精品解析：黑龙江哈尔滨市第十七中学校2025-2026学年九年级下学期寒假作业验收数学试卷

哈十七中学2025-2026学年度下学期寒假作业验收 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 4. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（       ） A. B. C. D. 5. 如图所示几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 方程=﹣1的解是（　　） A. x=﹣2 B. x=2 C. x=0 D. 无解 7. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 12. 把多项式分解因式结果是_______________． 13. 不等式组整数解是_______________． 14. 掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______． 15. 若同一平面内的n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一点．如图，当n＝3时，共有2个交点；当n＝4时，共有5个交点；当n＝5时，共有9个交点；…则当n＝100时，共有交点 ___个． 16. 若一个扇形的弧长为2πcm，面积为2πcm2，则这个扇形的半径为______cm． 17. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 18. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是___________． 19. 在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 20. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是_______（填序号即可）． 三、解答题（21-22题，每题7分：23-24题，每题8分：25-27题，每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点是格点．点是边与网格线的交点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）过点画线段，使，且； （2）在边上画一点，使直线平分四边形的面积； （3）过点画线段，使，且． 23. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如图1和图2所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计该校九年级425名学生中采用“听音乐”来减压的人数． 24. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 25. 某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． （1）求每个篮球、足球分别为多少元？ （2）该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 26. 已知为的直径，为的中点，于点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点，连接，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点． （1）如图，求抛物线解析式； （2）如图，点是轴上一点，点的坐标是，过点作轴交抛物线于点，点是第一象限内一点，连接，过点作的垂线交轴负半轴于点，，设点的横坐标为，点的坐标为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴负半轴上（点在点的左侧），连接、，，点在线段上，点在线段上，直线交线段的延长线于点，，连接并延长交的延长线于点，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈十七中学2025-2026学年度下学期寒假作业验收 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. 7 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，即乘积为1的两个数互为倒数，根据该定义计算即可. 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数 ∴的倒数是， 故选：D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方和完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项错误； C、，故选项正确； D、，故选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算，同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方，正确掌握相关乘法公式是解题关键． 3. 下列食品标识中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，中心对称图形绕着某点旋转后能够与原图形完全重合，据此解答即可． 【详解】解：选项A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 选项B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项C、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形； 选项D、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 4. 月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，384000用科学记数法表示为（       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示较大的数的一般形式为，其中，为整数，确定与的值即可解题． 【详解】∵ 科学记数法要求满足，需要将384000转化为符合要求的形式， ∴ 把384000的小数点向左移动5位，得到，可得． 故选：B． 5. 如图所示的几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了小立方体堆砌成的几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第二列有一个小正方形，即看到的图形如下： 故选：A． 6. 方程=﹣1解是（　　） A. x=﹣2 B. x=2 C. x=0 D. 无解 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解. 【详解】去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解. 故选：. 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 7. 将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM交AB于点E．若AE＝2，BE＝1，则EC的长度是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本作图得到CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到AC=3，然后利用勾股定理计算CE的长． 【详解】由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝． 故选D． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 9. 如图，在中，D，E分别为边AB，AC上的点，，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行推相似三角形，再结合相似三角形的性质进行判断即可. 【详解】， ， ， ， 故选:A． 【点睛】本题考查的是由平行得相似三角形，相似三角形的性质与判定，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键. 10. 如图，正方形的边长，点P以的速度从点A出发沿运动，同时点Q以的速度从点出发沿运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接PQ和，的面积为，下列图象能正确反映出与的函数关系的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，分当时，当时，两种情形，确定解析式，判断即可．正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， 当时，， 则， 当时，，， 则， 故选：B． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能为0，据此求解自变量的取值范围； 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0， ∴在函数中，分母， 解得． 12. 把多项式分解因式的结果是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13. 不等式组的整数解是_______________． 【答案】-1，0，1 【解析】 【分析】本题重点考查一元一次不等式组解法，掌握其解法是解题的关键． 先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再确定不等式组的解集，最后从中找出整数解即可． 【详解】解不等式， 根据不等式的性质2，两边同时乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解不等式， 移项，得， 合并同类项，得， 因此，不等式组解集为， 所以该不等式组的整数解为-1，0，1， 故答案为：-1，0，1． 14. 掷一个质地均匀的正方体骰子两次，骰子的6个面分别刻有1到6个点数，则两次向上一面的点数都是3的倍数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，求出点的所有情况数，然后找出两次向上一面的点数都是3的倍数的数目，再根据概率等于所有情况数除以总情况数，列式计算即可得解． 【详解】解：画树状图如下： 总情况数为：6×6=36种，两次向上一面的点数都是3的倍数的数目为4， 所以两次向上一面的点数都是3的倍数的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15. 若同一平面内的n（n≥3，且n为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一点．如图，当n＝3时，共有2个交点；当n＝4时，共有5个交点；当n＝5时，共有9个交点；…则当n＝100时，共有交点 ___个． 【答案】 【解析】 【分析】第n条直线和前（n-1）条直线都相交，增加（n-1）个交点即可得到答案． 【详解】解：∵当n≥3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n-1． ∴当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有2+3=5个交点； 当n=5时，共有2+3+4=9个交点； …， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+（n-1）个． 当n=100时，共有交点个数为： 2+3+4+…+（100-1） =2+3+4+…+99 = ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相交直线的交点个数，方法是从特殊情况归纳出规律，找到用含n的代数式表示交点个数的规律是解题的关键． 16. 若一个扇形的弧长为2πcm，面积为2πcm2，则这个扇形的半径为______cm． 【答案】2 【解析】 【分析】根据扇形面积公式S＝lr计算即可． 【详解】解：∵S＝lr， ∴2π＝， 解得，r＝2（cm）， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，掌握S＝lr是解题的关键． 17. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了___________． 【答案】20 【解析】 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 18. 如图，在等腰中，，点P在以斜边为直径的半圆上，M为的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点，可得 ，由为的中位线，得，那么当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧，可得为等腰直角三角形，则，，在中，，由于，即可求解最小值． 【详解】解：如图，取的中点，取的中点，连接，，，，过点作于点， ∵在等腰中，，点在以斜边为直径的半圆上， ∴， ∵为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当点沿半圆从点运动至点时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆弧， ∵等腰，点为中点， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∵F为中点， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴，当点三点共线时，取得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，圆的定义，解直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系求最值等，难度较大，解题的关键在与确定点M的轨迹． 19. 在中，，点O为的中点，将绕着点O旋转，得到线段（点D不与点C、点B重合），连接，则为_______________度． 【答案】60或120 【解析】 【分析】先根据直角三角形性质得出，结合旋转性质得，判断B、C、D共圆，再分两种情况，利用圆周角定理及圆内接四边形性质即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ． 点O为的中点， ． 由旋转的性质可知， 因此，即点B、C、D在以O为圆心，为半径的圆上． ①当点D在优弧上时， 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，与都是弧所对的圆周角， 故． ②当点D在劣弧上时， 根据圆内接四边形的对角互补，， 则． 综上，为60或120度． 20. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的是_______（填序号即可）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①正确．利用面积法证明即可． ②错误．假设成立，推出，显然不符合条件． ③正确．如图2中，过点M作于P，于Q，连接AF．想办法证明，再利用相似三角形的性质，解决问题即可． ④正确．如图3中，将绕点C顺时针旋转得到，连接FW．则，，，，证明，利用勾股定理，即可解决问题． 【详解】解：如图1中，过点G作于T． ， ， ，， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ，， ， ， ，故①正确， 假设成立， ， ， ，显然这个条件不成立，故②错误， 如图2中，过点M作于P，于Q，连接AF． ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，故③正确， 如图3中，将绕点C顺时针旋转得到，连接FW．则，，，， ∵FG=FC，∠GFO=∠FCN，∠FGM=∠CFN=45°， ∴△FGM≌△CFN， ∴FM=CN， ，，， ， ， ， ， ，故④正确， 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 三、解答题（21-22题，每题7分：23-24题，每题8分：25-27题，每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对小括号里的进行通分计算，再将除法转化为乘法，最后进行约分． 【详解】解： ， ， ． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点是格点．点是边与网格线的交点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按步骤完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）过点画线段，使，且； （2）在边上画一点，使直线平分四边形的面积； （3）过点画线段，使，且． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）取格点E，连接CE即可． （2）连接AE，BC交于点O，作直线OD即可． （3）取格点G，H，连接GH得到格点N，作线段MN即可． 【详解】解： （1）画图如图： （2）画图如图： （3）画图如图： 【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 考试前，同学们总会采用各种方式缓解考试压力，以最佳状态迎接考试．某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校将减压方式分为五类，同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类．学校收集整理数据后，绘制了如图1和图2所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查中，一共抽查了多少名学生？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）根据调查结果，估计该校九年级425名学生中采用“听音乐”来减压的人数． 【答案】（1）50名 （2）见解析 （3）102名 【解析】 【分析】（1）先求出除了“其他”以外的四类方式的百分比和人数，将人数除以百分比即可得总人数； （2）用总人数乘以“其他”类别的百分比即可得其人数，补全图形； （3）用样本中“听音乐”人数占被调查人数的比例乘以总人数425即可得． 小问1详解】 解：， （人）， （人）， 答：这次抽样调查，一共抽查了50名学生． 【小问2详解】 解：选择“其他”的人数为（人，补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：（名） 答：估计采用“听音乐”的减压方式的学生有102名． 24. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． （1）如图1，在四边形中，，平分． 求证：四边形为等补四边形； （2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，B，C均在格点上，若点D在格点上，且四边形是等补四边形，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】（1）详见解析 （2）满足要求的线段的长为，， 【解析】 【分析】（1）因为要证四边形是等补四边形，需满足一组邻边相等且对角互补，已知，所以只需证明一组邻边相等，可考虑构造全等三角形，结合的互补条件，推导邻边相等，从而完成证明； （2）由三角形全等证明出邻边相等和，结合等补四边形的定义得出，结合网格确定点的可能位置，最后利用勾股定理计算的长度即可． 【小问1详解】 证明：如图，在边上截取，连， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为等补四边形； 【小问2详解】 解：如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作等补四边形，且四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴找到满足要求的点即可，如图所示， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴满足要求的线段的长为，，． 25. 某中学为加强学生体育锻炼，购置相同的篮球、相同的足球若干个．若购买篮球20个，足球15个共需4000元；若购买篮球10个，足球20个共需3000元． （1）求每个篮球、足球分别为多少元？ （2）该中学购买篮球、足球共40个，若购买篮球、足球的总费用低于4400元，求至少购买足球多少个？ 【答案】（1）每个篮球140元，每个足球80元 （2）21个 【解析】 分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据已知列二元一次方程组，求解即可； （2）设购买足球个，则购买篮球个，根据总费用低于元列出一元一次不等式，求解即可． 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元， 由题意可得， 解得， 每个篮球元，每个足球元； 【小问2详解】 设购买足球个，则购买篮球个， 由题意可得，解得， 为足球的个数，应为正整数， 的最小值为， 至少购买足球个． 26. 已知为的直径，为的中点，于点，交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：平分； （3）如图3，在（2）的条件下，连接、，交于点，连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长，交于，连接、，根据弧、弦、圆心角的关系得出，利用圆周角定理得出，利用证明即可； （2）连接，利用证明得出，即可得结论； （3）连接，延长，交于，过点作于，可证明是的垂直平分线，根据为的直径得出，可得，即可得出，通过证明得出，，根据垂径定理，结合中位线的性质得出 ，设，根据，列方程可求出的值，进而求出的长即可． 【小问1详解】 证明：如图，延长，交于，连接、， ∵为的中点， ∴， ∵，为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵和是所对的圆周角， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接， 由（1）可知， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴平分． 【小问3详解】 解：如图，连接，延长，交于，过点作于， ∵，， ∴是的垂直平分线，，， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键． 27. 在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点． （1）如图，求抛物线解析式； （2）如图，点是轴上一点，点的坐标是，过点作轴交抛物线于点，点是第一象限内一点，连接，过点作的垂线交轴负半轴于点，，设点的横坐标为，点的坐标为，求与的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，点在轴负半轴上（点在点的左侧），连接、，，点在线段上，点在线段上，直线交线段的延长线于点，，连接并延长交的延长线于点，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值即可； （2）过点作轴于，于，与交于，利用证明，得出，，得出四边形是正方形，即可得答案； （3）延长，交的延长线于，交轴于，过点作于，先证明，得出，可证明，得出，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，利用三角函数即可求出，，利用待定系数法求出、解析式，联立两解析式，解方程组即可得答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于点，交轴于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于，于，与交于， ∵轴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 当时，， ∴， ∵点的横坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴， 整理得，． 【小问3详解】 如图，延长，交的延长线于，交轴于，过点作于，与交于点， 由（2）可知，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：，（时，与轴无交点，不符合题意，舍去）， 经检验，是分式方程的解， 当时，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线、解析式得：， 解得：， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确作出辅助线，构造全等三角形及相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $