第六单元 不规则物体体积的算法—排水法（综合题型）奥数思维训练-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

第六单元 不规则物体体积的算法（长方体、正方体）——排水法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 不规则物体体积的定义：形状不规则、无法直接用长方体或正方体体积公式计算体积的物体，叫做不规则物体（如石块、铁块、土豆、苹果等）。其体积算法的核心是“转化思想”，借助长方体或正方体容器，利用等积变形原则，将不规则物体体积转化为可计算的长方体（或正方体）体积（如水的体积变化），进而求解。 核心关联概念：① 等积变形核心原则：不规则物体完全浸入水中（水未溢出）时，不规则物体体积 = 上升的水的体积；若物体完全浸没且水有溢出，不规则物体体积 = 上升的水的体积 + 溢出的水的体积；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），是转化后体积计算的基础；③ 核心思想：“转化思想”，将无法直接计算的不规则物体体积，转化为熟悉的水的体积变化（长方体或正方体形状），化未知为已知；④ 与前期知识关联：不规则物体体积算法是等积变形、长方体和正方体体积计算的综合应用，需熟练掌握体积公式、单位换算，能准确判断水面变化情况。 2. 不规则物体体积算法的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的拓展与实际应用，核心是掌握“利用长方体、正方体容器，通过排水法（或溢水法）转化不规则物体体积”的解题思路，摆脱“只能计算规则立体图形体积”的误区，培养“转化思维”“观察能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与不规则物体相关的场景（如测量矿石体积、计算不规则零件体积、判断物体密度等），是苏教版五年级下册第六单元的重点和难点，也是连接立体图形体积与实际生活的重要纽带。 3. 常见场景 ① 排水法（无溢出）：将不规则物体完全浸入长方体（或正方体）容器的水中，水未溢出，通过计算水面上升的体积，得到不规则物体体积； ② 溢水法（有溢出）：将不规则物体完全浸入装满水的长方体（或正方体）容器中，水溢出，通过计算溢出的水的体积（或上升的水的体积+溢出体积），得到不规则物体体积； ③ 排水法（物体未完全浸没）：不规则物体部分浸入水中，需结合物体浸入高度与容器维度，计算部分体积（苏教版五年级少量拓展）； ④ 综合场景：结合单位换算、多个不规则物体体积计算、组合体与不规则物体体积结合，解决复杂实际问题（如多个不规则物体浸入水中、不规则物体与规则物体一起排水）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：能准确识别容器的类型，找准容器的长、宽、高（或棱长）； 2.体积公式：熟练掌握长方体V=abh、正方体V=a³，能正用、逆用公式计算水的体积变化； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.等积变形原则：物体完全浸入水中（无溢出）时，物体体积=上升的水的体积； 5.观察能力：能准确测量并记录容器中初始水深、放入物体后的最终水深，计算水面变化高度。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：排水法（无溢出，基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：将不规则物体完全浸入长方体（或正方体）容器的水中，水未溢出，此时不规则物体体积 = 上升的水的体积；上升的水的形状为长方体（或正方体），其体积可通过“容器底面积×水面上升高度”计算； ② 常用公式：不规则物体体积V物=V上升水=S底×h上升（S底为容器底面积，h上升为水面上升高度）；长方体容器底面积S底=a×b，正方体容器底面积S底=a×a； ③ 步骤：1. 准备一个长方体（或正方体）容器，测量并记录容器的长、宽、高（或棱长）；2. 向容器中倒入适量的水，测量并记录初始水深h1；3. 将不规则物体完全浸入水中（确保水未溢出），测量并记录最终水深h2；4. 计算水面上升高度h上升=h2−h1；5. 计算容器底面积，再代入公式求出上升的水的体积，即不规则物体体积；6. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体容器，长8分米、宽6分米，向容器中倒入水，初始水深3分米，将一块不规则石块完全浸入水中（水未溢出），最终水深3.5分米，求石块体积。解：容器底面积S=8×6=48平方分米，水面上升高度3.5−3=0.5分米，石块体积V=48×0.5=24（立方分米）。 2.方法二：溢水法（有溢出，基础，苏教版常考） ① 核心思路：将不规则物体完全浸入装满水的长方体（或正方体）容器中，水会溢出，此时不规则物体体积 = 溢出的水的体积；若容器未装满，先加水至满，再放入物体，溢出的水的体积即为物体体积； ② 关键：确保容器初始装满水（或明确初始水深与容器高度的差值），准确收集并测量溢出的水的体积； ③ 步骤：1. 准备一个长方体（或正方体）容器，测量并记录容器的长、宽、高（或棱长），计算容器容积；2. 向容器中加满水（无溢出）；3. 将不规则物体完全浸入水中，收集溢出的水；4. 将溢出的水倒入另一个规则容器（长方体或正方体），测量并计算溢出的水的体积，即为不规则物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体容器，棱长10分米，向容器中加满水，将一块不规则铜块完全浸入水中，溢出的水倒入一个长5分米、宽4分米的长方体容器中，水深2分米，求铜块体积。解：溢出的水的体积V=5×4×2=40立方分米，即铜块体积=40（立方分米）。 3.方法三：排水法（物体未完全浸没，进阶，苏教版拓展） ① 核心思路：不规则物体部分浸入水中，此时物体浸入水中的体积 = 上升的水的体积；需结合物体的浸入高度，判断浸入部分的形状（通常近似为长方体），进而计算整个物体体积（需已知物体的底面积或其他维度）； ② 常用公式：浸入部分体积V浸入=S底（容器）×h上升，若物体为柱体（如圆柱体、长方体），则整个物体体积V物=V浸入÷h浸入×h物（h浸入为物体浸入水中的高度，h物为物体总高度）； ③ 步骤：1. 测量容器的长、宽，记录初始水深h1；2. 将不规则物体（近似柱体）部分浸入水中，记录最终水深h2和物体浸入水中的高度h浸入；3. 计算水面上升高度和浸入部分体积；4. 根据物体总高度与浸入高度的比例，计算整个物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个近似长方体的不规则木块，总高度10厘米，将其部分浸入一个长15厘米、宽10厘米的长方体容器中，初始水深5厘米，最终水深6厘米，木块浸入水中的高度为8厘米，求木块总体积。解：水面上升高度6−5=1厘米，浸入部分体积V浸入=15×10×1=150立方厘米，木块总体积V=150÷8×10=187.5（立方厘米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：容器维度、水深的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就计算，导致结果错误； 2.水面上升高度计算错误：误将“最终水深”当作“上升高度”，未减去初始水深，导致体积计算偏小； 3.物体未完全浸入：未确认物体是否完全浸入水中，就按“完全浸入”计算，导致体积计算偏小； 4.忽略水的溢出：物体完全浸入后水有溢出，仍按“无溢出”计算，未加上溢出的水的体积，导致结果错误； 5.容器底面积计算错误：误将容器的体积当作底面积，或计算底面积时混淆长、宽、高，导致上升的水的体积计算错误； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1毫升=1立方分米）； 7.计算失误：底面积计算、水面上升高度计算、体积求和/差时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误； 8.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算底面积和水深，导致结果偏差。 三、不规则物体体积解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确不规则物体的类型，判断采用哪种算法（排水法无溢出、溢水法、未完全浸没），确认水是否溢出、物体是否完全浸入。 2.统一单位：提取容器维度、初始水深、最终水深等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.测量记录关键数据：记录容器的长、宽、高（或棱长），初始水深、最终水深（或溢出的水的相关数据），确认物体浸入情况。 4.转化计算体积：根据场景选择对应的公式，计算上升的水的体积（或溢出的水的体积），即为不规则物体体积（或浸入部分体积）；未完全浸没时，结合物体维度计算总体积。 5.检验验证：检验单位是否统一、数据测量是否准确、公式套用是否无误，确认符合题意（如无溢出、物体完全浸入）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见不规则物体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：排水法（无溢出，基础题） 例：一个长方体玻璃容器，长10分米、宽5分米、高7分米，向容器中倒入水，初始水深4分米，将一块不规则石块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到4.8分米，求这块石块的体积。 解：① 确认场景：排水法无溢出，石块体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积S=10×5=50（平方分米），水面上升高度4.8−4=0.8（分米）； ④ 计算石块体积：V石块=50×0.8=40（立方分米）； 检验：物体完全浸入，水未溢出，底面积和上升高度计算正确，符合题意。 答：这块石块的体积是40立方分米。 2. 场景二：溢水法（有溢出，基础题） 例：一个正方体容器，棱长8分米，向容器中加满水，将一个不规则铁块完全浸入水中，溢出的水收集到一个长6分米、宽4分米的长方体容器中，测得该容器中水深3分米，求铁块的体积（忽略容器厚度）。 解：① 确认场景：溢水法，铁块体积=溢出的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算溢出的水的体积：V溢水=6×4×3=72（立方分米）； ④ 得出铁块体积：V铁块=V溢水=72（立方分米）； 检验：容器初始加满水，溢出的水体积测量准确，计算无误，符合题意。 答：铁块的体积是72立方分米。 3. 场景三：排水法（物体未完全浸没，进阶题） 例：一块近似长方体的木料，总高度 16 厘米，把它部分浸入长 15 厘米、宽 12 厘米的长方体玻璃容器中，容器原来水深 6 厘米，放入木料之后水深变成 9 厘米，木料浸入水中的高度为 7 厘米，求这块木料的总体积。 解： ① 确认场景：排水法，物体未完全浸没；排开水的体积 = 物体浸入部分体积，柱体体积和高度成正比，求总体积； ② 统一单位：全部为厘米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积 （平方厘米），水面上升高度 （厘米）； ④ 计算浸入部分体积：（立方厘米）； ⑤ 计算木料总体积：（立方厘米） 检验：最终水深 9cm，浸入高度 7cm＜9cm，符合实际；排开水体积等于浸入物体体积，柱体按高度比例计算。 答：这块木料的总体积约 1234.29 立方厘米。 4. 场景四：单位换算结合排水法（基础题） 例：一个长方体容器，长50厘米、宽40厘米，向容器中倒入水，初始水深15厘米，将一块不规则金属块完全浸入水中（水未溢出），最终水深18厘米，求这块金属块的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：排水法无溢出，金属块体积=上升的水的体积，涉及单位换算； ② 统一单位：最终要求立方分米，先计算立方厘米，再换算；1立方分米=1000立方厘米； ③ 计算关键数据：容器底面积S=50×40=2000（平方厘米），水面上升高度18−15=3（厘米）； ④ 计算金属块体积：V=2000×3=6000（立方厘米），6000立方厘米=6立方分米； 检验：单位换算正确，底面积和上升高度计算无误，符合题意。 答：这块金属块的体积是6立方分米。 5. 场景五：综合场景（拓展题） 例：一个长方体容器，长12分米、宽8分米、高10分米，初始水深6分米，将两块不规则石块（体积相同）完全浸入水中（水未溢出），最终水深7.5分米，求每块石块的体积。 解：① 确认场景：排水法无溢出，两块石块总体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积S=12×8=96（平方分米），水面上升高度7.5−6=1.5（分米）； ④ 计算两块石块总体积：V总=96×1.5=144（立方分米）； ⑤ 计算每块石块体积：V单=144÷2=72（立方分米）； 检验：物体完全浸入，水未溢出，总体积和单个体积计算准确，符合题意。 答：每块石块的体积是72立方分米。 培优练习 一、选择题 1．乐乐将一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm。这个铁球的体积是（    ）dm3。 A．100 B．52 C．48 D．25 2．一个水桶的容积是5L，装满水，将石块完全浸没在水桶中，溢出了一些水。取出石块后，桶中还剩4.2L水，则石块的体积是（    ）dm3。 A．5 B．4.2 C．0.8 D．0.2 3．两个完全相同的量杯，比较两个量杯中的水，结果是（    ）。 A．两个量杯中的水一样多 B．第一个量杯中的水多 C．第二个量杯中的水多 D．无法确定 4．李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验：先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中，再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中，水面刚好在300毫升处，最后放入5颗小玻璃球，全都浸没水中，此时水面与量杯口齐平，刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是（    ）立方厘米。 A．40 B．60 C．80 D．100 5．一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 6．图1的烧杯中有1个大球和3个大小相同的小球，再放入2个同样的小球后，水面上升了（如图2）。根据图中的信息，1个小球的体积最有可能是（    ）立方厘米。    A．100 B．98 C．51 D．49 二、填空题 7．一个长方体鱼缸，它的底面积是，放进一块珊瑚石后，水面由原来的15cm上升到20cm，这块珊瑚石的体积是( )。 8．在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 9．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是( )。 10．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升了2.5dm，这个石块的体积是( )。 11．一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出( )毫升。 12．下图是乐乐做实验比较土豆和胡萝卜的体积过程。已知长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。土豆的体积是( )cm3，胡萝卜的体积是( )cm3。 三、解答题 13．在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 14．李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 15．一个无盖长方体玻璃鱼缸，长8分米、宽6分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需玻璃多少平方分米？往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米（水未溢出）。这些石块的体积一共是多少立方分米？ 16．在长方体玻璃缸中沉入一石块（全部浸没）。沉入前水面高6cm，沉入后水面升高到10cm且溢出125mL水。玻璃缸里面长30cm、宽20cm。这块石块的体积是多少？ 17．一个棱长2分米的正方体玻璃容器中有5升水，把一块石头浸没在水中（水没有溢出），这时量得容器里的水深14厘米，石头的体积是多少立方分米？ 18．一个长方体玻璃容器，底面是边长2分米的正方形，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中。苹果完全浸没在水中时量得容器的水深是15厘米。这个苹果的体积是多少？ 19．一个棱长4分米的正方体鱼缸，缸里装有20升水，把一块珊瑚石完全浸没在水中，这时量得鱼缸内水深15厘米。这块珊瑚石的体积是多少立方分米？（鱼缸厚度忽略不计） 20．一个长方体玻璃容器，长20厘米，宽6厘米，高16厘米。 （1）容器中装有720毫升的水，请根据图1信息，求出容器中水的高度。 （2）请根据图中信息，计算出一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？（每个梨的体积相等） 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 不规则物体体积的算法（长方体、正方体）——排水法（综合题型）奥数思维训练 知识梳理 一、概念定义与核心基础 1. 核心概念回顾（综合运用前提） 不规则物体体积的定义：形状不规则、无法直接用长方体或正方体体积公式计算体积的物体，叫做不规则物体（如石块、铁块、土豆、苹果等）。其体积算法的核心是“转化思想”，借助长方体或正方体容器，利用等积变形原则，将不规则物体体积转化为可计算的长方体（或正方体）体积（如水的体积变化），进而求解。 核心关联概念：① 等积变形核心原则：不规则物体完全浸入水中（水未溢出）时，不规则物体体积 = 上升的水的体积；若物体完全浸没且水有溢出，不规则物体体积 = 上升的水的体积 + 溢出的水的体积；② 长方体和正方体体积公式：长方体V=abh（a=长、b=宽、h=高），正方体V=a³（a=棱长），是转化后体积计算的基础；③ 核心思想：“转化思想”，将无法直接计算的不规则物体体积，转化为熟悉的水的体积变化（长方体或正方体形状），化未知为已知；④ 与前期知识关联：不规则物体体积算法是等积变形、长方体和正方体体积计算的综合应用，需熟练掌握体积公式、单位换算，能准确判断水面变化情况。 2. 不规则物体体积算法的核心意义 本知识点是长方体、正方体体积知识的拓展与实际应用，核心是掌握“利用长方体、正方体容器，通过排水法（或溢水法）转化不规则物体体积”的解题思路，摆脱“只能计算规则立体图形体积”的误区，培养“转化思维”“观察能力”和“实际应用能力”。它广泛应用于生活中与不规则物体相关的场景（如测量矿石体积、计算不规则零件体积、判断物体密度等），是苏教版五年级下册第六单元的重点和难点，也是连接立体图形体积与实际生活的重要纽带。 3. 常见场景 ① 排水法（无溢出）：将不规则物体完全浸入长方体（或正方体）容器的水中，水未溢出，通过计算水面上升的体积，得到不规则物体体积； ② 溢水法（有溢出）：将不规则物体完全浸入装满水的长方体（或正方体）容器中，水溢出，通过计算溢出的水的体积（或上升的水的体积+溢出体积），得到不规则物体体积； ③ 排水法（物体未完全浸没）：不规则物体部分浸入水中，需结合物体浸入高度与容器维度，计算部分体积（苏教版五年级少量拓展）； ④ 综合场景：结合单位换算、多个不规则物体体积计算、组合体与不规则物体体积结合，解决复杂实际问题（如多个不规则物体浸入水中、不规则物体与规则物体一起排水）。 二、核心方法与关键要点 （一）基础前提（回顾） 1.长方体、正方体的特征：能准确识别容器的类型，找准容器的长、宽、高（或棱长）； 2.体积公式：熟练掌握长方体V=abh、正方体V=a³，能正用、逆用公式计算水的体积变化； 3.体积单位换算：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米； 4.等积变形原则：物体完全浸入水中（无溢出）时，物体体积=上升的水的体积； 5.观察能力：能准确测量并记录容器中初始水深、放入物体后的最终水深，计算水面变化高度。 （二）核心应用方法（苏教版重点，3类核心场景） 1.方法一：排水法（无溢出，基础，苏教版核心重点） ① 核心思路：将不规则物体完全浸入长方体（或正方体）容器的水中，水未溢出，此时不规则物体体积 = 上升的水的体积；上升的水的形状为长方体（或正方体），其体积可通过“容器底面积×水面上升高度”计算； ② 常用公式：不规则物体体积V物=V上升水=S底×h上升（S底为容器底面积，h上升为水面上升高度）；长方体容器底面积S底=a×b，正方体容器底面积S底=a×a； ③ 步骤：1. 准备一个长方体（或正方体）容器，测量并记录容器的长、宽、高（或棱长）；2. 向容器中倒入适量的水，测量并记录初始水深h1；3. 将不规则物体完全浸入水中（确保水未溢出），测量并记录最终水深h2；4. 计算水面上升高度h上升=h2−h1；5. 计算容器底面积，再代入公式求出上升的水的体积，即不规则物体体积；6. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个长方体容器，长8分米、宽6分米，向容器中倒入水，初始水深3分米，将一块不规则石块完全浸入水中（水未溢出），最终水深3.5分米，求石块体积。解：容器底面积S=8×6=48平方分米，水面上升高度3.5−3=0.5分米，石块体积V=48×0.5=24（立方分米）。 2.方法二：溢水法（有溢出，基础，苏教版常考） ① 核心思路：将不规则物体完全浸入装满水的长方体（或正方体）容器中，水会溢出，此时不规则物体体积 = 溢出的水的体积；若容器未装满，先加水至满，再放入物体，溢出的水的体积即为物体体积； ② 关键：确保容器初始装满水（或明确初始水深与容器高度的差值），准确收集并测量溢出的水的体积； ③ 步骤：1. 准备一个长方体（或正方体）容器，测量并记录容器的长、宽、高（或棱长），计算容器容积；2. 向容器中加满水（无溢出）；3. 将不规则物体完全浸入水中，收集溢出的水；4. 将溢出的水倒入另一个规则容器（长方体或正方体），测量并计算溢出的水的体积，即为不规则物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个正方体容器，棱长10分米，向容器中加满水，将一块不规则铜块完全浸入水中，溢出的水倒入一个长5分米、宽4分米的长方体容器中，水深2分米，求铜块体积。解：溢出的水的体积V=5×4×2=40立方分米，即铜块体积=40（立方分米）。 3.方法三：排水法（物体未完全浸没，进阶，苏教版拓展） ① 核心思路：不规则物体部分浸入水中，此时物体浸入水中的体积 = 上升的水的体积；需结合物体的浸入高度，判断浸入部分的形状（通常近似为长方体），进而计算整个物体体积（需已知物体的底面积或其他维度）； ② 常用公式：浸入部分体积V浸入=S底（容器）×h上升，若物体为柱体（如圆柱体、长方体），则整个物体体积V物=V浸入÷h浸入×h物（h浸入为物体浸入水中的高度，h物为物体总高度）； ③ 步骤：1. 测量容器的长、宽，记录初始水深h1；2. 将不规则物体（近似柱体）部分浸入水中，记录最终水深h2和物体浸入水中的高度h浸入；3. 计算水面上升高度和浸入部分体积；4. 根据物体总高度与浸入高度的比例，计算整个物体体积；5. 统一单位，标注结果； ④ 示例：一个近似长方体的不规则木块，总高度10厘米，将其部分浸入一个长15厘米、宽10厘米的长方体容器中，初始水深5厘米，最终水深6厘米，木块浸入水中的高度为8厘米，求木块总体积。解：水面上升高度6−5=1厘米，浸入部分体积V浸入=15×10×1=150立方厘米，木块总体积V=150÷8×10=187.5（立方厘米）。 （三）常见隐含条件与易错点提醒 1.单位不统一：容器维度、水深的单位不同（如有的用厘米，有的用分米），未统一单位就计算，导致结果错误； 2.水面上升高度计算错误：误将“最终水深”当作“上升高度”，未减去初始水深，导致体积计算偏小； 3.物体未完全浸入：未确认物体是否完全浸入水中，就按“完全浸入”计算，导致体积计算偏小； 4.忽略水的溢出：物体完全浸入后水有溢出，仍按“无溢出”计算，未加上溢出的水的体积，导致结果错误； 5.容器底面积计算错误：误将容器的体积当作底面积，或计算底面积时混淆长、宽、高，导致上升的水的体积计算错误； 6.单位换算错误：混淆体积单位进率（1000）与面积单位进率（100），或容积单位与体积单位换算错误（如1毫升=1立方分米）； 7.计算失误：底面积计算、水面上升高度计算、体积求和/差时，出现乘法、除法失误，导致最终结果错误； 8.忽略容器厚度：题目明确要求“考虑容器厚度”时，未用内部尺寸计算底面积和水深，导致结果偏差。 三、不规则物体体积解题步骤（苏教版重点） 1.审题辨场景：明确不规则物体的类型，判断采用哪种算法（排水法无溢出、溢水法、未完全浸没），确认水是否溢出、物体是否完全浸入。 2.统一单位：提取容器维度、初始水深、最终水深等数值，将所有单位统一（优先统一为题目要求的单位，或最简便的单位）。 3.测量记录关键数据：记录容器的长、宽、高（或棱长），初始水深、最终水深（或溢出的水的相关数据），确认物体浸入情况。 4.转化计算体积：根据场景选择对应的公式，计算上升的水的体积（或溢出的水的体积），即为不规则物体体积（或浸入部分体积）；未完全浸没时，结合物体维度计算总体积。 5.检验验证：检验单位是否统一、数据测量是否准确、公式套用是否无误，确认符合题意（如无溢出、物体完全浸入）后，标注正确单位并规范作答。 四、常见不规则物体体积应用题型及解题示例 1. 场景一：排水法（无溢出，基础题） 例：一个长方体玻璃容器，长10分米、宽5分米、高7分米，向容器中倒入水，初始水深4分米，将一块不规则石块完全浸入水中（水未溢出），此时水深上升到4.8分米，求这块石块的体积。 解：① 确认场景：排水法无溢出，石块体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积S=10×5=50（平方分米），水面上升高度4.8−4=0.8（分米）； ④ 计算石块体积：V石块=50×0.8=40（立方分米）； 检验：物体完全浸入，水未溢出，底面积和上升高度计算正确，符合题意。 答：这块石块的体积是40立方分米。 2. 场景二：溢水法（有溢出，基础题） 例：一个正方体容器，棱长8分米，向容器中加满水，将一个不规则铁块完全浸入水中，溢出的水收集到一个长6分米、宽4分米的长方体容器中，测得该容器中水深3分米，求铁块的体积（忽略容器厚度）。 解：① 确认场景：溢水法，铁块体积=溢出的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算溢出的水的体积：V溢水=6×4×3=72（立方分米）； ④ 得出铁块体积：V铁块=V溢水=72（立方分米）； 检验：容器初始加满水，溢出的水体积测量准确，计算无误，符合题意。 答：铁块的体积是72立方分米。 3. 场景三：排水法（物体未完全浸没，进阶题） 例：一块近似长方体的木料，总高度 16 厘米，把它部分浸入长 15 厘米、宽 12 厘米的长方体玻璃容器中，容器原来水深 6 厘米，放入木料之后水深变成 9 厘米，木料浸入水中的高度为 7 厘米，求这块木料的总体积。 解： ① 确认场景：排水法，物体未完全浸没；排开水的体积 = 物体浸入部分体积，柱体体积和高度成正比，求总体积； ② 统一单位：全部为厘米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积 （平方厘米），水面上升高度 （厘米）； ④ 计算浸入部分体积：（立方厘米）； ⑤ 计算木料总体积：（立方厘米） 检验：最终水深 9cm，浸入高度 7cm＜9cm，符合实际；排开水体积等于浸入物体体积，柱体按高度比例计算。 答：这块木料的总体积约 1234.29 立方厘米。 4. 场景四：单位换算结合排水法（基础题） 例：一个长方体容器，长50厘米、宽40厘米，向容器中倒入水，初始水深15厘米，将一块不规则金属块完全浸入水中（水未溢出），最终水深18厘米，求这块金属块的体积（用立方分米表示）。 解：① 确认场景：排水法无溢出，金属块体积=上升的水的体积，涉及单位换算； ② 统一单位：最终要求立方分米，先计算立方厘米，再换算；1立方分米=1000立方厘米； ③ 计算关键数据：容器底面积S=50×40=2000（平方厘米），水面上升高度18−15=3（厘米）； ④ 计算金属块体积：V=2000×3=6000（立方厘米），6000立方厘米=6立方分米； 检验：单位换算正确，底面积和上升高度计算无误，符合题意。 答：这块金属块的体积是6立方分米。 5. 场景五：综合场景（拓展题） 例：一个长方体容器，长12分米、宽8分米、高10分米，初始水深6分米，将两块不规则石块（体积相同）完全浸入水中（水未溢出），最终水深7.5分米，求每块石块的体积。 解：① 确认场景：排水法无溢出，两块石块总体积=上升的水的体积； ② 统一单位：均为分米，无需换算； ③ 计算关键数据：容器底面积S=12×8=96（平方分米），水面上升高度7.5−6=1.5（分米）； ④ 计算两块石块总体积：V总=96×1.5=144（立方分米）； ⑤ 计算每块石块体积：V单=144÷2=72（立方分米）； 检验：物体完全浸入，水未溢出，总体积和单个体积计算准确，符合题意。 答：每块石块的体积是72立方分米。 培优练习 一、选择题 1．乐乐将一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm。这个铁球的体积是（    ）dm3。 A．100 B．52 C．48 D．25 【答案】A 【分析】一个铁球完全浸没在一个底面积是50dm2的长方体容器中，水面升高了2dm，水上升的体积等于铁球的体积；根据长方体的体积＝底面积×高求出水升高的体积，即可求出铁球的体积，据此解答。 【详解】铁球的体积＝水上升的体积：（dm3） 故答案为：A 2．一个水桶的容积是5L，装满水，将石块完全浸没在水桶中，溢出了一些水。取出石块后，桶中还剩4.2L水，则石块的体积是（    ）dm3。 A．5 B．4.2 C．0.8 D．0.2 【答案】C 【分析】一个水桶装满水，将石块完全浸没在水桶中，此时溢出水的体积等于石块的体积；原有水5L，取出石块后还剩4.2L水，相减求出溢出水的体积，即可求出石块的体积，据此解答。 【详解】石块的体积＝溢出水的体积：（L） 0.8L＝0.8dm3 故答案为：C 3．两个完全相同的量杯，比较两个量杯中的水，结果是（    ）。 A．两个量杯中的水一样多 B．第一个量杯中的水多 C．第二个量杯中的水多 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，两个完全相同的量杯，各放入一个梨后，水量一样多，放入的梨小的，水多，放入梨大的水少，据此解答即可。 【详解】放入的梨小的水多，放入梨大的水少，第二个量杯的梨比第一个量杯的梨小。 所以第二个量杯中的水多。 故答案为：C 4．李冬设计了一个测量玻璃球体积的实验：先将200毫升的水倒进容积为500毫升的量杯中，再将1颗大玻璃球和1颗小玻璃球浸没水中，水面刚好在300毫升处，最后放入5颗小玻璃球，全都浸没水中，此时水面与量杯口齐平，刚好无水溢出。那么一颗大玻璃球的体积是（    ）立方厘米。 A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【分析】用500－300，求出5颗小玻璃球的体积，再除以5，求出1个小玻璃球的体积；再用300－200，求出放入1颗大玻璃球和1颗小玻璃球的体积，再减去1个小玻璃球的体积，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】500－300＝200（毫升） 200毫升＝200立方厘米 200÷5＝40（立方厘米） 300－200＝100（毫升） 100毫升＝100立方厘米 100－40＝60（立方厘米） 一颗大玻璃球的体积是60立方厘米。 故答案为：B 5．一个无盖的正方体玻璃鱼缸的棱长为3分米，水深2分米。小明在水里放了一条鲫鱼后测得水面高为2.2分米。鲫鱼体积为（    ）立方分米。 A．13.2 B．12 C．1.2 D．1.8 【答案】D 【分析】根据题意可知，水面上涨的体积就是鲫鱼的体积；原来水深为2分米，水面升高（2.2－2）分米，用底面积乘（2.2－2）即可求出鲫鱼体积。。 【详解】3×3×（2.2－2） ＝9×0.2 ＝1.8（立方分米） 所以鲫鱼体积为1.8立方分米。 故答案为：D 6．图1的烧杯中有1个大球和3个大小相同的小球，再放入2个同样的小球后，水面上升了（如图2）。根据图中的信息，1个小球的体积最有可能是（    ）立方厘米。    A．100 B．98 C．51 D．49 【答案】D 【分析】观察图2和图1，图2水面上升的体积就是放入的2个小球的体积，图2刻度－图1刻度＝2个小球的体积，2个小球的体积÷2＝1个小球的体积，据此分析。 【详解】图2刻度不到400毫升。 （400－300）÷2 ＝100÷2 ＝50（毫升） ＝50（立方厘米） 因为图2刻度不到400毫升，因此1个小球的体积一定小于50立方厘米，最有可能是49立方厘米。 故答案为：D 二、填空题 7．一个长方体鱼缸，它的底面积是，放进一块珊瑚石后，水面由原来的15cm上升到20cm，这块珊瑚石的体积是( )。 【答案】2 【分析】珊瑚石的体积等于水面上升部分的体积。水面上升的高度为20－15＝5cm，需要先将单位统一为分米，再根据“体积＝底面积×高”的公式计算。 【详解】20－15＝5（cm） 5cm＝5÷10＝0.5（dm） 4×0.5＝2（） 所以，这块珊瑚石的体积是2。 8．在一个圆柱形的水桶里，垂直放入一段半径是2cm的圆钢，如果把它完全放入水中，桶里的水就上升10cm，如果把水中的圆钢露出水面6cm，那么这时桶里的水就下降3cm。这根圆钢的高是( )cm，体积是( )cm3。 【答案】 20 251.2 【分析】已知圆钢半径为2厘米，根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆钢底面积。当圆钢露出水面6厘米时，露出部分的体积等于水桶底面积乘水下降的高度，求出露出部分体积。水下降3厘米，用露出部分体积除以水下降的高度，求出水桶底面积。当圆钢完全放入水中时，水上升10厘米，圆钢体积等于水桶底面积乘水上升的高度，求出圆钢的体积。圆钢的高等于体积除以底面积，求出圆钢的高。 【详解】圆钢的底面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 露出水面的圆钢体积：12.56×6＝75.36（cm3） 水桶底面积：75.36÷3＝25.12（cm2） 圆钢的体积：25.12×10＝251.2（cm3） 圆钢的高：251.2÷12.56＝20（cm） 所以这根圆钢的高是20cm，体积是251.2cm3。 【点睛】本题关键在于利用“圆钢露出水面的体积＝水桶中下降的水的体积”这一关系，先求出水桶的底面积，再结合“圆钢完全放入时水上升的体积＝圆钢的体积”，最终算出圆钢的高和体积。 9．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是( )。 【答案】45 【分析】石块放入水中且完全浸没，石块的体积等于水上升的体积，水在长方体容器中，所以水上升的体积可以用长方体容器的长乘宽再乘水位上升的高度即可求出石块的体积。 【详解】    （dm³） 一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升到2.5dm，这个石块的体积是（45）。 10．一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升了2.5dm，这个石块的体积是( )。 【答案】75 【分析】已知一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升了2.5dm，因此石块的体积等于水位上升了2.5dm高度的长方体体积，根据长方体的体积公式，把相应数值代入公式即可解答。 【详解】石块的体积： （dm³） 一个长方体的容器从里面量长为6dm，宽为5dm，高为5dm，水深为1dm。放入一个石块后（完全浸没），水位上升了2.5dm，这个石块的体积是75。 11．一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出( )毫升。 【答案】100 【分析】由题意知：长方体玻璃缸从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，而缸内水面高12厘米，则玻璃缸内空的部分高（15－12）厘米，根据长方体的体积＝长×宽×高，用25厘米×12厘米×（15－12）厘米计算出这个玻璃缸空白部分的体积。 在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，这个正方体的铁块体积＝棱长×棱长×棱长，将铁块放入水缸，空白部分的体积如果没有铁块的体积大，水就会溢出，且缸内的溢出水的体积＝铁块的体积－水缸内空白部分的体积，最后根据1立方厘米＝1毫升，换算单位填空即可。 【详解】10×10×10－25×12×（15－12） ＝10×10×10－25×12×3 ＝1000－900 ＝100（立方厘米） 100立方厘米＝100毫升 一个长方体玻璃缸，从里面测得长是25厘米，宽是12厘米，高是15厘米，缸内水面高12厘米。如果在缸内完全浸没一个棱长为10厘米的正方体铁块，缸内的水会溢出100毫升。 12．下图是乐乐做实验比较土豆和胡萝卜的体积过程。已知长方体容器的长是12cm，宽是12cm，高是24cm。土豆的体积是( )cm3，胡萝卜的体积是( )cm3。 【答案】 288 432 【分析】土豆完全浸没在水里后，土豆的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长是12cm，宽是12cm，高为（10－8）cm的长方体的体积，再把胡萝卜完全浸没在水里后，胡萝卜的体积＝水面上升的体积，水面上升的体积可看作长为12cm，宽为12cm，高为（13－10）cm的长方体的体积，根据长方体的体积V＝abh，把数据代入即可得解。 【详解】12×12×（10－8） ＝144×2 ＝288（cm3） 12×12×（13－10） ＝144×3 ＝432（cm3） 土豆的体积是288cm3，胡萝卜的体积是432cm3。 三、解答题 13．在一个长8厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体玻璃缸中浸没一个棱长4厘米正方体铁块。当铁块从水中取出时，玻璃缸中水面会下降多少厘米？ 【答案】1厘米 【分析】先根据正方体的体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出铁块的体积，因为铁块浸没在水中，所以它排开的水的体积等于自身的体积。玻璃缸的底面积是长8厘米、宽8厘米的长方形，根据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，求出玻璃缸的底面积。最后用铁块的体积除以玻璃缸的底面积，求出的结果就是水面下降的高度，因为下降部分水的体积等于铁块体积，而下降部分水的形状是长方体，其高度可以通过“体积÷底面积”来计算。 【详解】4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 8×8＝64（平方厘米） 64÷64＝1（厘米） 答：玻璃缸中水面会下降1厘米。 14．李大爷在花园里挖了一个长方体的鱼池，从里面量长是1.5米，宽是0.8米，深是0.7米。 (1)要在鱼池的侧面贴瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ (2)原来池中水深0.6米，放入一座高0.4米的假山后，池里的水溢出120升。如果把假山取出来，池里的水深是多少米？ 【答案】(1)3.22平方米 (2)0.5米 【分析】（1）求需要瓷砖的面积，就是求这个长方体鱼池的侧面积，根据侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （2）用池水溢出的体积除以长方体鱼池的底面积，求出溢出水的高度，再用原来鱼池里水的高度－溢出水的高度，即可求出池里的水深，注意单位换算。 【详解】（1）（1.5×0.7＋0.8×0.7）×2 ＝（1.05＋0.56）×2 ＝1.61×2 ＝3.22（平方米） 答：至少需要瓷砖3.22平方米。 （2）120升＝0.12立方米 0.6－0.12÷（1.5×0.8） ＝0.6－0.12÷1.2 ＝0.6－0.1 ＝0.5（米） 答：池里的水深是0.5米。 15．一个无盖长方体玻璃鱼缸，长8分米、宽6分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需玻璃多少平方分米？往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米（水未溢出）。这些石块的体积一共是多少立方分米？ 【答案】188平方分米；24立方分米 【分析】（1）求制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积，实际就是求无盖长方体玻璃鱼缸的表面积，无盖长方体玻璃鱼缸的表面积是5个面的面积之和（底面+前后两面+左右两面），即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2； （2）因为往鱼缸里面装了适量的水，再放入几块装饰石块，发现水面上升了5厘米，且水未溢出，所以说明这些石块的体积就是上升的水的体积； 根据1分米＝10厘米，把低级单位换算成高级单位，要除以进率即5÷10＝0.5（分米），上升的水的体积可以看作是一个长方体，这个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是0.5分米，代入体积＝长×宽×高计算即可。 【详解】（1）8×6＋（8×5＋6×5）×2 ＝48＋（40＋30）×2 ＝48＋70×2 ＝48＋140 ＝188（平方分米） 答：制作这个鱼缸至少需玻璃188平方分米。 （2）5÷10＝0.5（分米） 8×6×0.5 ＝48×0.5 ＝24（立方分米） 答：这些石块的体积一共是24立方分米。 16．在长方体玻璃缸中沉入一石块（全部浸没）。沉入前水面高6cm，沉入后水面升高到10cm且溢出125mL水。玻璃缸里面长30cm、宽20cm。这块石块的体积是多少？ 【答案】 2525 【分析】根据题意，玻璃缸为长方体，根据长方体体积公式（其中a为长，b为宽，h为高），这里，，，可求出上升的水的体积； 石块的体积等于玻璃缸内上升的水的体积加上溢出的水的体积，已知溢出的水的体积为125mL，因为，所以，将上升的水的体积与溢出的水的体积相加即可。 【详解】 （） 答：这块石块的体积是2525。 17．一个棱长2分米的正方体玻璃容器中有5升水，把一块石头浸没在水中（水没有溢出），这时量得容器里的水深14厘米，石头的体积是多少立方分米？ 【答案】 0.6立方分米 【分析】将14厘米转换为1.4分米，计算放入石头后水和石头的总体积，再减去原有水的体积，得到石头的体积。 【详解】14厘米＝1.4分米，5升＝5立方分米 正方体容器的底面积：2×2＝4（平方分米） 放入石头后的总体积：4×1.4＝5.6（立方分米） 石头的体积：5.6－5＝0.6（立方分米） 答：石头的体积是0.6立方分米。 18．一个长方体玻璃容器，底面是边长2分米的正方形，向容器中倒入5升水，再把一个苹果放入水中。苹果完全浸没在水中时量得容器的水深是15厘米。这个苹果的体积是多少？ 【答案】1000立方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，已知长方体的体积、长和宽，先用体积除以长与宽的积算出水深多少。用15厘米减去水的深度就是水上升的高度。再根据排水法，上升水的体积就是苹果的体积。 【详解】5升＝5立方分米＝5000立方厘米 2分米＝20厘米 5000÷（20×20） ＝5000÷400 ＝12.5（厘米） 20×20×（15－12.5） ＝20×20×2.5 ＝1000（立方厘米） 答：这个苹果的体积是1000立方厘米。 19．一个棱长4分米的正方体鱼缸，缸里装有20升水，把一块珊瑚石完全浸没在水中，这时量得鱼缸内水深15厘米。这块珊瑚石的体积是多少立方分米？（鱼缸厚度忽略不计） 【答案】4立方分米 【分析】先把20升化为20立方分米，把15厘米化为1.5分米，上升的水的体积就是这块珊瑚石的体积，根据“正方体的体积＝底面积×高”，用原来水的体积除以正方体鱼缸的底面积求出原来水的高度，再用珊瑚石完全浸没在水中后水的高度减去原来水的高度就是水上升的高度，根据“长方体的体积＝长×宽×高”解答即可。 【详解】20升＝20立方分米    20÷（4×4） ＝20÷16 ＝1.25（分米） 15厘米＝1.5分米          4×4×（1.5－1.25） ＝16×0.25 ＝4（立方分米） 答：这块珊瑚石的体积是4立方分米。 20．一个长方体玻璃容器，长20厘米，宽6厘米，高16厘米。 （1）容器中装有720毫升的水，请根据图1信息，求出容器中水的高度。 （2）请根据图中信息，计算出一个苹果和一个梨的体积分别是多少立方厘米？（每个梨的体积相等） 【答案】（1）6厘米； （2）苹果：360立方厘米；梨：120立方厘米 【分析】（1）先根据1毫升＝1立方厘米把720毫升换算成立方厘米，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）用水的体积除以玻璃容器的底面积即可； （2）比较图2和图3可知：（5－1）个梨的体积是长是20厘米宽是6厘米高是（14－10）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高求出长方体的体积，并用除法即可求出1个梨的体积；再比较图1和图2，1个梨加上1个苹果的体积等于长是20厘米宽是6厘米高是（10－图1中水的高度）厘米的长方体的体积，先求出长方体的体积，再减去1个梨的体积即可得到1个苹果的体积。 【详解】（1）720毫升＝720立方厘米 720÷（20×6） ＝720÷120 ＝6（厘米） 答：容器中水的高度是6厘米。 （2）20×6×（14－10） ＝120×4 ＝480（立方厘米） 480÷（5－1） ＝480÷4 ＝120（立方厘米） 20×6×（10－6）－120 ＝120×4－120 ＝480－120 ＝360（立方厘米） 答：一个苹果的体积是360立方厘米，一个梨的体积是120立方厘米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $