专题02 函数四大性质通关攻略（考点突破 + 实战演练）——2026届高三数学三轮冲刺讲义

复盘固化核心常考点专题 专题02 函数四大性质通关攻略（考点突破 + 实战演练） 一、考点总结与提升 1.函数的单调性定义的熟悉与理解，主要考察形式就是分段函数的单调性问题. 2.判断或证明函数单调性的常见方法 ①.定义法：了解，但这里需要达到的目标是应该掌握高中课本上所有至少花了一个课时研究的函数（二次函数，母函数，指数，对数函数，三角函数，“飘带”函数，“对钩”函数） ②.运算性质法：在①的基础上，增函数加增函数还是增函数等.通过运算性质，能够判断上述函数的简单组合后的单调性. ③.图像法：要学好这个方法需要两个前提：一个是做到①中的熟记，另一个是掌握常见的图像变换形式及其在解析式中的体现. ④.复合函数单调性与同增异减法则 ⑤.导数法，万能通法. 3.单调性的常见应用（基本类型） ①.比较大小（可与奇偶性结合） ②.已知单调性求参数 （1）基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然. （2）同构出函数单调性后求参数 （3）分段函数单调性问题要注意 ③.利用单调性解不等式（高中阶段的不等式问题都可以利用函数单调性解决，这是通法，4.单调性的常见应用（压轴类型） 5.奇偶性中的主要结论 ★结论1.（苏教版必修一P119）．已知函数的定义域为. （1）求证：函数为上的偶函数； （2）求证：函数为上的奇函数； （3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 解析：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的偶函数； （2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的奇函数； （3）因为函数的定义域为.令 ，，则，又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且，所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间. 比如.都是奇函数. 证明：令， ，由基本原理（2）可证. ★结论2.奇偶函数的四则运算 奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可. ★结论3.奇函数的精致结论 若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设 ，则，特别地，. 6.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点 到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.代数表示: （1）. （2）. 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称. 一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线 对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等. 6.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：（1）. （2）. 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反. 6.3注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质. （1）.利用对称性求得函数在某点的函数值. （2）.利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象. （3）.对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同. 6.4.三次函数的对称中心： 图象的对称中心为. .原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即，即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立，故，，即.综上所述，图象的对称中心为. 6.5.指数型函数的对称中心 （1）.函数的对称中心为： 证明：设对称中心为，那么 对所有成立.代入可得：.进一步，有： ① 令，因此方程①是：②对任意成立. 两边乘以分母：，比较的系数：若，则.比较常数项： 代入：，即 两边减去可得.若，则，所以，故 因此对称中心为. （2） 7.（1）.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称. （2）.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称. 8.奇偶性（对称性）与导函数 若，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若 9.周期性 （1）.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. （2）.函数周期性有关结论: 设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立， 则函数是周期函数，且是它的一个周期. (1). (2). (3). (4). （3）.函数的对称性与周期性 性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且. 性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且. 性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且. 二、典例精讲 本环节聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性四大性质核心定义与结论，以 “理解 + 熟记” 为核心目标。先通过课本基础函数梳理单调性判定的 5 大方法，结合苏教版奇偶性结论掌握函数的奇偶分解与四则运算规律；再重点突破对称性的代数表达与三次、指数型函数对称中心推导，熟记对称性与单调性的关联法则；最后掌握周期性定义及对称推周期的 3 大性质，搭配思维导图将零散结论系统化，每类性质配套 3 个基础推导题，夯实原理理解，确保能快速调取核心结论。 核心考点1.已知单调性求参数 1．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为对于，都有成立，所以函数是增函数， 则函数和均为增函数，且有， 即，解得. 故选：C. 2．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（    ） A． B． C． D． 解析：因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即的范围是.故选：B. 3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 解析：依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即的最小值为．故选：C． 3已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 4已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，由题意可知函数在上单调递增，列不等式求解即可. 【详解】因为对于任意的，且，都有成立， 不等式两边同时除以， 可得，移项有， 构造函数， 则，所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 核心考点2.利用单调性比较大小 针对高考高频的单调性求参数、比较大小、解不等式，奇偶性与对称性结合，周期与对称综合应用五大考点，实施 “真题拆解 + 方法提炼” 策略。每个考点选近 5 年高考真题，先拆解题干关键条件，再匹配对应原理方法，如单调性求参数重点讲导数法与分段函数边界条件，比较大小侧重函数构造与奇偶性结合转化。 5．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 解析：因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：B 6． 已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 【解析】作出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，∵当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，∴结合图象可知a，b，c不可能同时大于等于0，也不可能同时小于等于0.因此，这三个数的相对位置如图所示，其中a＜0，0＜c＜1，b可正可负也可为0，选项A，B错；由图象知－a＞c＞0，∴2－a＞2c，选项C错；对于选项D，∵0＜2a＜1，1＜2c＜2，而f(a)＞f(c)，∴1－2a＞2c－1，得1＜2a＋2c＜2.故选D. 7．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 解析：因为，故.故答案为：C. 8．已知，，，.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，∴，， 令，，， ∴在单调递减，所以，∴，∴. ， 令，， ，在单调递减，，∴， ∴，∴， 故选：A. 9.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则 A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 解析： 是定义域为的偶函数，所以，因为， ，所以，又在上单调递减，所 以. 故选C． 10若函数，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数得出函数的单调性，再判断出函数的对称性，进而可得出的大小关系，再逐一判断各个选项即可. 【详解】由，得， 所以是增函数， 又，， 所以， 则，即点是图象的对称中心， 所以， 所以，即， 则，即，，且， 对于A，若，，则，故A错误； 对于B，若，且，则，故B错误； 对于C，因为函数在上是增函数，所以，故C正确； 对于D，若，，则有，故D错误. 故选：C. 核心考点3.利用单调性解不等式 解题技巧强化方案 本环节以 “提速 + 避错” 为核心，提炼四大性质综合应用的解题技巧。针对单调性，总结 “同构构造 + 导数恒成立” 的快速解题法；针对奇偶性，强化 “定义域优先 + 特殊值代入” 的验证技巧；针对对称性与周期性，掌握 “知一半推全部” 的图像分析法，以及利用对称中心、对称轴快速求函数值的方法。搭配 14 道典型综合题，进行技巧实战应用，每道题限定解题时间，做完后分析技巧运用要点与避错关键，提升解题效率与准确率。 11已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，，， 所以不等式可转化为， 又在R上单调递增，在R上单调递增， 进而在R上单调递增，所以函数在R上单调递增， ，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 12设函数，则不等式的解集为（   ） A．(0，2] B． C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞) 【答案】B 【解析】由题意，函数的定义域为， 且， 所以函数为的偶函数，且在上为单调递减函数， 令，可得， 则不等式可化为， 即，即， 又因为，且在上单调递减，在为偶函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 13已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得， ， 所以，. 所以，， 即，所以. 则由不等式可得， . 又恒成立， 当且仅当，即时等号成立， 所以，在R上单调递增. 则由可得，，解得. 所以，满足的的取值范围是. 故选：D. 14已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 解析：因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得. 故选：D. 15若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 解析：因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或，则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 16若为偶函数，则______. 解析：因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故，此时， 所以，又定义域为，故为偶函数， 所以.故答案为：2. 17已知函数是偶函数，则_________. 解析：因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，故，故答案为：1 18设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 解析：由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B 19已知函数有唯一零点，则 解析：此题若懂得前面的常见函数及性质就很容易下手，若不懂，借助导数与零点来实现，可能就做不出来！注意到的构造，跟偶函数长得很像，所以我们会发现 是关于直线对称的，而也是关于直线对称的，这样的话， ，如此的唯一零点便在处取得，代入可得：. 20．已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由于，所以是偶函数， 要使在有唯一的零点，则，即，解得，故选：A 21已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 解析：因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B. 22设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（  ） A． B． C． D． 解析：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D． 23．已知函数，则__________. 解析：由题设. 24. 已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（   ） A． B． C． D． 解析：因为函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，， 所以 ，故选：B 三、高考练场 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则不等式的解集为 . 10．已知定义在R上的奇函数的导函数为，且当时，恒有．若有，则实数t的取值范围为 ． 11．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．2024 12．已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 13．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．23 B． C． D．3 15（2025高三·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 16（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 17（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 18（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 参考答案 1．【详解】因为在上单调递增，所以即； 因为为增函数，故即；因为为减函数，故即，综上.故选：A. 2．【详解】函数的定义域为，且， 所以，（公众号：凌晨讲数学，更多优质资料，请前往公众号下载），所以关于直线成轴对称，因为，当且仅当，时取等号，令，，则，，当时，，，单调递增，单调递增，所以，，所以， 所以在区间上单调递增，则在区间上单调递减，又当时，，所以，当或时，，所以，且，所以要使得成立，则，解得， 故不等式的取值范围为．故选：B． 3．【详解】假设,又因为,可得,设,,单调递增，,恒成立,所以,即可得.故选：B. 4．【详解】不等式等价于，即， 构造函数，所以，因为时，，所以对恒成立，所以在单调递减， 又因为，所以不等式等价于，所以，即的解集为.故选：A. 5．【详解】设，则， 由于当时，，则当时，，在单调递减， 又为奇函数，,则，则函数为偶函数，可得函数在上单调递增，又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,．选：B． 6．【详解】由题意知，当时，，令，则，所以在上单调递减，不等式等价于，即为，所以，解得.故选：A. 7【详解】不等式恒成立，即， 即时，，所以分段函数在上单调递减，（时也会得到分段函数在上单调递减），故每段函数为减函数，应满足，解得， 同时在上单调递减，对于边界值还需满足，解得或， 所以．故选：C. 8【详解】∵，即， 构建，可知当时，则，故在上单调递减，又∵，即，且， 则，解得，故不等式的解集为.故选：C. 9.【详解】由已知得：， 所以，即，则不等式等价于，再由，可得在上单调递增，所以，解得，故答案为：. 10【详解】因为为R上的奇函数，令，则，即为奇函数， 当时，则，在上单调递减，所以在上单调递减，又，即， 即，所以，解得，所以，即实数t的取值范围为.故答案为： 11.解析：由为奇函数，为偶函数，可知函数的图像关于点中心对称，且关于直线轴对称，由前述性质，函数是周期为4的函数，由．得，所以．故选：A 12.解析：由前述性质可知：所以是周期为的周期函数. 所以.故选：D 13.解析：因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B. 14.解析：因为为奇函数，为偶函数，所以，，令，则，所以，， 所以，， 则，所以的周期，因为， 所以，，，， 所以．故选：C． 15【答案】D 【分析】令，求得，可判定A不正确；由，得到函数的图象不过坐标原点，可判定B不正确；令，求得或，可判定C不正确；令，化简求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B，由函数的定义域为，且，显然函数的图象不过坐标原点，所以函数不是奇函数，所以B不正确； 对于C，令，得，即， 解得或，显然函数没有零点，所以C不正确； 对于D，令，可得，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 16【答案】B 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 17【答案】D 【分析】求出的定义域可判断A，C不正确；根据为奇函数可判断B不正确，D正确. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为，故A，C不正确； 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 则的图象关于对称，故B不正确，D正确 故选：D. 18【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性定义、判定方法可判断A，B两项；利用函数的对称性判定方法可判断C，D 两项. 【详解】对于A，因 ，即，故函数关于点成中心对称， 故函数的图象关于原点成中心对称，即是奇函数，故A说法正确； 对于B，因的定义域为，关于原点对称， 且，即是偶函数，故B说法正确； 对于C，设，由， 即，故函数的图象关于对称，故C说法正确； 对于D，设，由， 显然不成立，故的图象不关于对称，即D说法错误. 故选：D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $复盘固化核心常考点专题 专题02 函数四大性质通关攻略（考点突破 + 实战演练） 一、考点总结与提升 1.函数的单调性定义的熟悉与理解，主要考察形式就是分段函数的单调性问题. 2.判断或证明函数单调性的常见方法 ①.定义法：了解，但这里需要达到的目标是应该掌握高中课本上所有至少花了一个课时研究的函数（二次函数，母函数，指数，对数函数，三角函数，“飘带”函数，“对钩”函数） ②.运算性质法：在①的基础上，增函数加增函数还是增函数等.通过运算性质，能够判断上述函数的简单组合后的单调性. ③.图像法：要学好这个方法需要两个前提：一个是做到①中的熟记，另一个是掌握常见的图像变换形式及其在解析式中的体现. ④.复合函数单调性与同增异减法则 ⑤.导数法，万能通法. 3.单调性的常见应用（基本类型） ①.比较大小（可与奇偶性结合） ②.已知单调性求参数 （1）基本原理：已知函数在区间上单增，则，反之亦然. （2）同构出函数单调性后求参数 （3）分段函数单调性问题要注意 ③.利用单调性解不等式（高中阶段的不等式问题都可以利用函数单调性解决，这是通法，4.单调性的常见应用（压轴类型） 5.奇偶性中的主要结论 ★结论1.（苏教版必修一P119）．已知函数的定义域为. （1）求证：函数为上的偶函数； （2）求证：函数为上的奇函数； （3）试判断：定义在上的函数能否表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 解析：（1）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的偶函数； （2）证明：因为函数的定义域为.所以函数的定义域为，又，所以函数为上的奇函数； （3）因为函数的定义域为.令 ，，则，又由（1）得为上的偶函数，由（2）得为上的奇函数，且，所以定义在上的函数可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和. 由证明可知，上述结论函数的定义域可以是任意对称区间. 比如.都是奇函数. 证明：令， ，由基本原理（2）可证. ★结论2.奇偶函数的四则运算 奇×奇为偶；奇×偶为奇；等等，类似进行加减乘除运算即可. ★结论3.奇函数的精致结论 若为奇函数，则对定义域内的任意实数恒成立，那么设 ，则，特别地，. 6.1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点 到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.代数表示: （1）. （2）. 即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称. 一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线 对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等. 6.2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心. 用代数式表示：（1）. （2）. 一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反. 6.3注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质. （1）.利用对称性求得函数在某点的函数值. （2）.利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象. （3）.对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同. 6.4.三次函数的对称中心： 图象的对称中心为. .原因如下： 设的图象关于点成中心对称，则函数为奇函数，故有，即，即. 又，代入上式化简得 对任意的恒成立，故，，即.综上所述，图象的对称中心为. 6.5.指数型函数的对称中心 （1）.函数的对称中心为： 证明：设对称中心为，那么 对所有成立.代入可得：.进一步，有： ① 令，因此方程①是：②对任意成立. 两边乘以分母：，比较的系数：若，则.比较常数项： 代入：，即 两边减去可得.若，则，所以，故 因此对称中心为. （2） 7.（1）.已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称. （2）.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称. 8.奇偶性（对称性）与导函数 若，即轴对称函数的导函数为中心对称函数，反之亦然，若 9.周期性 （1）.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期. （2）.函数周期性有关结论: 设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立， 则函数是周期函数，且是它的一个周期. (1). (2). (3). (4). （3）.函数的对称性与周期性 性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且. 性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且. 性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且. 二、典例精讲 本环节聚焦函数单调性、奇偶性、对称性、周期性四大性质核心定义与结论，以 “理解 + 熟记” 为核心目标。先通过课本基础函数梳理单调性判定的 5 大方法，结合苏教版奇偶性结论掌握函数的奇偶分解与四则运算规律；再重点突破对称性的代数表达与三次、指数型函数对称中心推导，熟记对称性与单调性的关联法则；最后掌握周期性定义及对称推周期的 3 大性质，搭配思维导图将零散结论系统化，每类性质配套 3 个基础推导题，夯实原理理解，确保能快速调取核心结论。 核心考点1.已知单调性求参数 1．已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024年新课标全国1卷）已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题新高考2卷）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心考点2.利用单调性比较大小 针对高考高频的单调性求参数、比较大小、解不等式，奇偶性与对称性结合，周期与对称综合应用五大考点，实施 “真题拆解 + 方法提炼” 策略。每个考点选近 5 年高考真题，先拆解题干关键条件，再匹配对应原理方法，如单调性求参数重点讲导数法与分段函数边界条件，比较大小侧重函数构造与奇偶性结合转化。 5．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6． 已知f(x)＝|2x－1|，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b＞0，c＞0 C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2 7．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 8．已知，，，.则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 9.设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则 A．（log3）＞（）＞（） B．（log3）＞（）＞（） C．（）＞（）＞（log3） D．（）＞（）＞（log3） 10若函数，且 ，则（    ） A． B． C． D． 核心考点3.利用单调性解不等式 解题技巧强化方案 本环节以 “提速 + 避错” 为核心，提炼四大性质综合应用的解题技巧。针对单调性，总结 “同构构造 + 导数恒成立” 的快速解题法；针对奇偶性，强化 “定义域优先 + 特殊值代入” 的验证技巧；针对对称性与周期性，掌握 “知一半推全部” 的图像分析法，以及利用对称中心、对称轴快速求函数值的方法。搭配 14 道典型综合题，进行技巧实战应用，每道题限定解题时间，做完后分析技巧运用要点与避错关键，提升解题效率与准确率。 11已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12设函数，则不等式的解集为（   ） A．(0，2] B． C．[2，＋∞) D．∪[2，＋∞) 13已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 15若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 16若为偶函数，则______. 17已知函数是偶函数，则_________. 18设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 19已知函数有唯一零点，则 20．已知函数，若在有唯一的零点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 21已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 22设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（  ） A． B． C． D． 23．已知函数，则__________. 24. 已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（   ） A． B． C． D． 三、高考练场 1．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则满足不等式的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．已知函数，若，，，都有，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数为，且，当时，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，且对于，，都满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数满足对任意，当时，恒成立，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，则不等式的解集为 . 10．已知定义在R上的奇函数的导函数为，且当时，恒有．若有，则实数t的取值范围为 ． 11．已知定义在上的函数满足为奇函数，为偶函数．若，则（    ） A． B．0 C．2 D．2024 12．已知函数的定义城为R，且满足，，且当时，，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 13．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 14．已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A．23 B． C． D．3 15（2025高三·上海·专题练习）已知定义在上的函数满足，且，则（ ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 16（2025高三·全国·专题练习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 17（25-26高三上·江西·期中）已知函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 18（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．的图象关于对称 D．的图象关于对称 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $