第1章二次根式 同步单元达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》同步单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列根式中，可以与进行合并的是（    ） A． B． C． D． 3．若是整数，且有意义，则的值是（    ） A．1或3 B．0或1 C．2或 D．0或 4．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，那么与的关系为（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．，的平方相等 6．已知，则的平方根为（   ） A． B．8 C． D． 7．已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 8．把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形，它的面积是．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．若最简二次根式与可以合并，则 ． 10．已知是一个正整数，是整数，那么的最小值为 ． 11．的解集是 ． 12．把根号外面的因式移到根号里面，化成最简二次根式，正确的结果是 ． 13．已知某直角三角形的面积为S，它的两条直角边长分别为a，b．若，，则 ． 14．数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，使它变成了面积为的正方形纸片，则原长方形纸片的面积为 ． 15．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计） 16．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 三、解答题（满分72分） 17．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 18．计算： (1)； (2)． (3)． 19．已知，． (1)求的值； (2)若的小数部分是的小数部分是，求的值． 20．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根，我们把正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即． 【发现结论】由上述材料可知，代数式表示a的算术平方根，a的取值范围是________． 【运用结论】若x、y都是实数，且，求的值． 【拓展提升】若，求的值． 21．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为米．现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，求通道的总面积． 22．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，使得，那么便有： 例如：化简 解：首先把化为，这里，由于， 即， (1)填空：______，______； (2)化简求值． 23．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 参考答案 1．D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因式或因数，解决本题的关键是根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】解：A选项： ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项不符合题意； B选项： 的被开方数含分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C选项： ，中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D选项： 的被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故D选项符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据二次根式的性质进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】A：，与不是同类二次根式，不能合并； B：，与是同类二次根式，能合并； C：与不是同类二次根式，不能合并； D：和不是同类二次根式，不能合并； 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，确定整数x的取值范围，并分别计算即可． 【详解】解：∵ 和有意义， ∴ 且 ， 即 ． 又∵ 是整数， ∴ 可取1，2，3． 当时，； 当时，； 当时，． ∴ 的值为或2， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：选项A：，而，两者不相等，故A错误； 选项B：由于和不是同类二次根式，不能直接相减，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确， 故选：D． 5．A 【分析】本题主要考查了倒数的定义，二次根式得乘法运算，平方差公式，通过计算a与b的乘积，利用平方差公式得出，从而判断它们互为倒数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴a与b互为倒数． 故选A 6．D 【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于0，代数式求值，正确求出x、y的值是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根． 【详解】∵ 使 和 有意义，需 且 ， ∴ 且 ， ∴ ． 当 时，． ∴ ． ∴ 的平方根为 ． 故选D． 7．C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用以及正方形周长的计算，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键． 先根据大正方形面积求出边长，再结合的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长． 【详解】解：∵ 大正方形的面积是， ∴ 大正方形的边长， ∵ ， ∴ 长方形的宽为， ∴ 小正方形的边长为， ∴ 小正方形的周长为， 故答案为：． 9．2 【分析】根据同类二次根式的定义，同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．因为本题中的两个二次根式已是最简二次根式且可以合并，所以它们的被开方数必须相等． 本题考查了同类二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并， 得 ， 整理，得 ， 故答案为：． 10．3 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，首先得到，然后根据是整数求解即可． 【详解】解：∵，是整数， 的最小值为3， 故答案为：3． 11． 【分析】本题考查求不等式的解集，二次根式的混合运算，通过移项和合并同类项，将不等式化为，由于，除以负数时不等号方向改变，再通过有理化分母简化表达式，得到解集即可． 【详解】解：． 移项，得， 合并，得． ∵， ∴； ∵； ∴，即：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，由根号下的表达式 可知，，因此移动因式时需考虑符号，利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由得， ∴， ∴设，则 ，原式为 ∴， 代入 ，得原式． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次根式的应用，根据三角形面积公式列出算式，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．． 【分析】本题考查二次根式的应用与长方形、正方形的面积计算，熟练掌握二次根式是解题关键． 先根据正方形面积求出其边长，再逆推原长方形的长和宽，进而计算面积． 【详解】一个面积为的正方形纸片， 边长为：， 原长方形的长为：，宽为：， 原长方形纸片的面积为：． 故答案为 ． 15． 【分析】本题主要考查了平面展开—最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，化为最简二次根式等知识点．将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，再根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图：将杯子半侧面展开，作A关于的对称点，连接，当点、F、B在同一条直线上，则为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即的长度，    由题意可得：，，， ∴， ∵． ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 17．(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 18．（1）解： ． （2）解：根据二次根式非负性得出， ． （3）解： ． 19．（1）解：， ； （2）解： ， 由（1）知，， ，， 又∵的小数部分为的小数部分为， ， ． 20．解：发现结论：，则a的取值范围是； 运用结论：∵， ∴， 解得：， ， ∴； 拓展提升：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 21．解：由题意得，通道的总面积为： 故通道的总面积为． 22．解：（1） ， ， 故答案为：，； （2）． 23．（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $