2025-2026学年第二学期湘教版高中数学必修第二册综合测试卷

湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-6章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】复数化简为，即可求解． 【详解】，则的虚部为2，故选：D 2．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项. 【详解】画出图像如下图所示. 对于A选项，大小相等方向相反，，结论正确. 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，，结论正确. 对于C选项，由于，故结论错误. 对于D选项，，大小相等方向相反，，结论正确. 故选：C. 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到的范围，求出，根据凑角法进行求解. 【详解】，故， 因为，而当时，，不合要求， 当，，满足要求，故， 故， . 4．在三角形ABC中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（），则， 所以，所以，解得； 方法二：因为三点共线，由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 所以.故选：B. 6．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解. 【详解】由题设，对应点为，第四象限.故选：D. 7．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰三角形POB中，，所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则．故选：B． 8．已知为球的直径，平面与球切于点，点，（异于点）均在球面上，直线，分别与平面交于，，是边长为的正三角形，设的中点为，若的面积是，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球的半径为，由直角，求得，，再由，得到，取的中点，在中，求得，再由，列出关于的方程，求得的值，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】如图所示，直线平面，连接， 设球的半径为，因为为球的直径，所以， 又因为三角形ABC为直角三角形，所以直角与三角形ABC相似， 所以，即，其中， 所以，， 因为，所以， 取的中点，连接，则必过点， 在中，，可得， 又因为，，所以 ，即，解得，所以球的体积为.故选:A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABC 【分析】对A，根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对B，根据条件，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对C，根据条件，利用向量的模长计算公式，即可求解；对D，根据条件，利用向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】对于A，因为，，所以，则，故A正确， 对于B，因为，，若，则，即，所以，使得，故B正确，对于C，因为，所以， 由，整理得，解得， 所以，使得，故C正确， 对于D，因为，若，则， 解得，不合题意，所以不存在，使，故D错误，故选：ABC. 10．已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换得出的解析式，由周期公式可知A错误，再由整体代换法结合正弦函数单调性、零点可判断BC，代入，由图象法可求得值域. 【详解】易知函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A错误； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C正确；D，当时可知，若，则,所以，可知在上的值域为，即D正确. 11．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 【答案】ABD 【分析】对于A，连接交于点，证明，结合线面平行判定定理及性质定理证明结论；对于B，通过证明取最小值为，排除B，对于C，先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面，即可判断，对于D，通过反设若上存在点，使得，证明，推出矛盾可得结论. 【详解】对于A，连接交于点，则为的重心，连接． 因为，所以，平面，平面， 所以平面，平面，平面与平面的交线为， 则，故，故A错误； 对于B，若在上存在点，则， 当与重合时，取最小值为，故B错； 对于C，当时，因为，，， 所以，则，即． 又平面，平面，． ，平面， 平面平面， 平面平面，故C正确； 对于D，过作交于点．若在上存在点，使得， 则．又，，平面． 平面，所以平面，又平面， ，矛盾．故D错． 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在三角形ABC中，已知，，，则______. 【答案】 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得，则， 又由正弦定理：，则. 13．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_________． 【答案】 【分析】先应用正弦定理及诱导公式化简得出，最后结合角的范围求解角. 【详解】因为，所以由正弦定理得． 因为， 所以．因为，所以．因为，所以， 故答案为： 14．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面；（2）平面平面； （3）； （4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定（1）正确；再证得平面，利用面面平行的判定定理，可判定（2）正确；利用勾股定理，证得，结合，可判定（3）正确；利用异面直线所成角的定义和求法，可判定（4）错误. 【详解】如图所示，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确； 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 因为，所以，所以（3）正确． 由于，分别为侧棱，的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角， 又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，三角形ABC外接圆半径． (1)求角A和a； (2)若，求三角形ABC的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换，求出A的大小，再根据正弦定理求出a的值即可； （2）利用正弦定理求出B的大小，进一步得到C的大小，最后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）三角形ABC中，已知， 由正弦定理可得， 因为，有，所以，解得， 又因为，所以， 由正弦定理得，则． （2）由正弦定理得，所以， 因为，所以，故，则， ． 16．（15分）已知是上的偶函数， (1)求的取值集合； (2)若，函数在上的最大值为－1，求的值以及的单调递减区间． 【答案】(1) (2)；单调递减区间为 【分析】（1）利用偶函数的性质，展开并整理函数表达式，解出，得到的取值集合； （2）先根据的范围确定其具体值，化简后代入，再通过三角恒等变换将化为单一三角函数形式，结合区间求最大值以确定，最后根据复合函数单调性求出单调递减区间. 【详解】（1）因为 ， 所以 因为是上的偶函数，所以对，， 所以，即，解得， 即的取值集合为. （2）若，由（1）可知， 则 所以 因为，所以，所以， 所以当时，取得最大值，即，解得， 所以，由，解得，即的单调递减区间为. 17．（15分）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）根据异面直线的定义可得为所求角，即可利用线面垂直的性质求解； （2）根据线面平行的性质可得，即可由相似求解. 【详解】（1）因为，所以异面直线和所成角为和所成角，即． 因为是正三角形，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以是等腰直角三角形，所以， 即异面直线和所成角为． （2）因为平面，平面， 平面平面，所以，所以， 因为，，所以，所以． 18．（17分）某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲； (2) 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算，最后应用互斥事件概率和公式求解； 【详解】（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. （2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 19．（17分）（1）若，求实数，的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由复数相等的充要条件，比较等号两边复数的实部与虚部即可求解； （2）由题意，若复数为0，则有复数的实部和虚部都为0，由复数的运算法则求解即可； （3）由题意，不妨设关于的方程的实根为，将之代入后由复数的运算即可求解. 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得， （2）因为，，所以由， 可得，解得或，所以. （3）设方程的实根为， 则有， 所以，解得或， 即或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）必修第二册第1-6章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 2．在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．在三角形ABC中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知为球的直径，平面与球切于点，点，（异于点）均在球面上，直线，分别与平面交于，，是边长为的正三角形，设的中点为，若的面积是，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，则（   ） A． B．，使得 C．，使得 D．，使得 10．已知函数，则（    ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时， D．当时，在上的值域为 11．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在三角形ABC中，已知，，，则______. 13．在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，则_________． 14．如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面；（2）平面平面； （3）； （4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且，三角形ABC外接圆半径． (1)求角A和a； (2)若，求三角形ABC的面积． 16．（15分）已知是上的偶函数， (1)求的取值集合； (2)若，函数在上的最大值为－1，求的值以及的单调递减区间． 17．（15分）在四棱锥中，O为与的交点，平面，是正三角形，，． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)若点E为棱上一点，且平面，求的值． 18．（17分）某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 19．（17分）（1）若，求实数，的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-6章 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1,已知复数z),则z的虚部为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是() A.AB+CD=0 B.AD+AB=AC C.AD+BD=AB D.AD+CB=0 3.已知a∈ 12'2,sia+ 元3 &+35则sina=() A. 3+4V5 B.3-45 C.-3+4V5 D.-3-4V3 10 10 10 10 4.在三角形ABC中，N-NC,P是BN上一点，若-m语-号C,则实数加的值 9 为() B A. B. 1 9 3 C.1 D.3 ,则sm20-=() 6 A B.-1 3 C.22 D. 2W2 3 3 6.复数z= -到在复平面内对应的点位于（） 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D中，AD=3,AC=4,cos∠ADC,现将△DAC 使得PB=√34，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() 4号 B号 c D. 3-5 8.已知AB为球O的直径，平面与球O切于点B,点M,N(异于点B)均在球面上， 直线AM,AN分别与平面a交于C,D,△BCD是边长为√5的正三角形，设MN的中点 为P,若△AOP的面积是√，则球O的体积为() A.205元 20 B.20W5元 D.20m 3 c. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知向量a=(m,1),b=(1,m),c=(1,1),则() A.meR,a⊥b B.3meR,使得a/l C.meR,使得a+b+c=V5 D.3eR,使得i,c= 4 1a.已知图数f=ao+君引m(ga]e0).则() A.当f(x)的最小正周期为π时，o=2 B.当f()在(0，)上单调时，0<w≤2 C.当f()在(0，)上恰有两个零点时， 4 6 3 3, D.当0=2时，f(在0写上的位城为号1 11.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，A4⊥底面ABC,D,E分别是棱BC,AB的中点， 点F在棱CC上，AB=BC=CA=CF=2,AA=3,则下列说法不正确的是() C B E A.设平面ADF与平面BEC的交线为l,则直线EC与l相交 B.在棱AC,上存在点V,使得三棱锥N-ADF的体积为 7 C.设点M在BB上，当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF D.在棱AB上存在点P,使得CP⊥AF 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12,在三角形ABc中，已知4=年A-否a=2,则c= 13.在三角形ABC中，a,b,c分别是角4，B,C的对边，且cosB+3b=c,则A= 14.如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N分别为 侧棱PA,PB的中点，有下列结论： (1)PC/1平面OMN;(2)平面PCD/1平面OMN: (3)OM⊥PA: (4)直线PD与直线N所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)三角形ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,,且2cc0sA=a.c0sB+b.c0sA, 三角形ABC外接圆半径R=√3 (1)求角A和a: (2)若b=√5，求三角形ABC的面积. 16.(15分)已知f(x)=sin(x+p)+3cosx-p)是R上的偶函数， (1)求P的取值集合： ②诺子<<0，函数g)=/ 上的最大值为一1， 2 求的值以及g(x)的单调递减区间. 17.(I5分)在四棱锥P-ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD,△PAD是正 三角形，DC∥AB,DA=DC=2AB. B (I)求异面直线PC和AB所成角的大小： (②)若点E为棱PA上一点，且OE11平面P8C,求48的值. PE 18.(17分)某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两 轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜 出的假学分别为子有在第轮比赛中，甲、乙出的概半分别为宁·号甲、乙两人在 每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率 19.(17分)(1)若(x+y)+yi=(x+1)i,求实数x,y的值： (2)已知a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立，求实数a的值： (3)若关于的方程3x-号x-1-40-x-2xi有实根，求实数a的值湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版（2019)必修第二册第1-6章 第一部分（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的： 1.己知复数z=1-2i 5 则z的虚部为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】D 【分析】复数化简为z=1+2i,即可求解. 5 5(1+2i) 【详解】z= 1-2i(1-2i)(1+2i1) =1+2i,则z的虚部为2，故选：D 2.在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（) A.AB+CD=0 B.AD+AB=AC C.AD+BD=AB D.AD+CB=0 【答案】C 【分析】画出图像，根据向量加法运算，对选项逐一分析判断，由此得出正确选项， 【详解】画出图像如下图所示 对于A选项，AB,CD大小相等方向相反，AB+CD=0,结论正确 对于B选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，AD+AB=AC,，结论正确 对于C选项，由于AD+DB=A正，故结论错误 对于D选项，AD,CB,大小相等方向相反，AD+CB=0,结论正确 故选：C D B 3.已知 兀π sina+3) 则sina=() π3 A. 3+4V5 B. 3-4W5 C. -3+4W5 D. -3-4V3 10 10 10 10 【答案】A 【分析们】先得到a+的范围，求出csa+）- 4 根据凑角法进行求解， 3 不合要求， 满足要求，故coe口-引0， 故e引小哥号 10 4.在三角形ABC中，AN=}NC,P是BN上一点，若=mAB+乙AC,则实数m的值 9 为() B A. B. 1 9 3 C.1 D.3 【答案】A 【分析】由题意得AP=mA正+8，方法一：设BP=PN,化简得到 9 AP=AB+BP=,1AB+,入A不，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质 1+21+ 定理直接计算求解即可. 【详解】因为N}C,D=mB+号4C,所以正=西+g孤， 方法：设亚-酒(0，则驴丽-子瓜瓜， 1 「2=8 所以瓜+P亚，所以8安，解得0 1+2 L= 91+2 9 方法二：因为B,P,N三点共线，由三点共线的性质定理可知m+8=1,所以m=} 9 故选：A 5.己知sim -5则0-君(） 6 3 A B.- 3 c.2W2 D. 2W2 3 3 【答案】B 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 6.复数z= 1-v3 在复平面内对应的点位于() 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合复数的几何意义求解。 【详解】由题设z= h-5i2 2-01-i,对应点为1，-1，第四象限故选：D 1+i1+i1+i)1-i) 7.在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4,cos∠ADC,现将△DAC沿AC折叠至△PAC, 使得PB=√34，则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() A号 B号 D. 3-5 【答案】B 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出AC⊥平面PAD,最后应用线 面角的定义结合边长关系得出正弦值即可 【详解】在△ADC中，AC2=AD2+CD2-2AD.CDcos∠ADC, 即16=9+CD-6CD,解得cD=5(合负，赦4C+AD-CD,可得4CLAD 在Rt△AOD中，OD=√AD2+AO=V13,可得P0=B0=V13, 等腰三角形POB中，cos∠PBO= √34，所以△PBD中， OB 213 PD=√PB2+BD2-2PB·BDoS∠PBD= /34+52-2/34.2/1334 213 在APAD中，PA-AD=3,所以∠PAD=r,可得S.a号PAAD-多 因为AC⊥PA,AC⊥AD,PAAD是平面PAD内的相交直线， 19 以ACL平面PAD,可得V。M=3SA4AC=X×4三 32 面△PBC中，PBPC+BC34,所以∠PCB=90°，可得SAre=PC.BC5 2 设点A到平面P8C的距离为d,则。=e=6,即×5d=6,解得d= 32 5 12 若AB与平面PBC所成的角为6，则sin0=d=三=2，故选：B, AB525 8.已知AB为球O的直径，平面与球O切于点B,点M,N(异于点B)均在球面上， 直线AM,AN分别与平面a交于C,D,△BCD是边长为√5的正三角形，设MN的中点 为P,若△AOP的面积是√5，则球O的体积为() A.20w5 20 C. D.20元 3 B.20W5元 3 【答案】A 5 V5+4R2,AM= 4R2 【分析】设球O的半径为R,由直角△BMC∽△ABC,求得CM= V5+4R2 再由AMNSAACD,得到N=C·CD-=5R ,取CD的中点Q,在△BCD中，求得 5+4R SR,再由SB,列出关于R的方程，求得的值，结合球的体积公式，D 可求解 【详解】如图所示，直线AB⊥平面a,连接BM,OM,ON, 设球O的半径为R,因为AB为球O的直径，所以BM⊥AM, 又因为三角形ABC为直角三角形，所以直角△BMC与三角形ABC相似， 所以8C-BC,即BC2三CMAC,其中AC=V5+4R2, 5 所以CM= V5+4R:,AM= 4R2 √5+4R2 因为△AN∽△ACD,所以MN=AM .CD= 4V5R2 AC 5+4R2 取CD的中点Q,连接AQ,则AQ必过点P, a 22x2R 在△8CD中，B0,可得3=片5 2R, 2 又因为40-号4D-R,P=级 254R0m0p 54P2AO,所以S=24 AP.sin QiP1ER x4RAB4A0.sin04P）×,4R 2×5+4R22 2X5+4R×4e 2 R=V5,所以球0的体积为r-4R-20V5 元.故选：A. 3 二、多项选择题：本题共3小题。每小题6分。共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(m,1),b=(-1,m),c=(1,1),则() A.m∈R,a⊥b B.3m∈R,使得a/1e C.eR,使得a+b+c=5 D.3meR,使得i,c= 4 【答案】ABC 【分析】对A,根据条件，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对B,根据条件，利用向 量共线的坐标表示，即可求解：对C,根据条件，利用向量的模长计算公式，即可求解；对 D,根据条件，利用向量夹角的坐标表示，即可求解， 【详解】对于A,因为ā=(m,1),b=(-1,m),所以a.b=-m+m=0,则a1b,故A正确， 对于B,因为a=(m,1),c=(1,1),若a11E,则m-1=0,即m=1,所以3m∈R,使得a/1, 故B正确，对于C,因为a+b+c=(m,m+2),所以a+b+d=√t+(n+2)3, 由m+m+2=5,整理得2m2+4+1=0,解得m=-1士5 所以3meR,使得a+b+c=3,故C正确， 对于D,因为c0sb,c= 可2x+m,若6.c=牙则"50， b.c m-1 V2×1+m22 解得m=0<1,不合腿意，所以不存在m,使5，E-子，故D错误，故选：ABC 10.已知函数e)=2mm+君}m(号mo>0),则() A.当f(x)的最小正周期为兀时，o=2 B.当f(x)在(0，π)上单调时，0<⊙ 1 12 C.当f()在(0，)上恰有两个零点时，)<0≤1 6 D.当0=2时，f在到上的值域为51] 4 2 【答案】BCD 【分析】利用三角恒等变换得出f(x)的解析式，由周期公式可知A错误，再由整体代换法 结合正弦函数单调性、零点可判断BC,代入⊙=2，由图象法可求得值域。 【详解】易知函数 =sin cxcos @x+ 9 o'ax-in上fax+i2 an sin em+引月 A,当f()的最小正周期为π时，可知”=元，解得0=1，即A错误： 20 B,当xe(Q,列时，可知2ar+骨cG20到 若)在Q)上单调，则需满足晋2x背分解得0<0合B正确： 1 C,结合B中分析可知当f()在(0，)上恰有两个零点时，需满足2m<2m+ +3s3,解得 0≤，即C正确：D,当o=2时可知fy)=sm4 5 4 6 )若 3 ,则 上的值域为 3 1,即 4 2 D正确. I1.如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥底面ABC,D,E分别是棱BC,AB的中点， 点F在棱CC上，AB=BC=CA=CF=2,AA=3,则下列说法不正确的是() D B E A.设平面ADF与平面BEC的交线为l,则直线EC与l相交 B.在棱AC上存在点V,使得三棱锥V-ADF的体积为5 C.设点M在BB,上，当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF D.在棱AB上存在点P,使得CP⊥AF 【答案】ABD 【分析】对于A,连接CE交AD于点O,证明OF/IEC,结合线面平行判定定理及性质定 理证明结论，对于B,通过证明取最小值为。，排除B,对于C先证明CM1DP AD⊥CM,根据线面垂直判定定理证明CM⊥平面ADF,再由面面垂直判定定理证明平面 CAM⊥平面ADF,即可判断，对于D,通过反设若AB,上存在点P,使得CP⊥AF,证 明CP1AC,推出矛盾可得结论 【详解】对于A,连接CE交AD于点O,则O为△ABC的重心，连接OF, CO CF 2 因为o2C,所以oF1/2C,OFz平面BBC,BCc平面BBC 所以OFI/平面BEC1,OFC平面ADF,平面ADF与平面BEC的交线为l, 则OF II,故EC/1,故A错误： 对于B,若在AC上存在点N,则Vw-ADr=V-Aw 当V与C重合时，y,n取最小值为S49yx -号512x兰点，故B 511 K2=6 对于C,当BM=1时，因为CF=CB=2,BM=CD=1,:∠CBM=∠FCD=90°， 所以△CBM≌△FCD,则∠BCM+∠CDF=90°，即CM⊥DF. 又：AD⊥平面CBB,C,CMC平面CBB,C1,AD⊥CM. :DF∩AD=D,DF,ADC平面ADF, .CM⊥平面ADF.:CMc平面CAM, .平面CAM⊥平面ADF,故C正确： 对于D,过C作CG1/A交A4于点G.若在AB,上存在点P,使得CP⊥AF, 则CP⊥CG.又CP⊥GA,CG∩GA=G,CGc平面ACG. GAc平面ACG,所以CP⊥平面ACG,又ACc平面ACG, .CP⊥AC,矛盾，故D错. 故选：ABD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2,在三角形ABC中，已知A,B= 12’a=2,则c= 【答案】√6 【分析】利用三角形内角和与正弦定理可得答案 【详解】由三角形内角和得A+B+C=元，则C= 3 sinsinc,则c=amC-v6 又由正弦定理：a=c sinA 13.在三角形ABC中，a,bc分别是角4，B,C的对边，且acoB+5b=c,则4= 2 【答案】 【分析】先应用正弦定理及诱导公式化简得出cosA= √5 ,最后结合角的范围求解角A. 2 【详解】因为acosB+5b=c,所以由正弦定理得s4cosB+5 sinB sinC. 因为sinC=sinπ-(B+A)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, 所以3 inB=cos4sinB.因为siB≠0，所以co4=y5 因为A∈(0，元)，所以A= o, 故答案为：君 14.如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，O为底面正方形的中心，M,N分别为 侧棱PA,PB的中点，有下列结论： (1)PC/平面OMN:(2)平面PCD/平面OMN: (3)OM⊥PA: (4)直线PD与直线MN所成角的大小为90°. 其中正确结论的序号是 【答案】(1)(2)(3) 【分析】根据题意，得到PC/1OM,利用线面平行的判定定理，证得PC//平面OMN,可 判定(1)正确：再证得PD/平面OMN,利用面面平行的判定定理，可判定(2)正确： 利用勾股定理，证得PC⊥PA,结合PC/1OM,可判定(3)正确：利用异面直线所成角的 定义和求法，可判定(4)错误 【详解】如图所示，连接AC,因为O,M分别为AC,PA的中点，可得PC/1OM, 又因为PC平面OMN,OMc平面OMN,所以PC/I平面OMN,所以(1)正确： 因为O,N分别为AC,PB的中点，可得PD/1ON, 又因为PD平面OMN,ONc平面OMN,所以PD/平面OMN, 因为PCOPD=P,且PC,PDc平面PCD,所以平面PCD/I平面ON,所以(2)正确： 由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA+PC2=AC2,所以PC⊥PA, 因为PC/1OM,所以OM⊥PA,所以(3)正确， 由于M,N分别为侧棱PA,PB的中点，所以MNI∥AB, 因为四边形ABCD为正方形，所以AB/ICD, 所以直线PD与直线MN所成的角即为直线PD与直线CD所成的角，即为∠PDC或其补角， 又因为三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC=60°，所以(4)错误. 故答案为：(1)(2)(3) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)三角形ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且2 c.cos4=a.c0sB+b.cosA, 三角形ABC外接圆半径R=√5. (1)求角A和a: (2)若b=√5，求三角形ABC的面积. 【答案】)A= 3,a=3 ②35 2 【分析】(1)利用正弦定理和三角恒等变换，求出A的大小，再根据正弦定理求出α的值 即可： (2)利用正弦定理求出B的大小，进一步得到C的大小，最后利用三角形的面积公式即可 求解。 【详解】(1)三角形ABC中，已知2ccos4=a.cosB+b.cos4, 由正弦定理可得2 sin Ccos4=sin AcosB+sin Bcos4=sin(A+B)=sinC, 因为0<C<元，有sinC≠0，所以2cosA=1,解得cosA=2' 1 又因为0<A<元，所以A=正 3