重难点专题02 利用勾股定理解决实际问题 10大题型（专项训练）数学新教材沪科版八年级下册

重难点专题 利用勾股定解决实际问题 重难点一 梯子下滑问题 1.将梯子问题转化为直角三角形模型；2.画出下滑前和下滑后的梯子下滑图； 3.标出梯子原来的高度、水平距离、下滑距离； 4.新高度=原高度-下滑距离，滑动距离=新水平距离-原水平距离；5.借助勾股定理列出方程求解. 速记口诀：梯子靠墙成直角，长度不变最重要，下滑先算新高度，勾股两次见分晓. 1．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 2．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A． B． C． D． 3．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上______米处折断． 4．图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了______厘米．    5．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由．    6．某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 重难点二 树杆折断问题 1根据折断部分与地面部分构成直角三角形利用勾股定理求出折断前或地面的长度； 2.根据大树的高度=地面高度+折断部分即可求解.. 速记技巧：大树折断倒一边，竖直水平斜边连， 勾股定理列方程，两段相加是原高. 7．如图所示，一场强风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则折断前树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为_______尺． 9．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 重难点三 旗杆的高度问题 1.设旗杆高为h，水平距离为a，斜边长为c； 2.画出直角三角形，标出旗杆、地面、绳子的长度； 3.找出已知，分清直角边、斜边，代入勾股定理计算； 速记口诀：旗杆垂直立地面，绳长当作斜边酸， 高距平方差开方，旗杆高度就出现。 10．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 11．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（      ） A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺 12．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）． 13．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 14．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆的高度为x米． (1)用含x的式子表示绳子的长为________米； (2)求旗杆的高度； (3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 15．综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 16．为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含45°角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为4m的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 任务一 判断分析 （1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________； 任务二 推理计算 （2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度． 重难点四 与台阶长度有关的计算 1. 水平总长=台阶总宽度，地毯长=总宽+总高 2. 把台阶侧面展开成平面，形成一个直角三角形； 3.利用勾股定理计算直角边或斜边，进而求解. 技巧口诀：台阶问题要分清，地毯总长高加宽， 最短路径展平面，勾股一算就搞定. 17．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 18．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 19．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      20．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 重难点五 航海问题 1. 画示意图，一横一竖画两条垂直线段，表示南北、东西路线； 2. 根据路程=速度x时间求两条直角边； 3. 利用勾股定理求斜边； 技巧口诀：航海问题方向明，东西南北互相垂， 两段路程直角边，勾股一算相距清。 21．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 22．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 23．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________° 24．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 25．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 26．某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 27．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． (1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； (2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键． 重难点六 判断是否受台风的影响 1.画一条直线表示台风路线，用点表示城市，过点作直线的垂线，标出垂足； 2.找出直角三角形，利用勾股定理算出城市到台风路线的垂直距离； 3.比较垂直距离与台风影响半径的大小关系； 4.根据.垂直距离>台风影响半径可得不受台风影响；垂直距离<台风影响半径可得受台风影响得出结论. 速记口诀：台风路线一条线，城市点到作垂线， 勾股算出最短距，半径一比定安危。 28．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 29．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 30．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 31．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 32．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 33．我校为了留下校庆当天的珍贵影像，计划安排三架无人机拍摄，在某区域上有三个无人机起降点（三个起降点在同一水平面上），其中在的北偏东方向上，与的距离是400米，在的南偏东方向上，与的距离是300米．    (1)求点与点之间的距离； (2)若在点的正上方高度为240米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为250米，每隔1秒会发射一次信号，此时在点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点飞行，已知无人机飞行的速度为每秒7米．若计划无人机在飞往处的过程中维持高度不变，飞行到点的正上方后再降落，试求无人机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计） 重难点七 选址问题 1.建模：把实际问题画成直线+两个定点，建立简单图形； 2.设所求选址点到某一端的距离为x，用x表示其它线段； 3.构造直角三角形利用勾股定理表示距离； 4.列出方程解方程得到x的值，从而求解. 速记口诀：选址问题画直线，定点垂线构直角， 设出未知表距离，勾股方程解位置。 34．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 35．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 36．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 37．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时 ；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 38．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 39．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 重难点八 勾股定理逆定理解决实际问题 1.找三边：找出或量出三条线段的长度； 2.排大小：找出最长边作为斜边； 3.算平方：算出两短平方和与最长边平方； 4.作比较得直角，若相等，是直角；不相等，非直角； 5.是直角则可以利用勾股定理解决问题. 速记口诀：已知三边判直角，先找最长当斜边， 平方相加再比较，相等就是九十度。 40．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 41．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向 42．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 43．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米． 44．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 45．2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 重难点九 最短路径问题 1.最短路径=两点之间的线段最短； 2.只要不是平面，先展开成平面； 3.把路径变成直角三角形的斜边； 4.再利用勾股定理计算即可. 速记口诀：最短路径很简单，立体先把平面展， 横平竖直构直角，勾股一算斜边短。 46．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 47．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 49．如图，一个直三棱柱盒子底面边长，高，是的中点，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是___________． 50．如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为_____． 51．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 52．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 重难点十 判断汽车是否超速 1.画直角三角形：竖直直角边可测速仪到公路垂直距离，斜边两次测速仪到汽车的距离，水平直角边可得汽车行驶的路程； 2.分别算出汽车在两个时刻到垂足的距离； 3.两个距离相减得到这段时间行驶的路程； 4.算出速度比较限速，进而求解.. 速记口诀：测速公路成直角，勾股两次求距离， 路程除以时间得速度，换算单位比限速。 53．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 54．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 55．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 56．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 57．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 利用勾股定解决实际问题 重难点一 梯子下滑问题 1.将梯子问题转化为直角三角形模型；2.画出下滑前和下滑后的梯子下滑图； 3.标出梯子原来的高度、水平距离、下滑距离； 4.新高度=原高度-下滑距离，滑动距离=新水平距离-原水平距离；5.借助勾股定理列出方程求解. 速记口诀：梯子靠墙成直角，长度不变最重要，下滑先算新高度，勾股两次见分晓. 1．如图，一架梯子原本斜靠在一面竖直的墙上，梯子顶端到墙脚的距离米，底端到粫脚的距离米．因地面湿滑，梯子顶端下滑至点处，底端滑动至点处，测量得米，则、两点之间的距离为（    ） A．2米 B．1.3米 C．0.9米 D．0.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理求出的长，利用，计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 由勾股定理，得：米，米， ∴、两点之间的距离为米； 故选B． 2．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑动后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：则题意得，， ∴， 梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动x米， 则，， 由勾股定理得，    故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键． 3．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高的烟囱拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正好砸在距烟囱底部的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上______米处折断． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用．根据题意画出图形，设从底部向上x米处折断，再利用勾股定理列式计算，从而可得答案． 【详解】解：设从底部向上x米处折断，即，则，， 由勾股定理得，即， 解得（米）， 故烟囱应从底部向上24米处折断． 故答案为：24． 4．图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了______厘米．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故答案为：9． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 5．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬20米长的云梯，到21米高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地3米、与宿舍外墙的距离是6米．请问云梯够长吗？说明理由．    【答案】够长，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，连接，勾股定理求出的长，与云梯的长度比较后即可得出结论． 【详解】解：够长，理由如下： 连接，由题意，得：，    ∴， ∴， ∵， ∴云梯够长． 6．某中学物理兴趣小组和数学兴趣小组的同学一起合作，想要研究关于定滑轮（滑轮位置固定不变）的物理实验，他们制订相应的实验和测量方案，部分测量结果如表： 课题 定滑轮的物理实验 实验器材 定滑轮、滑块、木块，绳子（没有弹性） 测量工具 尺子 测量示意图    说明：滑块、木块均在直转道上，它们用绳子连接，且绳子经过定滑轮．图1为初始测量状态，图2为将木块竖直升高后的状态，此时滑块向左滑至点处．其中．实验过程中，绳子长度不变且始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计． 测量数据 ，， (1)如图1，求绳子的总长度； (2)如图2，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为； (2)滑块向左滑动的距离为． 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，，，运用勾股定理列式计算，得，此时，即可作答． （2）先运算，再根据，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 在中，， 即， 解得． ∴， 答：绳子的总长度为； （2）解：根据题意，得，，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴ 答：滑块向左滑动的距离为． 重难点二 树杆折断问题 1根据折断部分与地面部分构成直角三角形利用勾股定理求出折断前或地面的长度； 2.根据大树的高度=地面高度+折断部分即可求解.. 速记技巧：大树折断倒一边，竖直水平斜边连， 勾股定理列方程，两段相加是原高. 7．如图所示，一场强风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则折断前树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据题意，得（米），；再根据勾股定理的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得：（米）， ∴（米） ∴折断前树的高度（米） 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，汇集了我国历代学者的劳动和智慧，被誉为人类科学史上应用数学的“算经之首”．其中记录了这样一个问题，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：今有竹高10尺，末端被折断而抵达地面，离竹根部有3尺，则竹的余高为_______尺． 【答案】4.55 【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，如图所示，， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴竹的余高为4.55尺， 故答案为；4.55． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确画图图形利用勾股定理求解是解题的关键． 9．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，台风过后，某山坡上的一棵甲树从点处被拦腰折断，其树顶恰好落在另一棵乙树的根部处，已知点距离甲树的根部处为米，甲、乙两树根部的距离为米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为米，且点，，在一条直线上，，求甲树原来的高度． 【答案】甲树原来的高度为米 【分析】问题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解： ， ， 米，米， （米）， （米）， （米）， 甲树原来的高度为（米）， 答：甲树原来的高度为米. 重难点三 旗杆的高度问题 1.设旗杆高为h，水平距离为a，斜边长为c； 2.画出直角三角形，标出旗杆、地面、绳子的长度； 3.找出已知，分清直角边、斜边，代入勾股定理计算； 速记口诀：旗杆垂直立地面，绳长当作斜边酸， 高距平方差开方，旗杆高度就出现。 10．数学兴趣小组的同学要测量与地面垂直的旗杆高度．如图，已知系在旗杆顶端A的绳子紧贴旗杆垂到地面后，在地面上多出1米，将绳子拉直后测出绳子的末端与地面的重合点C到旗杆底部B的水平距离为5米，则旗杆的高度为（    ）    A．5米 B．12米 C．13米 D．17米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设旗杆的长为，根据，，，运用勾股定理得到，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的长为． 根据题意，得，，． 在中， ． ∴． 解方程，得． 答：旗杆的长为12米． 故选：B． 11．我国古代数学著作《九章算术》中记载这样一个问题，原文是：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何?”译文为；“现在有一根直立的木柱，用一根绳索绑住木柱的顶端，另一端自由下垂，则绳索比木柱多三尺；将绳索的另一端靠地拉直，此时距离木柱的底端八尺，问这条绳索的长度是多少?”根据题意，求得绳索的长度是（      ） A．9尺 B．9尺 C．12尺 D．12尺 【答案】D 【分析】设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺，根据题意利用勾股列方程即可求解． 【详解】解：设木柱长度为x尺，则绳索长度为（x+3）尺， 根据题意可得：x2+82=（x+3）2， 解得：x=． ∴x+3=12， 故绳索长度为12尺． 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键． 12．如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米（），则旗杆AB的高度为__________米（用含a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】设AB=x米，则有AC=（x+a）米，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：设AB=x米，则有AC=（x+a）米，根据勾股定理得： ， 解得： ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 13．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为______尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 14．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图12所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米，设旗杆的高度为x米． (1)用含x的式子表示绳子的长为________米； (2)求旗杆的高度； (3)珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【答案】(1) (2)12米 (3)7 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． （1）根据系在旗杆顶端的绳子垂到地面时多出了3米即可求解； （2）根据勾股定理列方程求解即可； （3）先根据勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）解：用含x的式子表示绳子的长为米， 故答案为：； （2）解：由题意知：米，， ， ， 解得：， 旗杆的高度米； （3）解：由（2）知，米，则米， 米， 米， 珍珍应从A处向东走7米． 15．综合与实践 笃行小组利用所学数学知识测量旗杆高度，实践报告如下： 课题 测量旗杆的高度相关问题探究 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，绳子 示意图及测量数据 ①小组成员通过观察发现系在旗杆顶端的绳子拉直时，其末端刚好与旗杆底端重合； ②小亮同学用手拉住绳子的末端，从处后退，将绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点处．此时测得点到地面的距离为2米，，两点之间的距离为8米（图中各点均在同一铅直平面内）． 提出问题 根据测量所得数据，能计算出旗杆的高度吗？ 解决问题 如右图，过点作于点．根据题意得米，米．…… 请根据实践报告中“解决问题”的思路，补全计算旗杆高度的过程． 【答案】旗杆的高度的长为米，过程见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点作于点．根据题意得米，米．设旗杆的高度的长为米，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点．根据题意得米，米．所以． 设旗杆的高度的长为米，则米，米． 在中，根据勾股定理，． 所以，． 解，得． 16．为测量学校旗杆的高度，八年级1班的学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含45°角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆2.4m的点D处，眼睛距离地面1.6m，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为4m的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆12.8m． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出1m，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． 任务一 判断分析 （1）在方案一中，要确定旗杆的高度应测量_________的长度，请说明理由：_________； 任务二 推理计算 （2）请在方案二或方案三中任选一个方案，并根据测量数据，求旗杆的高度． 【答案】（1）；为等腰直角三角形，；（2）12米 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据题意及等腰直角三角形的性质解答； 对于选择方案二，作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； 选择方案三：设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. 故答案为：；为等腰直角三角形，； （2）选择方案二： 过点C作分别交于点M，交于点N， 则， ∴. ∵， ∴， ∴. 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴， ∴米. 故旗杆的高度为12米. 选择方案三：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米. 重难点四 与台阶长度有关的计算 1. 水平总长=台阶总宽度，地毯长=总宽+总高 2. 把台阶侧面展开成平面，形成一个直角三角形； 3.利用勾股定理计算直角边或斜边，进而求解. 技巧口诀：台阶问题要分清，地毯总长高加宽， 最短路径展平面，勾股一算就搞定. 17．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，米，米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（  ）    A．65 B．85 C．90 D．150 【答案】B 【分析】勾股定理求出，平移的性质推出防滑毯的长为，利用面积公式进行求解即可． 【详解】解： 由图可知：， ∵米，米， ∴米， 由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度（米），铅直的防滑毯的长度（米）， ∴至少需防滑毯的长为：（米）， ∵防滑毯宽为5米 ∴至少需防滑毯的面积为：（平方米）． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和． 18．开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，则该段楼梯铺.上地毯至少需要的长度为（    ） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法； 先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：是直角三角形，， ， 如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为， 故选：B． 19．如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡面平行的护栏．小明量得每一级石阶的宽为，高为，爬到山顶后，小华数得石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你帮他们求护栏的长度．      【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出每一级石阶的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度． 【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为， ． 答：护栏的长度为． 20．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为； (2)元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度是解题的关键． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， ∴地毯的面积为， 每平方米地毯25元， 需要花费（元）； 答：需要花费元地毯才能铺满所有台阶． 重难点五 航海问题 1. 画示意图，一横一竖画两条垂直线段，表示南北、东西路线； 2. 根据路程=速度x时间求两条直角边； 3. 利用勾股定理求斜边； 技巧口诀：航海问题方向明，东西南北互相垂， 两段路程直角边，勾股一算相距清。 21．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 22．如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表，以点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：C． 23．在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两基地前去拦截,6分钟后同时到达C地成功将其拦截,已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,则甲巡逻艇航向为北偏东________° 【答案】50 【分析】先用路程等于速度乘以时间计算出AC，BC的长，利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形，再利用在直角三角形中两锐角互余求解． 【详解】根据题意，如图所示 ∵AC=120×=12（海里），BC=50×=5（海里），AB=13海里， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． ∵∠CBA=90°-40°=50°， ∴∠CAB=40°， ∴甲的航向为北偏东50°． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定及方向角的理解及运用，难度适中．利用勾股定理的逆定理得出三角形ABC为直角三角形是解题的关键． 24．如图，甲、乙两艘轮船同时从港口出发，甲轮船以海里时的速度沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行，小时后两艘轮船相距海里，则乙轮船每小时航行________海里． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可以知道两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵甲轮船沿西北方向匀速航行，乙轮船沿东北方向匀速航行， ∴， ∴ ∵甲以9海里/时的速度沿西北方向匀速航行了1小时， ∴（海里）， ∵海里， 在中，（海里）， ∴乙轮船平均每小时航行（海里）． 故答案为：． 25．如图，小岛A位于港口C北偏西方向上，小岛B位于港口C的北偏东方向上，且与港口C相距200海里，小岛B与小岛A相距250海里． (1)求小岛A与港口C的距离； (2)在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B→A方向航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？ 【答案】(1)小岛A与港口C的距离为150海里 (2)货船还需航行4.5小时才能到达小岛A 【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）过点C作于点D，首先利用等面积法求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，． 在中，， ∴． 答：小岛A与港口C的距离为150海里； （2）解：过点C作于点D， 当货船航行到点D时，此时货船距离港口C最近． ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴（小时）． 答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A． 26．某游乐场部分平面图如图所示，点D，C，A在同一直线上，点A，B在同一直线上，，测得，，． (1)求入口B到大摆锤C的距离； (2)现要在距离大摆锤的E处修建游乐项目旋转木马，点B，C，E在同一直线上，且使旋转木马E到过山车D的距离最近． ①与的位置关系为______； ②求过山车D到旋转木马E的距离． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）在中，根据，即可求解； （2）①根据垂线段最短，即可求解；②在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴， 即入口B到大摆锤C的距离为； （2）解：①由“垂线段最短”得：当时，最短， 即旋转木马E到过山车D的距离最近时，； 故答案为： ②在中，， ∴， 即过山车D到旋转木马E的距离为． 27．如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． (1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离； (2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？ 【答案】(1)点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里 (2)派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点 【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，则点D到直线BC的距离是5海里； （2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇． 【详解】（1）解∶如图，连接BD， 依题意可得，AD⊥AB， 根据勾股定理可得∶BD＝．. ∵BD＝5，BC＝12，DC＝13， 根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2， ∴BD⊥BC，. ∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里． （2）解：如图，过点B作BE⊥CD于点E． 依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3． ∵点C在点B的东南方向， ∴∠CBE＝45°， 又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°， ∴∠BCE＝45°， ∴BE＝EC＝4， ∴DC＝DE＋EC＝7． ∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝． ∵≈1.414， ∴4≈5.656＜7． 当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点． 【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键． 重难点六 判断是否受台风的影响 1.画一条直线表示台风路线，用点表示城市，过点作直线的垂线，标出垂足； 2.找出直角三角形，利用勾股定理算出城市到台风路线的垂直距离； 3.比较垂直距离与台风影响半径的大小关系； 4.根据.垂直距离>台风影响半径可得不受台风影响；垂直距离<台风影响半径可得受台风影响得出结论. 速记口诀：台风路线一条线，城市点到作垂线， 勾股算出最短距，半径一比定安危。 28．如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 29．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 30．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少______秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 【答案】70 【分析】如图，设米，由勾股定理求出和的长，则可求出答案． 【详解】解：如图，设米， ∵，米， ∴（米）， ∵米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴公交车鸣笛声会受到噪音影响的时间为（秒）， 故答案为：70． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 31．由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 32．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响；理由见解析． (2)7小时． 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． （1）过A作于H，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响； （2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，，得到，由勾股定理求出，得到，即可求出台风响该农场持续时间． 【详解】（1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作于H，    ∵， ∴， ∴， ∵的面积 ∴， ∴， ∵， ∴农场A会受到台风的影响； （2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴台风影响该农场持续时间是（小时）． 33．我校为了留下校庆当天的珍贵影像，计划安排三架无人机拍摄，在某区域上有三个无人机起降点（三个起降点在同一水平面上），其中在的北偏东方向上，与的距离是400米，在的南偏东方向上，与的距离是300米．    (1)求点与点之间的距离； (2)若在点的正上方高度为240米的空中有一个静止的信号源，信号覆盖半径为250米，每隔1秒会发射一次信号，此时在点的正上方同样高度处有一架无人机准备沿直线向点飞行，已知无人机飞行的速度为每秒7米．若计划无人机在飞往处的过程中维持高度不变，飞行到点的正上方后再降落，试求无人机在飞行过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计） 【答案】(1)点A与点之间的距离为500米 (2)21次 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点之间的距离； （2）①过作于，由面积关系可求得的长，判断出，分别在和上找点和点使，分别求得的长，可求得此时无人机飞过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：依题意有：，，，    ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴（米） 答：点A与点之间的距离为500米 （2）解：如图所示，过作于，    ∵ ∴（米） ∵ ∴分别在和上找点和点使米 在中，由勾股定理得：， ∴（米） 同理得：（米） ∴当无人机处在段时能收到信号，由无人机的速度为 则无人机飞过此段的时间为：（秒） ∴无人机收到信号次数最多为：（次） 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，勾股定理的应用是关键． 重难点七 选址问题 1.建模：把实际问题画成直线+两个定点，建立简单图形； 2.设所求选址点到某一端的距离为x，用x表示其它线段； 3.构造直角三角形利用勾股定理表示距离； 4.列出方程解方程得到x的值，从而求解. 速记口诀：选址问题画直线，定点垂线构直角， 设出未知表距离，勾股方程解位置。 34．某地区要在公路上建一个蔬菜批发厂E，使得C，D两村庄到E的距离相等，已知，，．于点A，于点B，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在和中，，，得出，设为，则，将代入关系式即可求得． 【详解】解：∵C、D两村到蔬菜批发厂E距离相等， ∴， 在和中，，， ∴． 设为，则， 将，代入关系式为， 解得， ∴蔬菜批发厂E应建在距A点处， 故选：D． 35．如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 36．暑假中，小明和同学们到某海岛去探宝旅游，按照如图所示的路线探宝，他们登陆后先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北走6km处往东一拐，仅走1km就找到了宝藏，则登陆点到埋宝藏点的直线距离为_____km． 【答案】10 【详解】试题分析：过埋宝藏点作垂线，然后根据勾股定理求出直线距离. 考点：勾股定理 37．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控布设线距离河流300，最大旋转角度；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000；任意两个监控器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时 ；若按此方案进行布设，该水利部门至少需要布设___________个监控器． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点作于点N，根据题意，求得 ，后计算即可． 【详解】解：过点作于点N，根据题意，得 ， 又 ， 故， 设， ∴， ∴， ∴ ， 故， 故答案为：8． 38．为加快新农村建设，提高人居环境，计划要在道路m上修建一个天然气站E，同时向D，C两个居民区提供优质天然气，供居民取暖，做饭．已知如图：D到道路m的距离，C到道路m的距离，A，B两地距离．气站E应建在道路m的什么位置，使得C，D两居民区到气站E的距离相等？ (1)请你设计出气站E的位置（在图中用尺规作图作出符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算出气站E到A处的距离． 【答案】(1)见解析； (2)气站E距离A处． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，可知点E在线段的垂直平分线上，即可得答案； （2）设，，得，，再利用解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，点E即为所求． （2）解：设， ∵， 又∵ ∴ 解得 ∴气站E距离A处． 39．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 重难点八 勾股定理逆定理解决实际问题 1.找三边：找出或量出三条线段的长度； 2.排大小：找出最长边作为斜边； 3.算平方：算出两短平方和与最长边平方； 4.作比较得直角，若相等，是直角；不相等，非直角； 5.是直角则可以利用勾股定理解决问题. 速记口诀：已知三边判直角，先找最长当斜边， 平方相加再比较，相等就是九十度。 40．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 41．放学后，彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业，然后才回到家里．已知学校A．晓华家，彬彬家的两两之间的距离如图所示，且晓华家在学校的正东方向，则彬彬家在学校的（     ）    A．正南方向 B．正东方向 C．正西方向 D．正北方向 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据题意可求得即可求解． 【详解】解：由图可得：， ∴， ∴是直角三角形， ∴彬彬家在学校的正北方向， 故选：D． 42．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 43．为了强化实践育人，开展劳动教育和综合实践活动，某中学现有一块四边形的空地，如图，学校决定开发该空地作为学生的综合实践基地．经学校课外实践小组测量得，米，米，米，米，则四边形的面积为________平方米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：在中， ∵，米，米， ∴（米）， 在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴（平方米） 故答案为：． 44．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 45．2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 重难点九 最短路径问题 1.最短路径=两点之间的线段最短； 2.只要不是平面，先展开成平面； 3.把路径变成直角三角形的斜边； 4.再利用勾股定理计算即可. 速记口诀：最短路径很简单，立体先把平面展， 横平竖直构直角，勾股一算斜边短。 46．如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可． 【详解】解：底面周长为，则半圆弧长为， 画展开图形如下： 根据勾股定理得． ∴它爬行的最短路程为， 故选：D． 47．中华儿女作为龙的传人，龙的形象符号已经深入人心，如图所示，每根雕龙木柱高为6米，在底面周长为1.5米的木柱上，有一条雕龙从柱底A点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的D点，则雕刻在木柱上的巨龙长至少为（   ） A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意可得，底面周长为米，柱身高为6米， ∵有一条雕龙从柱底点沿立柱表面盘绕3圈到达柱顶正上方的点， 米，（米）， （米）， 故雕刻在木柱上的巨龙长至少为（米）， 故选：A． 48．如图，长方体的底面边长分别为和，高为．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求边长是解题的关键；先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：长方体侧面展开图如图所示． 由题意，得， 在中，， 故选：． 49．如图，一个直三棱柱盒子底面边长，高，是的中点，一只蚂蚁想从盒底的点处沿盒的外表面爬到盒顶的点处，蚂蚁爬行的最短路程是___________． 【答案】 【分析】本题考查了立体图形表面展开图与勾股定理的应用，将三棱柱侧面展开为平面图形，再利用勾股定理计算最短路程即可． 【详解】解：∵， ∴ 故将三棱柱的两个侧面展开，如图，则最短路程是的长， 由题意，，，， 由勾股定理得， 即蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 50．如图是一个长、宽、高的无盖长方体果盘，果盘侧面镂空，用一个隔板（厚度忽略不计）卡在中间把果盘分成两个大小相等的正方体，若在果盘内部顶点B处有一滴蜂蜜，果盘内部顶点A处的小蚂蚁想去吃蜂蜜（蚂蚁只能沿着底面和隔板表面行走，不能走边缘和镂空侧面），则小蚂蚁所走的最短路径长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 把底面和隔板的两面展开，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 则小蚂蚁所走的最短路径长， 故答案为：． 51．如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 52．【问题情境】 贵安新区某学校八年级某班学生学习勾股定理后，该班数学兴趣小组开展了实践活动，测得该学校一个四级台阶每一级的长、宽、高分别为，如图1所示．和是这个四级台阶两个相对的端点，若点处有一只蚂蚁，它想到点处的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是多少？ （1）数学兴趣小组经过思考得到如下解题方法：如图2，将这个四级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则______________． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是，高是，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，在（2）的条件下，在杯子内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）厘米；（3）； 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）台阶平面展开图为长方形，长，宽， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 重难点十 判断汽车是否超速 1.画直角三角形：竖直直角边可测速仪到公路垂直距离，斜边两次测速仪到汽车的距离，水平直角边可得汽车行驶的路程； 2.分别算出汽车在两个时刻到垂足的距离； 3.两个距离相减得到这段时间行驶的路程； 4.算出速度比较限速，进而求解.. 速记口诀：测速公路成直角，勾股两次求距离， 路程除以时间得速度，换算单位比限速。 53．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车________.（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 【详解】在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 54．如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点160米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离是___米；重型运输卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间是____秒． 【答案】 80 12 【分析】作于，求出的长即可解决问题，如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点，求出的长，利用时间计算即可． 【详解】解：作于， ，m， m， 即对学校的噪声影响最大时卡车与学校的距离m． 如图以为圆心m为半径画圆，交于、两点， ， ， 在中，m， m， 重型运输卡车的速度为36千米时米秒， 重型运输卡车经过的时间（秒， 故卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为12秒． 故答案为：80，12． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 55．如图，已知某高速公路限速，一辆大巴车在这条公路上沿直线行驶，与这条路平行的直线上的点处有一车速检测仪．某一时刻，大巴车刚好行驶到车速检测仪处正前方的处，经过后，大巴车到达处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为． (1)求的距离； (2)通过计算说明这辆大巴车是否超速．（参考数据） 【答案】(1)米 (2)大巴车超速了 【分析】本题考查勾股定理的应用，读懂题意，熟练掌握勾股定理是关键． （1）由勾股定理求出线段长度即可得到答案； （2）先计算出大巴车的速度，将速度化为，与高速公路限速比较即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，，，，则由勾股定理可得， 的距离为米； （2）解：大巴车的速度为， 则， ， 大巴车超速了． 56．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在高速道路上行驶速度不得超过高速路边也会安装车速检测仪对过往车辆进行限速检测，如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，依此计算车速，已知米． (1)若一辆汽车以时速匀速通过监控区域，共用时几秒 (2)若另一辆车通过监控区域共用时秒，该车是否超速请说明理由． 【答案】(1) (2)超速，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用： （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可． 【详解】（1）解：依题意可得，， ，为直角三角形， 米，米， 米， ， ； 答：共用时4秒； （2）超速，理由如下： ， ， 超速． 57．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $