专题5.1 多边形与平行四边形（举一反三专项训练）-【上好课】2026年中考数学一轮复习举一反三系列（全国版）

专题5.1 多边形与平行四边形（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 多边形】 2 【题型1 多边形内角和/外角和的计算】 2 【题型2 多边形内角和与外角和综合】 2 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 4 【题型4 复杂图形内角和的计算】 6 【题型5 平面镶嵌】 8 【题型6 多边形与实际应用】 12 【考点二 平行四边形的判定与性质】 15 【题型7 利用平行四边形的性质求解】 17 【题型8 平行四边形的证明】 17 【题型9 平行四边形与三角形相似的综合证明】 21 【题型10 平行四边形折叠/旋转变换问题】 25 【考点三 多边形与平行四边形的综合】 32 【题型11 多边形与几何图形综合】 38 【题型12 平行四边形动点轨迹与线段最值】 38 【题型13 平行四边形与函数综合】 46 【题型14 坐标系中平行四边形的存在性探究】 52 【题型15 与平行四边形有关的新定义问题】 57 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 多边形】 【题型1 多边形内角和/外角和的计算】 1．（2025·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形内角和公式的应用．先利用边形内角和公式求出五边形的内角和，再结合每个内角相等的条件列方程求解即可． 【详解】∵边形内角和公式为， ∴五边形的内角和为， ∵五边形的每个内角都是， ∴， 解得：． 故选：A． 2．（2025·云南大理·一模）一个九边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多边形外角和，解答本题的关键是明确n边形外角和为． 【详解】解：多边形的外角和等于． 故选：B． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正五边形的两个顶点，则与的度数和为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了正多边形内角和定理．根据多边形内角和定理： 且为整数先求出正五边形的内角和，进一步得到个内角的和，根据四边形内角和为，可求的度数，根据角的和差关系即可得到图中的结果． 【详解】解：如图， 正五边形的内角和为： ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查多边形的性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意可知，，结合，求得． 【详解】解：如图所示，延长交于点． 根据题意可知，， 所以． 因为， 所以． 故答案为： 【题型2 多边形内角和与外角和综合】 5．（2025·湖南怀化·一模）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于(      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角问题，先求得边数，进而根据任意多边形的外角和为，即可求解． 【详解】解：设这个多边形为正边形． 则有，解得． 又因为任意多边形的外角和为， 所以． 故选：A． 6．（2025·湖北·一模）若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，由题意可得这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，再根据多边形的内角和公式计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵一个多边形的外角和与内角和相等， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数是，则， 解得：， 故选：A． 7．（2025·山西·模拟预测）如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 首先求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形内角和， ， ， 故答案为：． 8．（2025·新疆·模拟预测）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE的内角和，则可求得∠BOD． 【详解】、、、的外角的角度和为， ， ， 五边形OAGFE内角和， ， ． 故答案为 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键． 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 9．（2025·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 10．（2025·山东·一模）一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 【答案】D 【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解． 【详解】n边形的内角和是(n﹣2)•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是(4+1﹣2)×180°＝540°， 所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是(4﹣2)×180°＝360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是(4﹣1﹣2)×180°＝180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个是解决本题的关键． 11．（2025·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】分从顶点到顶点裁剪和从顶点到边裁剪两种情况求解． 【详解】多边形裁掉2个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪． ∵新多边形内角和为1260°， ∴根据多边形内角和公式180°×（n-2）=1260°， 解得：n=9， ∴新多边形的边数为9． ①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11； ②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键． 12．（2025·江苏扬州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　） A．17 B．16 C．15 D．16或15或17 【答案】D 【详解】多边形的内角和可以表示成 (且n是整数)，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据解得：n=16， 则多边形的边数是15，16，17． 故选D． 【题型4 复杂图形内角和的计算】 13．（2025·浙江·模拟预测）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 【答案】900° 【分析】根据多边形的内角和，可得答案． 【详解】解：连EF，GI，如图 ， ∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2）， 即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°， 故答案为：900°． 【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）． 14．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 15．（2025·浙江·模拟预测）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【详解】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 16．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°． 【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可； （2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解； ②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E． 则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD， ∠CDE=∠C+∠CAD ∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD． ∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC． （2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D， ∵∠BFE+∠B+∠E=180°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 故答案为：180° ②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E， ∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 故答案为：360° 【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键. 【题型5 平面镶嵌】 17．（2025·辽宁营口·二模）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】主要考查了平面镶嵌，掌握平面镶嵌的定义和正多边形的内角和公式是解题的关键．根据平面镶嵌的定义，求出正边形的一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式即可求解出答案． 【详解】解：∵正五边形一个内角的度数为， ∴正m边形的一个内角的度数为， ∴， 解得． 故选：C． 18．（2025·陕西榆林·二模）如图是由两个正六边形、两个正方形和两个等腰三角形（阴影部分）无缝隙、不重叠地拼成的美丽图案，已知正六边形和正方形的边长均相等，则等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】75 【分析】本题考查正多边形的内角，等边对等角，求出正六边形和正方形的一个内角度数，根据周角的定义，求出等腰三角形的顶角的度数，再根据等边对等角，求出等腰三角形的底角度数即可． 【详解】解：由题意，一个正六边形的内角度数为，一个正方形的内角的度数为：， ∴等腰三角形的顶角度数为：， ∴等腰三角形的底角度数为； 故答案为：75． 19．（2025·陕西·模拟预测）如图，正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形内角和，多边形内角和问题，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 先根据正多边形性质，求得，根据全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接求得，然后根据五边开内角和求解即可． 【详解】解：∵正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成 ∴，， ∵， ∴ 故答案为：． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据多边形的内角和求出，则通过计算多边形的外角即可得到答案． 【详解】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是， 故答案为：． 【题型6 多边形与实际应用】 21．（2025·云南昆明·模拟预测）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求多边形的内角和，根据多边形的内角和公式，，进行求解即可． 【详解】解：八边形的内角和为； 故选A． 22．（2025·广东韶关·二模）如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为 ．     【答案】/度 【分析】根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和，解答即可． 本题考查了正多边形的内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据多边形的内角和为：，得正六边形的内角和， 故答案为：． 23．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看做正五边形，已知正五边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，由正多边形的性质可得，，即得，再根据角的和差关系即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是正五边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 24．（2025·湖南湘潭·模拟预测）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913－1996）曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出是解题关键． 先证明，得出，，然后求出正五边形每个角的度数为，从而可得，，可计算出，根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成， ∴根据正五边形的性质可得，， ∴， ∴，， ∵正五边形每个角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 【考点二 平行四边形的判定与性质】 【题型7 利用平行四边形的性质求解】 25．（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】该题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，在平行四边形中，，，得出，结合平分，证明，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2025·湖北·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，交于点，连接，若，，则▱的周长为（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、勾股定理和平行四边形的周长公式，熟练掌握垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．先确定是的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和勾股定理求出的长度，再根据平行四边形的周长公式计算周长． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， 根据垂直平分线的性质，得，，， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 27．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，由折叠得，，因为点恰好落在的延长线上的点处，所以，，所以，则，，即可求得． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ∴， 由折叠得， ∵点恰好落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 28．（2025·贵州铜仁·三模）在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积求解，分析为钝角和锐角两种情况求解平行四边形的面积是解决本题的关键． 分类讨论为钝角还是锐角两种情况，根据的余弦值可求解与的值，进而可求解的长度，再由平行四边形的面积公式，即底乘高代入数值求解即可． 【详解】解：第一种情况：过点作于点，如答图1所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ∴， ∴． 第二种情况：过点作于点，如答图2所示， ∵过点作直线的垂线，即， 则， ∵， ∴， ∵对角线与边夹角为，即， ∴在平行四边形中，， ∴在中，， ， ∴． 故答案为：或． 【题型8 平行四边形的证明】 29．（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 30．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为边的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：证明：由作图可知， ， 为的中点． 点为中点， 为的中位线， ， ， 四边形为平行四边形． 31．（2025·浙江绍兴·二模）小张和小李分别完成一个作图问题： 如图1，在中，是边上一点，连结．利用适当的作图工具在边上作一点，使得． 小张：如图1，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结即为所求． 小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图． (1)给出小张作法中的证明过程； (2)请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）证明四边形是平行四边形即可； （2）连接与交于点，连接并延长交于点，连接．则点Q即为所求． 【详解】（1）证明：在中，由作法得， ，而， 四边形为平行四边形． ． （2）解：如图，点Q即为所求． 32．（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，D是边AC上一点，连接，E，F分别为的中点，连接，． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)若，，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先得到是的中位线，得到，，然后求出，得到，进而证明即可； （2）首先得到，由（1）知，四边形是平行四边形，，得到，，根据三角形中位线定理得到，然后得到，即，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵E，F分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，．     ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵F是的中点，， ∴．     由（1）知，四边形是平行四边形，， ∴，．     ∵E，F分别为的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 在中，，，即， 解得（舍去负值）， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型9 平行四边形与三角形相似的综合证明】 33．（2025·上海静安·模拟预测）如图，已知平行四边形中，点在边上，，射线交于点，交射线于点，那么 ．（结果化为最简整数比） 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴； 故答案为： ． 34．（2025·江西抚州·三模）如图，平行四边形，为中点，延长至，使：，连接交于点，若的面积是，则五边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先由平行四边形的性质得，及；再由为中点及得的比值；然后由，证得，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方及和之间的关系，可得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ， 为中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 取的中点，连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质及等高三角形的面积关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 35．（2025·江苏·二模）如图，点分别为四边的中点，连接，分别相交于点，若四边形的面积为4，则的面积为（    ） A．16 B．20 C．24 D．25 【答案】B 【分析】通过证明四边形和四边形为平行四边形，判断平行，推导三角形相似，根据相似比，进一步判断出 ,，根据已知面积，代入求值即可． 【详解】解：如下图： 延长BH,AD，相交于点R ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 又∵H为CD的中点， ∴DH=CH， 在与中，    ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵G为BC的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵,且,， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ,， 又∵ ， ∴， ∴=20 故选：B 【点睛】本题考查三角形相似性质判定，平行四边形的性质判定等相关知识点，能根据图形准确判断是解题的切入点． 36．（2025·安徽宿州·二模）如图1，在四边形中，，E是上的一点，连接，，且，，点F在的延长线上，且，连接，． (1)求证：． (2)如图2，连接，交于点G． ①求证：． ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据，得出．结合，得出，证出，即可得．证明，得出．根据，得出．结合，得出，证出．结合，证出四边形是平行四边形，得出，即可证明． （2）①由（1）可得，得出．证明，得出，即可证明． ②由（1）可得，，即可得，，证出，即可得，．证明，得出，即可得．结合，得出，解得或（不符合题意，舍去），即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2）①证明：由（1）可得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②解：由（1）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， 两边除以，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 【题型10 平行四边形折叠/旋转变换问题】 37．（2025·湖北鄂州·二模）如图，平行四边形ABCD中，BD=AB，∠ABD=30°，将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置，使点E落在BD上， ME交AB于点O， 则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作EF⊥AB于点F，根据角度关系可以求出△AEF为等腰直角三角形，设EF=x，则AF=x，可求得，由△AOM∽△BOE，即可求出结果. 【详解】解：过点E作EF⊥AB于点F，如图： ∵BD=AB，， ∴， ∵平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置， ∴AB=AM，AD=AE， ∴, ∴, ∴, ∵EF⊥AB， ∴, ∴, ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴EF=AF， 设EF=x，则AF=x， 在Rt△BEF中，， ∴，， ∵AM∥BE， ∴△AOM∽△BOE， ∴， 故选：B. 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质． 38．（2025·四川成都·三模）如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】连接，取的中点，连接，证明是等边三角形，得到，，然后得到，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 39．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，能够熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先求出，，设与交于点，，由，可得，，根据对应边成比例可以得到，，再证，利用对应边成比例可求出，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点， ，，， ， 设与交于点，如图， 设， ， ，， ，， ，，， ，， ， 又， ， ，即， 解得（负值已舍）， ． 故答案为：． 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ； (2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论； (3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离． 【答案】(1)CD，AD； (2)见解析； (3)EF于BC之间的距离为64cm． 【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解； （2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论； （3）由勾股定理可求BH的长，再证明△BCH∽△BGE，得到，代入数值求解EG，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ 把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． ∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变， ∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD， 故答案为：CD，AD； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD， ∴BE＝CF，EF＝BC， ∴四边形BEFC是平行四边形， ∴EFBC， ∴EFAD； （3）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G， ∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点， ∴ CH＝DH＝40cm， 在Rt△BHC中，∠BCH＝90°， BH＝（cm）， ∵ EG⊥BC， ∴∠EGB＝∠BCH＝90°， ∴CHEG， ∴ △BCH∽△BGE， ∴， ∴， ∴EG＝64， ∵ EFBC， ∴EF与BC之间的距离为64cm． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【考点三 多边形与平行四边形的综合】 【题型11 多边形与几何图形综合】 41．（2025·江西九江·模拟预测）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”．请仅用无刻度的直尺画出图(1)、图(2)的“好线”．其中图1是一个平行四边形，其“好线”需经过点G，图2由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留画图痕迹，不写画法）    【答案】见解析 【分析】图（）过平行四边形的中心和点G画直线即可；图（）过平行四边形和正方形的中心，画直线即可． 【详解】解：如图（1），直线即为所求． 如图（2），直线即为所求．   ． 【点睛】本题考查了利用中心对称图形的性质进行作图及平行四边形和正方形的性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 42．（2025·福建漳州·模拟预测）综合与实践 如图①，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．如图②是一个正方形． 【观察判断】（1）图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是_____； 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图④． （2）请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）A；（2）见解析 【分析】本题主要考查正金边形和圆，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据正八边形内嵌于正方形的定义可得结论； （2）根据正八边形的定义进行作图和证明即可． 【详解】解：（1）根据题意得图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是A； 故答案为：A ；                                                               （2）如图，正八边形LGFIHKJE即为所求作．    证明：设，则， ， ， ， ， ，         ， 同理可得，， ，                                   八边形是正八边形． 43．（2025·浙江舟山·模拟预测）为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息． 信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称． 信息2：经测量得到，，，． 任务（1）：求文化长廊最大宽度的长； 任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离． （参考数据：，，，结果精确到）      【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，轴对称的性质，矩形的判定与性质等知识点，解题的关键是正确添加垂线构造直角三角形． （1）作，，垂足分别为F，H，可得，由，求出，证明 ，则，再证明四边形是矩形，则，故； （2）作于点G，则，可求得，由，求出，由，求出，再由文化长廊最高点E到地面的距离求解即可． 【详解】解：（1）作，，垂足分别为F，H， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴文化长廊最大宽度的长． （2）作于点G，由题意得，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴文化长廊最高点E到地面的距离． 44．（2025·山西吕梁·模拟预测）初中几何学习一般路径为：线——三角形——四边形——多边形，线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线．三角形、四边形的学习都是由一般到特殊，从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形，且研究了其特殊性质．学习过程中，同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程： 探究发现 （1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系． 如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．发现，． 证明思路如下： 延长交于点H，连接．证明，点G为的中点，即可证明结论． 依据提供思路写出规范的推理过程． 类比猜想 （2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系． 如图2，在等边三角形中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．猜想的数量关系以及位置关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系． 如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）， 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形、菱形及等边三角形的性质，根据题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）延长交于点H，连接，根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质得出，再由各角之间的关系确定，继续利用全等三角形的判定和性质得出，，再由等腰三角形的判定和性质即可证明； （2）方法同（1）类似，证明，，再由等腰三角形的判定和性质及三角函数即可求解； （3）方法同（1）类似，证明，，再由等腰三角形的判定和性质及三角函数即可求解． 【详解】证明：（1）延长交于点H，连接，如图所示： ∵G为的中点， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （2）延长交于点H，连接，如图所示： ∵G为的中点， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴ ∴； （3）延长交于点H，连接，如图所示： 同理得：， ∴， ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，， ∴ ∴． 【题型12 平行四边形动点轨迹与线段最值】 45．（2025·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线将条件集中在同一个三角形中求解． 作交的延长线于，作于，设，表示出，解斜三角形，进而求得结果． 【详解】解：如图，作交的延长线于，作于， ∵， ， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ， 设，则， 在中，，， ，， ， 在中， ， 当时，，即 ． 故选：D． 46．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 47．（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，取的中点，连接，作于．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，作于． ∵四边形是平行四边形，，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在 中，∵， ， ， ， 则的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题． 48．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 【题型13 平行四边形与函数综合】 49．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B、D都在函数的图像上，当的面积为时，设点B、D的横坐标分别为a、b，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】连接，作轴，得点，，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出，的等式，将其分解因式，从而得出，的关系． 【详解】解：如图， 作轴于，连接，设和交于，连接， 得点，， 由对称性可得：， ，， ， ， ， ， ， ， ，   ， ，， ， ， ， ， ，（舍去）， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形性质，轴对称性质，反比例函数的“”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 50．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与图形结合问题，解题关键是掌握时直线与轴所夹锐角为． 通过图象中可得直线运动到三点时所移动距离，从而求出长度，再通过添加辅助线构造直角三角形求出平行四边形的高而求解． 【详解】解：由图象可知，直线经过时移动距离为3，经过时移动距离为7，经过时移动距离为8， ， 如图，当直线经过点时，交于点，作垂直于于点， 由图2可知， ∵轴，直线 ∴直线与夹角为，， ， ∴面积为． 故选：B． 51．（2025·福建福州·模拟预测）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为． (1)请写出的衍生函数，并直接写出若点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是； ①用含k的式子表示b； ②求出点M、N、Q的坐标（用含k的式子表示）； ③如果，求k的值 【答案】(1)3 (2)①；②，；③3 【分析】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入衍生函数求值即可； （2）①根据点的坐标得出；②根据衍生函数即可分别求出M，N，Q三点的坐标，③根据面积的关系，即可求出k的值． 【详解】（1）解：， 点在一次函数得：， 故答案为：3； （2）解：①∵过， ∴， ， ② ， ， ∵，，，， ∴，，， 解得：， ， 点Q的纵坐标为1， ， 解得：， ， ③ ， ， ， ， 整理得：，即， 解得：． 52．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接、． (1)求反比例函数与正比例函数的解析式； (2)写出点的坐标，并求出四边形的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，正比例函数的解析式为 (2)点的坐标为，四边形的面积为6 【分析】本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，平行四边形的面积． （1）根据点在利用待定系数法即可得出反比例函数与正比例函数的解析式； （2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点的坐标为，再结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，可得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，可得：，即 ∴正比例函数的解析式为； （2）由反比例函数及正比例函数的性质可知，点与点关于原点成中心对称， ∴点的坐标为， ∵轴于点， 轴于点， ∴且，， ∴四边形为平行四边形，则． 【题型14 坐标系中平行四边形的存在性探究】 53．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内． (1)点的坐标____； (2)将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，反比例函数解析式为 (3)存在， 或 或 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行四边形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）证出；（2）找出关于的方程；（3）分类讨论，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用反比例函数图形上点的坐标表示出来反比例函数系数k是关键． （1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，由正方形的性质结合同角的余角相等即可证出，从而得出，再结合点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设反比例函数为，根据平行的性质找出点的坐标，再结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于的二元一次方程组，解方程组解得出结论； （3）先求出点的坐标，再分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，如图所示． ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵点、， ∴， ∴点B的坐标为，即． 故答案为． （2）由知，， 运动秒时，点， 设反比例函数解析式为， 点，在反比例函数图象上， ， ，， 反比例函数解析式为； （3）存在，理由： 由知，点、，， 、， 由知，反比例函数解析式为， 设点，点， 以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形， 当与是对角线时， ，， ，， ，， 当与是对角线时， ，， ，， ， 当与是对角线时， ，， ，， ，， 综上：，或，或， ． 54．（2025·广东清远·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）直接利用待定系数法可求得函数解析式； （2）先求出函数的对称轴和直线的函数表达式，过D作交于点F，交于点E，用式子表示出的面积从而求出D的坐标，进一步可得的面积； （3）根据平行四边形的性质，结合对称轴和点D坐标易得点N的坐标． 【详解】（1）解： ，， ，， 将，代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）由，得， 设直线的表达式为，把代入，得， 解得， ， 如下图，过D作交于点F，交于点E， 设，则， ， 由题意，得，整理得， 解得，； 由于动点D在抛物线的对称轴直线l：的右侧，所以不合题意，舍去． ， ，， ； （3）存在，分情况讨论如下： ①当为边时：如图1所示，当，时，四边形即为平行四边形， 抛物线上点D关于对称轴直线的对称点为， 此时，点M与点O重合，四边形即为平行四边形． 当时，四边形为平行四边形； ②当为对角线时：如图2所示，当，时，四边形为平行四边形， 过点N作轴于P点，过点D作轴于F点，由题意，得， 此时N点纵坐标为， 将代入，得，解得， 此时或，四边形为平行四边形， 综上所述，或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合，首先要掌握待定系数法求解析式，其次要添加恰当的辅助线，灵活运用面积公式和平行四边形的判定和性质，应用数形结合的数学思想解题． 55．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）利用函数图象即可得解； （3）设，分两种情况：当以为边时，当以为对角线时，分别由平行四边形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数得， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得：不等式的解集为或； （3）解：设， ∵，，，以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形 ∴当以为边时，由平行四边形的性质可得：或， 解得：或，即或， 当以为对角线时，由平行四边形的性质可得：， 解得：，即， 综上所述，点的坐标为或或． 56．（2025·黑龙江·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点和点，与直线交于点，，的长（）是一元二次方程的两个根，为直线上一点，作轴交直线于点，连接． (1)求点的坐标； (2)若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点，点在直线上，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，， 【分析】本题考查解一元二次方程，一次函数，平行四边形的判定和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键； （1）解方程 ，确定点和点的坐标，进而求解直线的解析式，进而求解； （2）设点的横坐标为，分时，时，讨论即可求解； （3）根据题意求解的长度，进而求解的值，进而求解； 【详解】（1）解 ：解方程 ， 解得，， ， ，； ∴点， 将点 ，代入， ， 解得：； 直线的解析式为：； 联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：点的横坐标为， ，， ， 当时，； 当时，； 综上所述；； （3）解：在直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形 理由： ∵点，轴， ∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ， 轴 设点，则点， ， 解得：或， 当时，， 此时点； 当时，， 此时点 综上所述，在直线上存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，点或； 【题型15 与平行四边形有关的新定义问题】 57．（2025·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知，，三点，连接，以，为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质及平行四边形的性质．直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和，从而利用待定系数法求出直线关于直线的对称直线，然后代入临界点求出n的取值范围． 【详解】解：对于直线， 当时，， 当时，， ∴直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和， 设直线关于直线的对称直线是， 将和分别代入，得 ， 解得， ∴直线关于直线的对称直线是， 当在直线上时，有， 解得； 当在直线上时，有， 解得． ∵对称点在的内部（不包含边界）， ∴． 故答案为：． 58．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是 （填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，平行四边形的性质，中点公式等知识，设，得出点坐标为，得到点在直线上，逐一判断即可，求出点坐标，得到，则当点与点重合时，线段长度取得最小值，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 设， ∵， ∴的中点为， ∵四边形为平行四边形， ∴是的中点， ∴点坐标为， ∴点在直线上， ∴在直线上，不在直线上， ∴不是线段的“关联点”， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴不在直线上， ∴是线段的“关联点”， 对于直线，当时，， ∴ ∴， ∵点在第一象限且点是线段的“关联点”， ∴当点与点重合时，线段长度取得最小值， ∴线段长度的取值范围为， 故答案为：，． 59．（2025·江苏泰州·模拟预测）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 【答案】2≤m≤4 【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠BCD， ∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝90°， ∴∠BPC＝90°， 当点Q与点C重合时，如图所示： ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠APB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△ABP≌△CBP（ASA）， ∴AB＝BC， ∵BC＝4， ∴m＝4， 当点Q与点D重合时，如图所示： 延长CP交BA的延长线于点K， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∵∠BPC＝90°， ∴∠KPB＝∠BPC＝90°， ∵BP＝BP， ∴△KBP≌△CBP（ASA）， ∴BK＝BC，KP＝CP， ∵ABCD， ∴∠K＝∠DCP， 又∵∠KPA＝∠CPD， ∴△KPA≌△CPD（ASA）， ∴CD＝AK， ∵AB＝CD， ∴BC＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴m＝2， 综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4， 故答案为：2≤m≤4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，通过平行四边形的性质推出三角形全等是解题的关键． 60．（2025·浙江舟山·模拟预测）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·河北唐山·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数．　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键． 2．（2025·广东佛山·模拟预测）从六边形的一个顶点出发，可以画出对角线的条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查多边形的性质，从边形的一个顶点出发，能引出条对角线，这条对角线把多边形分成个三角形．根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出边形从一个顶点出发可引出条对角线． 【详解】解：从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线 故选A. 3．（2025·广东深圳·三模）如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．根据平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 5．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，将沿射线平移得到线段，A，C的对应点分别为点E，B．再将绕点A顺时针旋转，使得点C，B分别落在点D，F处，若D恰好为线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移与旋转、平行四边形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是利用平移和旋转的性质得出线段之间的关系，再结合勾股定理进行求解。 通过平移得到四边形是平行四边形，得出；利用旋转性质得到，；过作交于，再根据设，则，，，分别在两个直角三角形中运用勾股定理表示出相关线段长度，进而求出所求线段的比值。 【详解】解：将沿射线平移得到线段， ，则四边形是平行四边形， ， 又将绕点顺时针旋转，使得点分别落在点处， ，， 过作交于，如图： 又 ， ， 又 是的中点， ， 设，则，， 在中， ， 在中， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正多边形的性质等知识点，连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形，求出等边三角形面积后，再求出正六边形的面积，再求出正方形面积，即可解答，准确掌握正多边形的相关性质是解题关键． 【详解】连接正六边形的三条对角线，将正六边形分成如图的六个等边三角形， ∵周长为12， ∴边长为2， ∴每个等边三角形的面积为：， ∴正六边形的面积为， ∵正方形的周长为12时，边长为3， ∴正方形的面积为：， ∴它们的面积之差为， 故答案为：． 7．（2025·江西上饶·模拟预测）一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解． 【详解】解：， ． 即这个多边形的内角和是， 故答案为：． 8．（2025·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 先根据平行四边形的判定与性质可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查平行四变形的判定和性质，含30度直角三角形及轴对称的性质，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 连接，作点C关于的对称点H，连接，根据平行四边形的性质及判定得出四边形为平行四边形，再由轴对称的性质确定当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长，然后结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，作点C关于的对称点H，连接，如图所示：    ∵平行四边形，，，， ∴，，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵点C、H关于对称， ∴， ， ， 当点B、E、H三点共线时， 的最小值为的长， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·河北邯郸·二模）如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究： （1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °； （2）若已知则六边形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形， （1）根据三角形的内角和即可得出的度数， （2）分别延长相交于点，延长相交于点，证得都是等边三角形，，求出周长即可． 【详解】解：∵六边形的内角和为，在六边形中，每个内角的度数都相等， ∴六边形每个内角的度数为， （1）∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）分别延长相交于点，延长相交于点，如图， ∵， ∴， ∴都是等边三角形， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形的周长为， 故答案为：． 12．（2025·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析 【分析】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可； （3）表示出和它不相邻的个内角的和即可． 【详解】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数； ②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为； （2）由题意得， ， 的正整数，， ， 即这个多边形为八边形； （3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为， 则有， 即． 13．如图，与的边在同一条直线上，，，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的性质找出是解题的关键．由、利用平行线的性质可得出、，由可得出，进而可证出，根据全等三角形的性质可得出，再结合，即可证出四边形是平行四边形． 【详解】证明：， ，即， ，， ，， ． ， ， 四边形是平行四边形． 14．（2025·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形函数的计算，掌握菱形的性质，相似三角形的性质，正切三角形函数的计算是解题的关键． （1）在菱形中，，，，，可证，则有，由对角线相互平方的四边形是平行四边形即可求证； （2）设，可证，则，即，再证，即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图所示， 设， ∵，，即， ∴， 又∵菱形，则对角线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2025·贵州遵义·一模）如图，已知平行四边形，点E，F分别在，上，连接，． (1)请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形是平行四边形． 条件①：E，F分别是，的中点； 条件②：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，选①可得，选②可得，由平行四边形的判定可得结论； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，即可求解． 【详解】（1）选择条件①． 证法一：∵四边形是平行四边形， ∴, ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 证法二：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 选择条件②． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴平行四边形的周长． B组 培优提升练 一、单选题 1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解： 是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 2．（2025·广东·三模）九年级（1）班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样的方法一直走下去，当他回到A时，共走了（    ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据正多边形的外角和为360°即可解答． 【详解】解：由多边形的外角和为360°可知， 小李同学的路径围成一个边长为10米的正边形， 故小李共走了(米)， 故选：B． 3．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点，点D在边上，将沿折叠得到，点B的对应点E恰好落在轴上，若轴，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质．过点作轴于点，由折叠的性质和平行四边形的性质证得，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示． ， ，， ． 由折叠的性质，可知． 由平行四边形的性质，可知， ， 轴， ． ， ，即． ， ， ，即， ， ， 点的坐标为， 故选：D． 4．（2025·山西太原·二模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，则点A，M之间的距离为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作线段，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，设交于点O，证明四边形是菱形，勾股定理求出的长，进而得到的长即可． 【详解】解：如图，连接，设交于点O， 由题意可知，是的角平分线， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 5．（2025·河北唐山·模拟预测）图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，解直角三角形的应用，根据题意表示出与，作出辅助线，求出的值，根据平行四边形的判定，判断出四边形为平行四边形，进而求出平行四边形的面积，即为中间空白部分的面积． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， 过点K作于T，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（2025·上海·模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质、平行四边形的判定和性质以及解直角三角形，根据正切的定义求出，证明四边形为平行四边形，根据平移的性质求出，根据平行四边形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：在中，，，， 则 由平移的性质可知：， ∴四边形为平行四边形， ∵点A对应直尺的刻度为12，点对应直尺的刻度为0， ∴， ∴， 故答案为：. 7．（2025·上海·模拟预测）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和外角和定理．设多边形的边数为，则内角和为，外角和为，根据内角和是外角和的2倍，建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设多边形的边数为，则内角和为，外角和为， 根据题意得， 即， 解得． 故答案为：6． 8．（2025·湖北·模拟预测）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和、折叠的性质以及三角形外角性质，熟练掌握正多边形内角和公式与折叠性质是解题的关键． 先求出正五边形的内角，再根据折叠性质得出相关角的度数，最后利用三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：∵正五边形内角和为， ∴． ∵折叠使点与点重合，折痕为， ∴平分，． ∵折叠使边落在线段上，折痕为， ∴平分，． 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，能够熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先求出，，设与交于点，，由，可得，，根据对应边成比例可以得到，，再证，利用对应边成比例可求出，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点， ，，， ， 设与交于点，如图， 设， ， ，， ，， ，，， ，， ， 又， ， ，即， 解得（负值已舍）， ． 故答案为：． 10．（2025·上海·模拟预测）如图1是一款可升降篮球架，支架，，的长度固定，A，D，G为立柱上的点，地面，篮板地面，，米，米，若改变伸缩臂的长度，则，可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当时，可测得篮筐的固定点C距离地面为2.9米，则支架的长为 米．降低篮筐高度如图3，连结交于点O，平分，，此时篮筐的固定点C离地面的距离为 米． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 延长交地面于点，过点作于点，可得，利用平行线性质，可得，进而求得，利用直角三角形性质，可得，由此得解；设于相交于，连接，连接，由，，得四边形是平行四边形，进而得到，利用平分，结合，可得，根据等角对等边得，进而得到，结合，得到四边形是平行四边形，利用平行四边形性质，结合，可证平行四边形是矩形，由此即可得解． 【详解】解：如图，延长交地面于点，过点作于点， 地面，篮板地面， ， ∴ ， ， ， ， 又 ， 米， 故支架的长为米． 如图，设于相交于，连接，连接， ， ， 又 四边形是平行四边形， ， ， ， 平分， ， 又 ， ， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， 互相平分， ， ， 平行四边形是矩形， ，即， 四边形是矩形， 米． 故此时篮筐的固定点C离地面的距离为米． 故答案为∶ ；． 三、解答题 11．（2025·河北邯郸·三模）已知n边形的内角和． (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； (2)若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 【答案】(1)甲的说法对，边数n是4，乙的说法不对，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查多边形的内角和，一元一次方程的应用： （1）根据多边形的内角和公式进行计算即可； （2）根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 答：甲同学说的边数n是4； （2）依题意有， 解得． 故x的值是3． 12．（2025·湖南岳阳·一模）如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再根据，等量交换得，结合已知条件，根据全等三角形判定（边角边），得，即可得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：由（1）得， ，， ， 四边形是平行四边形． 13．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，E，F是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，垂直平分线的判定与性质，平行线的判定等知识点．注意掌握数形结合思想的应用． （1）证明垂直平分，得出，结合，证出，结合即可证明． （2）由（1）可知，垂直平分，四边形是平行四边形，得出，．结合，即可求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知，垂直平分，四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2025·北京东城·二模）如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，进而证明，再证明是等腰直角三角形，然后证明由含的直角三角形的性质得，进而由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 多边形与平行四边形（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【考点一 多边形】 2 【题型1 多边形内角和/外角和的计算】 2 【题型2 多边形内角和与外角和综合】 2 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 2 【题型4 复杂图形内角和的计算】 3 【题型5 平面镶嵌】 3 【题型6 多边形与实际应用】 5 【考点二 平行四边形的判定与性质】 6 【题型7 利用平行四边形的性质求解】 7 【题型8 平行四边形的证明】 7 【题型9 平行四边形与三角形相似的综合证明】 8 【题型10 平行四边形折叠/旋转变换问题】 10 【考点三 多边形与平行四边形的综合】 11 【题型11 多边形与几何图形综合】 12 【题型12 平行四边形动点轨迹与线段最值】 12 【题型13 平行四边形与函数综合】 14 【题型14 坐标系中平行四边形的存在性探究】 15 【题型15 与平行四边形有关的新定义问题】 17 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 【考点一 多边形】 【题型1 多边形内角和/外角和的计算】 1．（2025·北京·一模）若一个五边形的每个内角都是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·云南大理·一模）一个九边形的外角和等于（   ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，一把三角尺的两条直角边分别经过正五边形的两个顶点，则与的度数和为 ． 4．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在正五边形的外部，以 为边作正六边形，连结 ，则的度数为 ． 【题型2 多边形内角和与外角和综合】 5．（2025·湖南怀化·一模）一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于(      ) A． B． C． D． 6．（2025·湖北·一模）若一个多边形的外角和与内角和相等，则这个多边形的边数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．（2025·山西·模拟预测）如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为 ． 8．（2025·新疆·模拟预测）如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 【题型3 多边形截角后的内角和问题】 9．（2025·上海徐汇·二模）如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（　　） A．180° B．270° C．360° D．540° 10．（2025·山东·一模）一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，这个多边形的内角和是（　　） A．360° B．540° C．180°或360° D．540°或360°或180° 11．（2025·河北·模拟预测）若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形原来的边数为（    ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 12．（2025·江苏扬州·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（　　） A．17 B．16 C．15 D．16或15或17 【题型4 复杂图形内角和的计算】 13．（2025·浙江·模拟预测）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝ ． 14．（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 15．（2025·浙江·模拟预测）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 16．阅读材料： 解决问题： （1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整． 证明：连接AD并延长AD到点E． 联系拓广： （2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)． 请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题： ①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°； ②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°． 【题型5 平面镶嵌】 17．（2025·辽宁营口·二模）小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 18．（2025·陕西榆林·二模）如图是由两个正六边形、两个正方形和两个等腰三角形（阴影部分）无缝隙、不重叠地拼成的美丽图案，已知正六边形和正方形的边长均相等，则等腰三角形的底角度数为 ． 19．（2025·陕西·模拟预测）如图，正六边形由3个全等的五边形无缝隙、不重叠地拼接而成，已知，则的度数为 ． 20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 【题型6 多边形与实际应用】 21．（2025·云南昆明·模拟预测）历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是心思，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·广东韶关·二模）如图，韶关市城市新地标韶阳楼坐落在美丽的森林公园内．韶阳楼的地底藏有一座神秘古塔的塔基，正与韶阳楼的中心位置重合，该塔基是正六边形，此六边形的内角和为 ．     23．（2025·山西朔州·模拟预测）如图，购物车和物品放在一起的形状可以近似看做正五边形，已知正五边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．（2025·湖南湘潭·模拟预测）匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913－1996）曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【考点二 平行四边形的判定与性质】 【题型7 利用平行四边形的性质求解】 25．（2025·河北唐山·三模）如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，点O为的中点，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 26．（2025·湖北·一模）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，交于点，交于点，连接，若，，则▱的周长为（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 27．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点恰好落在的延长线上的点处，若，，则的面积为 ． 28．（2025·贵州铜仁·三模）在平行四边形中，对角线与边夹角为，过点作直线的垂线，交直线于点，若，，则平行四边形的面积为 ． 【题型8 平行四边形的证明】 29．（2025·浙江杭州·二模）如图，在四边形中，对角线，交于点O．已知，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 30．（2025·河南驻马店·三模）如图，在中，为边的中点． (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若在（1）中的射线上有一点，且，连接，求证：四边形是平行四边形． 31．（2025·浙江绍兴·二模）小张和小李分别完成一个作图问题： 如图1，在中，是边上一点，连结．利用适当的作图工具在边上作一点，使得． 小张：如图1，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结即为所求． 小李：我的方法和你不一样，只用无刻度直尺且不用圆规就可以完成作图． (1)给出小张作法中的证明过程； (2)请在图2中完成小李的作图方法（保留作图痕迹）． 32．（2025·湖南邵阳·三模）如图，在中，，D是边AC上一点，连接，E，F分别为的中点，连接，． (1)求证：四边形ADEF是平行四边形； (2)若，，求EF的长． 【题型9 平行四边形与三角形相似的综合证明】 33．（2025·上海静安·模拟预测）如图，已知平行四边形中，点在边上，，射线交于点，交射线于点，那么 ．（结果化为最简整数比） 34．（2025·江西抚州·三模）如图，平行四边形，为中点，延长至，使：，连接交于点，若的面积是，则五边形的面积是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·江苏·二模）如图，点分别为四边的中点，连接，分别相交于点，若四边形的面积为4，则的面积为（    ） A．16 B．20 C．24 D．25 36．（2025·安徽宿州·二模）如图1，在四边形中，，E是上的一点，连接，，且，，点F在的延长线上，且，连接，． (1)求证：． (2)如图2，连接，交于点G． ①求证：． ②若，求的值． 【题型10 平行四边形折叠/旋转变换问题】 37．（2025·湖北鄂州·二模）如图，平行四边形ABCD中，BD=AB，∠ABD=30°，将平行四边形ABCD绕点A旋转至平行四边形AMNE的位置，使点E落在BD上， ME交AB于点O， 则的值是（    ） A． B． C． D． 38．（2025·四川成都·三模）如图，在平行四边形中，，，将绕点A逆时针旋转角α（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ． 39．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 40．（2025·四川自贡·中考真题）如图，用四根木条钉成矩形框，把边固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． (1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段由旋转得到，所以．我们还可以得到＝ ， ＝ ； (2)进一步观察，我们还会发现∥，请证明这一结论； (3)已知，若 恰好经过原矩形边的中点 ，求与之间的距离． 【考点三 多边形与平行四边形的综合】 【题型11 多边形与几何图形综合】 41．（2025·江西九江·模拟预测）我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”．请仅用无刻度的直尺画出图(1)、图(2)的“好线”．其中图1是一个平行四边形，其“好线”需经过点G，图2由一个平行四边形和一个正方形组成．（保留画图痕迹，不写画法）    42．（2025·福建漳州·模拟预测）综合与实践 如图①，在一些建筑上可以看到多边形相互嵌套的图案．如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．如图②是一个正方形． 【观察判断】（1）图③中可以称为正八边形内嵌于正方形的是_____； 【操作探究】通过正方形折纸折出正八边形的步骤如图④． （2）请按照折纸的思路在图②中作内嵌正八边形并证明．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 43．（2025·浙江舟山·模拟预测）为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息． 信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称． 信息2：经测量得到，，，． 任务（1）：求文化长廊最大宽度的长； 任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离． （参考数据：，，，结果精确到）      44．（2025·山西吕梁·模拟预测）初中几何学习一般路径为：线——三角形——四边形——多边形，线的学习依据位置关系又分为相交线、平行线．三角形、四边形的学习都是由一般到特殊，从一般三角形、四边形到特殊三角形、四边形，且研究了其特殊性质．学习过程中，同学们发现两个全等的特殊三角形即拼成一个特殊四边形．特殊三角形与特殊四边形之间有很多联系．因此在探究特殊四边形中一些线段之间关系时往往和特殊三角形结合起来．下面是数学翱翔社的同学在课后探究特殊三角形与特殊四边形一些重要线段之间关系的过程： 探究发现 （1）等腰直角三角形与正方形中特殊线段之间的关系． 如图1，在中，，，点D在边的延长线上，以为边作正方形（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．发现，． 证明思路如下： 延长交于点H，连接．证明，点G为的中点，即可证明结论． 依据提供思路写出规范的推理过程． 类比猜想 （2）等边三角形与有一个角为的菱形中的特殊线段之间的关系． 如图2，在等边三角形中，点D在边的延长线上，以为边作菱形，（与在边同侧），连接，点G为的中点，连接．猜想的数量关系以及位置关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）一般等腰三角形与有一个角和等腰三角形顶角度数相等的菱形中特殊线段之间的关系． 如图3，当为等腰三角形，，四边形为菱形，且时，其他条件不变，请直接写出的数量关系． 【题型12 平行四边形动点轨迹与线段最值】 45．（2025·江苏无锡·三模）如图，在四边形中，，对角线、交于点O，且．若，则的最小值为（    ） A．16 B．4 C．9 D．2 46．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是 ，最小值是 ． 47．（2025·广东·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A． B． C． D． 48．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【题型13 平行四边形与函数综合】 49．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B、D都在函数的图像上，当的面积为时，设点B、D的横坐标分别为a、b，则的值为 ． 50．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，将放置在第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D．10 51．（2025·福建福州·模拟预测）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为． (1)请写出的衍生函数，并直接写出若点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是； ①用含k的式子表示b； ②求出点M、N、Q的坐标（用含k的式子表示）； ③如果，求k的值 52．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、分别是反比例函数的图象与正比例函数的图象的交点．其中点的坐标为．过点作轴于点，过点作轴于点，连接、． (1)求反比例函数与正比例函数的解析式； (2)写出点的坐标，并求出四边形的面积． 【题型14 坐标系中平行四边形的存在性探究】 53．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，已知点、，点、在第二象限内． (1)点的坐标____； (2)将正方形以每秒个单位的速度沿轴向右平移秒，若存在某一时刻，使在第一象限内点、两点的对应点、正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问是否存在轴上的点和反比例函数图像上的点，使得以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点、的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2025·广东清远·二模）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点D在x轴的下方，当的面积是时，求的面积； (3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 55．（2025·山东聊城·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 56．（2025·黑龙江·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点和点，与直线交于点，，的长（）是一元二次方程的两个根，为直线上一点，作轴交直线于点，连接． (1)求点的坐标； (2)若点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式； (3)若点，点在直线上，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型15 与平行四边形有关的新定义问题】 57．（2025·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点M关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点M是关于直线的“伴随点”．如图，已知，，三点，连接，以，为边作．若在直线上存在点N，使得点N是关于直线的“伴随点”，则n的取值范围是 ． 58．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．若已知，，则点，中为线段的“关联点”的是 （填，即可）；若点在第一象限且点是线段的“关联点”，则线段长度的取值范围为 ． 59．（2025·江苏泰州·模拟预测）定义：作的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻角的公共边组成的三角形为的“伴侣三角形”，△PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围 ． 60．（2025·浙江舟山·模拟预测）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． A组 基础跟踪练 一、单选题 1．（2025·河北唐山·模拟预测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 2．（2025·广东佛山·模拟预测）从六边形的一个顶点出发，可以画出对角线的条数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 3．（2025·广东深圳·三模）如下图，在平行四边形中，点在上，连结并延长与的延长线交于点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 5．（2025·福建·模拟预测）如图，在中，将沿射线平移得到线段，A，C的对应点分别为点E，B．再将绕点A顺时针旋转，使得点C，B分别落在点D，F处，若D恰好为线段的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图是一片平坦的盐滩上布满了大小相近的六边形，人们惊叹于大自然的鬼斧神工，同时也尝试解开盐滩图案之谜，人们发现正六边形能够最大限度的利用空间，已知图中的正六边形与正方形的周长都等于12，则它们的面积之差为 ． 7．（2025·江西上饶·模拟预测）一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是 ． 8．（2025·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    9．（2025·辽宁·模拟预测）如图，在中，，连接，过点A作交的延长线于点E，过点E作交的延长线于点F，若，则 ． 10．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，，E、F分别为边、上的点，且，连接，，则的最小值为 ．    三、解答题 11．（2025·河北邯郸·二模）如图1，在六边形中，每个内角的度数都相等．嘉嘉针对图形特点，对这个图形进行了补充和探究： （1）分别延长，相交于点G，得到图2，则 °； （2）若已知则六边形的周长为 ． 12．（2025·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 13．如图，与的边在同一条直线上，，，，求证：四边形是平行四边形． 14．（2025·广东·模拟预测）如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作一条直线分别交、的延长线于点、，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，垂足为，，求的值． 15．（2025·贵州遵义·一模）如图，已知平行四边形，点E，F分别在，上，连接，． (1)请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形是平行四边形． 条件①：E，F分别是，的中点； 条件②：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． B组 培优提升练 一、单选题 1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·广东·三模）九年级（1）班的同学体育课上玩游戏，让小李同学从A出发前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，按照这样的方法一直走下去，当他回到A时，共走了（    ） A．150米 B．120米 C．100米 D．80米 3．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，点，点D在边上，将沿折叠得到，点B的对应点E恰好落在轴上，若轴，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西太原·二模）如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于点E、F；②分别以E、F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H；③以B为圆心，长为半径画弧，交于边于点M．若，则点A，M之间的距离为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．（2025·河北唐山·模拟预测）图1是一组邻边分别为，（），一个内角为的平行四边形，图中的虚线是其对边中点的连线，用剪刀沿虚线把它剪成四个四边形，把这四个四边形按图2拼成一个六边形，则中间空白部分的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·上海·模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中，，，点A对应直尺的刻度为12．将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到，点对应直尺的刻度为0，则四边形的面积是 ． 7．（2025·上海·模拟预测）如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为 ． 8．（2025·湖北·模拟预测）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度． 9．（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则 ． 10．（2025·上海·模拟预测）如图1是一款可升降篮球架，支架，，的长度固定，A，D，G为立柱上的点，地面，篮板地面，，米，米，若改变伸缩臂的长度，则，可绕点A，D旋转来调整篮筐的高低．如图2，当时，可测得篮筐的固定点C距离地面为2.9米，则支架的长为 米．降低篮筐高度如图3，连结交于点O，平分，，此时篮筐的固定点C离地面的距离为 米． 三、解答题 11．（2025·河北邯郸·三模）已知n边形的内角和． (1)甲同学说，能取；而乙同学说，也能取．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由； (2)若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 12．（2025·湖南岳阳·一模）如图，点、、、在一条直线上，且，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 13．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，在中，E，F是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，求的长． 14．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，以为边作，使得，，过点C作交于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的面积是10，，求的长． 15．（2025·北京东城·二模）如图，在四边形中，点E在上，，于点F，于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $