精品解析：湖南邵阳市第二中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试题

邵阳市二中高二入学测试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题：Iyb 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A. B. C. D. 1 3. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数n的最小值为24 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________. 13. 某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 14. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 16. 记为数列的前项和，为数列的前项积．已知. （1）证明：数列为等差数列. （2）求数列的通项公式. 17. 如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为. （1）求证：平面平面BDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值. 18. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵阳市二中高二入学测试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题：Iyb 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式计算可得答案. 【详解】由于 ，则 ， 所以， 解得 . 故选：A 2. 抛物线的焦点到其准线的距离为（    ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质求解． 【详解】由抛物线，得， 则，得， 得抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：C 3. 如图，已知正三棱柱的棱长均为，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得和的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为， 可得， 所以，可得， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 4. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. 和 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可. 【详解】因为函数的导函数为， 令，即得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：B. 5. 求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 6. 设甲：数列满足，乙：数列是等差数列，则甲是乙的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义分析判断即可. 【详解】若成立，则，符合等差数列的定义， 所以能够推出数列是等差数列，故充分性成立. 若数列是等差数列,设其公差为，则,. . 所以, 所以.即必要性成立. 所以甲是乙的充分必要条件. 故选：A. 7. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（    ） A. 10种 B. 种 C. 种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】采用隔板法求解. 【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球， 问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种. 故选：B. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式逐项求导即可求解. 【详解】对于A选项，由，故A选项正确； 对于B选项，，故B选项错误； 对于C选项，，故C选项正确； 对于D选项，由，故D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 数列的公差小于0 B. 中最大 C. 数列的公差与数列的公差相等 D. 使得的正整数n的最小值为24 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，进而可判断A；进而可得中最大，可判断B；计算可得，进而计算可判断C；利用等差数列的前项和公式可求得，，可判断D. 【详解】对于A选项，由，可得， 可得数列的公差d小于0，故A选项正确； 对于B选项，由,可得中最大，故B选项正确； 对于C选项，由，可得数列的公差为，故C选项错误； 对于D选项，由，， 可得使得的n的最小值为23，故D选项错误. 故选：AB. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 的零点个数为3 C. 的极值点个数为3 D. 若方程有三个实数根，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数值判断A；求出零点判断B；求出极值点个数判断C；作图并求出范围判断D. 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， A，，A错误； B，，的零点个数为3，B正确； C，当时，求导得， 由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极小值， 由奇函数的性质得在时，取得极大值， 因此的极值点个数为2，C错误； D，在坐标平面内作出函数的图象，如图： 观察图象得当且仅当或时，函数的图象与直线有3个交点， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的一条弦过点，且弦的中点坐标为，则椭圆的离心率__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线斜率和中点坐标公式，结合椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，所以有 ， 因为弦的中点坐标为， 所以， 直线AB斜率为， ， 即 故答案为： 13. 某校举办元旦晚会，有2个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有__________种排法（数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊元素优先法分步完成即可. 【详解】依题意，完成这件事共分两步完成， 第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法； 第二步：剩下的2个语言类节目和2个唱歌节目共4个节目在中间4个位置全排有种排法， 由分步乘法计数原理得一共种排法． 故答案为：. 14. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）当时，求的最值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值. 【小问1详解】 依题意，，，则切线斜率为， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. 【小问2详解】 由. 当时，，则在上单调递增， 故当时，取到最小值为， 当时，取到最大值为， 故在区间上的最大值为，最小值为. 16. 记为数列的前项和，为数列的前项积．已知. （1）证明：数列为等差数列. （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求出，然后当时，由题意可得，代入中化简可得，从而可得是以为首项，以为公差的等差数列， （2）由题意可得，由（1）可得，从而可求出，再由可求出，检验是否满足，从而可求出数列的通项公式 【详解】解：（1）当时，，易得 当时，代入消去 得， 化简得 所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列。 （2）易得，由（1）可得， 当时，可得 ， 显然不满足该式,所以 17. 如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为. （1）求证：平面平面BDE； （2）求二面角B-EF-D的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可； （2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可. 【详解】（1）∵平面ABCD，平面ABCD. ∴. 又∵底面ABCD是菱形，∴. ∵，∴平面BDE， 设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG， ，，四边形OCFG是平行四边形 ，平面BDE ∴平面BDE， 又因平面BEF， ∴平面平面BDE. （2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系 ∵BE与平面ABCD所成的角为， ， ，，，，. ， 设平面BEF的法向量为，， ， 设平面的法向量 设二面角的大小为. . 【点睛】本题考查线面垂直证面面垂直、面面所成角的计算，考查学生的计算能力，解决此类问题最关键是准确写出点的坐标，是一道中档题. 18. 已知椭圆E：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点P是椭圆E上在第一象限内的一个动点，且的周长为． （1）求椭圆E的标准方程； （2）若直线，分别交椭圆E于点A，B，M是线段AB的中点． （ⅰ）求证：直线AB和OM的斜率乘积为定值； （ⅱ）若分别记OP，AB的斜率为，，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，解出的值，求得椭圆的方程. （2）（ⅰ）设出两点的坐标，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （ⅱ）设出的坐标，分别联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【小问1详解】 根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得，，， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）设，，因为M为AB中点，所以， 根据题意直线AB与OM的斜率都存在， 所以直线AB与OM的斜率乘积为， 因为A，B在椭圆上，所以，， 两式相减可得， 化简得，可得， 因此直线AB与OM的斜率乘积为． （ⅱ）设，，，由（1）可知，， 因为点P在椭圆上，所以， 由题意PA：，PB：， 将直线PA与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 同理，将直线PB与椭圆E联立，可得， 整理可得：，所以， 即，，即， 所以OP的斜率为，的斜率为， 故， 因为点P在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数有两个零点，记作，. （ⅰ）求参数的取值范围； （ⅱ）若，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求出切线的斜率，得解； （2）（ⅰ）问题转化为在上有两个根，，令，求导判断的单调性和最小值，问题转化为在上有两个根，分离参数，令，求导判断单调性最值，得解；（ⅱ）由（ⅰ）知，，可得，利用分析法转化为即证，令，即证在上恒成立，利用导数判断单调性求出最值得证. 【小问1详解】 当时，， 则，. 又，在处的切线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题知，在上有两个根，， ，即. 令，则. 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 所以问题转化为在上有两个根. 易知，故， 令，则. 当时，，单调递增 当时，，单调递减. 又，时，，时，， 且时，；时，， ，解得，即参数的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，两式相减得 ， 要证， 即证， 即证， 即证， 令，即证在上恒成立. 令， ， 令， ， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增. ， ，得证， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $