第六单元 长方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 长方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 长方体的特征：长方体有6个面（相对的面完全相同）、12条棱（相对的棱长度相等）、8个顶点；长方体的表面积是指长方体6个面的面积之和，是“立体图形平面化”的核心体现。 核心关联概念：① 长方体表面积的基本公式：长方体表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2，用字母表示为S=ab+ah+bh×2（其中a=长，b=宽，h=高）；② 相对面：长方体中，上下、前后、左右两个面是相对面，面积相等，计算时可先算3组相对面的面积和，再求和；③ 表面积的实际应用：生活中，很多长方体物体不需要计算6个面的面积（如无盖鱼缸、抽屉、烟囱等），需根据实际情况计算“部分面的面积和”；④ 单位换算：面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻两个单位间的进率是100，计算时需统一单位。 2. 长方体表面积应用的核心意义 本知识点是长方体特征和表面积计算的延伸，核心是掌握“结合实际场景，灵活计算长方体部分面或全部面的面积”，摆脱“机械套用公式”的误区，培养“空间想象能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与长方体物体相关的场景（如包装物品、制作容器、粉刷墙壁、计算用料等），是连接立体图形与平面面积计算的重要纽带，也是后续学习长方体体积的基础。 3. 常见场景 ① 完整长方体表面积计算：计算6个面都完整的长方体表面积（如正方体礼盒、完整的长方体盒子）； ② 无盖长方体表面积计算：计算只有5个面的长方体表面积（如无盖鱼缸、无盖水桶、抽屉等，缺少一个上底面或下底面）； ③ 特殊长方体表面积计算：计算只有4个面的长方体表面积（如烟囱、通风管、排水管等，缺少相对的两个面）； ④ 结合实际场景的复杂应用：如粉刷墙壁（扣除门窗面积）、包装物品（计算包装纸面积，考虑重叠部分）、制作长方体框架并计算表面积等； ⑤ 综合运用：结合单位换算、长方体特征，解决与表面积相关的对比、计算、设计类问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体的特征：相对的面完全相同，相对的棱长度相等，6个面的面积和就是表面积； 2.长方体表面积基本公式：S=ab+ah+bh×2，可灵活变形（如单个面的面积：上/下面=ab，前/后面=ah，左/右面=bh）； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前需统一所有数据的单位； 4.空间想象能力：能根据题目描述，判断长方体物体需要计算几个面，以及每个面的长和宽对应的长方体的棱。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：完整长方体表面积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：长方体6个面完整，直接套用基本公式计算，关键是找准长、宽、高的数值，确保单位统一； ② 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式S=ab+ah+bh×2，先计算括号内3个单个面的面积和；3. 用括号内的和乘2，得出6个面的总面积（表面积）；4. 标注正确的面积单位； ③ 示例：一个长方体礼盒，长5分米，宽3分米，高4分米，计算其表面积。解：S=5×3+5×4+3×4×2=15+20+12×2=47×2=94（平方分米）。 2.方法二：无盖长方体表面积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：无盖长方体缺少1个面（通常是上底面，即长×宽的面），表面积 = 完整表面积 - 缺少的面的面积，或直接计算5个面的面积和（上/下面选1个 + 4个侧面）； ② 常用公式：无盖长方体表面积 = ab+ah+bh×2−ab=ab+2ah+2bh（缺少上底面）；若缺少其他面，可灵活调整（如抽屉缺少前面，就减去前面的面积ah）； ③ 步骤：1. 确定缺少的面的类型（上/下、前/后、左/右）；2. 计算完整长方体的表面积，或直接计算5个面的面积和；3. 若有厚度忽略不计（题目无说明时），直接得出结果，标注单位； ④ 示例：一个无盖长方体鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米，计算制作鱼缸需要多少玻璃（即鱼缸的表面积）。解：缺少上底面，表面积 = 8×4+2×8×5+2×4×5=32+80+40=152（平方分米）。 3.方法三：特殊长方体表面积计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：此类物体（如烟囱、通风管）只有4个面，缺少相对的两个面（通常是上、下两个面，即长×宽的面），表面积 = 4个侧面的面积和； ② 常用公式：4个侧面面积和 = 2×ah+bh（缺少上、下底面）；若缺少的是前、后两个面（长×高的面），则表面积 = 2×ab+bh，需根据物体特点判断； ③ 步骤：1. 明确物体的用途，判断缺少的两个相对面的类型；2. 计算剩余4个面的面积和，可分组计算（如两个长×高的面 + 两个宽×高的面）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体通风管，长10米，宽0.5米，高0.5米，计算制作通风管需要多少铁皮。解：通风管缺少上、下底面，表面积 = 2×10×0.5+0.5×0.5=2×5+0.25=10.5（平方米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：长、宽、高的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.场景判断错误：混淆“完整长方体”“无盖长方体”“特殊长方体”，误算面的个数（如将无盖鱼缸算成6个面，将通风管算成5个面）； 3.公式套用错误：计算无盖或特殊长方体时，机械套用完整长方体表面积公式，未减去缺少的面的面积； 4.忽略隐含条件：如粉刷墙壁时，未扣除门窗、黑板的面积；制作物体时，忽略材料的厚度（题目无说明时可忽略，有说明需按要求计算）； 5.面积单位混淆：计算结果标注错误的单位（如将平方分米写成厘米），或单位换算错误（如1平方米=100平方厘米）； 6.计算失误：括号内3个面的面积和计算错误，或乘2时漏乘、错乘，导致最终结果错误。 三、长方体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目中的长方体物体是完整的、无盖的，还是特殊的（如通风管），判断需要计算几个面，以及缺少的面的类型。 2.统一单位：提取题目中长、宽、高的数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式，计算所需面的面积和（完整的用基本公式，无盖/特殊的调整公式，减去缺少的面），步骤规范。 4.检验验证：检验面的个数判断是否正确、单位是否统一、公式套用是否无误、计算过程是否准确，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见长方体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：完整长方体表面积计算（基础题） 例：一个长方体文具盒，长20厘米，宽8厘米，高5厘米，计算这个文具盒的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：完整长方体，计算6个面的面积和，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：S=ab+ah+bh×2，其中a=20cm，b=8cm，h=5cm； ③ 计算：20×8+20×5+8×5×2=160+100+40×2=300×2=600（平方厘米）； 检验：面的个数正确，公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个文具盒的表面积是600平方厘米。 2. 场景二：无盖长方体表面积计算（基础题） 例：一个无盖长方体水桶，长6分米，宽4分米，高5分米，制作这个水桶需要多少平方分米的铁皮？（厚度忽略不计） 解：① 确认场景：无盖长方体，缺少上底面（长×宽的面），计算5个面的面积和； ② 选择公式：无盖表面积 = ab+2ah+2bh； ③ 计算：6×4+2×6×5+2×4×5=24+60+40=124（平方分米）； 检验：缺少的面判断正确，公式套用无误，计算准确。 答：制作这个水桶需要124平方分米的铁皮。 3. 场景三：特殊长方体表面积计算（进阶题） 例：一个长方体烟囱，长12米，宽0.4米，高0.3米，烟囱两端开口（缺少上、下底面），计算制作这个烟囱需要多少平方米的铁皮。 解：① 确认场景：特殊长方体（通风管），缺少上、下两个底面（长×宽的面），计算4个侧面的面积和； ② 选择公式：4个侧面面积和 = 2×ah+bh； ③ 计算：2×12×0.3+0.4×0.3=2×3.6+0.12=2×3.72=7.44（平方米）； 检验：缺少的面判断正确，单位统一，计算准确。 答：制作这个烟囱需要7.44平方米的铁皮。 4. 场景四：结合实际场景（粉刷墙壁，进阶题） 例：一间长方体教室，长8米，宽6米，高3米，要粉刷教室的四壁和天花板（地面不粉刷），扣除门窗和黑板的面积12平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？ 解：① 确认场景：无盖长方体（缺少地面），需计算5个面的面积和，再扣除门窗面积； ② 计算5个面的面积和：天花板面积（长×宽）+ 四壁面积（2×长×高 + 2×宽×高）； ③ 分步计算：天花板面积=8×6=48（平方米），四壁面积=2×8×3 + 2×6×3=48+36=84（平方米），5个面总面积=48+84=132（平方米）； ④ 扣除门窗面积：132-12=120（平方米）； 检验：面的个数正确，扣除门窗面积符合题意，计算准确。 答：需要粉刷的面积是120平方米。 5. 场景五：综合运用（单位换算+表面积计算，拓展题） 例：一个长方体礼品盒，长50厘米，宽30厘米，高40厘米，要给礼品盒包装一层彩纸（不计重叠部分），需要多少平方分米的彩纸？ 解：① 确认场景：完整长方体，计算6个面的表面积，需先统一单位（厘米转化为分米）； ② 单位换算：50厘米=5分米，30厘米=3分米，40厘米=4分米； ③ 代入公式计算：5×3+5×4+3×4×2=15+20+12×2=47×2=94（平方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：需要94平方分米的彩纸。 培优练习 一、选择题 1．理理把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 2．由210个棱长为1厘米的小正方体组成一个长方体，其表面积最小是（    ）平方厘米。 A．210 B．214 C．242 D．254 3．一名油漆工粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，现在他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要用（    ）罐油漆。 A．12 B．16 C．32 D．48 4．如图，这是一个长方体礼盒的前面和右面的示意图，这个礼盒的底面积是（    ）cm2。 A．128 B．160 C．240 D．320 5．下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 6．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是（    ）平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 二、填空题 7．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是( )平方厘米。 8．用一根96厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米；如果改围成一个长10厘米，高6厘米的长方体框架，这个框架的底面积是( )平方厘米。 9．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 10．一个长方体长6厘米，宽5厘米，高4厘米。做一个这样的长方体框架至少用铁丝( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米；用这个长方体来切一个最大的正方体，正方体的棱长是( )厘米。 11．琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 12．有一个长方体容器，从里面量，长12分米，宽8分米，高6分米，容器里原来装了2分米高的水，现在往容器里继续注水，使水面高度增加1分米，容器中又注水( )升，水与容器接触的面积增加了( )平方分米。 三、解答题 13．一个教室长10米、宽7米、高3.5米，黑板及门窗面积24平方米，要粉刷四壁和顶棚（地面不刷），粉刷面积是多少？ 14．抵达山门，景区为每位小游客准备了一份“道文化礼盒”，里面装着太极书签、道家箴言卡和手工香囊。礼盒是长方体、12条棱的总长度为112厘米，长、宽、高的比是7∶5∶2。老师提议：让同学们为礼盒设计一个精美的包装（接头处忽略不计），每个礼盒至少需要多少平方厘米的包装纸？ 15．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花，它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在一个盒子里寄给一位朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米、6厘米。请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 16．一块长方形铁皮，长120cm、宽80cm。在它的四个角上分别剪去一个边长30cm的正方形，然后焊接成一个无盖的铁箱。制作这个铁箱需要多少平方厘米的铁皮？ 17．一个房间的长6米，宽4米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 18．小华爸爸想要制作一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高4分米。制作这个水槽需要铁皮多少平方分米？这个水槽最多可以盛水多少升？ 19．为了响应“绿色家园，和谐共建”的号召，幸福村在村边挖了一个长8米、宽6米、深2.5米的长方体沼气池。 （1）现在要给这个长方体沼气池底部和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个沼气池的容积是多少立方米？ 20．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.5平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 长方体的特征：长方体有6个面（相对的面完全相同）、12条棱（相对的棱长度相等）、8个顶点；长方体的表面积是指长方体6个面的面积之和，是“立体图形平面化”的核心体现。 核心关联概念：① 长方体表面积的基本公式：长方体表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高）× 2，用字母表示为S=ab+ah+bh×2（其中a=长，b=宽，h=高）；② 相对面：长方体中，上下、前后、左右两个面是相对面，面积相等，计算时可先算3组相对面的面积和，再求和；③ 表面积的实际应用：生活中，很多长方体物体不需要计算6个面的面积（如无盖鱼缸、抽屉、烟囱等），需根据实际情况计算“部分面的面积和”；④ 单位换算：面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻两个单位间的进率是100，计算时需统一单位。 2. 长方体表面积应用的核心意义 本知识点是长方体特征和表面积计算的延伸，核心是掌握“结合实际场景，灵活计算长方体部分面或全部面的面积”，摆脱“机械套用公式”的误区，培养“空间想象能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与长方体物体相关的场景（如包装物品、制作容器、粉刷墙壁、计算用料等），是连接立体图形与平面面积计算的重要纽带，也是后续学习长方体体积的基础。 3. 常见场景 ① 完整长方体表面积计算：计算6个面都完整的长方体表面积（如正方体礼盒、完整的长方体盒子）； ② 无盖长方体表面积计算：计算只有5个面的长方体表面积（如无盖鱼缸、无盖水桶、抽屉等，缺少一个上底面或下底面）； ③ 特殊长方体表面积计算：计算只有4个面的长方体表面积（如烟囱、通风管、排水管等，缺少相对的两个面）； ④ 结合实际场景的复杂应用：如粉刷墙壁（扣除门窗面积）、包装物品（计算包装纸面积，考虑重叠部分）、制作长方体框架并计算表面积等； ⑤ 综合运用：结合单位换算、长方体特征，解决与表面积相关的对比、计算、设计类问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体的特征：相对的面完全相同，相对的棱长度相等，6个面的面积和就是表面积； 2.长方体表面积基本公式：S=ab+ah+bh×2，可灵活变形（如单个面的面积：上/下面=ab，前/后面=ah，左/右面=bh）； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前需统一所有数据的单位； 4.空间想象能力：能根据题目描述，判断长方体物体需要计算几个面，以及每个面的长和宽对应的长方体的棱。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：完整长方体表面积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：长方体6个面完整，直接套用基本公式计算，关键是找准长、宽、高的数值，确保单位统一； ② 步骤：1. 确认长方体的长、宽、高，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式S=ab+ah+bh×2，先计算括号内3个单个面的面积和；3. 用括号内的和乘2，得出6个面的总面积（表面积）；4. 标注正确的面积单位； ③ 示例：一个长方体礼盒，长5分米，宽3分米，高4分米，计算其表面积。解：S=5×3+5×4+3×4×2=15+20+12×2=47×2=94（平方分米）。 2.方法二：无盖长方体表面积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：无盖长方体缺少1个面（通常是上底面，即长×宽的面），表面积 = 完整表面积 - 缺少的面的面积，或直接计算5个面的面积和（上/下面选1个 + 4个侧面）； ② 常用公式：无盖长方体表面积 = ab+ah+bh×2−ab=ab+2ah+2bh（缺少上底面）；若缺少其他面，可灵活调整（如抽屉缺少前面，就减去前面的面积ah）； ③ 步骤：1. 确定缺少的面的类型（上/下、前/后、左/右）；2. 计算完整长方体的表面积，或直接计算5个面的面积和；3. 若有厚度忽略不计（题目无说明时），直接得出结果，标注单位； ④ 示例：一个无盖长方体鱼缸，长8分米，宽4分米，高5分米，计算制作鱼缸需要多少玻璃（即鱼缸的表面积）。解：缺少上底面，表面积 = 8×4+2×8×5+2×4×5=32+80+40=152（平方分米）。 3.方法三：特殊长方体表面积计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：此类物体（如烟囱、通风管）只有4个面，缺少相对的两个面（通常是上、下两个面，即长×宽的面），表面积 = 4个侧面的面积和； ② 常用公式：4个侧面面积和 = 2×ah+bh（缺少上、下底面）；若缺少的是前、后两个面（长×高的面），则表面积 = 2×ab+bh，需根据物体特点判断； ③ 步骤：1. 明确物体的用途，判断缺少的两个相对面的类型；2. 计算剩余4个面的面积和，可分组计算（如两个长×高的面 + 两个宽×高的面）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体通风管，长10米，宽0.5米，高0.5米，计算制作通风管需要多少铁皮。解：通风管缺少上、下底面，表面积 = 2×10×0.5+0.5×0.5=2×5+0.25=10.5（平方米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：长、宽、高的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.场景判断错误：混淆“完整长方体”“无盖长方体”“特殊长方体”，误算面的个数（如将无盖鱼缸算成6个面，将通风管算成5个面）； 3.公式套用错误：计算无盖或特殊长方体时，机械套用完整长方体表面积公式，未减去缺少的面的面积； 4.忽略隐含条件：如粉刷墙壁时，未扣除门窗、黑板的面积；制作物体时，忽略材料的厚度（题目无说明时可忽略，有说明需按要求计算）； 5.面积单位混淆：计算结果标注错误的单位（如将平方分米写成厘米），或单位换算错误（如1平方米=100平方厘米）； 6.计算失误：括号内3个面的面积和计算错误，或乘2时漏乘、错乘，导致最终结果错误。 三、长方体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目中的长方体物体是完整的、无盖的，还是特殊的（如通风管），判断需要计算几个面，以及缺少的面的类型。 2.统一单位：提取题目中长、宽、高的数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式，计算所需面的面积和（完整的用基本公式，无盖/特殊的调整公式，减去缺少的面），步骤规范。 4.检验验证：检验面的个数判断是否正确、单位是否统一、公式套用是否无误、计算过程是否准确，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见长方体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：完整长方体表面积计算（基础题） 例：一个长方体文具盒，长20厘米，宽8厘米，高5厘米，计算这个文具盒的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：完整长方体，计算6个面的面积和，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：S=ab+ah+bh×2，其中a=20cm，b=8cm，h=5cm； ③ 计算：20×8+20×5+8×5×2=160+100+40×2=300×2=600（平方厘米）； 检验：面的个数正确，公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个文具盒的表面积是600平方厘米。 2. 场景二：无盖长方体表面积计算（基础题） 例：一个无盖长方体水桶，长6分米，宽4分米，高5分米，制作这个水桶需要多少平方分米的铁皮？（厚度忽略不计） 解：① 确认场景：无盖长方体，缺少上底面（长×宽的面），计算5个面的面积和； ② 选择公式：无盖表面积 = ab+2ah+2bh； ③ 计算：6×4+2×6×5+2×4×5=24+60+40=124（平方分米）； 检验：缺少的面判断正确，公式套用无误，计算准确。 答：制作这个水桶需要124平方分米的铁皮。 3. 场景三：特殊长方体表面积计算（进阶题） 例：一个长方体烟囱，长12米，宽0.4米，高0.3米，烟囱两端开口（缺少上、下底面），计算制作这个烟囱需要多少平方米的铁皮。 解：① 确认场景：特殊长方体（通风管），缺少上、下两个底面（长×宽的面），计算4个侧面的面积和； ② 选择公式：4个侧面面积和 = 2×ah+bh； ③ 计算：2×12×0.3+0.4×0.3=2×3.6+0.12=2×3.72=7.44（平方米）； 检验：缺少的面判断正确，单位统一，计算准确。 答：制作这个烟囱需要7.44平方米的铁皮。 4. 场景四：结合实际场景（粉刷墙壁，进阶题） 例：一间长方体教室，长8米，宽6米，高3米，要粉刷教室的四壁和天花板（地面不粉刷），扣除门窗和黑板的面积12平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？ 解：① 确认场景：无盖长方体（缺少地面），需计算5个面的面积和，再扣除门窗面积； ② 计算5个面的面积和：天花板面积（长×宽）+ 四壁面积（2×长×高 + 2×宽×高）； ③ 分步计算：天花板面积=8×6=48（平方米），四壁面积=2×8×3 + 2×6×3=48+36=84（平方米），5个面总面积=48+84=132（平方米）； ④ 扣除门窗面积：132-12=120（平方米）； 检验：面的个数正确，扣除门窗面积符合题意，计算准确。 答：需要粉刷的面积是120平方米。 5. 场景五：综合运用（单位换算+表面积计算，拓展题） 例：一个长方体礼品盒，长50厘米，宽30厘米，高40厘米，要给礼品盒包装一层彩纸（不计重叠部分），需要多少平方分米的彩纸？ 解：① 确认场景：完整长方体，计算6个面的表面积，需先统一单位（厘米转化为分米）； ② 单位换算：50厘米=5分米，30厘米=3分米，40厘米=4分米； ③ 代入公式计算：5×3+5×4+3×4×2=15+20+12×2=47×2=94（平方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：需要94平方分米的彩纸。 培优练习 一、选择题 1．理理把一个长方体木块正好锯成了两个相同的正方体，每个正方体的表面积是长方体表面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把一个长方体木块锯成两个完全相同的正方体，据此可设这个长方体的长为2a，宽a，高为a，然后根据正方体的表面积＝6×边长×边长，据此求出正方体的表面积；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2即可求出长方体的表面积，再用正方体的表面积除以长方体的表面积即可求出每个正方体的表面积是长方体表面积的几分之几，据此解答即可。 【详解】正方体的表面积＝6×a×a＝6a2； 长方体的表面积＝（2a×a＋2a×a＋a×a）×2 ＝5a2×2 ＝10a2 6a2÷10a2＝ 即每个正方体的表面积是长方体表面积的。 故答案为：A 2．由210个棱长为1厘米的小正方体组成一个长方体，其表面积最小是（    ）平方厘米。 A．210 B．214 C．242 D．254 【答案】B 【分析】为了使得长方体的表面积最小，应使长方体的长、宽、高尽可能接近。所以可以将210分解质因数，然后再由此写成三个最接近的数相乘。再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算即可。 【详解】210＝2×3×5×7＝5×6×7 所以当长、宽、高分别是7厘米、6厘米和5厘米时，表面积最小。 （7×6＋7×5＋6×5）×2 ＝（42＋35＋30）×2 ＝107×2 ＝214（平方厘米） 所以，其表面积最小是214平方厘米。 故答案为：B 3．一名油漆工粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，现在他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要用（    ）罐油漆。 A．12 B．16 C．32 D．48 【答案】D 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，粉刷一个长方体的小箱子，需要用3罐油漆，如果粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，粉刷面积＝[（长×4）×（宽×4）＋（长×4）×（高×4）＋（宽×4）×（高×4）]×2＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2×4×4＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×32，是原来粉刷面积的32÷2＝16倍，那么需要的油漆数量也是原来的16倍，用3乘16即可解答。 【详解】通过分析可得：4×4＝16，他要粉刷一个长、宽、高都是原来4倍的大长方体箱子，需要的油漆数量是原来的16倍。 3×16＝48（罐） 则需要用48罐油漆。 故答案为：D 4．如图，这是一个长方体礼盒的前面和右面的示意图，这个礼盒的底面积是（    ）cm2。 A．128 B．160 C．240 D．320 【答案】B 【分析】根据这个长方体礼品盒的前面和右面的示意图可知，这个礼盒的长、宽、高分别是20cm、8cm、16cm，根据“长×宽”求出这个礼盒的底面积。 【详解】20×8＝160（cm2） 所以，这个礼盒的底面积是160cm2。 故答案为：B 5．下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖去一个小正方体后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积增加了。 【详解】一个长方体从中间挖去一个小正方体后，表面积比原来多了小正方体的2个面，所以与原来相比，表面积增加了。 故答案为：A 6．在广场上，建筑工人正在用长方体彩砖铺一个图案造型。他们把三块完全相同的彩砖，按照三种不同的方法分别切成两块（如下图）。原来每块长方体彩砖的表面积是（    ）平方厘米。 A．736 B．368 C．1472 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】把一个长方体切成两块，表面积比原来增加了2个切面的面积；从左往右： 图一，增加部分的面积等于原来长方体左、右两个面的面积； 图二，增加部分的面积等于原来长方体前、后两个面的面积； 图三，增加部分的面积等于原来长方体上、下两个面的面积； 把增加部分的面积相加，即是长方体六个面的面积之和，也就是原来每块长方体彩砖的表面积。 【详解】160＋256＋320＝736（平方厘米） 原来每块长方体彩砖的表面积是736平方厘米。 故答案为：A 二、填空题 7．如下图，从一个表面积为98平方厘米的长方体上锯下一个正方体，剩下的长方体的表面积是78平方厘米。锯下的正方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】30 【分析】先求出长方体锯下正方体后减少的表面积，而减少的部分是正方体的4个侧面，因此用减少的面积除以4得到正方体一个面的面积，最后用一个面的面积乘6，求出锯下的正方体的表面积。 【详解】（98－78）÷4×6 ＝20÷4×6 ＝5×6 ＝30（平方厘米） 8．用一根96厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是( )厘米；如果改围成一个长10厘米，高6厘米的长方体框架，这个框架的底面积是( )平方厘米。 【答案】 8 80 【分析】正方体有12条棱，用96除以12即可，用96减去4条长的长度和4条高的长度算出4条宽的长度，再除以4，算出宽的长度，再根据长乘宽算出底面积。 【详解】（厘米） （厘米） （平方厘米） 用一根96厘米的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的棱长是8厘米；如果改围成一个长10厘米，高6厘米的长方体框架，这个框架的底面积是80平方厘米。 9．一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了( )平方厘米，原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】 96 288 【分析】根据题意可知，高增加3厘米，表面积增加了一个长是8厘米，宽是8厘米，高是3厘米的长方体的侧面积；根据长方体侧面积公式：侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出增加部分的面积。 原来长方体的长是8厘米、宽是8厘米，高（8－3）厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入计算出表面积即可。 【详解】（8×3＋8×3）×2 ＝（24＋24）×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8－3＝5（厘米） （8×8＋8×5＋8×5）×2 ＝（64＋40＋40）×2 ＝（104＋40）×2 ＝144×2 ＝288（平方厘米） 那么一个长方体，高增加3厘米后就变成了一个棱长8厘米的正方体（如图），表面积增加了96平方厘米，原来长方体的表面积是288平方厘米。 10．一个长方体长6厘米，宽5厘米，高4厘米。做一个这样的长方体框架至少用铁丝( )厘米，这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米；用这个长方体来切一个最大的正方体，正方体的棱长是( )厘米。 【答案】 60 148 120 4 【分析】求长方体框架用铁丝的长度，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出铁丝的长度；再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体的表面积；再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出这个长方体的体积；用这个长方体来切一个最大的正方体，正方体的棱长等于长方体的高，据此解答。 【详解】（6＋5＋4）×4 ＝（11＋4）×4 ＝15×4 ＝60（厘米） （6×5＋6×4＋5×4）×2 ＝（30＋24＋20）×2 ＝（54＋20）×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方厘米） 长方体来切一个最大的正方体，正方体的棱长是4厘米。 一个长方体长6厘米，宽5厘米，高4厘米。做一个这样的长方体框架至少用铁丝60厘米，这个长方体的表面积是148平方厘米，体积是120立方厘米；用这个长方体来切一个最大的正方体，正方体的棱长是4厘米。 11．琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了( )升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是( )平方分米。 【答案】 640 440 【分析】①当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的宽，即8分米。根据长方体的体积公式V＝abh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝8分米代入公式计算。利用1立方分米＝1升进行单位换算即可。 ②当第二次出现正方形时，此时水面的高度等于长方体水箱的长，即10分米。水与水箱接触的面有5个面，底面和四周的面，接触的面积＝底面面积＋前后两面的面积＋左右两面的面积。根据底面面积＝ab，前或后面的面积＝ah，左或右面的面积＝bh，将a＝10分米，b＝8分米，h＝10分米代入公式，计算。 【详解】①10×8×8 ＝80×8 ＝640（立方分米） 640立方分米＝640升 ②底面面积：10×8＝80（平方分米） 前后两个面的面积： 10×10×2 ＝100×2 ＝200（平方分米） 左右两个面的面积： 8×10×2 ＝80×2 ＝160（平方分米） 80＋200＋160 ＝280＋160 ＝440（平方分米） 琳琳往一个从里面量长10分米，宽8分米，高12分米的长方体空水箱里注水，当水箱里的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时，琳琳注入了640升的水；当第二次出现正方形时，水与水箱接触的面积是440平方分米。 【点睛】明确水形成的长方体出现相对的两个面是正方形时，对应的水面高度是解题关键。 12．有一个长方体容器，从里面量，长12分米，宽8分米，高6分米，容器里原来装了2分米高的水，现在往容器里继续注水，使水面高度增加1分米，容器中又注水( )升，水与容器接触的面积增加了( )平方分米。 【答案】 96 40 【分析】（1）容器中又注入的水的体积等于长是12分米宽是8分米高是1分米的长方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，据此列式计算，再根据1立方分米＝1升换算单位即可； （2）水与容器接触的面积增加了4个面的面积，2个长是12分米宽是1分米的长方形和2个长是8分米宽是1分米的长方形，长方形的面积＝长×宽，据此算出4个面的面积再相加即可。 【详解】12×8×1 ＝96×1 ＝96（立方分米） 96立方分米＝96升 12×1×2＋8×1×2 ＝12×2＋8×2 ＝24＋16 ＝40（平方分米） 有一个长方体容器，从里面量，长12分米，宽8分米，高6分米，容器里原来装了2分米高的水，现在往容器里继续注水，使水面高度增加1分米，容器中又注水96升，水与容器接触的面积增加了40平方分米。 三、解答题 13．一个教室长10米、宽7米、高3.5米，黑板及门窗面积24平方米，要粉刷四壁和顶棚（地面不刷），粉刷面积是多少？ 【答案】165平方米 【分析】根据题意，要粉刷的是四壁和顶棚，实际就是这个长方体的教室的5个面的面积，再减去黑板及门窗面积；根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高），代入数据，求出这个长方体教室5个面的面积，再减去黑板及门窗面积，就是要粉刷的面积。 【详解】10×7＋（10×3.5＋7×3.5）×2－24 ＝70＋（35＋24.5）×2－24 ＝70＋59.5×2－24 ＝70＋119－24 ＝189－24 ＝165（平方米） 答：粉刷面积是165平方米。 14．抵达山门，景区为每位小游客准备了一份“道文化礼盒”，里面装着太极书签、道家箴言卡和手工香囊。礼盒是长方体、12条棱的总长度为112厘米，长、宽、高的比是7∶5∶2。老师提议：让同学们为礼盒设计一个精美的包装（接头处忽略不计），每个礼盒至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】472平方厘米 【分析】用长方体棱长总和÷4，求出长、宽、高的和；根据比的应用：总量÷总份数＝1份量；再用1份量乘长、宽、高的份数求出对应的长度；包装纸面积等于长方体表面积，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此求出需要包装纸的面积。 【详解】112÷4＝28（厘米） 28÷（7＋5＋2） ＝28÷14 ＝2（厘米） 长：2×7＝14（厘米） 宽：2×5＝10（厘米） 高：2×2＝4（厘米） （14×10＋14×4＋10×4）×2 ＝（140＋56＋40）×2 ＝（196＋40）×2 ＝236×2 ＝472（平方厘米） 答：每个礼盒至少需要472平方厘米的包装纸。 15．榆林毡绣，又名绒线毛毡绣花，它是一种古老的绒线毡绣工艺品。乐乐买了4幅挂屏，每幅都装在一个盒子里寄给一位朋友，每个盒子的长、宽、高分别是20厘米、15厘米、6厘米。请你算一算怎样包装才能最节约包装纸？至少需要多少平方厘米的包装纸？（接口处不计） 【答案】将（20×15）这个面重合摞在一起，拼成一个长20厘米，宽15厘米，高6×4＝24（厘米）的长方体最节约包装纸；2280平方厘米 【分析】要使得最节约包装纸，那么重合的面需要最大，所以把盒子表面积最大的（20×15）的这个面重叠在一起，合成一个长20厘米，宽15厘米，高6×4＝24（厘米）的大长方体，这样最节约包装纸，然后根据长方体的表面积公式进行求解。 【详解】每个盒子的三个面面积分别为： 最大面：20×15＝300 （平方厘米） 中等面：20×6＝120 （平方厘米） 最小面：15×6＝90（平方厘米） 将面积最大的面重叠‌，这样每次重叠能隐藏最多的面积，从而使总表面积最少， 所以将（20×15）这个面重合摞在一起，拼成一个长20厘米，宽15厘米，高6×4＝24（厘米）的长方体最节约包装纸。 总表面积＝2×（20×15＋20×24＋15×24） ＝2×（300＋480＋360） ＝2×1140 ＝2280（平方厘米） 答：将（20×15）这个面重合摞在一起，拼成一个长20厘米，宽15厘米，高24厘米的长方体最节约包装纸，至少需要2280平方厘米的包装纸。 16．一块长方形铁皮，长120cm、宽80cm。在它的四个角上分别剪去一个边长30cm的正方形，然后焊接成一个无盖的铁箱。制作这个铁箱需要多少平方厘米的铁皮？ 【答案】6000平方厘米 【分析】铁箱的表面积就是剩余铁皮的面积，即长方形的面积减去4个小正方形的面积，根据长方形面积＝长×宽、正方形面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】（平方厘米） 答：制作这个铁箱需要6000平方厘米的铁皮。 17．一个房间的长6米，宽4米，高3米，门窗面积是8平方米。现在要把这个房间的四壁和顶面粉刷水泥，如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ 【答案】304千克 【分析】根据题意可知，房间的四壁和顶面的面积是长方体除了底面积以外的表面积减去门窗面积，根据公式：长×宽＋（长×高＋高×宽）×2，求出长方体除了底面积以外的表面积，再减去门窗面积，即为要粉刷的面积，最后乘每平方米水泥重量即可解答。 【详解】6×4＋（6×3＋4×3）×2－8 ＝24＋（18＋12）×2－8 ＝24＋30×2－8 ＝24＋60－8 ＝84－8 ＝76（平方米） 4×76＝304（千克） 答：一共要水泥304千克。 18．小华爸爸想要制作一个无盖的长方体铁皮水槽，长12分米，宽5分米，高4分米。制作这个水槽需要铁皮多少平方分米？这个水槽最多可以盛水多少升？ 【答案】 196平方分米；240升 【分析】制作这个水槽需要铁皮的面积就是求长方体五个面的面积，则这个水槽需要的铁皮＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，代入数据计算即可； 最多盛水的升数＝长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。最后根据1立方分米＝1升换算单位。 【详解】 ＝196（平方分米） （立方分米） 240立方分米升 答：制作这个水槽需要铁皮196平方分米。这个水槽最多可以盛水240升。 19．为了响应“绿色家园，和谐共建”的号召，幸福村在村边挖了一个长8米、宽6米、深2.5米的长方体沼气池。 （1）现在要给这个长方体沼气池底部和四壁抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ （2）这个沼气池的容积是多少立方米？ 【答案】 （1）118平方米 （2）120立方米 【分析】（1）已知长方体沼气池长8米、宽6米、深2.5米，现要给这个长方体沼气池底部和四壁抹上水泥，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出抹水泥部分的面积； （2）根据“长方体体积（容积）＝长×宽×高（深）”即可求出这个沼气池的容积。 【详解】（1）8×6＋8×2.5×2＋6×2.5×2 ＝48＋20×2＋15×2 ＝48＋40＋30 ＝88＋30 ＝118（平方米） 答：抹水泥部分的面积是118平方米。 （2）8×6×2.5 ＝48×2.5 ＝120（立方米） 答：这个沼气池的容积是120立方米。 20．学校要粉刷新教室。已知教室的长是9米，宽是7米，高是3米，门窗的面积是12.5平方米。如果每平方米需要花18元粉刷费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ 【答案】2637元 【分析】根据题意，要粉刷新教室的墙壁和天花板，即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米需花的粉刷费乘粉刷的面积，即可求出粉刷这个教室需要花费的钱数。 【详解】9×7＋9×3×2＋7×3×2 ＝63＋54＋42 ＝159（平方米） 159－12.5＝146.5（平方米） 18×146.5＝2637（元） 答：粉刷这个教室需要花费2637元。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $