第六单元 正方体的体积（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 正方体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 正方体体积的定义：正方体所占空间的大小，叫做正方体的体积。正方体是特殊的长方体（长、宽、高相等的长方体），其体积同样描述立体图形的“空间容量”，单位为体积单位，与正方体表面积（平面面积之和）的核心区别的是意义、计算方法和单位完全不同。 核心关联概念：① 正方体体积的基本公式：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³（其中a=棱长，a³读作“a的立方”，表示3个a相乘）；② 体积单位：与长方体体积单位一致，常用的有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个单位间的进率是1000；③ 体积与容积的关联：正方体容器的容积计算方法与体积相同（忽略容器厚度时），容积单位除了体积单位，还有升（L）、毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米；④ 核心思想：“数形结合”，利用正方体12条棱长度相等的特征，通过棱长的立方计算其占据的空间大小，灵活应用于实际场景；⑤ 与长方体体积的关联：正方体是长=宽=高=a的长方体，可通过长方体体积公式推导正方体体积公式（V=a×a×a=a³）；⑥ 与正方体表面积的区别：表面积是“6个面的面积和”（单位：平方单位），体积是“空间大小”（单位：立方单位），二者不可混淆。 2. 正方体体积应用的核心意义 本知识点是正方体特征和长方体体积计算的延伸，核心是掌握“运用正方体体积公式，解决实际场景中的空间、容量相关问题”，摆脱“机械套公式”和“混淆表面积与体积”的误区，进一步培养“空间感知能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与正方体空间、容量相关的场景（如计算正方体容器的容积、正方体物体的体积、堆放的正方体货物的总体积、正方体用料体积等），是后续学习圆柱圆锥体积的基础，也是立体图形体积知识体系的重要组成部分。 3. 常见场景 ① 基本体积计算：已知正方体的棱长，直接计算正方体的体积； ② 正方体容器的容积计算：计算正方体水箱、正方体盒子等容器能容纳物体的体积（忽略厚度时，容积=体积）； ③ 体积与容积单位换算：结合体积、容积单位的进率，解决单位换算相关的正方体体积计算问题； ④ 逆用公式计算：已知正方体体积，求正方体的棱长（苏教版重点拓展）； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如计算正方体物体的用料体积、堆放的正方体货物的总体积、不规则物体体积（借助正方体容器排水法）等； ⑥ 综合运用：结合正方体表面积、单位换算，解决与体积相关的对比、计算、设计类问题（如判断不同正方体的体积大小、设计指定体积的正方体容器）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.正方体的特征：有6个面、12条棱、8个顶点，6个面完全相同，12条棱长度全部相等； 2.正方体体积基本公式：V=a³（a³=a×a×a），逆用公式：已知体积V，求棱长a（需找到一个数，使其立方等于V）； 3.体积与容积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.体积与表面积的区别：明确二者的意义、计算方法、单位不同，避免混淆； 5.空间感知能力：能根据题意，明确正方体棱长对应的实际物体维度，理解体积的实际意义，区分“棱长”与“面的边长”。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1.方法一：基本正方体体积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：已知正方体的棱长，直接代入体积公式计算，关键是找准棱长的数值，确保单位统一（均为体积单位对应的长度单位），牢记a³是3个a相乘，而非a×3； ② 步骤：1. 确认正方体的棱长，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式V=a³，计算棱长×棱长×棱长；3. 标注正确的体积单位； ③ 示例：一个正方体木块，棱长5分米，计算这个木块的体积。解：V=5×5×5=125（立方分米）。 2.方法二：正方体容器的容积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：正方体容器的容积是其内部能容纳物体的体积，忽略容器厚度时，容积=体积，直接用体积公式计算；若考虑厚度，需用“内部棱长”计算（苏教版题目通常忽略厚度）； ② 常用公式：容积（忽略厚度）= V=a³，若单位为升/毫升，需进行单位换算（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升）； ③ 步骤：1. 确认容器的棱长（内部尺寸，忽略厚度时用外部尺寸），统一单位；2. 代入体积公式计算容积；3. 必要时进行体积单位与容积单位的换算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个正方体水箱，从里面量棱长6分米，计算这个水箱的容积（忽略厚度）。解：V=6×6×6=216（立方分米），216立方分米=216升。 3.方法三：体积与容积单位换算（基础，苏教版必考） ① 核心思路：明确体积、容积单位的进率，大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，换算后再结合体积公式计算，避免与面积单位进率（100）混淆； ② 关键：牢记进率（相邻体积单位进率1000，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米），换算时注意棱长单位与体积单位的对应； ③ 步骤：1. 明确题目中的单位，判断是大单位换小单位还是小单位换大单位；2. 根据进率进行单位换算；3. 代入体积公式计算，标注正确单位； ④ 示例：一个正方体礼盒，棱长30厘米，计算它的体积（用立方分米表示）。解：单位换算：30厘米=3分米，V=3×3×3=27（立方分米）。 4.方法四：逆用体积公式计算（进阶，苏教版重点拓展） ① 核心思路：已知正方体体积，求棱长，关键是理解a³=V，找到一个数a，使其三次相乘的结果等于体积V（苏教版五年级重点考查整数棱长的逆用）； ② 步骤：1. 确认已知条件（正方体体积），统一单位；2. 逆用公式，寻找立方等于体积的整数（如体积是64立方分米，因为4×4×4=64，所以棱长是4分米）；3. 标注正确单位； ③ 示例：一个正方体体积是64立方分米，求它的棱长。解：因为4×4×4=64，所以棱长a=4（分米）。 5.方法五：结合实际场景的复杂应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：根据实际场景，将问题转化为正方体体积计算，如不规则物体体积（排水法）：不规则物体体积=上升（或下降）的水的体积=正方体容器底面积×水面变化高度；用料体积=正方体体积×个数；堆放物体体积=单个正方体体积×堆放个数； ② 关键：找准实际场景与正方体体积的关联，明确计算的是“体积”还是“容积”，是否需要单位换算或结合其他条件（如水面高度变化）； ③ 步骤：1. 分析实际场景，将问题转化为正方体体积相关计算；2. 提取所需数据（棱长、体积、水面变化高度等），统一单位；3. 代入公式计算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个正方体玻璃容器，棱长10分米，水深5分米，放入一个不规则石块后，水深上升到5.2分米，求石块的体积（水未溢出）。解：石块体积=上升的水的体积=10×10×(5.2-5)=10×10×0.2=20（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：棱长的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），或体积与长度单位不匹配，未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.体积与表面积混淆：误将表面积公式（S=6a²）用于体积计算，或混淆二者的单位（如体积用平方分米，表面积用立方厘米）； 3.公式理解错误：将a³误算为a×3（如棱长5分米，误算为5×3=15立方分米，正确应为5×5×5=125立方分米）； 4.逆用公式错误：已知体积求棱长时，不会寻找立方等于体积的数，或误将体积除以6（混淆表面积与体积）； 5.忽略隐含条件：如计算容器容积时，未注意“从里面量”（苏教版常考），误用外部棱长计算；排水法中，未计算水面上升/下降的高度，直接用最终水深计算； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1升=1立方厘米）； 7.计算失误：棱长×棱长×棱长计算错误，或多个正方体体积求和时出错，导致最终结果错误； 8.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部棱长计算容积，仍用外部棱长，导致结果偏大。 三、正方体体积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目是求正方体体积、容积，还是逆用公式求棱长，判断是否涉及单位换算、排水法等实际场景。 2.统一单位：提取题目中的棱长、体积等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式（体积公式、逆用公式、排水法公式等），代入数值逐步计算，步骤规范，注意a³是3个a相乘。 4.单位换算（若需）：若题目要求的单位与计算结果单位不一致，根据进率进行单位换算，确保单位统一。 5.检验验证：检验公式套用、单位统一、计算过程是否无误，确认符合题意（如排水法中水面未溢出）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见正方体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：基本正方体体积计算（基础题） 例：一个正方体橡皮，棱长4厘米，计算这个橡皮的体积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：基本体积计算，已知棱长，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：V=a³，其中a=4cm； ③ 计算：4×4×4=64（立方厘米）； 检验：公式套用无误，计算准确，单位标注正确，未将a³误算为4×3。 答：这个橡皮的体积是64立方厘米。 2. 场景二：正方体容器的容积计算（基础题） 例：一个正方体鱼缸，从里面量棱长5分米，这个鱼缸能容纳多少升水？（忽略鱼缸厚度） 解：① 确认场景：容器容积计算，忽略厚度，容积=体积，需将立方分米换算为升； ② 代入公式：V=5×5×5=125（立方分米）； ③ 单位换算：1立方分米=1升，125立方分米=125升； 检验：公式套用正确，单位换算无误，符合容积计算要求。 答：这个鱼缸能容纳125升水。 3. 场景三：体积与容积单位换算（基础题） 例：一个正方体货物，棱长1.5米，计算这个货物的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：体积计算+单位换算，需将米转化为分米； ② 单位换算：1.5米=15分米； ③ 代入公式计算：V=15×15×15=3375（立方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：这个货物的体积是3375立方分米。 4. 场景四：逆用体积公式计算（进阶题） 例：一个正方体体积是125立方厘米，求这个正方体的棱长是多少厘米？ 解：① 确认场景：逆用体积公式求棱长，已知体积，单位已统一； ② 逆用公式：寻找一个数，使其立方等于125，因为5×5×5=125，所以棱长a=5厘米； 检验：代入原公式验证：5×5×5=125（立方厘米），符合题意。 答：这个正方体的棱长是5厘米。 5. 场景五：结合实际场景（排水法，拓展题） 例：一个正方体玻璃缸，棱长8分米，水深4分米，将一个铁块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到4.3分米，求这个铁块的体积。 解：① 确认场景：排水法求不规则物体体积，铁块体积=上升的水的体积； ② 计算水面上升高度：4.3-4=0.3（分米）； ③ 代入公式计算：上升的水的体积=8×8×0.3=19.2（立方分米），即铁块体积=19.2立方分米； 检验：思路正确，水面未溢出，计算准确，符合实际场景。 答：这个铁块的体积是19.2立方分米。 培优练习 一、选择题 1．小明把一块橡皮泥先捏成一个正方体，再捏成一个长方体，体积（    ），表面积（    ）。 A．不变；变小 B．不变；变大 C．变大；变小 D．不变；无法确定 2．用（    ）个棱长1厘米的小正方体摆成的大正方体，体积是1立方分米。 A．1000 B．100 C．10 D．1 3．一个正方体的表面积是24平方分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．4 B．8000 C．8 D．64 4．一个长方体仓库，从里面量，长26米，宽8米，高6米。仓库里最多可以放（    ）个棱长为3米的正方体木箱。 A．46 B．32 C．40 D．50 5．小东做测量“石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了1厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．96 C．150 D．216 6．一个长方体盒子，从里面量长10分米，宽4分米，高5分米，这个盒子里最多能装（    ）个棱长为2分米的小正方体（不外露）。 A．16 B．20 C．40 D．26 二、填空题 7．把一个棱长为20cm的正方体钢坯熔铸成一根长为320cm的长方体钢条，这根长方体钢条的横截面的面积是( )。 8．一个正方体的表面积是，它的棱长是( )m，底面积是( )，体积是( )。 9．用一根长36cm的铁丝围成一个正方体（铁丝没有剩余，接头处忽略不计），这个正方体的体积是( )cm3。 10．一个正方体蛋糕棱长为5dm，小宇把它平均分成4块长方体形状的小蛋糕后，每块小蛋糕的体积是( )dm3。 11．两个正方体的棱长比是，它们的表面积比是( )，体积比是( )。 12．一个长方体铁块，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，这个铁块的体积是( )立方厘米；将它熔化成铁水之后（不计损耗），重新铸造成棱长是1分米的正方体，可以铸造出( )个这样的正方体。 三、计算题 13．计算我最棒。（求下面长方体和正方体的体积，单位：cm）    14．求出下面立体图形的表面积和体积。 15．计算下面各图形的表面积和体积。（单位：）    四、解答题 16．一个棱长6分米的正方体钢坯，熔铸成长10分米、宽4分米的长方体钢坯，这个长方体钢坯高多少分米？（损耗忽略不计） 17．小明用小刀从一个长方体右边截去一个宽是2厘米的长方体（如下图），剩下的部分正好是一个表面积为384平方厘米的正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 18．把一个长10dm、宽6dm、高6dm的长方体木块加工成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？削去部分的体积是多少立方分米？ 19．一个长方体容器，长20cm，宽10cm，高8cm，容器内水深5cm。将长方体容器内的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，水深多少厘米？（容器厚度忽略不计） 20．有一个正方体容器，棱长4分米，里面注有3分米深的水，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块放入水中，容器中的水会溢出来吗？请说明理由？（如图所示） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 正方体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 正方体体积的定义：正方体所占空间的大小，叫做正方体的体积。正方体是特殊的长方体（长、宽、高相等的长方体），其体积同样描述立体图形的“空间容量”，单位为体积单位，与正方体表面积（平面面积之和）的核心区别的是意义、计算方法和单位完全不同。 核心关联概念：① 正方体体积的基本公式：正方体体积 = 棱长×棱长×棱长，用字母表示为V=a³（其中a=棱长，a³读作“a的立方”，表示3个a相乘）；② 体积单位：与长方体体积单位一致，常用的有立方厘米（cm³）、立方分米（dm³）、立方米（m³），相邻两个单位间的进率是1000；③ 体积与容积的关联：正方体容器的容积计算方法与体积相同（忽略容器厚度时），容积单位除了体积单位，还有升（L）、毫升（mL），1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米；④ 核心思想：“数形结合”，利用正方体12条棱长度相等的特征，通过棱长的立方计算其占据的空间大小，灵活应用于实际场景；⑤ 与长方体体积的关联：正方体是长=宽=高=a的长方体，可通过长方体体积公式推导正方体体积公式（V=a×a×a=a³）；⑥ 与正方体表面积的区别：表面积是“6个面的面积和”（单位：平方单位），体积是“空间大小”（单位：立方单位），二者不可混淆。 2. 正方体体积应用的核心意义 本知识点是正方体特征和长方体体积计算的延伸，核心是掌握“运用正方体体积公式，解决实际场景中的空间、容量相关问题”，摆脱“机械套公式”和“混淆表面积与体积”的误区，进一步培养“空间感知能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与正方体空间、容量相关的场景（如计算正方体容器的容积、正方体物体的体积、堆放的正方体货物的总体积、正方体用料体积等），是后续学习圆柱圆锥体积的基础，也是立体图形体积知识体系的重要组成部分。 3. 常见场景 ① 基本体积计算：已知正方体的棱长，直接计算正方体的体积； ② 正方体容器的容积计算：计算正方体水箱、正方体盒子等容器能容纳物体的体积（忽略厚度时，容积=体积）； ③ 体积与容积单位换算：结合体积、容积单位的进率，解决单位换算相关的正方体体积计算问题； ④ 逆用公式计算：已知正方体体积，求正方体的棱长（苏教版重点拓展）； ⑤ 结合实际场景的复杂应用：如计算正方体物体的用料体积、堆放的正方体货物的总体积、不规则物体体积（借助正方体容器排水法）等； ⑥ 综合运用：结合正方体表面积、单位换算，解决与体积相关的对比、计算、设计类问题（如判断不同正方体的体积大小、设计指定体积的正方体容器）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.正方体的特征：有6个面、12条棱、8个顶点，6个面完全相同，12条棱长度全部相等； 2.正方体体积基本公式：V=a³（a³=a×a×a），逆用公式：已知体积V，求棱长a（需找到一个数，使其立方等于V）； 3.体积与容积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.体积与表面积的区别：明确二者的意义、计算方法、单位不同，避免混淆； 5.空间感知能力：能根据题意，明确正方体棱长对应的实际物体维度，理解体积的实际意义，区分“棱长”与“面的边长”。 （二）核心应用方法（苏教版重点，5类核心场景） 1.方法一：基本正方体体积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：已知正方体的棱长，直接代入体积公式计算，关键是找准棱长的数值，确保单位统一（均为体积单位对应的长度单位），牢记a³是3个a相乘，而非a×3； ② 步骤：1. 确认正方体的棱长，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式V=a³，计算棱长×棱长×棱长；3. 标注正确的体积单位； ③ 示例：一个正方体木块，棱长5分米，计算这个木块的体积。解：V=5×5×5=125（立方分米）。 2.方法二：正方体容器的容积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：正方体容器的容积是其内部能容纳物体的体积，忽略容器厚度时，容积=体积，直接用体积公式计算；若考虑厚度，需用“内部棱长”计算（苏教版题目通常忽略厚度）； ② 常用公式：容积（忽略厚度）= V=a³，若单位为升/毫升，需进行单位换算（1立方分米=1升，1立方厘米=1毫升）； ③ 步骤：1. 确认容器的棱长（内部尺寸，忽略厚度时用外部尺寸），统一单位；2. 代入体积公式计算容积；3. 必要时进行体积单位与容积单位的换算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个正方体水箱，从里面量棱长6分米，计算这个水箱的容积（忽略厚度）。解：V=6×6×6=216（立方分米），216立方分米=216升。 3.方法三：体积与容积单位换算（基础，苏教版必考） ① 核心思路：明确体积、容积单位的进率，大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率，换算后再结合体积公式计算，避免与面积单位进率（100）混淆； ② 关键：牢记进率（相邻体积单位进率1000，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米），换算时注意棱长单位与体积单位的对应； ③ 步骤：1. 明确题目中的单位，判断是大单位换小单位还是小单位换大单位；2. 根据进率进行单位换算；3. 代入体积公式计算，标注正确单位； ④ 示例：一个正方体礼盒，棱长30厘米，计算它的体积（用立方分米表示）。解：单位换算：30厘米=3分米，V=3×3×3=27（立方分米）。 4.方法四：逆用体积公式计算（进阶，苏教版重点拓展） ① 核心思路：已知正方体体积，求棱长，关键是理解a³=V，找到一个数a，使其三次相乘的结果等于体积V（苏教版五年级重点考查整数棱长的逆用）； ② 步骤：1. 确认已知条件（正方体体积），统一单位；2. 逆用公式，寻找立方等于体积的整数（如体积是64立方分米，因为4×4×4=64，所以棱长是4分米）；3. 标注正确单位； ③ 示例：一个正方体体积是64立方分米，求它的棱长。解：因为4×4×4=64，所以棱长a=4（分米）。 5.方法五：结合实际场景的复杂应用（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：根据实际场景，将问题转化为正方体体积计算，如不规则物体体积（排水法）：不规则物体体积=上升（或下降）的水的体积=正方体容器底面积×水面变化高度；用料体积=正方体体积×个数；堆放物体体积=单个正方体体积×堆放个数； ② 关键：找准实际场景与正方体体积的关联，明确计算的是“体积”还是“容积”，是否需要单位换算或结合其他条件（如水面高度变化）； ③ 步骤：1. 分析实际场景，将问题转化为正方体体积相关计算；2. 提取所需数据（棱长、体积、水面变化高度等），统一单位；3. 代入公式计算；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个正方体玻璃容器，棱长10分米，水深5分米，放入一个不规则石块后，水深上升到5.2分米，求石块的体积（水未溢出）。解：石块体积=上升的水的体积=10×10×(5.2-5)=10×10×0.2=20（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：棱长的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），或体积与长度单位不匹配，未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.体积与表面积混淆：误将表面积公式（S=6a²）用于体积计算，或混淆二者的单位（如体积用平方分米，表面积用立方厘米）； 3.公式理解错误：将a³误算为a×3（如棱长5分米，误算为5×3=15立方分米，正确应为5×5×5=125立方分米）； 4.逆用公式错误：已知体积求棱长时，不会寻找立方等于体积的数，或误将体积除以6（混淆表面积与体积）； 5.忽略隐含条件：如计算容器容积时，未注意“从里面量”（苏教版常考），误用外部棱长计算；排水法中，未计算水面上升/下降的高度，直接用最终水深计算； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1升=1立方厘米）； 7.计算失误：棱长×棱长×棱长计算错误，或多个正方体体积求和时出错，导致最终结果错误； 8.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部棱长计算容积，仍用外部棱长，导致结果偏大。 三、正方体体积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目是求正方体体积、容积，还是逆用公式求棱长，判断是否涉及单位换算、排水法等实际场景。 2.统一单位：提取题目中的棱长、体积等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式（体积公式、逆用公式、排水法公式等），代入数值逐步计算，步骤规范，注意a³是3个a相乘。 4.单位换算（若需）：若题目要求的单位与计算结果单位不一致，根据进率进行单位换算，确保单位统一。 5.检验验证：检验公式套用、单位统一、计算过程是否无误，确认符合题意（如排水法中水面未溢出）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见正方体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：基本正方体体积计算（基础题） 例：一个正方体橡皮，棱长4厘米，计算这个橡皮的体积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：基本体积计算，已知棱长，单位已统一（均为厘米）； ② 代入公式：V=a³，其中a=4cm； ③ 计算：4×4×4=64（立方厘米）； 检验：公式套用无误，计算准确，单位标注正确，未将a³误算为4×3。 答：这个橡皮的体积是64立方厘米。 2. 场景二：正方体容器的容积计算（基础题） 例：一个正方体鱼缸，从里面量棱长5分米，这个鱼缸能容纳多少升水？（忽略鱼缸厚度） 解：① 确认场景：容器容积计算，忽略厚度，容积=体积，需将立方分米换算为升； ② 代入公式：V=5×5×5=125（立方分米）； ③ 单位换算：1立方分米=1升，125立方分米=125升； 检验：公式套用正确，单位换算无误，符合容积计算要求。 答：这个鱼缸能容纳125升水。 3. 场景三：体积与容积单位换算（基础题） 例：一个正方体货物，棱长1.5米，计算这个货物的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：体积计算+单位换算，需将米转化为分米； ② 单位换算：1.5米=15分米； ③ 代入公式计算：V=15×15×15=3375（立方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：这个货物的体积是3375立方分米。 4. 场景四：逆用体积公式计算（进阶题） 例：一个正方体体积是125立方厘米，求这个正方体的棱长是多少厘米？ 解：① 确认场景：逆用体积公式求棱长，已知体积，单位已统一； ② 逆用公式：寻找一个数，使其立方等于125，因为5×5×5=125，所以棱长a=5厘米； 检验：代入原公式验证：5×5×5=125（立方厘米），符合题意。 答：这个正方体的棱长是5厘米。 5. 场景五：结合实际场景（排水法，拓展题） 例：一个正方体玻璃缸，棱长8分米，水深4分米，将一个铁块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到4.3分米，求这个铁块的体积。 解：① 确认场景：排水法求不规则物体体积，铁块体积=上升的水的体积； ② 计算水面上升高度：4.3-4=0.3（分米）； ③ 代入公式计算：上升的水的体积=8×8×0.3=19.2（立方分米），即铁块体积=19.2立方分米； 检验：思路正确，水面未溢出，计算准确，符合实际场景。 答：这个铁块的体积是19.2立方分米。 培优练习 一、选择题 1．小明把一块橡皮泥先捏成一个正方体，再捏成一个长方体，体积（    ），表面积（    ）。 A．不变；变小 B．不变；变大 C．变大；变小 D．不变；无法确定 【答案】B 【分析】采用赋值法进行分析，用同一块橡皮泥捏正方体和长方体，正方体和长方体的体积相等，假设橡皮泥的体积是8立方厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，确定正方体棱长和长方体的长、宽、高，再根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别计算出正方体和长方体的表面积，比较即可。 【详解】假设橡皮泥的体积是8立方厘米。 正方体：8＝2×2×2 2×2×6＝24（平方厘米） 长方体：8＝4×2×1 （4×2＋4×1＋2×1）×2 ＝（8＋4＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） 24＜28 小明把一块橡皮泥先捏成一个正方体，再捏成一个长方体，体积不变，表面积变大。 故答案为：B 2．用（    ）个棱长1厘米的小正方体摆成的大正方体，体积是1立方分米。 A．1000 B．100 C．10 D．1 【答案】A 【分析】1立方分米＝1000立方厘米，体积是1立方分米的正方体体积是1000立方厘米，棱长是1厘米的正方体的体积是1×1×1＝1（立方厘米），要求1立方分米的正方体需要多少个1厘米的正方体搭成用除法计算。 【详解】1立方分米＝1000立方厘米 1×1×1＝1（立方厘米） 1000÷1＝1000（个） 用1000个棱长1厘米的小正方体摆成的大正方体，体积是1立方分米。 故答案为：A 3．一个正方体的表面积是24平方分米，它的体积是（    ）立方分米。 A．4 B．8000 C．8 D．64 【答案】C 【分析】正方体有6个面，且这6个面的面积都相等。表面积公式为：S＝6a2（a为棱长），已知正方体的表面积是24平方分米，所以一个面的面积为24÷6＝4平方分米。因为正方形的面积等于棱长的平方，一个面的面积是4平方分米，4＝2×2，所以正方体的棱长为2分米。正方体的体积公式为V＝a3（a为棱长），将a＝2分米代入公式计算即可。 【详解】24÷6＝4（平方分米） 4＝2×2，即正方体的棱长为2分米。 2×2×2＝8（立方分米） 它的体积是8立方分米。 故答案为：C 4．一个长方体仓库，从里面量，长26米，宽8米，高6米。仓库里最多可以放（    ）个棱长为3米的正方体木箱。 A．46 B．32 C．40 D．50 【答案】B 【分析】要确定长方体仓库最多能放多少个棱长为3米的正方体木箱，需分别计算长方体仓库的长、宽、高分别包含多少个正方体的棱长，再将这三个方向能放的数量相乘，得到可放置的正方体木箱总数。 【详解】根据分析： 长方体仓库的长是26米，正方体木箱棱长为3米，那么长方向能放的数量为，其中余数2米不够再放一个正方体，所以长方向最多能放8个； 长方体仓库的宽是8米，正方体木箱棱长为3米，那么宽方向能放的数量为，余数2米不够放一个正方体，所以宽方向最多能放2个； 长方体仓库的高是6米，正方体棱长3米，高方向能放的数量为。 所以高方向最多能放2个； 计算总共能放的正方体数量，将长、宽、高方向能放的数量相乘，得到总共能放的正方体木箱数为：。 故答案为：B。 5．小东做测量“石块体积”的实验：他先将一块棱长是4厘米的正方体铁块浸没在一个长方体水槽中，然后取出正方体铁块，水槽里的水面下降了1厘米。接着他把要测量的一个石块浸没在水槽中，这时水槽里的水面上升了1.5厘米。这个石块的体积是（    ）立方厘米。 A．24 B．96 C．150 D．216 【答案】B 【分析】先利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体铁块的体积，铁块的体积等于取出正方体铁块后下降部分水的体积，长方体水槽的底面积＝取出正方体铁块后下降部分水的体积÷下降部分水的高度，这个石块的体积等于放入石块后上升部分水的体积，石块的体积＝长方体水槽的底面积×放入石块后上升部分水的高度，据此解答。 【详解】长方体水槽的底面积：4×4×4÷1 ＝16×4÷1 ＝64÷1 ＝64（平方厘米） 石块的体积：64×1.5＝96（立方厘米） 所以，这个石块的体积是96立方厘米。 故答案为：B 6．一个长方体盒子，从里面量长10分米，宽4分米，高5分米，这个盒子里最多能装（    ）个棱长为2分米的小正方体（不外露）。 A．16 B．20 C．40 D．26 【答案】B 【分析】分别计算长方体盒子的长、宽、高分别包含多少个小正方体的棱长，然后将所得数量相乘，即可得到能装小正方体的个数。 【详解】10÷2＝5（个） 4÷2＝2（个） 5÷2＝2（个）……1（分米） 5×2×2＝20（个） 即这个盒子里最多能装20个棱长为2分米的小正方体（不外露）。 故答案为：B 二、填空题 7．把一个棱长为20cm的正方体钢坯熔铸成一根长为320cm的长方体钢条，这根长方体钢条的横截面的面积是( )。 【答案】25 【分析】把一个正方体钢胚熔铸成一根长方体钢条，熔铸前后体积不变，根据正方体的体积公式，求出正方体的体积；长方体的体积＝正方体的体积；最后用长方体的体积÷长方体的长，求出长方体的横截面积，据此解答。 【详解】正方体的体积：（立方厘米） 长方体的体积＝正方体的体积＝8000立方厘米 长方体的横截面积：（平方厘米） 因此，这根长方体钢条的横截面的面积是25平方厘米。 8．一个正方体的表面积是，它的棱长是( )m，底面积是( )，体积是( )。 【答案】 3 9 27 【分析】根据正方体的表面积公式：，那么，据此求出每个面的面积，再根据正方形的面积公式求出正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】（平方米） （平方米） （立方米） 所以一个正方体的表面积是54，它的棱长是3m，底面积是9，体积是27。 9．用一根长36cm的铁丝围成一个正方体（铁丝没有剩余，接头处忽略不计），这个正方体的体积是( )cm3。 【答案】27 【分析】根据题意，用一根长36cm的铁丝围成一个正方体（铁丝没有剩余，接头处忽略不计），即正方体的棱长总和是36厘米，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出正方体的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出体积，据此解答。 【详解】棱长：（厘米） 体积：（立方厘米） 所以这个正方体的体积是27立方厘米。 10．一个正方体蛋糕棱长为5dm，小宇把它平均分成4块长方体形状的小蛋糕后，每块小蛋糕的体积是( )dm3。 【答案】31.25 【分析】已知一个正方体蛋糕棱长为5dm，小宇把它平均分成4块长方体形状的小蛋糕，求每块小蛋糕的体积，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体蛋糕的体积，再除以4，即可算出每块小蛋糕的体积。 【详解】（立方分米） （立方分米） 所以每块小蛋糕的体积是31.25立方分米。 11．两个正方体的棱长比是，它们的表面积比是( )，体积比是( )。 【答案】 【分析】根据正方体表面积公式：，可得表面积与棱长的平方成正比；根据正方体体积公式：，可得体积与棱长的立方成正比；据此解答。 【详解】已知两个正方体棱长比是， ，即； ，即。 12．一个长方体铁块，长30厘米，宽15厘米，高20厘米，这个铁块的体积是( )立方厘米；将它熔化成铁水之后（不计损耗），重新铸造成棱长是1分米的正方体，可以铸造出( )个这样的正方体。 【答案】 9000 9 【分析】先根据长方体的体积公式V＝abh，求出这个长方体铁块的体积； 将它重新铸造成棱长是1分米的正方体，即体积是1立方分米的正方体，根据进率“1立方分米＝1000立方厘米”换算单位，然后用铁块的体积除以正方体的体积，即可求出可以铸造正方体的个数。 【详解】30×15×20 ＝450×20 ＝9000（立方厘米） 1×1×1＝1（立方分米） 1立方分米＝1000立方厘米 9000÷1000＝9（个） 这个铁块的体积是（9000）立方厘米；将它熔化成铁水之后（不计损耗），重新铸造成棱长是1分米的正方体，可以铸造出（9）个这样的正方体。 三、计算题 13．计算我最棒。（求下面长方体和正方体的体积，单位：cm）    【答案】40；125 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】长方体的体积：（） 正方体的体积：（） 所以长方体的体积是40，正方体的体积是125。 14．求出下面立体图形的表面积和体积。 【答案】384平方厘米，512立方厘米 【分析】根据正方体的表面积公式：，正方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 这个正方体的表面积为384平方厘米，体积为512立方厘米。 15．计算下面各图形的表面积和体积。（单位：）    【答案】长方体的表面积148cm2；长方体的体积120cm3 正方体的表面积384cm2；正方体的体积512cm3 【分析】根据长方体的表面积公式，，正方体的表面积公式，，代入数据计算。 【详解】长方体的表面积： （cm2） 长方体的体积：（cm3） 正方体的表面积：（cm2） 正方体的体积：（cm3） 四、解答题 16．一个棱长6分米的正方体钢坯，熔铸成长10分米、宽4分米的长方体钢坯，这个长方体钢坯高多少分米？（损耗忽略不计） 【答案】5.4分米 【分析】分析题目，正方体和长方体的体积是相等的，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出钢坯的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）用钢坯的体积除以长方体的底面积即可解答。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方分米） 216÷（10×4） ＝216÷40 ＝5.4（分米） 答：这个长方体钢坯高5.4分米。 17．小明用小刀从一个长方体右边截去一个宽是2厘米的长方体（如下图），剩下的部分正好是一个表面积为384平方厘米的正方体。原来长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】640立方厘米 【分析】用正方体的表面积除以6求出正方体一个面的面积，再进一步求出正方体的棱长，再用正方体的棱长加上2厘米，求出原长方体的长，原长方体的宽和高都等于正方体的棱长，根据长方体的体积＝长×宽×高求出原来长方体的体积是多少立方厘米。 【详解】384÷6＝64（平方厘米） 8×8＝64 所以正方体的棱长是8厘米。 原长方体的长8＋2＝10（厘米） 8×10×8 ＝80×8 ＝640（立方厘米） 答∶原来长方体的体积是640立方厘米。 18．把一个长10dm、宽6dm、高6dm的长方体木块加工成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？削去部分的体积是多少立方分米？ 【答案】这个正方体的体积是，削去部分的体积是。 【分析】根据题意，把一个长10dm、宽6dm、高6dm的长方体木块加工成一个最大的正方体，则正方体的棱长是6dm，再根据正方体的体积公式，列式计算出正方体的体积； ，削去部分一个长6dm、宽6dm、高4dm的长方体，再根据长方体的体积公式，列式计算出长方体的体积即可。 【详解】正方体的体积： 削去的体积：， 答：这个正方体的体积是，削去部分的体积是。 19．一个长方体容器，长20cm，宽10cm，高8cm，容器内水深5cm。将长方体容器内的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，水深多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【答案】 1000÷20÷20＝2.5（cm） 【分析】根据题意，将长方体容器内的水倒入一个棱长为20cm的正方体容器内，水的体积不变； 根据水深5厘米，先计算出长方体容器内水的体积，再除以正方体容器的底面积，从而求出正方体容器内的水深。 【详解】 答：水深2.5厘米。 20．有一个正方体容器，棱长4分米，里面注有3分米深的水，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块放入水中，容器中的水会溢出来吗？请说明理由？（如图所示） 【答案】不会；容器空余部分的容积大于正方体铁块的体积 【分析】分别计算出容器空余部分的容积和正方体铁块的体积，比较即可。容器空余部分的容积＝容器棱长×棱长×空余部分的高；正方体铁块的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】4×4×（4－3） ＝16×1 ＝16（立方分米） 2×2×2＝8（立方分米） 16＞8 答：容器中的水不会溢出来，因为容器空余部分的容积大于正方体铁块的体积。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $