第六单元 长方体和正方体的等积变形（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 长方体和正方体的等积变形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 等积变形的定义：一个立体图形（长方体或正方体），通过改变形状（如切割、拼接、熔铸、挤压等），但不改变它所占空间的大小，这种现象叫做长方体和正方体的等积变形。核心关键是“体积不变”，变形前后的立体图形体积相等，这是等积变形的核心原则。 核心关联概念：① 体积不变原则：等积变形的核心是“形状改变，体积不变”，变形前的体积 = 变形后的体积；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），等积变形中需灵活运用这两个公式；③ 体积与容积的关联：涉及容器装水、熔铸物体等场景时，忽略损耗，物体体积=容器内水的体积（或熔铸后新物体体积）；④ 核心思想：“转化思想”，将不规则或复杂的立体图形，通过等积变形转化为长方体或正方体，再利用体积公式求解；⑤ 与前期知识关联：等积变形是长方体、正方体体积计算的综合应用，需熟练掌握体积公式、单位换算，区分体积与表面积（变形后表面积可能改变，但体积一定不变）。 2. 等积变形应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的延伸和综合运用，核心是掌握“利用体积不变原则，解决实际场景中的变形问题”，摆脱“只机械计算单一立体图形体积”的误区，培养“转化思维”和“灵活解题能力”。它广泛应用于生活中与立体图形变形相关的场景（如熔铸金属、切割拼接物体、容器装水转移、不规则物体体积计算等），是连接基础体积计算与复杂实际问题的重要纽带，也是苏教版五年级下册第六单元的难点和重点。 3. 常见场景 ① 熔铸变形：将一个长方体（或正方体）熔铸成另一个正方体（或长方体），体积不变； ② 切割拼接变形：将一个长方体（或正方体）切割成若干个小长方体（或正方体），再拼接成新的立体图形，总体积不变； ③ 装水转移变形：将一个容器（长方体或正方体）中的水，倒入另一个不同形状的容器（长方体或正方体），水的体积不变； ④ 不规则物体体积计算：借助等积变形，将不规则物体放入长方体（或正方体）容器中，通过排水法转化为水的体积变化，进而求出不规则物体体积； ⑤ 综合变形：结合切割、熔铸、单位换算，解决复杂的等积变形问题（如多个物体熔铸、切割后再拼接）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：长方体相对棱相等、相对面相同；正方体12条棱相等、6个面相同； 2.体积公式：长方体V=abh，正方体V=a³，能熟练正用、逆用公式； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.等积变形核心原则：变形前后，立体图形的体积不变（忽略损耗、厚度等隐含条件）； 5.转化思维：能将变形后的未知图形，通过体积不变原则，转化为已知条件的图形进行计算。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：熔铸变形（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：熔铸过程中，物体的形状改变，但体积不变，即“熔铸前体积 = 熔铸后体积”；若为多个物体熔铸，則“多个物体体积之和 = 熔铸后新物体体积”； ② 常用公式：熔铸前（长方体/正方体）体积 = 熔铸后（正方体/长方体）体积，结合体积公式逆用（如求熔铸后图形的棱长、长、宽、高）； ③ 步骤：1. 确认熔铸前后的立体图形类型（长方体/正方体）；2. 计算熔铸前图形的体积（或多个图形体积之和）；3. 根据体积不变，代入熔铸后图形的体积公式，逆用求出未知量（棱长、长、宽、高）；4. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个棱长6分米的正方体铁块，熔铸成一个长9分米、宽4分米的长方体，求这个长方体的高。解：熔铸前体积V=6×6×6=216立方分米，熔铸后体积=216立方分米，高h=216÷9÷4=6（分米）。 2.方法二：装水转移变形（基础，苏教版常考） ① 核心思路：水从一个容器转移到另一个容器，水的体积不变，即“原容器中水的体积 = 新容器中水的体积”；若有水溢出，則“水的体积 = 新容器的容积”； ② 关键：明确水在两个容器中的形状（均为长方体或正方体），找准对应容器的底面积、水深； ③ 步骤：1. 计算原容器中水的体积（用原容器底面积×原水深）；2. 根据体积不变，代入新容器的底面积，逆用公式求出新的水深（或判断是否溢出）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体容器，长10分米、宽5分米，水深3分米，将水全部倒入一个棱长5分米的正方体容器中，求正方体容器中的水深。解：水的体积V=10×5×3=150立方分米，正方体容器底面积5×5=25平方分米，水深h=150÷25=6（分米）（因正方体棱长5分米，6>5，实际水深为5分米，水有溢出）。 3.方法三：切割拼接变形（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：切割拼接过程中，单个或多个小立体图形的总体积不变，即“切割前总体积 = 拼接后总体积”；切割后表面积会改变，但体积不变； ② 关键：区分“体积”与“表面积”，避免因切割拼接导致表面积变化，误判体积也变化； ③ 步骤：1. 计算切割前（或拼接前）立体图形的总体积；2. 根据体积不变，计算拼接后（或切割后）单个图形的体积，或逆用公式求未知维度；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长12分米、宽4分米、高3分米的长方体，切割成3个相同的小长方体，求每个小长方体的体积。解：原长方体体积V=12×4×3=144立方分米，切割后3个小长方体总体积=144立方分米，单个小长方体体积144÷3=48（立方分米）。 4.方法四：不规则物体体积计算（进阶，苏教版难点） ① 核心思路：借助等积变形，将不规则物体放入长方体（或正方体）容器中，物体完全浸入水中（水未溢出），则“不规则物体体积 = 上升的水的体积”（或“下降的水的体积”）； ② 常用公式：不规则物体体积 = 容器底面积×水面变化高度（上升高度=最终水深-初始水深）； ③ 步骤：1. 记录容器的长、宽（或棱长），以及初始水深；2. 放入不规则物体后，记录最终水深；3. 计算水面上升高度；4. 代入公式，计算不规则物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体容器，棱长8分米，水深5分米，将一个不规则石块完全浸入水中，水深上升到5.5分米（水未溢出），求石块的体积。解：水面上升高度5.5−5=0.5分米，石块体积V=8×8×0.5=32（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：变形前后图形的长度单位、体积单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.忽略体积不变原则：误将“表面积变化”当作“体积变化”，认为切割拼接后体积会变大或变小； 3.公式逆用错误：已知体积求长、宽、高（或棱长）时，误将体积除以两个维度的和，或除以6（混淆体积与表面积）； 4.忽略隐含条件：熔铸时忽略“损耗”（苏教版题目通常忽略损耗），导致计算结果偏差；装水转移时忽略“水溢出”，仍按正常公式计算水深； 5.水面变化高度计算错误：不规则物体体积计算中，误将“最终水深”当作“上升高度”，未减去初始水深； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误； 7.计算失误：体积计算、逆用公式计算时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误； 8.容器厚度忽略不当：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算水的体积，导致结果偏差。 三、等积变形解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨变形：明确题目是哪种等积变形（熔铸、装水转移、切割拼接、不规则物体），判断变形前后的立体图形类型。 2.统一单位：提取题目中所有长度、体积相关数值，将单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.计算不变体积：根据变形前的图形（或水的体积），代入体积公式，计算出不变的总体积。 4.逆用公式求未知：根据体积不变原则，将不变体积代入变形后图形的体积公式，逆用求出未知量（棱长、长、宽、高、水深、水面变化高度等）。 5.检验验证：检验体积计算、单位统一、公式逆用是否无误，确认符合题意（如无溢出、无损耗）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见等积变形应用题型及解题示例 1. 场景一：熔铸变形（基础题） 例：一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体铁块，熔铸成一个棱长为整分米数的正方体，求这个正方体的棱长（忽略熔铸损耗）。 解：① 确认场景：长方体熔铸正方体，体积不变，忽略损耗； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算熔铸前体积（长方体体积）：V=8×6×5=240（立方分米）； ④ 逆用正方体体积公式求棱长：寻找立方等于240的整数，因6×6×6=216，7×7×7=343，216<240<343，题目要求棱长为整分米数，故取最接近的整数6分米（或说明无法熔铸成棱长为整分米数的正方体，实际苏教版常考整数体积）； 检验：体积计算正确，逆用公式思路无误，符合熔铸变形原则。 答：这个正方体的棱长最接近6分米（若题目改为体积216立方分米，棱长为6分米）。 2. 场景二：装水转移变形（基础题） 例：一个正方体容器，棱长10分米，水深4分米，将容器中的水全部倒入一个长12分米、宽5分米的长方体容器中，求长方体容器中的水深（水未溢出）。 解：① 确认场景：水的转移，体积不变，水未溢出； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算水的体积（正方体容器中）：V=10×10×4=400（立方分米）； ④ 逆用长方体体积公式求水深：h=400÷12÷5≈6.67（分米）； 检验：体积计算正确，逆用公式无误，水未溢出，符合题意。 答：长方体容器中的水深约是6.67分米。 3. 场景三：切割拼接变形（进阶题） 例：一个棱长9分米的正方体，切割成9个相同的小长方体，每个小长方体的长和宽都是3分米，求每个小长方体的高。 解：① 确认场景：正方体切割成小长方体，总体积不变； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算原正方体体积：V=9×9×9=729（立方分米）； ④ 计算单个小长方体体积：729÷9=81（立方分米）； ⑤ 逆用长方体体积公式求高：h=81÷3÷3=9（分米）； 检验：体积计算正确，切割后总体积不变，逆用公式无误。 答：每个小长方体的高是9分米。 4. 场景四：不规则物体体积计算（进阶题） 例：一个长方体玻璃容器，长6分米、宽4分米、高7分米，水深5分米，将一个不规则铜块完全浸入水中，水未溢出，此时水深上升到5.8分米，求这个铜块的体积。 解：① 确认场景：等积变形（排水法），铜块体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算水面上升高度：5.8−5=0.8（分米）； ④ 计算铜块体积（上升的水的体积）：V=6×4×0.8=19.2（立方分米）； 检验：思路正确，水未溢出，计算准确，符合等积变形原则。 答：这个铜块的体积是19.2立方分米。 5. 场景五：综合变形（拓展题） 例：一个长10分米、宽5分米、高4分米的长方体铁块，和一个棱长5分米的正方体铁块，一起熔铸成一个长15分米、宽5分米的长方体，求熔铸后长方体的高（忽略损耗）。 解：① 确认场景：多个物体熔铸，总体积不变，忽略损耗； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算两个铁块的总体积：长方体体积10×5×4=200立方分米，正方体体积5×5×5=125立方分米，总体积200+125=325立方分米； ④ 逆用长方体体积公式求高：h=325÷15÷5≈4.33（分米）； 检验：总体积计算正确，熔铸原则运用无误，计算准确。 答：熔铸后长方体的高约是4.33分米。 培优练习 一、选择题 1．一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 【答案】B 【分析】已知正方体容器的棱长是6厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”求出容器内水的体积；又已知长方体容器长9厘米、宽8厘米，根据“长方形面积＝长×宽”求出长方体容器的底面积，将这些水倒入长方体容器中，水的体积保持不变，最后用这个体积除以长方体容器的底面积，即可求出水在长方体容器中的深度。 【详解】6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 216÷（9×8） ＝216÷72 ＝3（厘米） 所以水深3厘米。 故答案为：B 2．一个长方体水箱，长5分米，宽4分米，高3分米，装满水后倒入一个棱长是5分米的正方体水箱中，水深是（    ）分米。 A．2.4 B．24 C．60 D．12 【答案】A 【分析】一个长方体水箱装满水，再把水倒入正方体水箱，两个水箱水的体积是一样的，所以先求出长方体水箱的水的体积，再用水的体积除以正方体的底面积，即可算出在正方体水箱中水的深度。 【详解】5×4×3＝60（立方分米） 5×5＝25（平方分米） 60÷25＝2.4（分米） 即在正方体水箱中，水深2.4分米， 故答案为：A 3．泥塑是我国一种古老常见的民间艺术。在非遗艺术节上，小亮向同学们展示泥塑工艺，把一块泥团先捏成一个正方体，再捏成一个长方体，泥塑的（    ）不变。 A．形状 B．表面积 C．体积 D．占地面积 【答案】C 【分析】本题考查体积的概念。泥团在捏成不同形状的过程中，虽然形状改变，但泥团的量（即体积）保持不变。 【详解】将泥团捏成正方体或长方体时，形状发生改变，表面积可能变化，但体积由泥团本身的量决定，不会改变。 故答案为：C 4．在高28厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，然后将其斜放（如下图所示），水流出了，这时线段长（    ）厘米。 A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由图可知，把这个长方体容器斜放，水流出 ，水流出后的空间可以看作底面积与容器底面积相同，高为 ab的长方体的。假设容器的容积是1立方厘米，那么长方体的容器的底面积是1÷28＝ （平方厘米），则ab的高度就等于流出水的体积除以底面积再乘2。 【详解】假设容器的容积是1立方厘米。 底面积：（平方厘米） 线段ab的长： （厘米） 因此线段ab的长为16厘米。 故答案为：C 【点睛】本题考查长方体容积的应用，此题解答关键是将容器的容积设为“1立方厘米”，先用分数表示容器的底面积，进而求出线段ab的长。 5．如果把同一块橡皮泥先捏成一个长方体，再捏成一个正方体，长方体与正方体的体积相比。（    ） A．长方体的体积大 B．正方体体积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】根据体积的定义，物体所占空间的大小称为体积。题目中，同一块橡皮泥无论被捏成长方体还是正方体，其总体积保持不变。因此，长方体与正方体的体积相等。 【详解】同一块橡皮泥无论捏成什么形状，体积由橡皮泥的总量决定，形状变化不会改变体积。 所以长方体与正方体的体积相一样大。 故答案为：C 6．下图是由9个棱长1cm的小正方体拼成的。如果把它变成一个长方体，它的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】物体所占空间的大小叫作物体的体积。无论如何拼组，小正方体的数量不变，拼成的立体图形的体积就不变。 【详解】由分析可知，如果把它变成一个长方体，它的体积不变； 故答案为：C 二、填空题 7．有一块棱长10分米的正方体钢材，把它锻造成长25分米，宽10分米的长方体钢材，锻造成的钢材高是( )厘米。（不计损耗） 【答案】40 【分析】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体的体积，也就是长方体钢材的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体的体积除以长，再除以宽即可求出高是多少分米，再根据1分米＝10厘米，把分米化成厘米即可。 【详解】10×10×10÷25÷10 ＝100×10÷25÷10 ＝1000÷25÷10 ＝40÷10 ＝4（分米） 4分米＝40厘米 所以锻造成的钢材高是40厘米。 8．小新将一块橡皮泥先捏成了棱长4cm的正方体，后来又把它改捏成一个长5cm、宽4cm的长方体，这个长方体的高是( )cm。 【答案】3.2 【分析】分析题目，用橡皮泥捏成的正方体的体积就等于长方体的体积，先根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长求出正方体的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高可知长方体的高＝体积÷（长×宽），据此代入数据列式计算即可。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 64÷（5×4） ＝64÷20 ＝3.2（cm） 小新将一块橡皮泥先捏成了棱长4cm的正方体，后来又把它改捏成一个长5cm、宽4cm的长方体，这个长方体的高是3.2cm。 9．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 【答案】6.25 【分析】已知正方体实心铁块的棱长总和是60厘米，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体铁块的棱长；再根据正方体的体积公式V＝a3，求出铁块的体积。 已知把这块正方体实心铁块锻造成一个长方体实心铁块，铁块的体积不变；根据长方体的高＝体积÷长÷宽，求出长方体铁块的高。 【详解】60÷12＝5（厘米） 5×5×5＝125（立方厘米） 125÷10÷2 ＝12.5÷2 ＝6.25（厘米） 这个长方体铁块的高是6.25厘米。 10．小丽有一个封闭的长方体容器（如下图），长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。 【答案】3.2 【分析】长方体容器中水的形状是长4分米，宽1分米，深16厘米（即1.6分米）的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，可以求出容器中水的体积。把这个容器的左侧面平放于桌面上，水的体积不变，这时长是2分米，宽是1分米，用求得的水的体积连续除以2和1，即可求出水深的高度。 【详解】16厘米＝1.6分米 4×1×1.6÷2÷1 ＝6.4÷2÷1 ＝3.2（分米） 则这时水深3.2分米。 11．把棱长是20厘米的正方体铁块浸没在一个长是50厘米、宽是40厘米、高是35厘米的长方体玻璃缸中，拿出铁块后，玻璃缸中的水面会下降( )厘米。 【答案】4 【分析】水面下降的体积就是铁块的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，再用铁块的体积÷长方体玻璃缸的底面积＝下降的高度，据此列式计算。 【详解】20×20×20÷（50×40） ＝8000÷2000 ＝4（厘米） 玻璃缸中的水面会下降4厘米。 12．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为a分米，原长方体的体积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成2个同样的长方体，表面积增加了( )平方分米。 【答案】 a3 2a2 【分析】长方体熔铸成正方体，体积不变。求原长方体体积就是求正方体体积，根据公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。把正方体切一刀增加的表面积增加的表面积为两个正方形切面的面积。据此解答。 【详解】（立方分米） （平方分米） 即原长方体的体积是a3立方分米，表面积增加了2a2分米。 三、解答题 13．小华用一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥，捏制成宽4厘米、高2厘米的长方体，捏制成的长方体的长是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】已知正方体橡皮泥的棱长为4厘米，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积； 再把它捏制成的长方体，体积不变，根据长方体体积＝长×宽×高可知，长方体的长＝体积÷宽÷高，代入数据，即可解答。 【详解】4×4×4＝64（立方厘米） 64÷4÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 答：捏制成的长方体的长是8厘米。 14．有一个盛有水的圆柱形水桶，它的底面直径为60厘米，现在把一个体积为1766.25立方厘米的长方体铁块放进这个圆柱形水桶中（水未溢出），长方体铁块恰好有的体积浸在水中，水桶中的水面升高了多少厘米？ 【答案】0.5厘米 【分析】当长方体铁块放入圆柱形水桶，水未溢出时，铁块浸入水中的体积等于水面上升部分的圆柱体积 。我们需要先算出铁块浸入水中的体积（利用分数乘法，求铁块体积的，再根据水桶底面直径求出底面积（用圆的面积公式），最后依据圆柱体积公式的变形求出水面升高的高度，据此解答。 【详解】计算铁块浸入水中的体积： 浸入体积为：1766.25×＝1413（立方厘米） 计算水桶的底面积： 水桶底面直径是60厘米，那么半径r＝60÷2＝30厘米。 根据圆的面积公式S＝πr2，可得底面积：S＝3.14×302＝3.14×900＝2826（平方厘米） 计算水面升高的高度： 由圆柱体积公式V＝Sh（V是体积，S是底面积，h是高），变形可得h＝V÷S。 h＝1413÷2826＝0.5（厘米） 答：水桶中的水面升高了0.5厘米。 15．如图：一个长方体玻璃缸，从里面量得长40厘米、宽20厘米、高18厘米，缸内水深10厘米。把一块体积是1600立方厘米的铁块浸没在水中后，水面上升了多少厘米？   【答案】2厘米 【分析】水面上升的体积就是铁块的体积，水面上升的是一个长是40厘米，宽是20厘米，体积是1600立方厘米的长方体，根据得出高。 【详解】1600÷（40×20） ＝1600÷800 ＝2（厘米） 答：水面上升了2厘米。 16．工人叔叔把一个棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成一个长方体钢条，钢条横截面的面积是4平方厘米，长是多少厘米？ 【答案】128厘米 【分析】根据公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体钢坯的体积。因为锻造前后的体积不变，所以长方体钢条的体积等于正方体钢坯的体积。根据公式：长方体的高＝体积÷底面积，求出长是多少厘米，据此解答。 【详解】8×8×8÷4＝128（厘米） 答：长是128厘米。 17．有一块长方体方钢，已知长是6分米，宽是长的，高是长的。现在要将这块方钢熔铸成一块底面积是12平方分米的新方钢，这块新方钢的高是多少分米？ 【答案】5分米 【分析】已知长是6分米，宽是长的，高是长的，把长看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，分别用长乘、，求出宽和高； 再根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体方钢的体积； 现在要将这块方钢熔铸成一块底面积是12平方分米的新方钢，体积不变，根据长方体的高h＝V÷S，求出新方钢的高。 【详解】宽：6×＝（分米） 高：6×＝4（分米） 体积： 6××4 ＝15×4 ＝60（立方分米） 新方钢的高： 60÷12＝5（分米） 答：这块新方钢的高是5分米。 18．某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 【答案】 25厘米 【分析】将正方体锻造成长方体时，体积保持不变。根据，求出正方体的体积，再根据的逆运算，用体积除以底面积即可得解。 【详解】（立方厘米） （厘米） 答：它的高是25厘米。 19．一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 【答案】10分米 【分析】已知密封的玻璃缸从里面量长12分米，宽是3分米，水深5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出鱼缸内水的体积； 将这个玻璃鱼缸竖起来放，水的体积不变，底面变成（6×3）的长方形；根据长方体的高＝体积÷底面积，代入数据计算，求出此时鱼缸内水的深度。 【详解】12×3×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180÷（6×3） ＝180÷18 ＝10（分米） 答：鱼缸内水深10分米。 20．一个长12厘米，宽9厘米，高8厘米的完全封闭的长方体容器（厚度忽略不计）里装了一些水，平放时水面高5厘米。如果把这个容器竖起来放，水面比原来上升了多少厘米？ 【答案】2.5厘米 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，据此求出水的体积；再根据h＝V÷a÷b，据此求出把这个容器竖起来放水面的高度；最后用竖起来水面的高度减去平放时水面的高度即可求解。 【详解】12×9×5 ＝108×5 ＝540（立方厘米） 540÷9÷8 ＝60÷8 ＝7.5（厘米） 7.5－5＝2.5（厘米） 答：如果把这个容器竖起来放，水面比原来上升了2.5厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体的等积变形（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 等积变形的定义：一个立体图形（长方体或正方体），通过改变形状（如切割、拼接、熔铸、挤压等），但不改变它所占空间的大小，这种现象叫做长方体和正方体的等积变形。核心关键是“体积不变”，变形前后的立体图形体积相等，这是等积变形的核心原则。 核心关联概念：① 体积不变原则：等积变形的核心是“形状改变，体积不变”，变形前的体积 = 变形后的体积；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），等积变形中需灵活运用这两个公式；③ 体积与容积的关联：涉及容器装水、熔铸物体等场景时，忽略损耗，物体体积=容器内水的体积（或熔铸后新物体体积）；④ 核心思想：“转化思想”，将不规则或复杂的立体图形，通过等积变形转化为长方体或正方体，再利用体积公式求解；⑤ 与前期知识关联：等积变形是长方体、正方体体积计算的综合应用，需熟练掌握体积公式、单位换算，区分体积与表面积（变形后表面积可能改变，但体积一定不变）。 2. 等积变形应用的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的延伸和综合运用，核心是掌握“利用体积不变原则，解决实际场景中的变形问题”，摆脱“只机械计算单一立体图形体积”的误区，培养“转化思维”和“灵活解题能力”。它广泛应用于生活中与立体图形变形相关的场景（如熔铸金属、切割拼接物体、容器装水转移、不规则物体体积计算等），是连接基础体积计算与复杂实际问题的重要纽带，也是苏教版五年级下册第六单元的难点和重点。 3. 常见场景 ① 熔铸变形：将一个长方体（或正方体）熔铸成另一个正方体（或长方体），体积不变； ② 切割拼接变形：将一个长方体（或正方体）切割成若干个小长方体（或正方体），再拼接成新的立体图形，总体积不变； ③ 装水转移变形：将一个容器（长方体或正方体）中的水，倒入另一个不同形状的容器（长方体或正方体），水的体积不变； ④ 不规则物体体积计算：借助等积变形，将不规则物体放入长方体（或正方体）容器中，通过排水法转化为水的体积变化，进而求出不规则物体体积； ⑤ 综合变形：结合切割、熔铸、单位换算，解决复杂的等积变形问题（如多个物体熔铸、切割后再拼接）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：长方体相对棱相等、相对面相同；正方体12条棱相等、6个面相同； 2.体积公式：长方体V=abh，正方体V=a³，能熟练正用、逆用公式； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.等积变形核心原则：变形前后，立体图形的体积不变（忽略损耗、厚度等隐含条件）； 5.转化思维：能将变形后的未知图形，通过体积不变原则，转化为已知条件的图形进行计算。 （二）核心应用方法（苏教版重点，4类核心场景） 1.方法一：熔铸变形（基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：熔铸过程中，物体的形状改变，但体积不变，即“熔铸前体积 = 熔铸后体积”；若为多个物体熔铸，則“多个物体体积之和 = 熔铸后新物体体积”； ② 常用公式：熔铸前（长方体/正方体）体积 = 熔铸后（正方体/长方体）体积，结合体积公式逆用（如求熔铸后图形的棱长、长、宽、高）； ③ 步骤：1. 确认熔铸前后的立体图形类型（长方体/正方体）；2. 计算熔铸前图形的体积（或多个图形体积之和）；3. 根据体积不变，代入熔铸后图形的体积公式，逆用求出未知量（棱长、长、宽、高）；4. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个棱长6分米的正方体铁块，熔铸成一个长9分米、宽4分米的长方体，求这个长方体的高。解：熔铸前体积V=6×6×6=216立方分米，熔铸后体积=216立方分米，高h=216÷9÷4=6（分米）。 2.方法二：装水转移变形（基础，苏教版常考） ① 核心思路：水从一个容器转移到另一个容器，水的体积不变，即“原容器中水的体积 = 新容器中水的体积”；若有水溢出，則“水的体积 = 新容器的容积”； ② 关键：明确水在两个容器中的形状（均为长方体或正方体），找准对应容器的底面积、水深； ③ 步骤：1. 计算原容器中水的体积（用原容器底面积×原水深）；2. 根据体积不变，代入新容器的底面积，逆用公式求出新的水深（或判断是否溢出）；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体容器，长10分米、宽5分米，水深3分米，将水全部倒入一个棱长5分米的正方体容器中，求正方体容器中的水深。解：水的体积V=10×5×3=150立方分米，正方体容器底面积5×5=25平方分米，水深h=150÷25=6（分米）（因正方体棱长5分米，6>5，实际水深为5分米，水有溢出）。 3.方法三：切割拼接变形（进阶，苏教版重点） ① 核心思路：切割拼接过程中，单个或多个小立体图形的总体积不变，即“切割前总体积 = 拼接后总体积”；切割后表面积会改变，但体积不变； ② 关键：区分“体积”与“表面积”，避免因切割拼接导致表面积变化，误判体积也变化； ③ 步骤：1. 计算切割前（或拼接前）立体图形的总体积；2. 根据体积不变，计算拼接后（或切割后）单个图形的体积，或逆用公式求未知维度；3. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长12分米、宽4分米、高3分米的长方体，切割成3个相同的小长方体，求每个小长方体的体积。解：原长方体体积V=12×4×3=144立方分米，切割后3个小长方体总体积=144立方分米，单个小长方体体积144÷3=48（立方分米）。 4.方法四：不规则物体体积计算（进阶，苏教版难点） ① 核心思路：借助等积变形，将不规则物体放入长方体（或正方体）容器中，物体完全浸入水中（水未溢出），则“不规则物体体积 = 上升的水的体积”（或“下降的水的体积”）； ② 常用公式：不规则物体体积 = 容器底面积×水面变化高度（上升高度=最终水深-初始水深）； ③ 步骤：1. 记录容器的长、宽（或棱长），以及初始水深；2. 放入不规则物体后，记录最终水深；3. 计算水面上升高度；4. 代入公式，计算不规则物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体容器，棱长8分米，水深5分米，将一个不规则石块完全浸入水中，水深上升到5.5分米（水未溢出），求石块的体积。解：水面上升高度5.5−5=0.5分米，石块体积V=8×8×0.5=32（立方分米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：变形前后图形的长度单位、体积单位不同，未统一单位就计算，导致结果错误； 2.忽略体积不变原则：误将“表面积变化”当作“体积变化”，认为切割拼接后体积会变大或变小； 3.公式逆用错误：已知体积求长、宽、高（或棱长）时，误将体积除以两个维度的和，或除以6（混淆体积与表面积）； 4.忽略隐含条件：熔铸时忽略“损耗”（苏教版题目通常忽略损耗），导致计算结果偏差；装水转移时忽略“水溢出”，仍按正常公式计算水深； 5.水面变化高度计算错误：不规则物体体积计算中，误将“最终水深”当作“上升高度”，未减去初始水深； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误； 7.计算失误：体积计算、逆用公式计算时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误； 8.容器厚度忽略不当：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算水的体积，导致结果偏差。 三、等积变形解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨变形：明确题目是哪种等积变形（熔铸、装水转移、切割拼接、不规则物体），判断变形前后的立体图形类型。 2.统一单位：提取题目中所有长度、体积相关数值，将单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.计算不变体积：根据变形前的图形（或水的体积），代入体积公式，计算出不变的总体积。 4.逆用公式求未知：根据体积不变原则，将不变体积代入变形后图形的体积公式，逆用求出未知量（棱长、长、宽、高、水深、水面变化高度等）。 5.检验验证：检验体积计算、单位统一、公式逆用是否无误，确认符合题意（如无溢出、无损耗）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见等积变形应用题型及解题示例 1. 场景一：熔铸变形（基础题） 例：一个长8分米、宽6分米、高5分米的长方体铁块，熔铸成一个棱长为整分米数的正方体，求这个正方体的棱长（忽略熔铸损耗）。 解：① 确认场景：长方体熔铸正方体，体积不变，忽略损耗； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算熔铸前体积（长方体体积）：V=8×6×5=240（立方分米）； ④ 逆用正方体体积公式求棱长：寻找立方等于240的整数，因6×6×6=216，7×7×7=343，216<240<343，题目要求棱长为整分米数，故取最接近的整数6分米（或说明无法熔铸成棱长为整分米数的正方体，实际苏教版常考整数体积）； 检验：体积计算正确，逆用公式思路无误，符合熔铸变形原则。 答：这个正方体的棱长最接近6分米（若题目改为体积216立方分米，棱长为6分米）。 2. 场景二：装水转移变形（基础题） 例：一个正方体容器，棱长10分米，水深4分米，将容器中的水全部倒入一个长12分米、宽5分米的长方体容器中，求长方体容器中的水深（水未溢出）。 解：① 确认场景：水的转移，体积不变，水未溢出； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算水的体积（正方体容器中）：V=10×10×4=400（立方分米）； ④ 逆用长方体体积公式求水深：h=400÷12÷5≈6.67（分米）； 检验：体积计算正确，逆用公式无误，水未溢出，符合题意。 答：长方体容器中的水深约是6.67分米。 3. 场景三：切割拼接变形（进阶题） 例：一个棱长9分米的正方体，切割成9个相同的小长方体，每个小长方体的长和宽都是3分米，求每个小长方体的高。 解：① 确认场景：正方体切割成小长方体，总体积不变； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算原正方体体积：V=9×9×9=729（立方分米）； ④ 计算单个小长方体体积：729÷9=81（立方分米）； ⑤ 逆用长方体体积公式求高：h=81÷3÷3=9（分米）； 检验：体积计算正确，切割后总体积不变，逆用公式无误。 答：每个小长方体的高是9分米。 4. 场景四：不规则物体体积计算（进阶题） 例：一个长方体玻璃容器，长6分米、宽4分米、高7分米，水深5分米，将一个不规则铜块完全浸入水中，水未溢出，此时水深上升到5.8分米，求这个铜块的体积。 解：① 确认场景：等积变形（排水法），铜块体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算水面上升高度：5.8−5=0.8（分米）； ④ 计算铜块体积（上升的水的体积）：V=6×4×0.8=19.2（立方分米）； 检验：思路正确，水未溢出，计算准确，符合等积变形原则。 答：这个铜块的体积是19.2立方分米。 5. 场景五：综合变形（拓展题） 例：一个长10分米、宽5分米、高4分米的长方体铁块，和一个棱长5分米的正方体铁块，一起熔铸成一个长15分米、宽5分米的长方体，求熔铸后长方体的高（忽略损耗）。 解：① 确认场景：多个物体熔铸，总体积不变，忽略损耗； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算两个铁块的总体积：长方体体积10×5×4=200立方分米，正方体体积5×5×5=125立方分米，总体积200+125=325立方分米； ④ 逆用长方体体积公式求高：h=325÷15÷5≈4.33（分米）； 检验：总体积计算正确，熔铸原则运用无误，计算准确。 答：熔铸后长方体的高约是4.33分米。 培优练习 一、选择题 1．一个棱长6厘米的正方体容器装满水，将水全部倒入一个长9厘米、宽8厘米的长方体空容器中，水深（    ）厘米。 A．2 B．3 C．4.5 D．6 2．一个长方体水箱，长5分米，宽4分米，高3分米，装满水后倒入一个棱长是5分米的正方体水箱中，水深是（    ）分米。 A．2.4 B．24 C．60 D．12 3．泥塑是我国一种古老常见的民间艺术。在非遗艺术节上，小亮向同学们展示泥塑工艺，把一块泥团先捏成一个正方体，再捏成一个长方体，泥塑的（    ）不变。 A．形状 B．表面积 C．体积 D．占地面积 4．在高28厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，然后将其斜放（如下图所示），水流出了，这时线段长（    ）厘米。 A．8 B．12 C．16 D．20 5．如果把同一块橡皮泥先捏成一个长方体，再捏成一个正方体，长方体与正方体的体积相比。（    ） A．长方体的体积大 B．正方体体积大 C．一样大 D．无法比较 6．下图是由9个棱长1cm的小正方体拼成的。如果把它变成一个长方体，它的体积（    ）。 A．变大 B．变小 C．不变 D．无法确定 二、填空题 7．有一块棱长10分米的正方体钢材，把它锻造成长25分米，宽10分米的长方体钢材，锻造成的钢材高是( )厘米。（不计损耗） 8．小新将一块橡皮泥先捏成了棱长4cm的正方体，后来又把它改捏成一个长5cm、宽4cm的长方体，这个长方体的高是( )cm。 9．将一个棱长总和是60厘米的正方体实心铁块锻造成一个长是10厘米，宽是2厘米的长方体实心铁块，这个长方体铁块的高是( )厘米。 10．小丽有一个封闭的长方体容器（如下图），长4分米，宽1分米，高2分米，里面水深16厘米。现在她把这个容器的左侧面平放于桌面上。这时水深( )分米。 11．把棱长是20厘米的正方体铁块浸没在一个长是50厘米、宽是40厘米、高是35厘米的长方体玻璃缸中，拿出铁块后，玻璃缸中的水面会下降( )厘米。 12．把一个长方体的铁块熔铸成一个正方体，它的棱长为a分米，原长方体的体积是( )立方分米。如果把这个正方体再切一刀，变成2个同样的长方体，表面积增加了( )平方分米。 三、解答题 13．小华用一块棱长为4厘米的正方体橡皮泥，捏制成宽4厘米、高2厘米的长方体，捏制成的长方体的长是多少厘米？ 14．有一个盛有水的圆柱形水桶，它的底面直径为60厘米，现在把一个体积为1766.25立方厘米的长方体铁块放进这个圆柱形水桶中（水未溢出），长方体铁块恰好有的体积浸在水中，水桶中的水面升高了多少厘米？ 15．如图：一个长方体玻璃缸，从里面量得长40厘米、宽20厘米、高18厘米，缸内水深10厘米。把一块体积是1600立方厘米的铁块浸没在水中后，水面上升了多少厘米？   16．工人叔叔把一个棱长为8厘米的正方体钢坯锻造成一个长方体钢条，钢条横截面的面积是4平方厘米，长是多少厘米？ 17．有一块长方体方钢，已知长是6分米，宽是长的，高是长的。现在要将这块方钢熔铸成一块底面积是12平方分米的新方钢，这块新方钢的高是多少分米？ 18．某车间工人王叔叔为了打造一种零件，把一个棱长为10厘米的正方体铁块锻造成了一个长方体铁块，这个长方体的底面积是40平方厘米，它的高是多少厘米？ 19．一个密封的玻璃缸，从里面量长12分米，宽是3分米，高是6分米，现在缸内的水深5分米。如果将这个玻璃鱼缸竖起来放（图2），那么鱼缸内水深多少分米？ 20．一个长12厘米，宽9厘米，高8厘米的完全封闭的长方体容器（厚度忽略不计）里装了一些水，平放时水面高5厘米。如果把这个容器竖起来放，水面比原来上升了多少厘米？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 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