专题07 三角恒等变换十大题型——2026届高三数学三轮冲刺讲义

该高中数学高考复习讲义围绕三角恒等变换核心考点，涵盖公式应用策略、变角变名技巧、辅助角公式等内容，按“考点梳理-方法归纳-典例解析-考场实练”逻辑展开，通过十大题型分类突破，帮助学生构建知识体系，突破解题难点。 资料以题型为载体渗透数学思维，如变角技巧中引导学生分析已知角与所求角关系，培养推理能力，辅助角公式应用实例强化数学语言表达。设置基础到综合的分层练习，配合即时解析，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

复盘固化核心常考点专题 专题07 三角恒等变换十大题型 全解析 + 考场实练 读考点 考点总结与提升 1.三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．　 2.三角函数公式活用技巧 ①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； ②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．　 4.三角公式求值中变角的解题思路 ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 5.三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 6.两角和差公式 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. （6）. 7.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）; （2）; （3）. 8.常见角的拆分与组合: 9辅助角公式:形如的式子可做如下变换: --------(1) 令 (1)式=,其中. 二、典例精讲 核心考点01 .切弦互化 例1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－， 所以tan α＝＝－. 因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－， 则tan(α－β)＝＝－. 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 解析：，，，， .故选：D. 例3．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________． 【解析】因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝. 又因为＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]． 展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝. 例4．已知方程，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为方程， 所以， 即，则或（舍去）， 所以，所以， ，故选：B 核心考点02．万能公式：（齐次式切弦互化） 作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题. ，， 例5．已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 解析：由，所以，则，由，则.故选：A 例6．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 解析：∵，∴，解得或（舍去），所以.故选：D 例7．已知为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 解析：∵，解得， ∴，∵，∴，∴， ∴，故选：B． 核心考点03．诱导公式 例8．已知. （1）求的值； （2）求的值. 解析：（1）由可得， 即； （2）. 核心考点04.两角和与差与二倍角公式 例9．（    ） A． B． C． D． 解析： ．故选：B． 例10．（给值求值）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 解析：， 因为，所以，则在第二或第三象限， 因为，当在第三象限时，由于， 又在上递增，且，所以当在第三象限时，，与矛盾，所以在第二象限，因为，所以． 因为，所以，则．因为，所以．所以， 即．故选：A． 例11．（给值求角）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 解析：，符号相同，又，，，由可得，又，，，所以，， ，由，，得，，故选：A． 例12．（给值求角）已知，且，，则的值___________ 解析：， ， ，，，.故答案为：. 例13．已知，，，则___________ 解析：因为，所以，若，则， 所以，因为，所以，若，则，所有，故 .故答案为：. 注：在给值求角过程中，一定要注意“缩角”，即已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数，若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好． 核心考点05．辅助角公式 例14．已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若锐角，满足，，求. 解析：（1）, 因为，则，所以，所以. （2）由第（1）问知，所以， 因为，所以，因为，为锐角，所以，因为，所以，所以 . 例15．已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 解析：因为，其中，当时，取得最大值，即，所以，所以故选：A 核心考点06．二次函数型 （1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值. （2）或. 对于,由二倍角公式,得 ,令,则问题转化为关于的二次函数问题. 类似地,对于,用二倍角公式,使其转化为二次函数问题. 例16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 解析：由，令，得：，二次函数开口向下，对称轴为，因为，所以函数为递增函数，因为当时，，当时，，所以，即时，，使函数的值域为，所以由余弦函数图象与性质可知，，所以的取值范围是：．故选：A 核心考点07.和差与乘积结合型函数 如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值. 例17．已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 解析：， 令， 即，由，则.故选：A. 核心考点08 ．三倍角公式： 例18．函数的值域为____________． 解析：，设，，则， ，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，，，，所以值域为. 核心考点09 求值计算 例19.. 解析： . 例20.（1）； （2）. 解析：（1） . （2） 例21求4sin 20°＋tan 20°的值为________． 【解析】原式＝4sin 20°＋ ＝＝ ＝＝. 核心考点10 三角函数恒等式的证明 1若tanα＝3，则的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【解析】＝＝2tanα＝2×3＝6.故选D. 2（多选）已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sin α，则下列说法正确的有（ ） A. tan(α＋β)＝6tanα B. tan(α＋β)＝6tan β C.若tan α＝3tan β，则α＝ D. 若tan α＝3tan β，则α＝ 【解析】因为sin(α＋2β)＝sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝sin[(α＋β)－β]， 所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β＝[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.①因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0，与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β，得tan(α＋β)＝6tan β.A错误，B正确；由前面知tan(α＋β)＝6tan β，则＝6tan β， 因为tan α＝3tan β，所以tan β＝tan α，所以＝2tan α.因为α∈，所以tan α＞0，所以＝2，所以tan2α＝1.因为α∈，所以tan α＝1，从而α＝.C正确，D错误。故选BC。 3求的值 【解析】原式＝＝＝tan30°＝. 4求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝. 【证明】证法一：(复角→单角，从“角”入手) 左边＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－ ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ ＝sin2β＋cos2β－＝1－＝. 证法二：(从“名”入手，异名化同名) 左边＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋cos2α) ＝－cos2β ＝－cos2β＝. 证法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 左边＝·＋·－cos2αcos2β ＝(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β)＋(1＋cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β)－cos2αcos2β＝. 证法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方) 左边＝(sinαsinβ－cosαcosβ)2＋2sinαsinβcosαcosβ－cos2αcos2β ＝cos2(α＋β)＋sin2αsin2β－cos2αcos2β ＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β) ＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝. 三、高考练场 1．若，则（    ） A． B． C． D． 解析：将式子进行齐次化处理得： ．故选：C． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 解析：，，，，解得，，.故选：A. 3．已知，则（    ）． A． B． C． D． 解析：因为，而，因此， 则， 所以.故选：B 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 解析：，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A. 5．设，则（       ） A． B． C． D． 【解析】. 故选：A. 6．已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】因为不等式对恒成立， 所以不等式对恒成立， 令，因为，所以， 则，所以，所以，解得， 所以m的最小值为， 故选：D 7．若，且，则（       ） A． B． C．2 D．2 【解析】，故， 可解得或，又，故，故， 故选：D 8．设，，在平面直角坐标系内，点为角终边上任意一点，则的一个对称中心为（       ） A． B． C． D． 【解析】根据已知得到， ， 所以，又因为 ， 所以，所以点．不妨取，所以，令，，，，所以对称中心为，， 当时，函数的一个对称中心是 故选：A 9．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析： ，令，得，∴函数在，单调递增，由题知在上单调递增，∵， ∴，解得.故选：B. 10．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________. 【详解】∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∵，∴， ∵，∴， 由余弦定理知，， ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：6 11．已知，，则______． 【解析】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得． 故答案为： 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 【解析】根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于, 所以， 设， 所以在和中，，且均为锐角， 所以 所以由正弦定理得：，， 所以，， 因为 所以 ， 因为，所以，所以， 所以 故实数的最小值为. 故答案为： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题07 三角恒等变换十大题型 全解析 + 考场实练 读考点 考点总结与提升 1.三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．　 2.三角函数公式活用技巧 ①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； ②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题 ①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系； ②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．　 4.三角公式求值中变角的解题思路 ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 5.三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦． 6.两角和差公式 （1）; （2）; （3）; （4）; （5）. （6）. 7.二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）; （2）; （3）. 8.常见角的拆分与组合: 9辅助角公式:形如的式子可做如下变换: --------(1) 令 (1)式=,其中. 二、典例精讲 核心考点01 .切弦互化 例1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　) A．－ B. C. D．－ 例2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例3．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________． 例4．已知方程，则（    ） A． B． C． D． 核心考点02．万能公式：（齐次式切弦互化） 作为齐次切弦互换的一个应用典例，推导出的万能公式及应用也是非常常见常考的问题. ，， 例5．已知，且，则（    ） A． B． C． D．或 例6．已知第二象限角满足，则（    ） A． B． C． D． 例7．已知为锐角，且，，则（    ） A． B． C． D． 核心考点03．诱导公式 例8．已知. （1）求的值； （2）求的值. 核心考点04.两角和与差与二倍角公式 例9．（    ） A． B． C． D． 例10．（给值求值）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 例11．（给值求角）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 例12．（给值求角）已知，且，，则的值___________ 例13．已知，，，则___________ 核心考点05．辅助角公式 例14．已知函数. （1）当时，求的取值范围； （2）若锐角，满足，，求. 例15．已知函数在处取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 核心考点06．二次函数型 （1）把形如或的三角函数最值问题看成与或有关的二次函数解析式，再将其解析式变形转化为或，最后根据已知变量的范围求最值. （2）或. 对于,由二倍角公式,得 ,令,则问题转化为关于的二次函数问题. 类似地,对于,用二倍角公式,使其转化为二次函数问题. 例16．函数的定义域为，值域为，则α的取值范围是（　　） A． B． C． D． 核心考点07.和差与乘积结合型函数 如求三角函数的最值，可将看作，则原函数可变形为，该函数是我们熟悉的二次函数，可求它的最值. 例17．已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 核心考点08 ．三倍角公式： 例18．函数的值域为____________． 核心考点09 求值计算 例19.. 例20.（1）； （2）. 例21求4sin 20°＋tan 20°的值为________． 核心考点10 三角函数恒等式的证明 1若tanα＝3，则的值等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 2（多选）已知α，β∈，且sin(α＋2β)＝sin α，则下列说法正确的有（ ） A. tan(α＋β)＝6tanα B. tan(α＋β)＝6tan β C.若tan α＝3tan β，则α＝ D. 若tan α＝3tan β，则α＝ 3求的值 4求证：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝. 三、高考练场 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．设，则（       ） A． B． C． D． 6．已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ） A． B． C． D． 7．若，且，则（       ） A． B． C．2 D．2 8．设，，在平面直角坐标系内，点为角终边上任意一点，则的一个对称中心为（       ） A． B． C． D． 9．若函数在上为增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________. 11．已知，，则______． 12．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $