精品解析：河北唐山市迁西县第一中学2026届高三下学期开学考试数学试题

2025-2026学年高三下学期开学考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的首项和公差，然后利用求和公式列方程组求出首项和公差从而得解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题知，解得， 从而. 故选：B 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B. 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出；D选项，由得到D错误. 【详解】A选项，数据4，1，6，2，9，5，8排序后得到1，2，4，5，6，8，9， ，故选取第5个数据作为第60百分位数，即为6，A正确； B选项，因为，根据对称性可知， 故，B正确； C选项，已知经验回归方程为，且，则， 解得，C正确； D选项，，故不能得到此结论，D错误 故选：D 5. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示对进行化简，进而根据已知条件计算即可. 【详解】因为，是圆上的两个动点， 所以，所以. 因为，所以. 故选：D. 6. 某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记校名选手分别为甲、乙，记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，结合韦恩图法可求出满足题设条件的排法种数. 【详解】记校名选手分别为甲、乙， 记事件甲与校选手的出场相邻，事件乙与校选手的出场相邻，如下图所示： 事件为：校选手的两边为甲和乙， 则满足题意的排法种数为 种. 故选：B. 7. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案. 【详解】由于函数，定义域为R，满足， 得是奇函数，且在R上为减函数. 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立，在上恒成立. 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ，即a的取值范围为， 故选：D. 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由，得，由题意可得，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 将其解集（部分）在数轴上表示如下： 若，存在，使得成立， 则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度， 即，即， 又，所以，所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的公差，再逐项判断得解. 【详解】在等差数列中，，解得，则公差， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，，因此，D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则下列说法正确的是（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义逐项分析判断得解. 【详解】连接DE，则DE为圆E的半径，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接，如图， 对于A，，则A，B，F三点共线，A正确； 对于B，由AB为直径，得，而，则， 而为等腰三角形，则，，于是， 即直线l的倾斜角为60°，其斜率为，B错误； 对于C，点，直线AB的方程为，由得， 解得，，则，，即，C正确； 对于D，由，，得，则圆E的直径是8，其半径为4，D正确． 故选：ACD 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（ ） A. B. 当时，面积的最大值为16 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据点到直线的距离公式计算即可；对于B，根据直角三角形相似可求出，进而根据三角形面积公式列出面积的表达式，然后根据基本不等式的性质计算即可；对于C，先求出点的坐标，进而代入方程中化简求得离心率；对于D，根据余弦定理和的关系表达式，进而化简即可求得渐近线方程. 【详解】因为双曲线：（，）的左、右焦点分别为，， 所以，渐近线为. 假设过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为， 则为点到渐近线即的距离，即，A正确； 当时，，所以. 所以的面积为. 在直角三角形中，，所以. 所以，所以，所以. 由于，当且仅当时等号成立，此时的面积取最大值为8，B错误； 因为，所以点是的中点，因为，所以. 又点在双曲线上，所以，化简得. 所以解得双曲线的离心率为，C正确； 设，由点在到渐近线的垂线段上， 直线的斜率为，所以直线的方程为， ，设，所以 设，所以，解得，而. 所以，则. 在中，由余弦定理得， 利用关系式， 即，化简得， 将的表达式代入，得到关于的方程，化简后可解得， 故渐近线方程为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦点坐标为______. 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据双曲线的方程求解即可. 【详解】由双曲线方程得双曲线焦点在轴上，且， 所以双曲线的焦点坐标为， 故答案为：， 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______. 【答案】8 【解析】 【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可. 详解】 如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得， 又由双曲线定义可得，则， 又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为. 又，可得，化简得，即， 即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.即. 故答案为：8. 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数法判断在上单调递增，利用单调性性质判断在上单调递增，然后利用单调性性质可得在R上单调递增，进而得在R上单调递增，将不等式可化为，最后利用单调性求解即可. 【详解】当时，，所以， 所以在上单调递增，所以； 当时，， 因为在上单调递减，在定义域内单调递增， 所以在上单调递减， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以； 所以在R上单调递增. 令，因为在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以在R上单调递增，且， 故不等式可化为，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，将已知的边角关系进行转化，最后求解即可； （2）利用余弦定理建立关于未知边 的一元二次方程，求解后再代入面积公式即可； （3）先利用角平分线将原三角形 分割成两个小三角形 和 ，得到它们的面积之和等于原三角形的面积，最后代入求解即可. 【小问1详解】 ，，， 由得，. 【小问2详解】 由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. 【小问3详解】 设， 则，， ， . 16. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在点，此时 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可证明平面，再由线面垂直的性质即可得； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得结果. 【小问1详解】 因为，且， 可得，， 又因为，可得， 所以，则， 因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 因为平面，且平面，所以， 如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系， 可得，，，， 所以，． 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 假设存在点，使得与平面所成角为， 设，（其中），则，， 所以， 整理得，解得或（舍去）， 所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，. （1）证明：； （2）棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点是的中点 【解析】 【分析】（1）根据几何关系证明，进而证明平面即可证明，再根据即可证明； （2）先证明平面得，进而建立空间直角坐标系，假设存在点，设（），再利用坐标法求解即可. 【小问1详解】 证明：底面为平行四边形，，， 在中，，， ， ，，，即， ，，平面， 平面，∵平面，， 四边形为平行四边形，. 【小问2详解】 解：由（1）得，，，平面 平面，∵平面，， ，， 以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点，设（）， ， 设是平面的一个法向量， 则，即 令，则，，， 设直线与平面所成角， 则， 或（舍去）， ，即点是的中点. 棱的中点，使得直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知点，动点满足，动点的轨迹记为. （1）求的方程； （2）直线与轴交于点为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点. ①证明：直线的斜率成等差数列； ②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①证明见解析；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义，可得曲线的方程. （2）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立. ①根据直线与椭圆的位置关系，由可以得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，可得，再得，所以直线的斜率成等差数列. ②法一：分别用表示出的坐标，结合①中的，，根据求的值即可； 法二：分别用表示出的坐标，结合①中的，，根据求的值即可； 法三：分别用表示出的坐标，结合①中的，，根据求的值即可； 法四：分别用表示出的坐标，结合①中的，，根据求的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以的轨迹是以为焦点，且长轴长为4的椭圆， 设的轨迹方程为，则，可得. 又，所以，所以方程为. 【小问2详解】 设，易知过且与相切的直线斜率存在，设直线方程为，联立，消去得， 由，得 设两条切线的斜率分别为，则 ①证明：设的斜率为，则， 因为，所以的斜率成等差数列. ②法1：在中，令，得，所以， 同理，得，所以的中垂线为. 易得的中点为，所以的中垂线为， 联立解得， 所以，， 要使，则，即， 整理得， 而， 所以，解得，因此， 故存在符合题意的点，使得，此时. 法2：在中，令，得，因此， 同理可得，所以的中垂线为. 易得的中点为，所以的中垂线为， 联立解得， 因为，所以，即， 而， 所以，解得，因此， 故存在符合题意的点，使得，此时. 法3：要使，即或， 从而，又，所以， 因为， 所以，解得，所以， 故存在符合题意的点，使得，此时. 法4：要使，即或，从而. 在中，令，得，故，同理可得，因此， 所以， 故，即， 整理得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 因此，故存在符合题意的点，使得， 此时.法5：要使，即或，从而. 在中，令，得，故，同理可得， 由等面积法得， 即，整理得， 所以，整理得，解得或（舍去）， 因此，故存在符合题意的点，使得， 此时. 19. 已知函数（）. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数零点个数； （3）若，（）是函数的两个零点，证明：. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （2）参变分离可得，，令，，则的零点个数即为与的交点个数，利用导数说明的单调性，求出函数的极值及取值情况，即可判断； （3）结合（2）可得，利用分析法可得只需证，两边取对数得到只需证明，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，则， ，，， 在点处的切线方程为， 即，即. 【小问2详解】 令，因为，所以，， 令，，则， 令，则；令，则或； 的递增区间为，递减区间为和； 是的极小值，是的极大值， 当时，；当时，且， 则的零点个数即为与的交点个数， 当时，与无交点，即函数无零点； 当或时，与有且仅有个交点，即函数有1个零点； 当时，与有个交点，即函数有2个零点； 当时，与有个交点，即函数有3个零点. 综上可得，当时，函数无零点； 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 【小问3详解】 由题意得，， ，，是方程的两个正实数根， 由（2）可知，在上单调递增， 在单调递减，且，要证， 需证，只需证， ，只需证，即需证， 两边取对数，整理得， 令，，则， 在上单调递增，， 成立， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期开学考试 数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 在复平面内，复数 对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列结论中，错误的是（ ） A. 数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6 B 若随机变量，则 C. 已知经验回归方程为，且，则 D. 根据分类变量与成对样本数据，计算得到，依据小概率值独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 5. 已知圆：，，是圆上的两个动点，且，则（ ） A. 4 B. C. 16 D. 8 6. 某次市运会跳水项目的预赛中有名参赛选手，其中校有名，校有名，校有名.现要求校名选手的出场均不能和校选手的出场相邻，则这名选手不同出场顺序的种数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知是等差数列的前项和，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线C：焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则下列说法正确的是（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是4 11. 已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，；过右焦点向一条渐近线作垂线，垂足为，线段与双曲线交于点，则（ ） A. B. 当时，面积的最大值为16 C. 当时，双曲线的离心率为 D. 当时，双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦点坐标为______. 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点，点是第一象限内双曲线上的一点，满足.记的面积分别为、，则______. 14. 已知函数，则不等式的解集为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，，. （1）求； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，求的角平分线的长. 16. 在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面． （1）求证：； （2）在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，点是的中点，，. （1）证明：； （2）棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；否则，请说明理由. 18. 已知点，动点满足，动点的轨迹记为. （1）求的方程； （2）直线与轴交于点为上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点. ①证明：直线的斜率成等差数列； ②经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数（）. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）讨论函数零点个数； （3）若，（）是函数两个零点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $