第六单元 正方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 正方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 正方体的特征：正方体有6个面（6个面完全相同，均为正方形）、12条棱（12条棱长度全部相等）、8个顶点；正方体是特殊的长方体（长、宽、高相等的长方体），正方体的表面积是指正方体6个面的面积之和，同样是“立体图形平面化”的核心体现。 核心关联概念：① 正方体表面积的基本公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²（其中a=棱长）；② 正方体的面：6个面完全相同，单个面的面积 = 棱长×棱长（a²），计算表面积可先算1个面的面积，再乘6；③ 表面积的实际应用：生活中，很多正方体物体不需要计算6个面的面积（如无盖正方体水箱、正方体烟囱、正方体礼盒盖等），需根据实际情况计算“部分面的面积和”；④ 单位换算：面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻两个单位间的进率是100，计算时需统一单位；⑤ 与长方体的关联：正方体是长=宽=高的长方体，可通过长方体表面积公式推导正方体表面积公式（S=a×a+a×a+a×a×2=6a²）。 2. 正方体表面积应用的核心意义 本知识点是正方体特征和表面积计算的延伸，也是长方体表面积应用的拓展，核心是掌握“结合实际场景，灵活计算正方体部分面或全部面的面积”，摆脱“机械套用公式”的误区，进一步培养“空间想象能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与正方体物体相关的场景（如包装正方体礼盒、制作正方体容器、粉刷正方体墙面、计算正方体用料等），是立体图形表面积计算的重要组成部分，也是后续学习正方体体积的基础。 3. 常见场景 ① 完整正方体表面积计算：计算6个面都完整的正方体表面积（如正方体礼盒、完整的正方体魔方、正方体盒子）； ② 无盖正方体表面积计算：计算只有5个面的正方体表面积（如无盖正方体水箱、无盖正方体花盆、正方体抽屉等，缺少一个上底面或下底面）； ③ 特殊正方体表面积计算：计算只有4个面的正方体表面积（如正方体烟囱、正方体通风管等，缺少相对的两个面）； ④ 结合实际场景的复杂应用：如粉刷正方体墙面（扣除门窗面积）、包装正方体物品（计算包装纸面积，考虑重叠部分）、制作正方体框架并计算表面积等； ⑤ 综合运用：结合单位换算、正方体与长方体的关联，解决与表面积相关的对比、计算、设计类问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.正方体的特征：6个面完全相同，12条棱长度相等，6个面的面积和就是表面积； 2.正方体表面积基本公式：S=6a²，可灵活变形（如单个面的面积：a²，5个面的面积：5a²，4个面的面积：4a²）； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前需统一所有数据的单位； 4.空间想象能力：能根据题目描述，判断正方体物体需要计算几个面，明确每个面的边长就是正方体的棱长。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：完整正方体表面积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：正方体6个面完整，直接套用基本公式计算，关键是找准正方体的棱长，确保单位统一； ② 步骤：1. 确认正方体的棱长，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式S=6a²，先计算单个面的面积（a²）；3. 用单个面的面积乘6，得出6个面的总面积（表面积）；4. 标注正确的面积单位； ③ 示例：一个正方体魔方，棱长10厘米，计算其表面积。解：S=6×10×10=6×100=600（平方厘米）。 2.方法二：无盖正方体表面积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：无盖正方体缺少1个面（通常是上底面，即正方形面），表面积 = 完整表面积 - 缺少的1个面的面积，或直接计算5个面的面积和（5a²）； ② 常用公式：无盖正方体表面积 = 6a²−a²=5a²（缺少上底面）；若缺少其他面，公式不变（因正方体6个面完全相同），只需确认缺少1个面即可； ③ 步骤：1. 确定缺少的面的个数（无盖均缺少1个面）；2. 计算完整正方体的表面积，或直接计算5个面的面积和（棱长×棱长×5）；3. 若有厚度忽略不计（题目无说明时），直接得出结果，标注单位； ④ 示例：一个无盖正方体水箱，棱长5分米，计算制作水箱需要多少铁皮（即水箱的表面积）。解：缺少1个上底面，表面积 =5×5×5=125（平方分米）。 3.方法三：特殊正方体表面积计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：此类物体（如正方体烟囱、通风管）只有4个面，缺少相对的两个面（因正方体面完全相同，任意两个相对面均可），表面积 = 4个面的面积和（4a²）； ② 常用公式：4个面的面积和 = 4a²（无论缺少哪两个相对面，面积和均不变，因正方体每个面面积相等）； ③ 步骤：1. 明确物体的用途，判断缺少的两个相对面（通常为上、下底面）；2. 计算剩余4个面的面积和（棱长×棱长×4）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体通风管，棱长0.4米，通风管两端开口（缺少上、下底面），计算制作通风管需要多少平方米的铁皮。解：缺少两个相对面，表面积 = 4×0.4×0.4=4×0.16=0.64（平方米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：棱长的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.场景判断错误：混淆“完整正方体”“无盖正方体”“特殊正方体”，误算面的个数（如将无盖正方体算成6个面，将通风管算成5个面）； 3.公式套用错误：计算无盖或特殊正方体时，机械套用完整正方体表面积公式（6a²），未减去缺少的面的面积； 4.忽略隐含条件：如粉刷正方体墙面时，未扣除门窗的面积；制作物体时，忽略材料的厚度（题目无说明时可忽略，有说明需按要求计算）； 5.面积单位混淆：计算结果标注错误的单位（如将平方分米写成厘米），或单位换算错误（如1平方米=100平方厘米）； 6.计算失误：单个面的面积计算错误（棱长乘棱长出错），或乘6、5、4时漏乘、错乘，导致最终结果错误； 7.混淆正方体与长方体：忽略正方体“6个面完全相同、12条棱相等”的特征，误将长方体的计算方法套用在正方体上。 三、正方体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目中的正方体物体是完整的、无盖的，还是特殊的（如通风管），判断需要计算几个面。 2.统一单位：提取题目中正方体的棱长数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式，计算所需面的面积和（完整的用6a²，无盖的用5a²，特殊的用4a²），步骤规范。 4.检验验证：检验面的个数判断是否正确、单位是否统一、公式套用是否无误、计算过程是否准确，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见正方体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：完整正方体表面积计算（基础题） 例：一个正方体礼盒，棱长6分米，计算这个礼盒的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：完整正方体，计算6个面的面积和，单位已统一（均为分米）； ② 代入公式：S=6a²，其中a=6dm； ③ 计算：6×6×6=6×36=216（平方分米）； 检验：面的个数正确，公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个礼盒的表面积是216平方分米。 2. 场景二：无盖正方体表面积计算（基础题） 例：一个无盖正方体花盆，棱长4分米，制作这个花盆需要多少平方分米的陶瓷材料？（厚度忽略不计） 解：① 确认场景：无盖正方体，缺少1个上底面，计算5个面的面积和； ② 选择公式：无盖表面积 = 5a²； ③ 计算：5×4×4=5×16=80（平方分米）； 检验：缺少的面判断正确，公式套用无误，计算准确。 答：制作这个花盆需要80平方分米的陶瓷材料。 3. 场景三：特殊正方体表面积计算（进阶题） 例：一个正方体烟囱，棱长0.5米，烟囱两端开口（缺少上、下两个相对面），计算制作这个烟囱需要多少平方米的铁皮。 解：① 确认场景：特殊正方体（通风管），缺少两个相对面，计算4个面的面积和； ② 选择公式：4个面的面积和 = 4a²； ③ 计算：4×0.5×0.5=4×0.25=1（平方米）； 检验：缺少的面判断正确，单位统一，计算准确。 答：制作这个烟囱需要1平方米的铁皮。 4. 场景四：结合实际场景（粉刷墙面，进阶题） 例：一个正方体储物间，棱长5米，要粉刷储物间的四壁和天花板（地面不粉刷），扣除门窗的面积8平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？ 解：① 确认场景：无盖正方体（缺少地面），需计算5个面的面积和，再扣除门窗面积； ② 计算5个面的面积和：5a²=5×5×5=125（平方米）； ③ 扣除门窗面积：125-8=117（平方米）； 检验：面的个数正确，扣除门窗面积符合题意，计算准确。 答：需要粉刷的面积是117平方米。 5. 场景五：综合运用（单位换算+表面积计算，拓展题） 例：一个正方体玩具盒，棱长30厘米，要给玩具盒包装一层彩纸（不计重叠部分），需要多少平方分米的彩纸？ 解：① 确认场景：完整正方体，计算6个面的表面积，需先统一单位（厘米转化为分米）； ② 单位换算：30厘米=3分米； ③ 代入公式计算：6×3×3=6×9=54（平方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：需要54平方分米的彩纸。 培优练习 一、选择题 1．表面积是54cm2的正方体，它的体积是（    ）cm3。 A．6 B．9 C．18 D．27 2．如下图，如果拿走最上层中间位置的小正方体，它的表面积与原来比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法比较 3．如图，甲和乙表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 4．下图是一个正方体木料，把它挖掉一个长方体后（挖穿），它的（    ）。 A．表面积变大，体积变小 B．表面积变小，体积变小 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变小，体积变大 5．下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 6．某博物馆要给一件文物做一个棱长是8分米的正方体玻璃展盒（无底），至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．512 B．320 C．384 D．256 二、填空题 7．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用( )平方厘米玻璃。 8．一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm2。原来正方体的体积是( )dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃( )dm2。 9．4个棱长都是3厘米的正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积为( )平方厘米。 10．一个正方体的表面积是54m2，它每个面的面积是( )m2。 11．竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 12．李叔叔把一根长48cm的铁丝焊接成一个正方体框架，在它的四周和底面用铁皮围起来做成一个水箱（不计损耗）。做这个水箱需要( )cm2铁皮，它的体积是( )cm3。 三、解答题 13．青青做了一个长方体模型，这个长方体恰好能分割成三个完全一样的正方体（如图）。分割后表面积增加了64平方厘米，原来这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ 14．乐乐发现家里的正方体收纳箱有一个贴心的设计（如图），收纳箱的前面有一块透明塑料，其余部分是布料。这样不仅节省布料，还可以直接看到收纳箱里的衣物。制作这样一个收纳箱至少需要布料多少平方分米？ 15．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 16．如图，小明跟爷爷学木工，他在一块高2厘米的长方体木条上凿了两个边长都是2厘米的正方形的洞。竖直凿穿后这个长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 17．一节长方体通风管（无底），长9.6分米，横截面是边长为25厘米的正方形，如果将这节通风管的铁皮剪开焊成一个正方体储物箱，这个正方体的储物箱的一个面的面积是多少平方厘米？（接口处忽略不计） 18．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 19．把一个棱长46厘米的正方体纸箱各面都贴上红纸，作为捐款箱。 （1）至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽略不计。） （2）如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5米长的胶带纸够用吗？ 20．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 正方体表面积的应用（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 正方体的特征：正方体有6个面（6个面完全相同，均为正方形）、12条棱（12条棱长度全部相等）、8个顶点；正方体是特殊的长方体（长、宽、高相等的长方体），正方体的表面积是指正方体6个面的面积之和，同样是“立体图形平面化”的核心体现。 核心关联概念：① 正方体表面积的基本公式：正方体表面积 = 棱长×棱长×6，用字母表示为S=6a²（其中a=棱长）；② 正方体的面：6个面完全相同，单个面的面积 = 棱长×棱长（a²），计算表面积可先算1个面的面积，再乘6；③ 表面积的实际应用：生活中，很多正方体物体不需要计算6个面的面积（如无盖正方体水箱、正方体烟囱、正方体礼盒盖等），需根据实际情况计算“部分面的面积和”；④ 单位换算：面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²），相邻两个单位间的进率是100，计算时需统一单位；⑤ 与长方体的关联：正方体是长=宽=高的长方体，可通过长方体表面积公式推导正方体表面积公式（S=a×a+a×a+a×a×2=6a²）。 2. 正方体表面积应用的核心意义 本知识点是正方体特征和表面积计算的延伸，也是长方体表面积应用的拓展，核心是掌握“结合实际场景，灵活计算正方体部分面或全部面的面积”，摆脱“机械套用公式”的误区，进一步培养“空间想象能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与正方体物体相关的场景（如包装正方体礼盒、制作正方体容器、粉刷正方体墙面、计算正方体用料等），是立体图形表面积计算的重要组成部分，也是后续学习正方体体积的基础。 3. 常见场景 ① 完整正方体表面积计算：计算6个面都完整的正方体表面积（如正方体礼盒、完整的正方体魔方、正方体盒子）； ② 无盖正方体表面积计算：计算只有5个面的正方体表面积（如无盖正方体水箱、无盖正方体花盆、正方体抽屉等，缺少一个上底面或下底面）； ③ 特殊正方体表面积计算：计算只有4个面的正方体表面积（如正方体烟囱、正方体通风管等，缺少相对的两个面）； ④ 结合实际场景的复杂应用：如粉刷正方体墙面（扣除门窗面积）、包装正方体物品（计算包装纸面积，考虑重叠部分）、制作正方体框架并计算表面积等； ⑤ 综合运用：结合单位换算、正方体与长方体的关联，解决与表面积相关的对比、计算、设计类问题。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.正方体的特征：6个面完全相同，12条棱长度相等，6个面的面积和就是表面积； 2.正方体表面积基本公式：S=6a²，可灵活变形（如单个面的面积：a²，5个面的面积：5a²，4个面的面积：4a²）； 3.面积单位换算：1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，计算前需统一所有数据的单位； 4.空间想象能力：能根据题目描述，判断正方体物体需要计算几个面，明确每个面的边长就是正方体的棱长。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：完整正方体表面积计算（基础，苏教版入门重点） ① 核心思路：正方体6个面完整，直接套用基本公式计算，关键是找准正方体的棱长，确保单位统一； ② 步骤：1. 确认正方体的棱长，统一单位（如将厘米转化为分米）；2. 代入公式S=6a²，先计算单个面的面积（a²）；3. 用单个面的面积乘6，得出6个面的总面积（表面积）；4. 标注正确的面积单位； ③ 示例：一个正方体魔方，棱长10厘米，计算其表面积。解：S=6×10×10=6×100=600（平方厘米）。 2.方法二：无盖正方体表面积计算（重点，苏教版核心要求） ① 核心思路：无盖正方体缺少1个面（通常是上底面，即正方形面），表面积 = 完整表面积 - 缺少的1个面的面积，或直接计算5个面的面积和（5a²）； ② 常用公式：无盖正方体表面积 = 6a²−a²=5a²（缺少上底面）；若缺少其他面，公式不变（因正方体6个面完全相同），只需确认缺少1个面即可； ③ 步骤：1. 确定缺少的面的个数（无盖均缺少1个面）；2. 计算完整正方体的表面积，或直接计算5个面的面积和（棱长×棱长×5）；3. 若有厚度忽略不计（题目无说明时），直接得出结果，标注单位； ④ 示例：一个无盖正方体水箱，棱长5分米，计算制作水箱需要多少铁皮（即水箱的表面积）。解：缺少1个上底面，表面积 =5×5×5=125（平方分米）。 3.方法三：特殊正方体表面积计算（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：此类物体（如正方体烟囱、通风管）只有4个面，缺少相对的两个面（因正方体面完全相同，任意两个相对面均可），表面积 = 4个面的面积和（4a²）； ② 常用公式：4个面的面积和 = 4a²（无论缺少哪两个相对面，面积和均不变，因正方体每个面面积相等）； ③ 步骤：1. 明确物体的用途，判断缺少的两个相对面（通常为上、下底面）；2. 计算剩余4个面的面积和（棱长×棱长×4）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体通风管，棱长0.4米，通风管两端开口（缺少上、下底面），计算制作通风管需要多少平方米的铁皮。解：缺少两个相对面，表面积 = 4×0.4×0.4=4×0.16=0.64（平方米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：棱长的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就直接计算，导致结果错误； 2.场景判断错误：混淆“完整正方体”“无盖正方体”“特殊正方体”，误算面的个数（如将无盖正方体算成6个面，将通风管算成5个面）； 3.公式套用错误：计算无盖或特殊正方体时，机械套用完整正方体表面积公式（6a²），未减去缺少的面的面积； 4.忽略隐含条件：如粉刷正方体墙面时，未扣除门窗的面积；制作物体时，忽略材料的厚度（题目无说明时可忽略，有说明需按要求计算）； 5.面积单位混淆：计算结果标注错误的单位（如将平方分米写成厘米），或单位换算错误（如1平方米=100平方厘米）； 6.计算失误：单个面的面积计算错误（棱长乘棱长出错），或乘6、5、4时漏乘、错乘，导致最终结果错误； 7.混淆正方体与长方体：忽略正方体“6个面完全相同、12条棱相等”的特征，误将长方体的计算方法套用在正方体上。 三、正方体表面积应用解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确题目中的正方体物体是完整的、无盖的，还是特殊的（如通风管），判断需要计算几个面。 2.统一单位：提取题目中正方体的棱长数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.确定公式与计算：根据场景选择对应的公式，计算所需面的面积和（完整的用6a²，无盖的用5a²，特殊的用4a²），步骤规范。 4.检验验证：检验面的个数判断是否正确、单位是否统一、公式套用是否无误、计算过程是否准确，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见正方体表面积应用题型及解题示例 1. 场景一：完整正方体表面积计算（基础题） 例：一个正方体礼盒，棱长6分米，计算这个礼盒的表面积（厚度忽略不计）。 解：① 确认场景：完整正方体，计算6个面的面积和，单位已统一（均为分米）； ② 代入公式：S=6a²，其中a=6dm； ③ 计算：6×6×6=6×36=216（平方分米）； 检验：面的个数正确，公式套用无误，计算准确，单位标注正确。 答：这个礼盒的表面积是216平方分米。 2. 场景二：无盖正方体表面积计算（基础题） 例：一个无盖正方体花盆，棱长4分米，制作这个花盆需要多少平方分米的陶瓷材料？（厚度忽略不计） 解：① 确认场景：无盖正方体，缺少1个上底面，计算5个面的面积和； ② 选择公式：无盖表面积 = 5a²； ③ 计算：5×4×4=5×16=80（平方分米）； 检验：缺少的面判断正确，公式套用无误，计算准确。 答：制作这个花盆需要80平方分米的陶瓷材料。 3. 场景三：特殊正方体表面积计算（进阶题） 例：一个正方体烟囱，棱长0.5米，烟囱两端开口（缺少上、下两个相对面），计算制作这个烟囱需要多少平方米的铁皮。 解：① 确认场景：特殊正方体（通风管），缺少两个相对面，计算4个面的面积和； ② 选择公式：4个面的面积和 = 4a²； ③ 计算：4×0.5×0.5=4×0.25=1（平方米）； 检验：缺少的面判断正确，单位统一，计算准确。 答：制作这个烟囱需要1平方米的铁皮。 4. 场景四：结合实际场景（粉刷墙面，进阶题） 例：一个正方体储物间，棱长5米，要粉刷储物间的四壁和天花板（地面不粉刷），扣除门窗的面积8平方米，需要粉刷的面积是多少平方米？ 解：① 确认场景：无盖正方体（缺少地面），需计算5个面的面积和，再扣除门窗面积； ② 计算5个面的面积和：5a²=5×5×5=125（平方米）； ③ 扣除门窗面积：125-8=117（平方米）； 检验：面的个数正确，扣除门窗面积符合题意，计算准确。 答：需要粉刷的面积是117平方米。 5. 场景五：综合运用（单位换算+表面积计算，拓展题） 例：一个正方体玩具盒，棱长30厘米，要给玩具盒包装一层彩纸（不计重叠部分），需要多少平方分米的彩纸？ 解：① 确认场景：完整正方体，计算6个面的表面积，需先统一单位（厘米转化为分米）； ② 单位换算：30厘米=3分米； ③ 代入公式计算：6×3×3=6×9=54（平方分米）； 检验：单位换算正确，公式套用无误，计算准确。 答：需要54平方分米的彩纸。 培优练习 一、选择题 1．表面积是54cm2的正方体，它的体积是（    ）cm3。 A．6 B．9 C．18 D．27 【答案】D 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，可求出正方体的底面积，即（平方厘米），由于底面是正方形，边长相等，即（平方厘米），因此正方体的棱长为3厘米，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把数值代入公式即可解答，即（立方厘米），据此解答。 【详解】由分析可知，表面积是54平方厘米的正方体，它的体积是27立方厘米。 故答案为：D 2．如下图，如果拿走最上层中间位置的小正方体，它的表面积与原来比，（    ）。 A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法比较 【答案】A 【分析】根据正方体的表面积的意义，分析减少的面和新增加的面，相互抵消判断表面积的具体增减即可。 【详解】从一个面上挖去一个小正方体，比原来的表面积减少1个面，新增加了5个面，表面积变大了。 故答案为：A 【点睛】本题考查正方体的表面积，解答本题的关键是理解图形的表面积变化情况。 3．如图，甲和乙表面积的大小关系是（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法比较 【答案】C 【分析】甲是一个完整的大正方体，由8个小正方体组成，其表面的小正方形数量是固定的，乙是在甲的基础上，去掉了一个小正方体。数出减少的小正方形面的数量与新增加的小正方形面的数量。若数量相等，则甲和乙表面积的大小相等；若减少的小正方形面的数量比新增加的小正方形面的数量多，则甲的表面积大；若减少的小正方形面的数量比新增加的小正方形面的数量少，则乙的表面积大。 【详解】根据分析得：甲去掉一个小正方体后，其表面减少了3个小正方形，原来被去掉的小正方体在大正方体内部的面会暴露出来，又新增加了3个小正方形，所以甲和乙的表面积相等。 故答案为：C 4．下图是一个正方体木料，把它挖掉一个长方体后（挖穿），它的（    ）。 A．表面积变大，体积变小 B．表面积变小，体积变小 C．表面积变大，体积不变 D．表面积变小，体积变大 【答案】A 【分析】根据题意，正方体木料挖掉一个长方体后，整体所占空间减少这个长方体的体积，因此体积变小。 挖掉长方体时，原来的正方体表面减少了2个边长为2cm的正方形面，但同时增加了长方体的4个侧面，增加的面积远大于减少的面积，因此表面积变大。 【详解】挖掉长方体后物体的表面积＝正方体的表面积－2×2×2＋8×2×4＝正方体的表面积－8＋64＝正方体的表面积＋56 挖掉长方体后物体的体积＝正方体的体积－长方体的体积 挖掉长方体后物体的表面积＞正方体的表面积，挖掉长方体后物体的体积＜正方体的体积 所以，挖掉长方体后，它的它的表面积变大，体积变小。 故答案为：A 5．下图是由12个小正方体拼成的长方体，从中间挖去一个小正方体（如图），与原来相比，表面积（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．没有变化 D．无法确定 【答案】A 【分析】从图中可知，在没挖之前，此处外露2个面；挖去一个小正方体后，此处外露4个面，此时表面积比原来多了2个面，表面积增加了。 【详解】一个长方体从中间挖去一个小正方体后，表面积比原来多了小正方体的2个面，所以与原来相比，表面积增加了。 故答案为：A 6．某博物馆要给一件文物做一个棱长是8分米的正方体玻璃展盒（无底），至少需要玻璃（    ）平方分米。 A．512 B．320 C．384 D．256 【答案】B 【分析】无底正方体玻璃展盒只有5个面，需要的玻璃面积＝棱长×棱长×5，据此列式计算。 【详解】8×8×5＝320（平方分米） 至少需要玻璃320平方分米。 故答案为：B 二、填空题 7．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用( )平方厘米玻璃。 【答案】180 【分析】根据题意，求做这个蜡烛盒至少要用多少平方厘米玻璃，就是求棱长为6厘米的无盖正方体表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×5，代入计算即可。 【详解】6×6×5 ＝36×5 ＝180（平方厘米） 所以，做这个蜡烛盒至少要用180平方厘米玻璃。 8．一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm2。原来正方体的体积是( )dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃( )dm2。 【答案】 8 20 【分析】一个正方体，如果高减少4cm，这时表面积比原来减少320cm3，减少的表面积为4个长方形，每个长方形的宽为4，长为这个正方体的棱长；根据长方形的面积＝长×宽，用320除以4即可求出每个长方形的面的面积，再除以4cm即可求出这个正方体的棱长；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长即可求出这个正方体的体积，再根据1dm3＝1000cm3即可换算； 这样无盖的正方体鱼缸有5个正方形面，根据正方形的面积＝边长×边长即可计算，再根据1dm2＝100cm2换算。 【详解】320÷4÷4＝20（cm） 20×20×20＝8000（cm3） 8000÷1000＝8（dm3） 20×20×5＝2000（cm2） 2000÷100＝20（dm2） 即原来正方体的体积是8dm3。如用玻璃做一个这样无盖的正方体鱼缸，需要玻璃20dm2。 9．4个棱长都是3厘米的正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积为( )平方厘米。 【答案】 9 81 【分析】根据图示，4个棱长都是3厘米的正方体堆放在墙角处，正面有4个面露在外面，上面有2个面露在外面，右面有3个面露在外面，一共有4＋2＋3＝9（个）面露在外面，然后根据正方形的面积公式，求出一个面的面积，乘9，计算出结果后，即可填空。 【详解】4＋2＋3 ＝6＋3 ＝9（个） 3×3×9 ＝9×9 ＝81（平方厘米） 所以有9个面露在外面，露在外面的面积为81平方厘米。 10．一个正方体的表面积是54m2，它每个面的面积是( )m2。 【答案】9 【分析】正方体有6个完全相同的面，总表面积是6个面的面积之和。已知正方体表面积为54m2，每个面的面积可用总表面积除以6计算得出。 【详解】54÷6＝9（m2） 因此，正方体每个面的面积是9m2。 11．竹编是国家级非物质文化遗产的技艺之一，竹编手艺传承人用72厘米长的竹条编织了一个正方体工艺品框架，现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要( )平方厘米的纸板。（纸板厚度忽略不计） 【答案】216 【分析】由题可知，竹条的总长度等于正方体框架的棱长总和，根据公式：正方体的棱长总和＝棱长×12，即正方体的棱长＝棱长总和÷12，代入数据计算，求出正方体的棱长；给这个框架做包装盒，求所需纸板面积就是求正方体的表面积，根据公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算，求出至少需要多少平方厘米的纸板。 【详解】72÷12＝6（厘米） 6×6×6＝216（平方厘米） 即现在要给这个框架做一个包装盒，至少需要216平方厘米的纸板。 12．李叔叔把一根长48cm的铁丝焊接成一个正方体框架，在它的四周和底面用铁皮围起来做成一个水箱（不计损耗）。做这个水箱需要( )cm2铁皮，它的体积是( )cm3。 【答案】 80 64 【分析】根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用48除以12可得棱长，水箱没有上底，根据正方体的表面积公式可知，水箱的表面积＝棱长×棱长×5，，代入数据计算即可。 【详解】（cm） （cm2） （cm3） 李叔叔把一根长48cm的铁丝焊接成一个正方体框架，在它的四周和底面用铁皮围起来做成一个水箱（不计损耗）。做这个水箱需要80cm2铁皮，它的体积是64cm3。 三、解答题 13．青青做了一个长方体模型，这个长方体恰好能分割成三个完全一样的正方体（如图）。分割后表面积增加了64平方厘米，原来这个长方体模型的表面积是多少平方厘米？ 【答案】224平方厘米 【分析】由图可知，长方体分割成3个完全一样的正方体，需要切2次，每切1次增加2个正方形的面，所以一共增加了个正方形的面。已知表面积增加了64平方厘米，这64平方厘米就是这4个正方形面的面积和，由此用可以先求出1个正方形面的面积，再计算原长方体的表面积。原长方体被分割成3个完全一样的正方体，一个正方体有6个面，当3个正方体拼成长方体时，会有4个面重合，因此长方体的表面积等于个正方形的面积的和。据此解答。 【详解】根据分析： （平方厘米） （个） （平方厘米） 答：原来这个长方体模型的表面积是224平方厘米。 14．乐乐发现家里的正方体收纳箱有一个贴心的设计（如图），收纳箱的前面有一块透明塑料，其余部分是布料。这样不仅节省布料，还可以直接看到收纳箱里的衣物。制作这样一个收纳箱至少需要布料多少平方分米？ 【答案】344平方分米 【分析】由图可知，正方体收纳箱的边长是8分米，收纳箱的前面有一块长8分米、宽5分米的长方形透明塑料，求制作这样一个收纳箱至少需要多少布料，可以根据“正方体的表面积＝边长×边长×6”先求出整个正方体的表面积，再减去长方形塑料部分的面积即可。 【详解】8×8×6－8×5 ＝384－40 ＝344（平方分米） 答：制作这样一个收纳箱至少需要布料344平方分米。 15．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【详解】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 16．如图，小明跟爷爷学木工，他在一块高2厘米的长方体木条上凿了两个边长都是2厘米的正方形的洞。竖直凿穿后这个长方体的表面积增加了多少平方厘米？ 【答案】16平方厘米 【分析】长方体木条凿了两个正方形的洞，上下底面减少了4个边长为2厘米的正方形面积，侧面同时又增加了8个边长为2厘米的正方形面积，所以一共增加了（8－4）个正方形的面积，据此列式计算。 【详解】2×2×（8－4） ＝4×4 ＝16（平方厘米） 答：竖直凿穿后这个长方体的表面积增加了16平方厘米。 17．一节长方体通风管（无底），长9.6分米，横截面是边长为25厘米的正方形，如果将这节通风管的铁皮剪开焊成一个正方体储物箱，这个正方体的储物箱的一个面的面积是多少平方厘米？（接口处忽略不计） 【答案】 1600平方厘米 【分析】由题意知：无底的长方体通风管的侧面是四个面积相等的长方形，长为9.6分米，宽为25厘米，利用长方形面积＝长×宽，求得一个面的面积，再乘4，求得这根通风管的侧面积。通风管的侧面积与储物箱的表面积相等，均等于铁皮的面积。则用通风管的侧面积除以6，就是正方体储物箱一个面的面积。 【详解】9.6分米＝96厘米 96×25×4÷6 ＝96×100÷6 ＝9600÷6 ＝1600（平方厘米） 答：这个正方体的储物箱的一个面的面积是1600平方厘米。 18．一个棱长8厘米的正方体木块，从上面正中间挖去一个棱长2厘米的小正方体后，它的体积、容积、表面积是怎样变化的？ 【答案】体积变小；容积变大；表面积变大 【分析】根据题意，在正方体木块的上面正中间挖去一个小正方体，那么体积减少了1个小正方体的体积，所以体积比原来的体积小。 原来正方体没有容积，因为挖去了一个小正方体，容积增加了这个小正方体的容积。 挖去一个小正方体，减少了小正方体的1个面，同时又露出了小正方体的5个面，所以表面积比原来的表面积多了小正方体的4个面。 【详解】体积比原来小了：2×2×2＝8（立方厘米） 容积比原来大了：2×2×2＝8（立方厘米） 表面积比原来大了：2×2×4＝16（平方厘米） 答：它的体积变小了，容积变大了，表面积变大了。 19．把一个棱长46厘米的正方体纸箱各面都贴上红纸，作为捐款箱。 （1）至少需要多少平方厘米的红纸？（开口处忽略不计。） （2）如果只在棱上粘贴一圈胶带纸，一卷4.5米长的胶带纸够用吗？ 【答案】（1）12696平方厘米；（2）不够 【分析】（1）根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可； （2）正方体棱长和＝棱长×12，根据公式计算出需要胶带纸的长度，换算单位后与4.5米比较后判断够不够用即可。 【详解】（1）46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 答：至少需要12696平方厘米的红纸。 （2）46×12＝552（厘米） 552厘米＝5.52米 5.52＞4.5 答：一卷4.5米长的胶带纸不够用。 20．中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地，自古以来，茶就被誉为中华民族的“国饮”。下图是一种正方体茶叶礼品包装盒，包装盒上的彩带总长是128厘米（彩带打结处忽略不计）。做这个礼品包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 【答案】1536平方厘米 【分析】观察可知，彩带长度包括8条棱长，彩带长度÷8＝棱长，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【详解】128÷8＝16（厘米） 16×16×6＝1536（平方厘米） 答：做这个礼品包装盒至少需要1536平方厘米的纸板。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $