精品解析：山东青岛市市南区青岛超银中学2025-2026学年八年级下学期 学情自测数学试题

25-26年春季开学质量评估 数学试题 时间：90分钟 分数；100分 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 1.5，2，2.5 D. 5，12，13 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 如图，直线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 下列语句中不是命题的是（ ） A. 连接 ， 两点 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 7. 如图，ABCD为一长条形纸带， ，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 45° 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段 最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两人从 地分别驾车前往 地， 、 两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚 小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间 （单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空2分，共10分） 11. 一组数据2，3，5， ，6的众数是3，则这组数据的中位数是________． 12. 已知，化简的结果为______． 13. 如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 14. 已知在平面直角坐标系中、、．点 在 轴上运动，当点 与点 、 、 三点中任意两点构成直角三角形时，点 的坐标为________． 15. 如图， 中，点D，E分别在 ， 边上，E是 的中点，， 与 相交于F，，则 的面积为______． 三、简答题（70分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 19. 我市某地盛产优质香菇和大米，为帮助农户打开销路，某超市购进香菇和大米帮助该地销售，相关信息如下表： 商品 规格 批发价（元/袋） 销售价（元/袋） 香菇 袋 55 大米 袋 少于500袋的部分 不少于500袋的部分 55 50 已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元． （1）求 与 的值； （2）该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不超过600袋，设销售香菇 袋（ 为整数），总获利为 元，求 的最大值； （3）该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取元和元作为爱心基金用于资助该地区贫困生．因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了 元，超市最后所得总利润为13250元，若 的值不大于1，求 的最大值． 20. 某村有两条笔直公路 和 相交于点O，，在公路 路边有学校A，与点O距离 长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路 上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路 上匀速行驶． （1）学校A到公路 的最短距离是多少米？ （2）请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由； （3）如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？ 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 22. 已知直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为． （1）求 的度数； （2）如图，连接 、 、 ，点 在直线 上运动，若 和相似，求点 的坐标； （3）点 为线段 上任意一点（不与 、 重合），经过三点的圆交直线 于点 ，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26年春季开学质量评估 数学试题 时间：90分钟 分数；100分 一、选择题（每题2分，共20分） 1. 下面三组数中是勾股数的一组是（ ） A. 6，7，8 B. 2，3，4 C. 1.5，2，2.5 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故错误； B．，不能构成勾股数，故错误； C．1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误； D．，能构成勾股数，故正确． 故选：D． 【点睛】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】解：四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），由此可得点（1，5）所在的象限是第一象限． 故答案选：A. 【点睛】考点：各象限内点的坐标的符号特征. 3. 下列条件中，不能判断 为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用勾股定理的逆定理，即可判断A、B；根据三角形的内角和即可判断C、D． 【详解】解：A、∵， ∴ 是直角三角形，不符合题意； B、设， ∵， ∴ 不是直角三角形，符合题意； C、∵，， ∴，解得：， ∴ 是直角三角形，不符合题意； D、设，则， 解得：， ∴， ∴ 是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和，解题的关键是熟练掌握：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形那是直角三角形，以及三角形的内角和为 ． 4. 如图，直线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角性质得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 【点睛】此题考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 5. 一次函数y＝ax+b和y＝bx+a的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位置是否符号要求即可． 【详解】A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以A选项错误； B、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，所以B选项错误； C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b<0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，所以C选项错误； D、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，所以D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限． 6. 下列语句中不是命题的是（ ） A. 连接 ， 两点 B. 对顶角相等 C. 等角的补角相等 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 命题是能够判断真假的陈述句，据此分析各选项即可． 【详解】解：A：“连接 ， 两点”是操作指令，无法判断真假，不是命题，故该选项符合题意； B：“对顶角相等”是命题，故该选项不合题意； C：“等角的补角相等”是命题，故该选项不合题意； D：“垂线段最短”是命题，故该选项不合题意． 故选：A． 7. 如图，ABCD为一长条形纸带， ，将ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与，对应，若，设，，根据题意可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，由ABCD，得到∠CFE＝∠AEF，再根据翻折的性质可得 ，由平角的性质列出方程组． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 8. 如图，直线，直线l与a，b分别相交于A，B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 40° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出∠ACB，再结合三角形内角和定理即可求出∠2． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴∠BAC=90°． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段 最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段 最短时，，判定出 是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段 最短时，， 在中，当 时，；当 时， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 10. 甲、乙两人从 地分别驾车前往 地， 、 两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚 小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间 （单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得乙所在直线的解析式，求得点，据此求解即可． 【详解】解：设乙所在直线的解析式为， ∵乙过点和， ∴， 解得， ∴乙所在直线的解析式为， 设甲所在直线、乙所在直线交于点 ， ∵， ∴， ∴点， ∴甲的行驶速度为， 故选：B． 二、填空题（每空2分，共10分） 11. 一组数据2，3，5， ，6的众数是3，则这组数据的中位数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数，得到，再根据中位数为一组数据排序后位于中间的一位或中间两位数的平均数，进行求解即可． 【详解】解：∵一组数据2，3，5， ，6的众数是3， ∴， ∴将数据排序后，位于中间的数据为：3； ∴中位数为3； 故答案为：3 12. 已知，化简的结果为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，由可得，再利用完全平方公式和求解可得． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 13. 如图，一次函数和的图象交于点P，则关于x、y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标是这两个一次函数的解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 14. 已知在平面直角坐标系中、、．点 在 轴上运动，当点 与点 、 、 三点中任意两点构成直角三角形时，点 的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．因为点 、 、 在 轴上，所以 、 、 三点不能构成三角形．再分和两种情况进行分析即可． 【详解】解： 点 、 、 在 轴上， 、 、 三点不能构成三角形． 设点 的坐标为． 当为直角三角形时， ①，点 在原点处坐标为； ②时，如图， ， ， ， 解得，， 点 的坐标为； 当 为直角三角形时， ①，点 在原点处坐标为； ②时， ，， ， 点 的坐标为． 综上所述点 的坐标为或或． 故答案为：或或． 15. 如图， 中，点D，E分别在， 边上，E是 的中点，， 与 相交于F，，则 的面积为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，解题关键是熟知三角形的面积公式． 先根据及的面积，求出 的面积，再由点E是 的中点，求出 的面积即可． 【详解】解：因为，且， 所以． 因为E是 的中点， 所以． 故答案为：6． 三、简答题（70分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，用到了二次根式的化简、绝对值化简、特殊角三角函数值等知识，解题的关键是掌握相关知识． （1）先算乘除法，再算减法即可求解； （2）先依次对二次根式、绝对值、特殊角三角函数值进行运算，再根据实数的运算法则进行运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ，得，解得 将代入①，得 则方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程可化为 ，得 将代入①，得 则方程组的解为． 18. 如图， 是 的平分线，．试说明：． 【答案】 证明： 是 的平分线， ． 在 和中， ， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义，解题的关键是利用角平分线的性质找到证明三角形全等的条件． 根据角平分线的定义得到，再结合已知的相等线段，利用全等三角形的判定定理证明，最后根据全等三角形的性质得出结论． 【详解】略 19. 我市某地盛产优质香菇和大米，为帮助农户打开销路，某超市购进香菇和大米帮助该地销售，相关信息如下表： 商品 规格 批发价（元/袋） 销售价（元/袋） 香菇 袋 55 大米 袋 少于500袋的部分 不少于500袋的部分 55 50 已知该超市购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元． （1）求 与 的值； （2）该超市五一期间购进香菇和大米共1000袋，并在五一期间全部销售完，其中销售香菇不少于400袋且不超过600袋，设销售香菇 袋（ 为整数），总获利为 元，求 的最大值； （3）该超市商议决定：在（2）的条件下，每销售一袋香菇和大米，分别提取元和元作为爱心基金用于资助该地区贫困生．因为特殊情况，每袋香菇和大米少提了 元，超市最后所得总利润为13250元，若 的值不大于1，求 的最大值． 【答案】（1） （2），y的最大值为16000 （3） 【解析】 【分析】（1）根据购进10袋香菇和10袋大米共需780元，购进15袋香菇和5袋大米共需790元列出方程组求解即可； （2）分当时，当时，两种情况列出对应的函数关系式，并利用一次函数的性质求解即可； （3）根据最大利润减去爱心利润的钱数等于最后利润列出式子得到，再根据 的值不大于1，列出不等式求解即． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得； 【小问2详解】 解：时， ， ∵， ∴y随x增大而增大， ∴当时，y最大，最大为； 当时， ， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时， ； 综上所述，，y的最大值为16000； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∴ ∴， ∵ 的值不大于1， ∴， ∴， ∴m的最大值为 ． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际运用，一次函数的实际运用，一元一次不等式的实际运用，正确理解题意找到对应的关系式，等量关系和不等关系是解题的关键． 20. 某村有两条笔直公路 和 相交于点O，，在公路 路边有学校A，与点O距离 长为1200米；有一移动广告宣传车B在笔直公路 上移动宣讲，宣传车B周围1000米以内因为广播噪音会影响学校，宣讲车B在公路 上匀速行驶． （1）学校A到公路 的最短距离是多少米？ （2）请问学校能否被宣传声音影响到？请说明理由； （3）如果能影响到，已知宣讲车的速度是400米/分钟，那么学校总共能影响多长时间？ 【答案】（1）600米； （2）能，理由见解析 （3）4分钟， 【解析】 【分析】（1）直接过A作于点C，根据直角三角形的性质求出 的长，即为学校A到公路 的最短距离； （2）根据(1)中的 的长，比较 与1000米的大小，即可判断学校能否被宣传声音影响到； （3）利用勾股定理求得在 上距离A点1000米到离开A点1000米的之间的距离，再除以宣讲车的速度即为影响学校的时间． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点C，则 即为最短距离， ，， ， 在中，， 又米， 米， 即学校A到公路 的最短距离是600米； 【小问2详解】 解：学校能被宣传声音影响到， 理由如下： ， ∴学校能被宣传声音影响到； 【小问3详解】 解：如图，影响路段的长为线段的长， 在中，， 又米，米， （米）， 又，， (米)， ∵宣讲车的速度是400米/分钟， ∴学校总共能影响时间(分钟) 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理，作出直角三角形是关键． 21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）求∠ADB的度数； （2）线段DE，AD，DC之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】（1）120°；（2）DE＝AD+CD，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝75°，根据全等三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD＝15°，根据三角形的外角性质计算，得到答案； （2）在线段DE上截取DM＝AD，连接AM，得到△ADM是等边三角形，根据△ABD≌△AEM，得到BD＝ME，结合图形证明结论 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣30°）＝75°， ∵DB＝DC，∠DCB＝30°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝45°， 在△ABD和△ACD中，， ∴△ABD≌△ACD （SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝15°， ∴∠ADE＝∠ABD+∠BAD＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°； （2）DE＝AD+CD， 理由如下：在线段DE上截取DM＝AD，连接AM， ∵∠ADE＝60°，DM＝AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB＝∠AME＝120°． ∵AE＝AB， ∴∠ABD＝∠E， 在△ABD和△AEM中，， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD＝ME， ∵BD＝CD， ∴CD＝ME． ∵DE＝DM+ME， ∴DE＝AD+CD． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 已知直线与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为． （1）求 的度数； （2）如图，连接 、 、，点 在直线 上运动，若 和相似，求点 的坐标； （3）点 为线段 上任意一点（不与 、 重合），经过三点的圆交直线 于点 ，当面积最大时，求出面积的最大值及此时点 的坐标． 【答案】（1） ； （2）或或； （3）面积， 的坐标． 【解析】 【分析】（ ）过 作轴于点 ，则，由得，当 时， ，当 时，，得，则，同理，从而求解； （ ）由勾股定理得，，设，则，根据相似三角形的性质分三种情况讨论即可； （ ）设经过三点的圆的圆心为 ，则 为直径，当轴时，面积最大，即可求解； 本题考查了相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 如图，过 作轴于点 ，则， 由得，当 时， ，当 时，， ∴点，， ∴， ∴， ∵ 的坐标为， ∴，， ∴， ∴ ∴ ； 【小问2详解】 如图，由（ ）得，点，， ， 由勾股定理得， ， 设，则， 当， ∴，即， ∴， 解得：，， ∴, ∴， 同理， 当， ∴， ∴， 解得： （舍去）或， ∴， ∴， 综上可知：或或； 【小问3详解】 如图，设经过三点的圆的圆心为 ，由（ ）得 ， ∴ 为直径， 由面积为，要使面积最大则， 当轴时，面积最大， ∴， ∵， ∴， ∴ 的坐标，面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $