×4+4×4×2=128平方分米，正方体表面积6×4×4=96平方分米，重叠面积2×4×4=32平方分米，组合体表面积128+96−32=192（平方分米）。 4.方法四：多个（3个及以上）相同立体图形拼接（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：3个及以上相同正方体/长方体拼接，拼接次数 = 个数 - 1，每次拼接重叠1个面，总重叠面个数 = 2×(个数 - 1)（每个拼接处重叠2个面），组合体表面积 = 所有单个图形表面积之和 - 总重叠面面积； ② 常用场景：3个相同正方体拼接成一个大长方体（长=3a，宽=a，高=a），表面积 = 3×6a²−2×2a²=18a²−4a²=14a²； ③ 步骤：1. 确认单个图形的棱长/长、宽、高，统一单位；2. 计算单个图形表面积，乘个数求和；3. 计算总重叠面面积（拼接次数×2×单个重叠面面积）；4. 用总和减去总重叠面面积，得出结果； ④ 示例：3个棱长2分米的正方体拼接成一个大长方体，计算其表面积。解：单个正方体表面积6×2×2=24平方分米，3个总和24×3=72平方分米，总重叠面面积2×2×3−1=8平方分米，组合体表面积72−8=64（平方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：不同立体图形的棱长/长、宽、高单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.重叠面判断错误：找不到拼接后的重叠面，或误将“1个重叠面”当作“1倍面积”，忽略需减去“2倍重叠面面积”（两个面重合，各遮挡1个）； 3.拼接方式混淆：题目未明确拼接方式时，未结合题意判断贴合面（如“拼接成一个大长方体”，需选择能拼成大长方体的贴合面）； 4.公式套用错误：机械计算单个图形表面积之和，忘记减去重叠部分的面积，或多减、少减重叠面积； 5.多个图形拼接失误：计算3个及以上图形拼接时，误将“拼接次数”当作“重叠面个数”，导致总重叠面面积计算错误； 6.忽略实际场景：如组合礼盒包装，未考虑包装纸的重叠部分，或粉刷组合家具时，未扣除门窗、重叠遮挡的面积； 7.计算失误：单个图形表面积计算错误，或求和、减重叠面积时出错，导致最终结果错误。 三、组合体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨拼接：明确组合体是由几个、哪种立体图形（长方体/正方体）拼接而成，确定贴合面的类型（哪个面与哪个面贴合）。 2.统一单位：提取所有立体图形的棱长/长、宽、高数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位）。 3.计算单个与总和：分别计算每个立体图形的表面积，求出所有单个图形的表面积之和。 4.计算重叠面积：根据拼接次数（个数-1），计算总重叠面面积（拼接次数×2×单个重叠面面积）。 5.求组合体表面积：用单个图形表面积之和减去总重叠面面积，若有实际场景需求（如扣除门窗），再减去对应面积。 6.检验验证：检验贴合面判断、单位统一、重叠面积计算、公式套用是否无误，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见组合体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：两个相同正方体拼接（基础题） 例：两个棱长5厘米的正方体，将它们的一个面完全贴合，拼接成一个大长方体，计算这个大长方体的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：两个相同正方体拼接，贴合面为正方体的一个面（面积5×5=25平方厘米），拼接次数1次； ② 统一单位：均为厘米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个正方体表面积6×5×5=150平方厘米，两个总和150×2=300平方厘米； ④ 计算重叠面积：2×25=50平方厘米； ⑤ 组合体表面积：300−50=250（平方厘米）； 检验：贴合面判断正确，重叠面积计算无误，步骤规范。 答：这个大长方体的表面积是250平方厘米。 2. 场景二：两个不同长方体拼接（基础题） 例：一个长方体长4分米、宽3分米、高2分米，另一个长方体长3分米、宽2分米、高1分米，将两个长方体的“宽×高”面（3×2和2×1，贴合面取2×1）完全贴合，计算组合体的表面积。 解：① 确认场景：两个不同长方体拼接，贴合面为2×1（较小的贴合面），拼接次数1次； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：第一个长方体表面积4×3+4×2+3×2×2=52平方分米，第二个3×2+3×1+2×1×2=22平方分米，总和52+22=74平方分米； ④ 计算重叠面积：2×2×1=4平方分米； ⑤ 组合体表面积：74−4=70（平方分米）； 检验：贴合面选择正确，重叠面积计算无误，结果准确。 答：组合体的表面积是70平方分米。 3. 场景三：长方体与正方体拼接（进阶题） 例：一个长方体长8分米、宽5分米、高5分米，一个正方体棱长5分米，将正方体的一个面与长方体的“宽×高”面（5×5）完全贴合，计算组合体的表面积。 解：① 确认场景：长方体与正方体拼接，贴合面为5×5（完全重合），拼接次数1次； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：长方体表面积8×5+8×5+5×5×2=210平方分米，正方体表面积6×5×5=150平方分米，总和210+150=360平方分米； ④ 计算重叠面积：2×5×5=50平方分米； ⑤ 组合体表面积：360−50=310（平方分米）； 检验：贴合面完全重合，重叠面积计算正确，步骤规范。 答：组合体的表面积是310平方分米。 4. 场景四：3个相同正方体拼接（进阶题） 例：3个棱长4厘米的正方体，依次将它们的一个面完全贴合，拼接成一个大长方体，计算这个大长方体的表面积。 解：① 确认场景：3个相同正方体拼接，拼接次数2次，每次重叠1个面（面积4×4=16平方厘米）； ② 统一单位：均为厘米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个正方体表面积6×4×4=96平方厘米，3个总和96×3=288平方厘米； ④ 计算重叠面积：2×2×16=64平方厘米（2次拼接，每次2个重叠面）； ⑤ 组合体表面积：288−64=224（平方厘米）； 检验：拼接次数判断正确，重叠面积计算无误，结果准确。 答：这个大长方体的表面积是224平方厘米。 5. 场景五：结合实际场景（包装，拓展题） 例：一个长方体礼盒长6分米、宽3分米、高2分米，另一个相同的长方体礼盒，将两个礼盒的“长×宽”面完全贴合，包装成一个大礼盒，不计包装纸重叠部分，需要多少平方分米的包装纸？ 解：① 确认场景：两个相同长方体拼接，贴合面为6×3，包装纸面积即组合体的表面积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个与总和：单个礼盒表面积6×3+6×2+3×2×2=72平方分米，两个总和72×2=144平方分米； ④ 计算重叠面积：2×6×3=36平方分米； ⑤ 包装纸面积（组合体表面积）：144−36=108（平方分米）； 检验：贴合面判断正确，符合包装实际场景，计算准确。 答：需要108平方分米的包装纸。 培优练习 一、选择题 1．一个棱长为的正方体，在它的一个角挖掉一个棱长为的小正方体（如图），这时它的表面积是（    ）。 A．18 B．21 C．24 2．用体积是1cm3的小正方体摆成如下的两个图形，则①和②的体积比较，（    ）；①和②的表面积比较，（    ）。 A．①＞②；①＝② B．①＝②；①＜② C．①＜②；①＞② 3．图形是由7个棱长1厘米的正方体拼成的，它的表面积是（    ）平方厘米。 A．21 B．24 C．7 4．一个长方体木块的表面积是96平方厘米，底面是面积为12平方厘米的正方形。在它的上面粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好落在长方体底面各边的中点上（如图）。这个组合体的表面积是（    ）平方厘米。 A．120 B．126 C．132 5．4个棱长10厘米的正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？（    ） A．90 B．900 C．360 6．下图是摆放在桌子上的3个正方体，有（    ）个面露在外面。 A．16 B．14 C．12 二、填空题 7．下图是用棱长为1厘米的小正方体摆成的物体，现将它靠墙摆放，露在外面的面积是( )平方厘米，如果在它的表面贴上装饰画（靠墙面、地面除外），三个面都有装饰画的小正方体有( )个。 8．下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 9．如图，几何体是由棱长是1厘米的正方体搭成的。它的表面积是( )平方厘米；至少再添上( )个这样的小正方体才能补成一个大的正方体。若把原几何体的外表（包括底面）全部涂上色，再把它们分开，有( )个小正方体的三面是涂色的。 10．把一些棱长为1厘米的小正方体按如图所示的方法搭成下面的立体图形。 搭到第5层时，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 11．如图所示为由棱长为1分米的小正方体搭成的立体图形，它的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。 12．有4个棱长为5厘米的小正方体堆放在墙角处（如图），露在外面的面是( )个面，露在外面的面积一共是( )平方厘米。 三、计算题 13．如下图，一个物体摆放在地面上，露在外面的面积是多少？（单位：dm） 14．计算下面立体图形的表面积。（单位：cm） 15．求下面图形的表面积。（单位：cm） （1） （2） 四、解答题 16．如下图，将若干个棱长为1分米的小正方体堆放在墙角。 （1）墙角一共堆放了多少个小正方体？ （2）这些小正方体露在外面的小正方形一共有多少个？露在外面的总面积是多少平方分米？ 17．如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 18．如图是用棱长3厘米的小正方体堆成的图形，堆成的图形的表面积是多少平方厘米？把它补成大正方体，表面积至少是多少平方厘米？ 19．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 20．笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $