第08讲 三角形全等的判定（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第08讲 三角形全等的判定（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 方法指引：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【知识点02】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【知识点03】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【题型一】用SSS证明三角形全等 例1．（2022七年级下·上海·专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（　　） A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等， 理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC， 在△ACD和△AED中， ∴△ACD≌△AED（SSS），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 变式1．如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是_______．（在、、或选填） 【答案】 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据 判断即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．      【答案】见解析 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据可证与全等． 【详解】解：在与中， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【题型二】用SSS间接证明三角形全等 例2．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 变式1．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 【题型三】全等的性质和SSS综合 例3．（2023七年级下·上海青浦·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 【答案】47 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、三角形的外角的定义及性质 【分析】根据“边边边”证明，再根据全等三角形的性质可得∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和求出∠3＝∠1＋∠2，然后求解即可． 【详解】解：在△ABC和△ADE中，， ∴（SSS）， ∴∠ABC＝∠1，∠BAC＝∠2， ∴∠3＝∠ABC＋∠BAC＝∠1＋∠2， ∵， ∴， ∴． 故答案为：47． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知和相交于点O且，分别连接，，，已知，，求的度数． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，先证明，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在与中， ， ， ， ， ． 【题型四】尺规作一个角等于已知角 例4．如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度．    【答案】60 【知识点】尺规作一个角等于已知角、两直线平行内错角相等 【分析】由题意得：，根据平行线的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：， ∴， 故答案为：60 【点睛】本题考查了尺规作一个角等于已知角和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、得出是解题的关键． 变式1．已知射线和，按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在射线的上方作，使得； (2)作，使得射线是的角平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查基本尺规作角，掌握尺规作一个角等于已知角的步骤是解题关键． （1）根据尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． （2）根据尺规作一个角等于已知角的步骤画图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作 【题型五】用SAS证明三角形全等 例5．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】找出两个三角形中已知相等的对应边和对应角，然后根据判定方法即可判断． 【详解】解：在和中，， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】本题考查了三角形三边关系和全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过构造全等三角形，将已知边和所求线段转化到同一个三角形中． 延长到，使，证明，得到，再利用三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】解：延长到，使， ∵是的中线 在和中， ， ， 在中，， ∴，即， 则． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SAS证明三角形全等（SAS）、三角形内角和定理的应用 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据边角边证明，则； （2）由，，得，则． 【详解】（1）解：∵D是延长线上一点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的度数是． 【题型六】全等的性质和SAS综合 例6．（24-25七年级下·上海·月考）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 【答案】/105度 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质． 【详解】解：个边长相等的正方形的组合图形，如图， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 例7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判定即可． 【详解】解：①只能确定一个角，不能确定全等三角形； ②边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； ③能确定两个角及其夹边，能确定全等三角形； ④边和角都不能确定，故不能确定全等三角形； 根据全等三角形的判定定理，进行判定即可定制出和原来一样的三角形玻璃． 故选C． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，若利用证明，需添加的条件是_____．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据垂直的定义和余角的性质得到，再根据证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【题型八】全等的性质和ASA（AAS）综合 例8．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】 由ABEF得∠B＝∠F，由ACDE得∠ACB＝∠EDF，从而证明△ABC≌△EFD得BC＝FD，即可求得BD的长． 【详解】 解：∵ABEF， ∴∠B＝∠F， ∵ACDE， ∴∠ACB＝∠EDF， 在△ABC和△EFD中，， ∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴BC＝FD， ∴BC﹣DC＝FD﹣DC， ∴BD＝FC， ∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质、三角形全的判定及性质，熟练掌握三角形全的判定方法是解题的关键． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 【答案】8或2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，余角或补角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据余角的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据三角形的内角和定理，平角定义以及等式的性质可得出，根据证明，然后根据全等三角形的性质以及线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由： ， ，， 同角的余角相等 ，， ， ； （2）解∶，理由： ， ，， ， ，， ， ，， ． 【题型九】尺规作图——作三角形 例9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 【答案】 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、尺规作图——作三角形、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 变式1．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】先作，在射线上截取，以点C为圆心，为半径作弧，与射线分别交于点A和，连接，或即为所作． 【详解】解：如图，或即为所作， 变式2．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，已知线段，求作使得，，边上的高为（此题需要尺规作图，无需写作法，无需作出全等图形，需要写结论）．    【答案】见解析 【知识点】尺规作图——作三角形 【分析】先画一条直线，再根据作垂线的作法作出直线的垂线，在垂线上以点为圆心，的长度画弧，作出高，以点为圆心，为半径画弧，作出，以为圆心，为半径画弧，作出，连接，即可得到答案． 【详解】解：画直线，在直线外任意找一点，以点为圆心，大于点到直线的距离为半径画弧，交直线于，以为圆心，大于为半径在直线的另一侧画弧，交于点，连接与直线交于点，以为圆心，的长度画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧交直线于点，以为圆心，为半径画弧交直线于点，连接，即为所作，如图所示： 【点睛】本题主要考查了复杂作图，正确掌握垂线的作法是解题的关键． 【题型十】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 例10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，等边对等角，根据题意可证明，，再结合全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 添加条件，则，即，则可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，则可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，不可以利用证明，故C符合题意； 添加条件，则可利用证明，故D不符合题意； 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【答案】 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴要利用“”证明成立，还需增加一个条件． 故答案为：． 【题型十一】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 例11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．利用全等三角形的判定方法，将各选项逐一证明判定即可． 【详解】解：①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等是真命题，符合题意， 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 延长，使得，连接，则， ， ， ， 同理可证， ， 在和中， ， ， ， 同理， ， 又， ； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，是假命题，故不符合题意； 反例：如下图，在和中，，高， 但和不一定全等； ③两边和第三边上的高对应相等，不能判断两个三角形全等，理由如图： 在和中，，第三边上的高都是，两个三角形不全等，是假命题，故不符合题意； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，是真命题，故本选项符合题意； 如图，在和中，，且是中线，且，则，理由如下： 是中线， ， ， ， ， ， ， ， 则说法正确的是①④， 故选：A． 变式1．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，中，，于，于，和交于点，连接，则图中有____对全等的直角三角形．    【答案】 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答． 【详解】解：高、交于点， ， 图中的全等的直角三角形有： 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ； 在与中， ， ≌， 在与中， ， ≌； 在与中， ， ≌共有对． 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，解题的关键是熟记直角三角形全等的判定定理及其应用． 【题型十二】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 例12．（2022七年级下·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用 【分析】延长至点，使得，可证，可得，，在中，根据三角形三边关系即可求得的取值范围，即可解题． 【详解】解：延长至点，使得， 在和中， ， ， ， 中，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 变式1．ABC中，AB＝6，AC＝8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是____． 【答案】1＜AD＜7 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、确定第三边的取值范围 【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE． 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB． 在△ACE中，CE-AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜14， 1＜AD＜7． 故答案为：1＜AD＜7． 【点睛】本题综合运用了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：倍长中线是常见的辅助线之一． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解三角形中线的定义，大边对大角，延长至点E，使，连接，根据三角形中线定义得，进而依据判定得，，再由得，继而根据“大边对大角”得，由此即可得出结论． 【详解】解：延长至点E，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十三】全等三角形综合问题 例13．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【知识点】尺规作图——作三角形、全等三角形综合问题 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 变式1．（2023七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件：_____，使ABCDEC． 【答案】 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、全等三角形综合问题 【分析】已知给出了∠1＝∠2，可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理，补充BC＝AC可得ABCDEC答案可得． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴∠BCA＝∠ECD， 又AC＝DC，添加BC＝CE， ∴ABCDEC（SAS）． 故答案为：BC＝EC． 【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题的关键是添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 【答案】(1)见解析 (2)图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的性质是解决问题的关键． （1）根据垂直定义得，根据，得，进而可依据“”判定和全等； （2）①，先由（1）的结论得，，进而可依据“”判定和全等；②，先由得，，再证明，，进而可依据“”判定和全等；③，根据，，，可依据“”判定和全等；④和，先根据垂直定义得，再根据，，可依据“”判定和全等，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵于G，于F， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，证明如下： 由（1）可知：， ∴，， 在和中， ， ∴， ②，证明如下： 由①可知：， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ③，证明如下： 在和中， ， ∴， ④和，证明如下： ∵于G，于F， ∴， 在和中，， ∴， 图中除外有4对全等的三角形，分别为：①，②，③，④． 一、单选题 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．形状相同的两个三角形是全等形； B．面积相等的两个三角形是全等形； C．全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等； D．两个等边三角形一定全等． 【答案】C 【分析】根据真命题的概念和全等三角形的判定和性质求解即可．真命题：正确的命题叫作真命题． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定是全等形， 故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、面积相等的两个三角形不一定是全等形， 故原命题错误，是假命题，不符合题意； C、全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等， 选项正确，是真命题，符合题意； D、两个等边三角形不一定全等， 故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了真命题的概念和全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握真命题的概念和全等三角形的判定和性质．真命题：正确的命题叫作真命题． 2．如图，已知点，，，在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合选项中的条件，是否能够构成的形式，若不满足全等条件即为所求； 【详解】解：由可得，判定两三角形全等已有一边和一角； A中由可得，进而可由证明三角形全等，不符合要求； B中，可由证明三角形全等，不符合要求； C中由可得，进而可由证明三角形全等，不符合要求； D中无法判定，符合要求； 故选D． 【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于找出能判定三角形全等的条件． 3．如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键． 先证明，，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， A、，不能判断，选项不符合题意； B、，不能判断，选项不符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，利用可以判断，选项符合题意； 故选：D． 4．如图，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，在上截取，则，证明，得出，则，推出，则，得出，即可求解． 【详解】解：连接，在上截取， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，的平分线交于点． ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的三条角平分线交于一点；正确画出辅助线，构造全等三角形求解． 5．如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．构造全等三角形，结合三角形面积进行判断即可． 分①，②，③，三种情况比较与大小，均得到，即得． 【详解】解：如图①，当时， 过点E作交于点M， 则 ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图②，当，延长线交于点时， 过点E作于点M， 则， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 如图③，当，延长线交于点时， ∵， ∴， ∴是钝角， 过点F作，垂足为点M， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ 综上，面积最小的是A选项， 故选：A． 6．如图，，且，，，垂足分别为，，若，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据余角的性质证明，再根据证明，得出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，根据证明是解题的关键． 二、填空题 7．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟悉全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），根据已有条件结合定理添加合适条件． 已知，可得，且为公共边，根据全等三角形判定定理，添加一组对应边相等或一组对应角相等的条件即可． 【详解】，而， ． 同时，是和的公共边，即， ①添加（SAS判定）： 在和中， ， ； ②添加（AAS判定）： 在和中， ， ； ③添加（ASA判定）： 在和中， ． 可添加的条件为（或或等，答案不唯一），这里以为例． 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，在中，，，，，则的度数是______．    【答案】/度 【分析】由条件可证明，再利用外角的性质可求得，在中利用三角形内角和定理可求得． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】要判定，已知，，则，具备了一组角和一组边对应相等，故可以添加，利用可证全等． 【详解】解：增加一个条件：， ∵， ∴． ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定方法有、、、等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取． 10．如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____． 【答案】6 【分析】证明△BQA≌△BQE，得到BA=BE，同理证明△CAP≌△CDP，得到AC=CD，根据三角形的周长公式出去BE+CD，求出DE， 【详解】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE， 在△BQA和△BQE中， ， ∴△BQA≌△BQE， ∴BA=BE， 同理可证△CAP≌△CDP，得到AC=CD， ∵BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16， ∴DE=BE+CD-BC=6， 故答案为：6 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角的判定和性质是解题的关键． 11．如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．利用证明，根据全等三角形的性质得到，，即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 12．把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的定义，根据题意得出，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：如图 ∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大2， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 13．已知，如图，在中，点是上一点，平分，，，，则的长为____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明，在边上取点，使，连接，证明，再根据已知条件证得，即可得解． 【详解】解：如图，在边上取点，使，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 14．在中，，，点是斜边上的一点，过点作于点，连接．若，则的值是_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，过C作交的延长线于F，利用证明，推出，然后由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过C作交的延长线于F，如图： ， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， 故答案为：8． 15．如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形全等的判定和性质．由已知可证是等边三角形，可得，由三角形的内角和定理，结合已知可得，从而可证，可得，，结合线段的和差关系，等量代换，即可得的长． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____． 【答案】DE+BG＝EG 【分析】连接，利用全等三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下： 连接AC，如图所示， 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴ 又∵∠ECG＝60°， ∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG， ∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°， ∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°， 又∵∠CBF+∠ABC＝180°， ∴∠D＝∠CBF， 在△CDE和△CBF中， ， ∴△CDE≌△CBF（SAS）， ∴CE＝CF，∠DCE＝∠BCF， ∴∠BCG+∠BCF＝∠ACE+∠DCE＝60°，即∠FCG＝60°， ∴∠ECG＝∠FCG， 在△CEG和△CFG中， ， ∴△CEG≌△CFG（SAS）， ∴EG＝FG， 又∵DE＝BF，FG＝BF+BG， ∴DE+BG＝EG 故答案为：DE+BG＝EG 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 三、解答题 17．如图，在中，平分，在射线上取一点D，使．若，，，求的长． 【答案】7 【分析】由，，得，所以，而，即可根据“”证明≌，得，即可求解． 本题考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明≌是解题的关键． 【详解】解：平分，点D在射线AE上， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 18．如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 先证明，再由证明，则． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴≌， ∴． 19．图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，过点D作BC的垂线，分别交BC、CF于M、N，连接BN． (1)依题意补全图形； (2)求证：①∠BCN=∠ABD； ②AD=BN． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解；②见详解 【分析】（1）根据题意画出图形解答即可； （2）①利用等角的余角相等证明即可；②证明△BMD≌△NMC（AAS），推出BD=CN，再证明△ABD≌△BCN（SAS），可得结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示， （2）解：①证明：∵CE⊥BE， ∴∠CEB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BCN+∠CBE=90°，∠CBE+∠ABD=90°， ∴∠BCN=∠ABD； ②∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ACB=45°， ∵DM⊥CM， ∴MC=MD， ∵∠DBC+∠BCE=90°，∠CNM+∠BCE=90°， ∴∠DBM=∠CNM， ∵∠CMN=∠DMB=90°， ∴△BMD≌△NMC（AAS）， ∴BD=CN， ∵BA=BC，∠ABD=∠BCN， ∴△ABD≌△BCN（SAS）， ∴AD=BN． 【点睛】本题考查基本作图，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 20．下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 【答案】(1)见解析 (2)同意，见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，理解题意并熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由证明，即可得到结论； （2）由全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明． 【详解】（1）解：①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段的长度，即为点到水平地面的高度. 在和中， ， ∴， ∴． 即线段的长度即为线段的长度，即点A的高度． （2）解：同意小明的观点，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析； (2)见解析，． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于，则， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 三角形全等的判定（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． 方法指引：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【知识点02】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 【知识点03】作图—尺规作图的定义 （1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）基本要求 它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同． 直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度． 圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度． 【题型一】用SSS证明三角形全等 例1．（2022七年级下·上海·专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（　　） A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE 变式1．如图1是雨伞的实物图，图2是该雨伞部分骨架示意图．若测得，，则的依据是_______．（在、、或选填） 变式2．（22-23七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明与全等的理由．      【题型二】用SSS间接证明三角形全等 例2．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 变式1．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【题型三】全等的性质和SSS综合 例3．（2023七年级下·上海青浦·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，若，则∠3＝______°． 变式1．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，已知和相交于点O且，分别连接，，，已知，，求的度数． 【题型四】尺规作一个角等于已知角 例4．如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度．    变式1．已知射线和，按下列要求进行尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在射线的上方作，使得； (2)作，使得射线是的角平分线． 【题型五】用SAS证明三角形全等 例5．（22-23七年级下·上海普陀·期末）如图，已知在和中，，，能直接判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，，是的中线，设长为x，那么x的取值范围是______． 变式2．（24-25七年级下·上海·期末）如图，中，D是延长线上一点，，过点C作且，连接并延长，分别交，于点F，G． (1)试说明：； (2)若，，求的度数． 【题型六】全等的性质和SAS综合 例6．（24-25七年级下·上海·月考）在中，为的中点，，，则长度可以是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海·期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则______． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【题型七】用ASA（AAS）证明三角形全等 例7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，小明不慎把三角形玻璃打碎成四块，他只要带哪一块去即可定制出和原来一样的三角形玻璃？（    ） A．① B．② C．③ D．④ 变式1．（24-25七年级下·上海松江·月考）如图，，若利用证明，需添加的条件是_____．（写出一种即可） 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【题型八】全等的性质和ASA（AAS）综合 例8．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 变式1．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么__________． 变式2．（24-25七年级下·上海·月考）是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上两点，且． (1)如图（1），若直线经过的内部，且、在射线上，当时，线段与有怎样的大小关系？并说明理由． (2)如图（2），若直线经过的外部，当时，则、、三条线段之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【题型九】尺规作图——作三角形 例9．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是_______．（填简记） 变式1．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）求作中，已知，，（利用刻度尺和圆规画出图形，保留作图的痕迹） 变式2．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，已知线段，求作使得，，边上的高为（此题需要尺规作图，无需写作法，无需作出全等图形，需要写结论）．    【题型十】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 例10．（24-25七年级下·上海闵行·期末）已知：如图，点E、A、D、B在同一直线上，交于点O，，增加下列条件不能推导出的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）如图，已知，如果要利用“”证明成立，那么还需增加一个条件______． 【题型十一】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 例11．（24-25七年级下·上海宝山·期末）下列说法正确的是（   ） ①两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等； ②两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等； ③两边及其第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ④两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 变式1．（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，中，，于，于，和交于点，连接，则图中有____对全等的直角三角形．    【题型十二】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 例12．（2022七年级下·上海·专题练习）在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．ABC中，AB＝6，AC＝8，AD为BC边上的中线，则AD长度的取值范围是____． 变式2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，是边上的中线，如果，求证：． 证明：延长至点，使，连接（请完成后续证明） 【题型十三】全等三角形综合问题 例13．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 变式1．（2023七年级下·上海·专题练习）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件：_____，使ABCDEC． 变式2．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，点、为线段上两点，于，于，连接． (1)如图1，求证：． (2)如图2，设与相交于点，连接、并延长相交于点，请直接写出图中所有全等的三角形．（除外，均用图中给出的字母表示．） 一、单选题 1．下列命题中是真命题的是（    ） A．形状相同的两个三角形是全等形； B．面积相等的两个三角形是全等形； C．全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等； D．两个等边三角形一定全等． 2．如图，已知点，，，在一条直线上，，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点A，E，B，D在同一条直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为（　　）    A． B． C． D． 5．如图，在的内部有一点，过点作与角的两边，分别交于点，，下列四种作法中，面积最小的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，，且，，，垂足分别为，，若，，，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 二、填空题 7．如图，，请你添加一个适当的条件，使得：______（只需填写一个）． 8．如图，在中，，，，，则的度数是______．    9．如图，已知，，点、、、在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是___________． 10．如图，ABC的周长为26，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则DE的长是____． 11．如图，中，和是两条高线，相交于点F，若，，，则_____． 12．把的中线延长到点，使，连接，如果，的周长比的周长大2，那么___________． 13．已知，如图，在中，点是上一点，平分，，，，则的长为____． 14．在中，，，点是斜边上的一点，过点作于点，连接．若，则的值是_____． 15．如图，在中，，，直线l经过的顶点B，在直线l上取点D，E，使．若，，则______． 16．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E在AD上，F是AB延长线上一点，且DE＝BF，若G在AB上，且∠ECG＝60°，则DE、EG、BG之间的数量关系是_____． 三、解答题 17．如图，在中，平分，在射线上取一点D，使．若，，，求的长． 18．如图，已知．求证：． 19．图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F，过点D作BC的垂线，分别交BC、CF于M、N，连接BN． (1)依题意补全图形； (2)求证：①∠BCN=∠ABD； ②AD=BN． 20．下面是某数学兴趣小组在项目学习课上的方案策划书，请仔细阅读并完成相应的任务。 项目课题 探究用全等三角形解决“不用直接测量得到高度”的问题 问题提出 在无法直接测量的情况下如何得到竖直墙上的一点到水平地面的高度? 项目图纸及解决过程 ①将一根长度大于点到水平地面的高度的直杆靠在墙上，使其顶端与点重合，记下此时直杆与地面的夹角； ②使直杆的顶端竖直缓慢下滑，直到________；（标记此时直杆的顶端点为，底端点为） ③测量线段________的长度，即为点到水平地面的高度. 项目数据 …… 任务： (1)请先帮该兴趣小组补全解决过程，并说明他们作法的正确性： (2)若设，交于点，善于观察和思考的小明同学猜想线段，你同意小明的观点吗?请说明理由. 21．如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $