第六单元 长方体和正方体组合体的体积（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 长方体和正方体组合体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 组合体体积的定义：由两个或两个以上的长方体、正方体，通过拼接、叠加、嵌套等方式组合而成的立体图形，叫做长方体和正方体组合体，其体积是组成它的所有单个长方体、正方体体积的总和（若有重叠部分，需减去重叠部分的体积，苏教版五年级重点考查无重叠组合）。核心关键是“整体拆分”，将复杂组合体拆分为熟悉的单个长方体或正方体，再通过体积求和（或差）计算。 核心关联概念：① 组合体体积核心原则：无重叠组合时，组合体体积 = 所有单个立体图形体积之和；有重叠组合时，组合体体积 = 单个图形体积之和 - 重叠部分体积（五年级重点考查无重叠）；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），是组合体体积计算的基础；③ 核心思想：“拆分思想”，将复杂的组合体拆分为若干个独立的、可计算体积的长方体或正方体，化繁为简；④ 与前期知识关联：组合体体积是长方体、正方体体积计算的延伸，需熟练掌握单个图形体积计算、单位换算，区分组合体体积与表面积（二者计算逻辑不同，体积求和/差，表面积需考虑重叠遮挡）。 2. 组合体体积应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的综合运用，核心是掌握“拆分组合体、计算单个体积、求和（或差）”的解题思路，摆脱“无法应对复杂立体图形”的误区，培养“拆分思维”和“空间想象能力”。它广泛应用于生活中与组合立体图形相关的场景（如组合家具体积、堆积货物体积、组合礼盒体积、建筑构件体积等），是连接基础体积计算与复杂立体图形问题的重要内容，也是苏教版五年级下册第六单元的重点题型。 3. 常见场景 ① 无重叠拼接组合：两个或多个长方体、正方体，通过面与面贴合拼接（无重叠部分），组成新的组合体，体积为单个体积之和； ② 叠加组合：一个长方体（或正方体）叠加在另一个长方体（或正方体）上方、侧面（无重叠部分），体积为单个体积之和； ③ 嵌套组合：一个长方体（或正方体）嵌套在另一个立体图形内部（无重叠、无遮挡），体积为两个图形体积之和（或差，根据题意判断）； ④ 有重叠组合（拓展）：两个图形部分重叠，体积为单个体积之和减去重叠部分的体积（苏教版五年级少量拓展）； ⑤ 综合组合：结合拼接、叠加，且涉及单位换算、等积变形，解决复杂组合体体积问题（如组合体熔铸、组合体排水法相关体积计算）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：能准确识别组合体中每个单个图形的类型，找准其长、宽、高（或棱长）； 2.体积公式：熟练掌握长方体V=abh、正方体V=a³，能正用、逆用公式计算单个图形体积； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.拆分思想：能将组合体合理拆分为若干个独立的长方体或正方体，不重复、不遗漏； 5.重叠判断：能判断组合体中是否有重叠部分，若有，能准确计算重叠部分的体积（拓展要求）。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：无重叠拼接组合（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：组合体由两个或多个长方体、正方体拼接而成，无重叠部分，组合体体积 = 所有单个图形体积之和；拼接时，表面积会减少（重叠面遮挡），但体积不变，仅需求和即可； ② 常用公式：组合体体积V总=V1+V2+...+Vn（V1、V2为单个长方体或正方体体积）； ③ 步骤：1. 观察组合体，将其拆分为若干个独立的长方体或正方体；2. 分别找准每个单个图形的长、宽、高（或棱长），统一单位；3. 计算每个单个图形的体积；4. 将所有单个体积相加，得到组合体体积；5. 标注正确单位； ④ 示例：一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体，和一个棱长4分米的正方体，将它们的一个面完全贴合（无重叠），组成一个组合体，求组合体体积。解：长方体体积V1=5×4×3=60立方分米，正方体体积V2=4×4×4=64立方分米，组合体体积V总=60+64=124（立方分米）。 2.方法二：叠加组合（基础，苏教版常考） ① 核心思路：一个立体图形叠加在另一个立体图形上（无重叠、无遮挡），组合体体积 = 下方图形体积 + 上方图形体积，与叠加位置无关，仅需计算单个体积之和； ② 关键：准确拆分叠加的两个（或多个）图形，找准每个图形的关键维度，避免因叠加位置混淆维度； ③ 步骤：1. 拆分叠加的单个图形，明确每个图形的类型（长方体/正方体）；2. 统一单位，计算每个单个图形的体积；3. 将所有单个体积相加，得到组合体体积；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长8分米、宽6分米、高2分米的长方体底座，上方叠加一个棱长3分米的正方体，求组合体的体积。解：底座体积V1=8×6×2=96立方分米，正方体体积V2=3×3×3=27立方分米，组合体体积V总=96+27=123（立方分米）。 3.方法三：嵌套组合（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：一个立体图形嵌套在另一个立体图形内部，无重叠、无遮挡，组合体体积 = 外部图形体积 + 内部图形体积；若内部图形完全嵌入，且题目要求“总体积”，直接求和即可（若要求“外部图形剩余体积”，则用外部体积 - 内部体积）； ② 关键：区分“总体积”与“剩余体积”，根据题意判断是求和还是求差； ③ 步骤：1. 区分外部、内部图形，明确计算需求（总体积/剩余体积）；2. 统一单位，计算外部、内部图形的体积；3. 若求总体积，将两个体积相加；若求剩余体积，用外部体积减去内部体积；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个棱长10分米的正方体盒子，内部嵌套一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体木块，求组合体的总体积（忽略盒子厚度）。解：正方体体积V1=10×10×10=1000立方分米，长方体体积V2=5×4×3=60立方分米，总体积V总=1000+60=1060（立方分米）。 4.方法四：有重叠组合（拓展，苏教版少量考查） ① 核心思路：两个图形部分重叠，组合体体积 = 两个图形体积之和 - 重叠部分的体积（重叠部分为一个小的长方体或正方体，需找准其长、宽、高）； ② 常用公式：组合体体积V总=V1+V2−V重叠； ③ 步骤：1. 拆分两个单个图形，计算各自的体积；2. 找准重叠部分的形状（长方体/正方体），计算重叠部分的体积；3. 用两个图形体积之和减去重叠部分体积，得到组合体体积；4. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长6分米、宽4分米、高3分米的长方体，和一个长5分米、宽4分米、高2分米的长方体，重叠部分是一个长4分米、宽4分米、高2分米的长方体，求组合体体积。解：第一个长方体体积V1=6×4×3=72立方分米，第二个长方体体积V2=5×4×2=40立方分米，重叠体积V重叠=4×4×2=32立方分米，组合体体积V总=72+40−32=80（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：组合体中不同单个图形的长度单位、体积单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.拆分错误：无法将组合体合理拆分，出现重复拆分（同一个部分算两次）或遗漏拆分（少算某个部分）的情况； 3.维度找错：拆分后，误将组合体的整体维度当作单个图形的维度，导致单个体积计算错误； 4.混淆体积与表面积：计算组合体体积时，误减去重叠面的面积（表面积计算逻辑），体积无需减去重叠部分（有重叠除外）； 5.忽略重叠部分：有重叠的组合体，忘记减去重叠部分的体积，导致组合体体积计算偏大； 6.嵌套组合判断错误：混淆“总体积”与“剩余体积”，误将剩余体积当作总体积，或反之； 7.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误； 8.计算失误：单个图形体积计算、多个体积求和/差时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误。 三、组合体体积解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨组合：明确组合体的组成（几个、哪种立体图形），判断组合方式（拼接、叠加、嵌套、有重叠/无重叠），明确计算需求（总体积/剩余体积）。 2.统一单位：提取所有单个图形的长、宽、高（或棱长）数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.拆分计算单个体积：将组合体拆分为独立的长方体或正方体，分别代入体积公式，计算每个单个图形的体积。 4.求和（或差）求总容积：无重叠、叠加、嵌套（总体积），将单个体积相加；有重叠、嵌套（剩余体积），将单个体积求和后减重叠体积（或外部减内部）。 5.检验验证：检验拆分是否合理、单位是否统一、单个体积计算是否无误，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见组合体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：无重叠拼接组合（基础题） 例：一个长7分米、宽5分米、高4分米的长方体，和一个棱长5分米的正方体，将长方体的“5×4”面与正方体的一个面完全贴合（无重叠），组成组合体，求这个组合体的体积（忽略贴合损耗）。 解：① 确认场景：无重叠拼接组合，组合体体积=长方体体积+正方体体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：长方体体积V1=7×5×4=140（立方分米），正方体体积V2=5×5×5=125（立方分米）； ④ 求和求总体积：V总=140+125=265（立方分米）； 检验：拆分合理，无重叠，单个体积计算正确，求和无误。 答：这个组合体的体积是265立方分米。 2. 场景二：叠加组合（基础题） 例：一个长方体水泥墩，长10分米、宽8分米、高6分米，上方叠加一个棱长4分米的正方体装饰块，求这个组合体的总体积。 解：① 确认场景：叠加组合，无重叠，组合体体积=水泥墩体积+装饰块体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：水泥墩体积V1=10×8×6=480（立方分米），装饰块体积V2=4×4×4=64（立方分米）； ④ 求和求总体积：V总=480+64=544（立方分米）； 检验：拆分合理，叠加无重叠，计算准确，符合题意。 答：这个组合体的总体积是544立方分米。 3. 场景三：嵌套组合（进阶题） 例：一个长方体盒子，长12分米、宽7分米、高5分米，内部嵌套一个长6分米、宽4分米、高3分米的长方体铁块，忽略盒子厚度，求组合体的总体积和盒子内部剩余空间的体积。 解：① 确认场景：嵌套组合，需计算总体积和剩余体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：盒子体积V1=12×7×5=420（立方分米），铁块体积V2=6×4×3=72（立方分米）； ④ 计算总体积和剩余体积：总体积V总=420+72=492（立方分米），剩余体积V剩余=420−72=348（立方分米）； 检验：拆分正确，区分总体积与剩余体积，计算准确。 答：组合体的总体积是492立方分米，盒子内部剩余空间的体积是348立方分米。 4. 场景四：有重叠组合（拓展题） 例：两个长方体重叠放置，第一个长方体长8分米、宽5分米、高3分米，第二个长方体长6分米、宽5分米、高4分米，重叠部分是一个长5分米、宽5分米、高2分米的长方体，求组合体的体积。 解：① 确认场景：有重叠组合，组合体体积=两个长方体体积之和-重叠部分体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积和重叠体积：第一个长方体体积V1=8×5×3=120（立方分米），第二个长方体体积V2=6×5×4=120（立方分米），重叠体积V重叠=5×5×2=50（立方分米）； ④ 求组合体体积：V总=120+120−50=190（立方分米）； 检验：重叠部分维度找准，计算正确，符合有重叠组合的计算原则。 答：这个组合体的体积是190立方分米。 5. 场景五：综合组合（拓展题） 例：一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体，和两个棱长3分米的正方体，将两个正方体分别拼接在长方体的两个相对侧面（无重叠），组成组合体，求这个组合体的体积（单位换算为立方厘米）。 解：① 确认场景：无重叠拼接综合组合，涉及单位换算，组合体体积=长方体体积+两个正方体体积之和； ② 统一单位：最终要求立方厘米，先计算立方分米，再换算；1立方分米=1000立方厘米； ③ 计算单个体积：长方体体积V1=9×6×4=216（立方分米），单个正方体体积V2=3×3×3=27（立方分米），两个正方体体积和27×2=54（立方分米）； ④ 求和并换算单位：总体积V总=216+54=270（立方分米），270立方分米=270000立方厘米； 检验：拆分合理，单位换算正确，计算准确，符合题意。 答：这个组合体的体积是270000立方厘米。 培优练习 一、选择题 1．用几个1cm3的正方体摆一个物体，下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】 由从上面看到的图形可知，这个物体至少有3个正方体，结合从前面和右面看到的图形可知，这个物体为，则这个物体有4个正方体，这个物体的体积＝一个正方体的体积×正方体的个数，据此解答。 【详解】 分析可知，这个物体为。 1×（1＋3） ＝1×4 ＝4（cm3） 所以，这个物体的体积是4cm3。 故答案为：D 2．下图的物体是用棱长为1cm的正方体搭成的，它的体积是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式：，计算出棱长为1cm的正方体的体积；观察图形可知，图中物体有三层，最上面一层有1个小正方体，中间一层有4个小正方体，最下面一层有9个小正方体，相加即为一共有多少个小正方体，再乘1个小正方体的体积，即为这个物体的体积。 【详解】1×1×1＝1（） （） 它的体积是14cm3。 故答案为：D 3．用棱长是1cm的小正方体摆成如下两个图形。下面说法正确的是（    ）。 A．甲的体积＞乙的体积，甲的表面积＞乙的表面积 B．甲的体积＞乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积 C．甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积 D．甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＜乙的表面积 【答案】B 【分析】从图中可知，甲的体积＝拼成长方体的体积，乙的体积＝拼成的长方体的体积－拿掉的小正方体的体积，所以甲的体积大于乙图的体积； 甲的表面积＝拼成长方体的表面积，乙右上角拿掉一个小正方体，减少了正方体的3个面，同时又露出了正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来长方体的表面积一样大，则乙的表面积＝拼成长方体的表面积，所以甲、乙的表面积相等。 【详解】甲的体积： 3×2×2＝12（cm3） 乙的体积： 3×2×2－1×1×1 ＝12－1 ＝11（cm3） 甲、乙的表面积： （3×2＋3×2＋2×2）×2 ＝（6＋6＋4）×2 ＝16×2 ＝32（cm2） 12cm3＞11cm3，32cm2＝32cm2 所以，甲的体积＞乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积。 故答案为：B 4．李军用若干个1立方厘米的小正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．3立方厘米 C．4立方厘米 D．5立方厘米 【答案】C 【分析】根据从上面看到的图形可知，这个几何体的下层有3个小正方体；根据从前面和右面看到的图形可知，这个几何体的上层有1个小正方体；所以这个几何体一共由（3＋1）个小正方体组成。用每个小正方体的体积乘小正方体的个数，即是这个物体的体积。 【详解】结合从前面、上面、右面看到的图形，可得出以下几何体： 3＋1＝4（个） 1×4＝4（立方厘米） 这个物体的体积是4立方厘米。 故答案为：C 5．一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 【答案】A 【分析】如果高减少2cm，就成为一个正方体，说明原来的长方体上下两面是正方形，而且原来长方体的高比长或宽多2厘米；减少的表面积40cm2就是原来长方体中高2厘米那部分的侧面积，是四个大小一样的长方形。算出一个长方形的面积，这个长方形的宽是2 cm，可以求出长（正方体的边长），长方体的高是边长加上2cm，最后再求体积即可。 【详解】40÷4＝10（cm） 10÷2＝5（cm） 5＋2＝7（cm） 5×5×7＝175（cm3） 原来长方体的体积是175cm3 故答案为：A 6．下图中，甲和乙的表面积相比（    ）；甲和乙的体积相比（    ）。 A．甲大于乙；甲小于乙 B．甲等于乙；甲大于乙 C．甲等于乙；甲小于乙 D．无法比较；甲大于乙 【答案】B 【分析】表面积：甲是2×2×2大正方体，表面有24个小正方形面；乙是甲去掉一个顶点小正方体，去掉时表面少1个面但内部露出3个面，实际表面仍为24个小正方形面，故甲、乙表面积相等。 体积：甲由8个小正方体组成，乙由7个小正方体组成，所以甲体积大于乙体积。 【详解】甲的表面积：甲为2×2×2的大正方体，每个面有2×2＝4个小正方形面，6个面的小正方形面总数为4×6＝24个。 乙的表面积：乙是甲去掉一个顶点处小正方体，去掉小正方体时，表面看似少1个面，但内部露出3个面，实际表面小正方形面数量不变，也是24个，故甲和乙表面积相等。 甲的体积：甲由2×2×2＝4×2＝8个小正方体组成，体积为8个小正方体体积和。 乙的体积：乙由8－1＝7个小正方体组成，体积为7个小正方体体积和，所以甲体积大于乙体积。 故答案为：B 二、填空题 7．如图，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米，至少添上( )个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 【答案】 13 40 14 【分析】根据题意，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，那么一个正方体的体积是1立方厘米，数出物体的正方体总个数是多少，就是多少立方厘米；表面积是物体露出面的大小，数出面的数量即可；先确定这个大正方体的棱长为最高的3厘米，总个数为3×3×3个，减去已有的就是需要添上的个数。 【详解】1×1×1＝1（立方厘米） 体积等于每层的个数相加：1＋5＋7＝13（立方厘米） 物体朝上面和下面露出正方形个数为：7＋7＝14（个）； 物体朝左面和右面露出正方形个数为：6＋6＝12（个）； 物体朝前面和后面露出正方形个数为：7＋7＝14（个）； 1×1×（14＋12＋14） ＝1×40 ＝40（平方厘米） 3×3×3－13 ＝27－13 ＝14（个） 所以，这个物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是13立方厘米，表面积是40平方厘米，至少添上14个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 8．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有( )个。 【答案】 54 24 7 【分析】（1）该模型的表面积等于棱长是3厘米（3个1厘米的小正方体）的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长3厘米，计算即可。 （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出一个小正方体的体积，再数出围成这个立体图形的小正方体的数量。用数量乘每个小正方体的体积，即可算出这个立体图形的体积。此模型比棱长是3厘米的正方体少了3个小正方体，所以此模型的小正方体数量为3×3×3－3＝24（个）。 （3）完整的棱长是3厘米的正方体模型中，三个面涂上红色的小正方体是8个角上的8个小正方体，但在此模型中，正面左上角和右下角的两个小正方体都是四个面涂了红色，中间一个小正方体的三个面涂上了红色，所以用8减去这两个四面涂红的小正方体，再加上中间这个三面涂红的小正方体，就可得到三个面是红色的小正方体的个数。 【详解】（1）3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） （2）（3×3×3－3）×（1×1×1） ＝（27－3）×1 ＝24×1 ＝24（立方厘米） （3）8－2＋1 ＝6＋1 ＝7（个） 所以，三个面涂上红色的小正方体有7个。 因此，由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是54平方厘米，体积是24立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有7个。 9．下面的几何体是用棱长为1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少立方厘米？填一填。 ( )cm3      ( ) cm3      ( ) cm3      ( ) cm3      ( ) cm3 【答案】16；13；24；10；8 【分析】要求每个组合图形的体积，需先求出每个小正方体的体积，即正方体体积＝棱长×棱长×棱长，再数出每个组合图形中有几个这样的小正方体，用每个小正方体的体积乘数量即可解答。 【详解】 （立方厘米） （1）由图可看出图中共有（个）小正方体，（立方厘米）。 （2）由图可看出图中有：从下往上看，第一层有（个）小正方体，第二层有4个小正方体，共有（个）小正方体，（立方厘米）。 （3）有图可看出图中有：从下往上看，第一层有（个）小正方体，第二层有（个）小正方体，第三层有（个）小正方体，第四层有3个小正方体，共有（个）小正方体，（立方厘米）。 （4）有图可看出图中有：从下往上看，第一层有5个小正方体，第二层有4个小正方体，第三层有1个小正方体，共有（个）小正方体，（立方厘米）。 （5）有图可看出图中有：从下往上看，第一层有4个小正方体，第二层有3个小正方体，第三层有1个小正方体，共有（个）小正方体，（立方厘米）。 10．下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 34 10 【分析】计算该物体的表面积，需要分别数出各个方向看到的正方形的数量，再乘每个面的面积；计算体积时，数出小正方体的总个数，再乘每个小正方体的体积。据此解答。 【详解】从前面和后面看，各有7个小正方形，从左面和右面看，各有5个小正方形，从上面和下面看，各有5个小正方形。 六个面共有小正方形： （7＋5＋5）×2 ＝17×2 ＝34（个） 每个小正方形的面积：1×1＝1（平方厘米） 物体的表面积：1×34＝34（平方厘米） 上层小正方体的个数：1；中层小正方体的个数：4；下层小正方体的个数：5； 小正方体的总个数：1＋4＋5＝10（个） 每个小正方体的体积：1×1×1＝1（立方厘米） 物体的总体积：1×10＝10（立方厘米） 所以这个物体的表面积是34平方厘米，体积是10立方厘米。 【点睛】本题主要考查立体几何体中物体的表面积和体积的计算，需要掌握正方体的表面积和体积的计算方法，以及如何通过观察来数出正方体的数量。 11．如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 464 584 【分析】根据图可知，模型的表面积＝棱长是8厘米正方体表面积＋棱长是4厘米正方体的侧面积＋棱长是2厘米的正方体的侧面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出表面积； 模型的体积＝棱长是8厘米正方体体积＋棱长是4厘米正方体的体积＋棱长是2厘米的正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】8×8×6＋4×4×4＋4×2×4 ＝64×6＋16×4＋4×4 ＝384＋64＋16 ＝448＋16 ＝464（平方厘米） 8×8×8＋4×4×4＋2×2×2 ＝64×8＋16×4＋4×2 ＝512＋64＋8 ＝576＋8 ＝584（立方厘米） 这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 12．如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 152 80 【分析】观察图形可知，组合图形从前面、上面、右面分别看到6个、6个、7个小正方形，同理从后面、下面、左面也能看到6个、6个、7个小正方形，一共看到（6＋6＋7）×2个小正方形；那么组合图形的表面积＝每个小正方形的面积×看到的小正方形的个数，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 观察立体图形，共有10个小正方体，立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【详解】看到的小正方形的个数： （6＋6＋7）×2 ＝19×2 ＝38（个） 组合图形的表面积： 2×2×38 ＝4×38 ＝152（平方厘米） 1个小正方体的体积： 2×2×2＝8（立方厘米） 组合图形的体积： 8×10＝80（立方厘米） 所以，表面积是152平方厘米，体积是80立方厘米。 三、计算题 13．计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】150dm2；113dm3 【分析】从正方体的一个角挖去小长方体时，挖去部分原本会让正方体表面减少3个面，但同时会露出小长方体的另外三个面，这六个面的面积两两对应相等，所以挖去后图形的表面积和原正方体的表面积完全相同。由图可知：正方体棱长为5dm，根据正方体的表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入棱长数据计算即可。 挖去小长方体后，图形的体积等于原正方体体积减去挖去的小长方体体积。先根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体体积；再根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，算出小长方体体积，最后正方体体积减去小长方体体积得到最终体积。 【详解】表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝25×5－4×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 所以这个图形的表面积是150dm2，体积是113dm3。 14．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】4230立方厘米 【分析】观察图可知，大长方体的长为20厘米、宽为14厘米、高为15厘米，根据长方体体积＝长×宽×高计算出大长方体的体积。小长方体的长为2厘米、宽为3厘米、高为5厘米，同理可得其体积。将大长方体和小长方体的体积相加，得到这个立体图形的体积。 【详解】20×15×14＋5×3×2 ＝4200＋30 ＝4230（立方厘米） 所以，这个立体图形的体积为4230立方厘米。 15．求下面图形的表面积和体积。（单位：米） 【答案】3600平方米；11000立方米 【分析】组合体的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积－10×10×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6；组合体的体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】表面积：（10×10＋10×30＋10×30）×2＋20×20×6－10×10×2 ＝（100＋300＋300）×2＋2400－200 ＝700×2＋2400－200 ＝1400＋2400－200 ＝3600（平方米） 体积：30×10×10＋20×20×20 ＝3000＋8000 ＝11000（立方米） 组合体的表面积是3600平方米，体积是11000立方米。 16．计算下面立体图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积：160dm2；体积：120dm3 （2）表面积：148m2；体积：88m3 【分析】（1）观察可知，用一个棱长是2dm的小正方体补成长方体，此时表面积增加3个小正方形的面积与立体图形凹下去的3个小正方形的面积相等，所以立体图形表面积与大长方体的表面积相等；立体图形的体积＝长方体体积－小正方体体积。 （2）观察可知，把正方体的上底补在下底所在位置，则立体图形表面积＝长方体表面积＋正方体的侧面积；立体图形的体积＝长方体体积＋正方体体积。 根据，正方体的侧面积公式，，，代入数值计算即可。 【详解】（1）表面积： （dm2） 体积： （dm3） （2）表面积： （m2） 体积： （m3） 四、解答题 17．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 【答案】162000立方厘米 【分析】展示柜所占空间可以看作长宽高是120厘米、30厘米、（30－15）厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、60厘米、15厘米的长方体体积之和。也可以看作长宽高是120厘米、60厘米、30厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、（60－30）厘米、（30－15）厘米的长方体体积之差。任选一种，根据V＝abh计算解答。 【详解】120×60×30－120×（60－30）×（30－15） ＝7200×30－120×30×15 ＝216000－54000 ＝162000（立方厘米） 答：这款商品展示柜所占空间是162000立方厘米。 18．下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 【答案】表面积：1128平方分米；体积：2880立方分米 【分析】（1）据图可知，这个“三级台阶”的表面积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的表面积减去一个长×宽的面再减去2个长是6分米宽是4分米的长方形的面积再减去2个长是（4×2）分米宽是6分米的长方形的面积，据此结合长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方形的面积＝长×宽列式计算即可求出表面积； （2）这个“三级台阶”的体积等于一个长是20分米宽是（6×3）分米高是（4×3）分米的长方体的体积减去一个长是20分米宽是6分米高是4分米的长方体的体积再减去一个长是20分米宽是6分米高是（4×2）分米的长方体的体积，结合长方体的体积＝长×宽×高列式计算即可。 【详解】6×3＝18（分米） 4×3＝12（分米） （20×18＋20×12＋18×12）×2－20×18－6×4×2－4×2×6×2 ＝（360＋240＋216）×2－360－24×2－8×6×2 ＝816×2－360－48－48×2 ＝1632－360－48－96 ＝1272－48－96 ＝1224－96 ＝1128（平方分米） 20×18×12－20×6×4－20×6×（4×2） ＝360×12－120×4－120×8 ＝4320－480－960 ＝3840－960 ＝2880（立方分米） 答：这个“三级台阶”的表面积是1128平方分米，体积是2880立方分米。 19．一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 【答案】176立方厘米 【分析】根据题意可知，这个零件的体积相当于长为8厘米、宽为6厘米、高为5厘米的长方体的体积减去棱长为4厘米的正方体体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据即可解答。 【详解】8×6×5－4×4×4 ＝240－64 ＝176（立方厘米） 答：铸造一个零件需要这种金属176立方厘米。 20．下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 【答案】896平方厘米；1543立方厘米 【分析】组合图形的体积是长方体的体积和正方体体积之和，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4。 据此代入数据计算。 【详解】表面积： ＝（120＋150＋80）×2＋196 ＝350×2＋196 ＝700＋196 （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：组合图形的表面积是896平方厘米和体积是1543立方厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体组合体的体积（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 组合体体积的定义：由两个或两个以上的长方体、正方体，通过拼接、叠加、嵌套等方式组合而成的立体图形，叫做长方体和正方体组合体，其体积是组成它的所有单个长方体、正方体体积的总和（若有重叠部分，需减去重叠部分的体积，苏教版五年级重点考查无重叠组合）。核心关键是“整体拆分”，将复杂组合体拆分为熟悉的单个长方体或正方体，再通过体积求和（或差）计算。 核心关联概念：① 组合体体积核心原则：无重叠组合时，组合体体积 = 所有单个立体图形体积之和；有重叠组合时，组合体体积 = 单个图形体积之和 - 重叠部分体积（五年级重点考查无重叠）；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），是组合体体积计算的基础；③ 核心思想：“拆分思想”，将复杂的组合体拆分为若干个独立的、可计算体积的长方体或正方体，化繁为简；④ 与前期知识关联：组合体体积是长方体、正方体体积计算的延伸，需熟练掌握单个图形体积计算、单位换算，区分组合体体积与表面积（二者计算逻辑不同，体积求和/差，表面积需考虑重叠遮挡）。 2. 组合体体积应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的综合运用，核心是掌握“拆分组合体、计算单个体积、求和（或差）”的解题思路，摆脱“无法应对复杂立体图形”的误区，培养“拆分思维”和“空间想象能力”。它广泛应用于生活中与组合立体图形相关的场景（如组合家具体积、堆积货物体积、组合礼盒体积、建筑构件体积等），是连接基础体积计算与复杂立体图形问题的重要内容，也是苏教版五年级下册第六单元的重点题型。 3. 常见场景 ① 无重叠拼接组合：两个或多个长方体、正方体，通过面与面贴合拼接（无重叠部分），组成新的组合体，体积为单个体积之和； ② 叠加组合：一个长方体（或正方体）叠加在另一个长方体（或正方体）上方、侧面（无重叠部分），体积为单个体积之和； ③ 嵌套组合：一个长方体（或正方体）嵌套在另一个立体图形内部（无重叠、无遮挡），体积为两个图形体积之和（或差，根据题意判断）； ④ 有重叠组合（拓展）：两个图形部分重叠，体积为单个体积之和减去重叠部分的体积（苏教版五年级少量拓展）； ⑤ 综合组合：结合拼接、叠加，且涉及单位换算、等积变形，解决复杂组合体体积问题（如组合体熔铸、组合体排水法相关体积计算）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：能准确识别组合体中每个单个图形的类型，找准其长、宽、高（或棱长）； 2.体积公式：熟练掌握长方体V=abh、正方体V=a³，能正用、逆用公式计算单个图形体积； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.拆分思想：能将组合体合理拆分为若干个独立的长方体或正方体，不重复、不遗漏； 5.重叠判断：能判断组合体中是否有重叠部分，若有，能准确计算重叠部分的体积（拓展要求）。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：无重叠拼接组合（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：组合体由两个或多个长方体、正方体拼接而成，无重叠部分，组合体体积 = 所有单个图形体积之和；拼接时，表面积会减少（重叠面遮挡），但体积不变，仅需求和即可； ② 常用公式：组合体体积V总=V1+V2+...+Vn（V1、V2为单个长方体或正方体体积）； ③ 步骤：1. 观察组合体，将其拆分为若干个独立的长方体或正方体；2. 分别找准每个单个图形的长、宽、高（或棱长），统一单位；3. 计算每个单个图形的体积；4. 将所有单个体积相加，得到组合体体积；5. 标注正确单位； ④ 示例：一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体，和一个棱长4分米的正方体，将它们的一个面完全贴合（无重叠），组成一个组合体，求组合体体积。解：长方体体积V1=5×4×3=60立方分米，正方体体积V2=4×4×4=64立方分米，组合体体积V总=60+64=124（立方分米）。 2.方法二：叠加组合（基础，苏教版常考） ① 核心思路：一个立体图形叠加在另一个立体图形上（无重叠、无遮挡），组合体体积 = 下方图形体积 + 上方图形体积，与叠加位置无关，仅需计算单个体积之和； ② 关键：准确拆分叠加的两个（或多个）图形，找准每个图形的关键维度，避免因叠加位置混淆维度； ③ 步骤：1. 拆分叠加的单个图形，明确每个图形的类型（长方体/正方体）；2. 统一单位，计算每个单个图形的体积；3. 将所有单个体积相加，得到组合体体积；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个长8分米、宽6分米、高2分米的长方体底座，上方叠加一个棱长3分米的正方体，求组合体的体积。解：底座体积V1=8×6×2=96立方分米，正方体体积V2=3×3×3=27立方分米，组合体体积V总=96+27=123（立方分米）。 3.方法三：嵌套组合（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：一个立体图形嵌套在另一个立体图形内部，无重叠、无遮挡，组合体体积 = 外部图形体积 + 内部图形体积；若内部图形完全嵌入，且题目要求“总体积”，直接求和即可（若要求“外部图形剩余体积”，则用外部体积 - 内部体积）； ② 关键：区分“总体积”与“剩余体积”，根据题意判断是求和还是求差； ③ 步骤：1. 区分外部、内部图形，明确计算需求（总体积/剩余体积）；2. 统一单位，计算外部、内部图形的体积；3. 若求总体积，将两个体积相加；若求剩余体积，用外部体积减去内部体积；4. 标注正确单位； ④ 示例：一个棱长10分米的正方体盒子，内部嵌套一个长5分米、宽4分米、高3分米的长方体木块，求组合体的总体积（忽略盒子厚度）。解：正方体体积V1=10×10×10=1000立方分米，长方体体积V2=5×4×3=60立方分米，总体积V总=1000+60=1060（立方分米）。 4.方法四：有重叠组合（拓展，苏教版少量考查） ① 核心思路：两个图形部分重叠，组合体体积 = 两个图形体积之和 - 重叠部分的体积（重叠部分为一个小的长方体或正方体，需找准其长、宽、高）； ② 常用公式：组合体体积V总=V1+V2−V重叠； ③ 步骤：1. 拆分两个单个图形，计算各自的体积；2. 找准重叠部分的形状（长方体/正方体），计算重叠部分的体积；3. 用两个图形体积之和减去重叠部分体积，得到组合体体积；4. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长6分米、宽4分米、高3分米的长方体，和一个长5分米、宽4分米、高2分米的长方体，重叠部分是一个长4分米、宽4分米、高2分米的长方体，求组合体体积。解：第一个长方体体积V1=6×4×3=72立方分米，第二个长方体体积V2=5×4×2=40立方分米，重叠体积V重叠=4×4×2=32立方分米，组合体体积V总=72+40−32=80（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：组合体中不同单个图形的长度单位、体积单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.拆分错误：无法将组合体合理拆分，出现重复拆分（同一个部分算两次）或遗漏拆分（少算某个部分）的情况； 3.维度找错：拆分后，误将组合体的整体维度当作单个图形的维度，导致单个体积计算错误； 4.混淆体积与表面积：计算组合体体积时，误减去重叠面的面积（表面积计算逻辑），体积无需减去重叠部分（有重叠除外）； 5.忽略重叠部分：有重叠的组合体，忘记减去重叠部分的体积，导致组合体体积计算偏大； 6.嵌套组合判断错误：混淆“总体积”与“剩余体积”，误将剩余体积当作总体积，或反之； 7.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误； 8.计算失误：单个图形体积计算、多个体积求和/差时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误。 三、组合体体积解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨组合：明确组合体的组成（几个、哪种立体图形），判断组合方式（拼接、叠加、嵌套、有重叠/无重叠），明确计算需求（总体积/剩余体积）。 2.统一单位：提取所有单个图形的长、宽、高（或棱长）数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.拆分计算单个体积：将组合体拆分为独立的长方体或正方体，分别代入体积公式，计算每个单个图形的体积。 4.求和（或差）求总容积：无重叠、叠加、嵌套（总体积），将单个体积相加；有重叠、嵌套（剩余体积），将单个体积求和后减重叠体积（或外部减内部）。 5.检验验证：检验拆分是否合理、单位是否统一、单个体积计算是否无误，确认符合题意后，标注正确单位并规范作答。 四、常见组合体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：无重叠拼接组合（基础题） 例：一个长7分米、宽5分米、高4分米的长方体，和一个棱长5分米的正方体，将长方体的“5×4”面与正方体的一个面完全贴合（无重叠），组成组合体，求这个组合体的体积（忽略贴合损耗）。 解：① 确认场景：无重叠拼接组合，组合体体积=长方体体积+正方体体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：长方体体积V1=7×5×4=140（立方分米），正方体体积V2=5×5×5=125（立方分米）； ④ 求和求总体积：V总=140+125=265（立方分米）； 检验：拆分合理，无重叠，单个体积计算正确，求和无误。 答：这个组合体的体积是265立方分米。 2. 场景二：叠加组合（基础题） 例：一个长方体水泥墩，长10分米、宽8分米、高6分米，上方叠加一个棱长4分米的正方体装饰块，求这个组合体的总体积。 解：① 确认场景：叠加组合，无重叠，组合体体积=水泥墩体积+装饰块体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：水泥墩体积V1=10×8×6=480（立方分米），装饰块体积V2=4×4×4=64（立方分米）； ④ 求和求总体积：V总=480+64=544（立方分米）； 检验：拆分合理，叠加无重叠，计算准确，符合题意。 答：这个组合体的总体积是544立方分米。 3. 场景三：嵌套组合（进阶题） 例：一个长方体盒子，长12分米、宽7分米、高5分米，内部嵌套一个长6分米、宽4分米、高3分米的长方体铁块，忽略盒子厚度，求组合体的总体积和盒子内部剩余空间的体积。 解：① 确认场景：嵌套组合，需计算总体积和剩余体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积：盒子体积V1=12×7×5=420（立方分米），铁块体积V2=6×4×3=72（立方分米）； ④ 计算总体积和剩余体积：总体积V总=420+72=492（立方分米），剩余体积V剩余=420−72=348（立方分米）； 检验：拆分正确，区分总体积与剩余体积，计算准确。 答：组合体的总体积是492立方分米，盒子内部剩余空间的体积是348立方分米。 4. 场景四：有重叠组合（拓展题） 例：两个长方体重叠放置，第一个长方体长8分米、宽5分米、高3分米，第二个长方体长6分米、宽5分米、高4分米，重叠部分是一个长5分米、宽5分米、高2分米的长方体，求组合体的体积。 解：① 确认场景：有重叠组合，组合体体积=两个长方体体积之和-重叠部分体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算单个体积和重叠体积：第一个长方体体积V1=8×5×3=120（立方分米），第二个长方体体积V2=6×5×4=120（立方分米），重叠体积V重叠=5×5×2=50（立方分米）； ④ 求组合体体积：V总=120+120−50=190（立方分米）； 检验：重叠部分维度找准，计算正确，符合有重叠组合的计算原则。 答：这个组合体的体积是190立方分米。 5. 场景五：综合组合（拓展题） 例：一个长9分米、宽6分米、高4分米的长方体，和两个棱长3分米的正方体，将两个正方体分别拼接在长方体的两个相对侧面（无重叠），组成组合体，求这个组合体的体积（单位换算为立方厘米）。 解：① 确认场景：无重叠拼接综合组合，涉及单位换算，组合体体积=长方体体积+两个正方体体积之和； ② 统一单位：最终要求立方厘米，先计算立方分米，再换算；1立方分米=1000立方厘米； ③ 计算单个体积：长方体体积V1=9×6×4=216（立方分米），单个正方体体积V2=3×3×3=27（立方分米），两个正方体体积和27×2=54（立方分米）； ④ 求和并换算单位：总体积V总=216+54=270（立方分米），270立方分米=270000立方厘米； 检验：拆分合理，单位换算正确，计算准确，符合题意。 答：这个组合体的体积是270000立方厘米。 培优练习 一、选择题 1．用几个1cm3的正方体摆一个物体，下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）cm3。 A．7 B．6 C．5 D．4 由从上面看到的图形可知，这个物体至少有3个正方体，结合从前面和右面看到的图形可知，这个物体为，则这个物体有4个正方体，这个物体的体积＝一个正方体的体积×正方体的个数，据此解答。 2．下图的物体是用棱长为1cm的正方体搭成的，它的体积是（    ）cm3。 A．9 B．10 C．12 D．14 3．用棱长是1cm的小正方体摆成如下两个图形。下面说法正确的是（    ）。 A．甲的体积＞乙的体积，甲的表面积＞乙的表面积 B．甲的体积＞乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积 C．甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＝乙的表面积 D．甲的体积＝乙的体积，甲的表面积＜乙的表面积 4．李军用若干个1立方厘米的小正方体木块摆了一个物体。下面是从不同方向看到的图形，这个物体的体积是（    ）。 A．9立方厘米 B．3立方厘米 C．4立方厘米 D．5立方厘米 5．一个长方体高减少2cm之后，表面积减少了40cm2，剩下的部分正好是个正方体（如图所示），原来长方体的体积是（    ）。 A．175cm3 B．125cm3 C．190cm3 D．无法确定 6．下图中，甲和乙的表面积相比（    ）；甲和乙的体积相比（    ）。 A．甲大于乙；甲小于乙 B．甲等于乙；甲大于乙 C．甲等于乙；甲小于乙 D．无法比较；甲大于乙 二、填空题 7．如图，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米，至少添上( )个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 8．下图是由棱长1厘米的小正方体堆成的立体图形，这个图形的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，如果表面涂上红色，三个面涂上红色的小正方体有( )个。 9．下面的几何体是用棱长为1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少立方厘米？填一填。 ( )cm3      ( ) cm3      ( ) cm3      ( ) cm3      ( ) cm3 10．下图是用棱长为1厘米的正方体摆成的物体。这个物体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 11．如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 12．如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 三、计算题 13．计算下面图形的表面积和体积。（单位：dm） 14．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 15．求下面图形的表面积和体积。（单位：米） 16．计算下面立体图形的表面积和体积。 四、解答题 17．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 18．下图是一个“三级台阶”（下面接地面），每级台阶的长、宽、高见标注（单位：分米）。计算这个“三级台阶”的表面积和体积。 19．一个零件的形状如图，它是由某种金属铸造而成，铸造一个零件需要这种金属多少立方厘米？ 20．下面是由长方体和正方体组合而成的图形，长方体的长，宽，高分别是15厘米，8厘米，10厘米；上面正方体的棱长是7厘米，计算组合图形的表面积和体积。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $