精品解析：2026年3月辽宁盘锦市兴隆台区九年级下学期阶段学情自测数学试卷

九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此判断出对应几何体的主视图形状即可得到答案． 【详解】解；A、圆锥的主视图是三角形，符合题意； B、圆柱的主视图是长方形，不符合题意； C、球的主视图是圆，不符合题意； D、正方体的主视图是正方形，不符合题意； 故选：A． 3. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵随着累计抛掷次数增大，针尖朝上的频率在附近波动（精确到）， ∴估计“针尖朝上”的概率接近于，故C选项符合． 4. 某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如表所示，那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 A. 95和85 B. 90和85 C. 90和87.5 D. 85和87.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：由表格可知，90出现的次数最多， 所以这10名学生所得分数的众数是90． 将这10名学生所得分数按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 所以中位数是， 故选：C． 5. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 6. 如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若， ，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了切线长定理，切线的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角等等，连接，由切线的性质和切线长定理得到，证明是等边三角形，得到，由是的直径，得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵、是的两条切线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，计算即可． 【详解】解：∵等边的顶点，， ∴ ， 过A作轴于C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍， ∴与的位似比为， ∴点A的对应点的坐标是或，即或， 故选：D． 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，， ，由直线可知，， ，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，， ，由直线可知，， ，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，， ，由直线可知，， ，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，， ，由直线可知，， ，故本选项不符合题意； 故选：B． 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 由勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据正切的定义即可解答． 【详解】∵， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点 ．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质即可判断A；由等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，即可求出 的度数，即可判断B；由题意可以证明，再由相似三角形的性质即可判断C；由，，即可判断D． 【详解】解：A. 由作图可知，是的垂直平分线， ． A选项的说法是正确的，不符合题意； B. ， ． , ． ， ． 由作图可知，， ， . 在中，， ． ， ， ， ． B选项的说法是正确的，不符合题意； C. ， ， ， ， C选项的说法是正确的，不符合题意； D. ，， ，， D选项的说法是错误的，符合题意． 综上所述，故选：D． 【点睛】本题主要考查了作线段的垂直平分线和作相等线段，还考查了垂直平分线的性质，等腰三角形“等边对等角”的性质和外角的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握以上知识点是解题关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______ ． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在增长率问题中的应用． 设周平均增长率为，根据第三周阅读人次是第一周的倍，列出方程求解即可． 【详解】解：设周平均增长率为， 则 （舍去负值） ． 故答案为：40． 12. 一个扇形的圆心角是 ，半径是，则此扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将圆心角，半径代入扇形面积公式得：． 13. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻 （单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻 之间的函数表达式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻 之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻 之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上， ，点在线段上， ，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果.那么的长等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，先证可得 ，进而说明垂直平分线段，即、可得；然后再证，根据相似三角形的性质列式即可解答． 【详解】解：如图，连接， 在 和中， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴垂直平分线段， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴． ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：； 【答案】，； ． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、特殊角三角函数值的混合运算． 利用求根公式法解一元二次方程即可； 根据特殊角的三角形函数值，可得：原式，再根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解：， 其中， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程的解为，； ． 17. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】（1）名，见解析 （2）名 （3） 【解析】 【分析】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．正确列出所有情况是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据动画类人数及其百分比求得总人数，总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （2）用样本估计总体的思想解决问题； （3）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：这次被调查的学生人数为 （名）， 喜爱“体育”的人数为（名）． 补全图形如下： 【小问2详解】 解：估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名）． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣ 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果， 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 【答案】（1） ， （2）或 （3）或. 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，进而求得，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， 反比例函数的解析式为， 将，代入得， 解得， 一次函数为； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，自变量的取值范围为：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意可知， ， 把代入得，， 解得 ， ， ， ， ， ， ，即， ， 或． 19. 如图，为的直径，C为上一点，，交于点E，且C为弧的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）F为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得 ，根据等腰三角形的性质可得 ，从而可证，即可得是的切线； （2）延长交于点，根据平行线的性质可证，根据垂径定理可得 ，利用勾股定理可求，在 根据勾股定理 即可求出圆的半径． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ∵，， ， ， ， 设 ， 则， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求半径的长 ． 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出对应的图，关键平行线的性质即可求解； （2）过作与交于，过作与交于，可推出四边形为矩形， ；在中解出，即可求解； （3）过作 ，，在中解出即可求解． 【小问1详解】 解：如图：当悬臂与桌面平行时，作 ，悬臂也与桌面平行 ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：过作与交于，过作与交于 ∴四边形为矩形 ∴ ， ∵ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：过作 ，， ∴ 在中 ∴ ∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角函数的实际应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． 21. 某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该果农每天销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式； （3）若果农每天销售这种柑桔不低于 且不超过，则每天的最大利润为______元直接填空 【答案】（1） （2） （3）480 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列方程即可得到结论； （2）设每天销售利润为W元，根据题意求得函数关系式； （3）根据（2）所求，结合二次函数的性质即可得到结论． 此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键． 【小问1详解】 解：设， 一次函数的图象过，， ， 解得， 与x之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设该果农每天销售利润为W元， 根据题意得，； 【小问3详解】 解：，， ， ∴当 时，， ∴其销售单价定为13时，除去种植成本后，每天销售利润最大，最大利润是480元， 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）选择豆豆同学的证明方法 证明：∵ ， 平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； 乐琪同学的证明方法 证明：∵ ， 平分，则 ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （2）证明：延长到点，使，连接，延长， ∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ， ∵， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ． （3） 【解析】 【分析】（1）选择豆豆同学的证明方法：根据题意证明 得出 是等腰直角三角形，进而即可得出结论；乐琪同学的证明方法证明是等腰直角三角形，即可得证； （2）延长到点，使，连接，延长 证明 ,进而根据等腰直角三角形的性质得出 ，进而根据勾股定理即可得证； （3）将沿折叠得到 ，得出 三点共线，是等腰直角三角形，则 ，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ，证明 得出，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图所示，将沿折叠得到 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 三点共线， ∵ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 如图所示，延长交于点，过点作 于点，则 是等腰直角三角形， ， ∵ ，则 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又 ， ∴ ， ∴，则 ， 在 中， ，则 ， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【小问1详解】 解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． 【小问2详解】 将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． 【小问3详解】 根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图为三角形的是（　　） A. B. C. D. 3. 学了概率的相关知识后，某综合实践小组利用计算机模拟抛掷一枚图钉的试验，研究落地后针尖朝上的概率，记录的试验数据如表： 累计抛掷次数 100 1000 2000 3000 4000 5000 6000 针尖朝上频率 0.500 0.610 0.600 0.594 0.625 0.614 0.618 随着试验次数的增大，估计“针尖朝上”的概率接近于（ ）（精确到0.01） A. 0.50 B. 0.59 C. 0.62 D. 0.63 4. 某校10名学生参加“心理健康”知识测试，他们得分情况如表所示，那么这10名学生所得分数的众数和中位数分别是（　　） 人数 2 3 4 1 分数 80 85 90 95 A. 95和85 B. 90和85 C. 90和87.5 D. 85和87.5 5. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，、 是的两条切线，、是切点，若， ，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，，已知与位似，位似中心是原点O，且的面积是面积的16倍，则点A对应点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线分别交，于点 ．以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园、据统计，九年级师生第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到196人次．则九年级师生阅读人次的周平均增长率为_______ ． 12. 一个扇形的圆心角是 ，半径是，则此扇形的面积是________． 13. 在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻 （单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻 之间的函数表达式为___________． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上， ，点在线段上， ，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 15. 如图，M是斜边上的中点，将绕点B旋转，使得点C落在射线上的点D处，点A落在点E处，边的延长线交边于点F．如果.那么的长等于___________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）解方程：． （2）计算：； 17. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？ （3）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点． （1）求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； （2）当时，直接写出自变量的取值范围为 ； （3）点是轴上一点，当时，求出点的坐标． 19. 如图，为的直径，C为上一点，，交于点E，且C为弧的中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）F为上一点，连接，若，，，求的半径． 20. 如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果． （1）当悬臂与桌面平行时，=___________° （2）问悬臂端点到桌面的距离约为多少？ （3）已知摄像头点到桌面的距离为30cm时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：） 21. 某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量与销售单价元之间存在一次函数关系，如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设该果农每天销售利润为W元，求W与x之间的函数关系式； （3）若果农每天销售这种柑桔不低于 且不超过，则每天的最大利润为______元直接填空 22. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证： ． ①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取 ，连接，将线段 的数量关系转化为与的数量关系； ②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使 ，连接 ，发现了 与 的数量关系； 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程； （2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答． 如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在的同侧），连接 ， ， ，求证： ． （3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若 ，，请直接写出线段的长度． 23. 在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： （1）点的“和”点是______； （2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； （3）已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $