辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年度下学期高三年级第七次质量监测（下学期期初）考试数学试卷

沈阳市第120中学2025一2026学年度下学期 高三年级第七次质量监测 数学 满分：150分时间：120分钟命题人：刘洋吴金鑫审题人：李晓东 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知复数2=2十，三为之的共轭复数，则同= () A R号 C.⑤ 5 2.已知向量d=(2,0),6=(-3,3),则c0s<+6,a>= () A B.、③ 2 c D.- 3.已知集合A={1,3,√m},B={1,m},则“m=3”是“AUB=A”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1.已知角a的终边经过点P3,)B∈（受，）且血e+)=5,则nB 5 () A② 2 B② c兽 D.② 3 10 5.已知一个圆锥与一个圆台的高相等，圆锥的底面积和圆台的一个底面的面积相等。若圆台的体积是圆锥的体 积的7倍，则圆台的上、下底面的面积之比为 () L司 R是 c号 D分 6.在一定条件下，大气压强p(单位：百帕)随海拔高度h(单位：米)的变化满足如下函数关系式：p= P%e“(p0,k为正常数)。已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕海拔高度10000米处的大气压强为 250百帕，那么，若大气压强增加1浩，则海拔高度降低 () A.100米 B.2500米 C.5000米 D.7500米 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S:若a=1,C=牙且4S=acosB+ bcosA,则B= () L吾 R号 c豎 血登 1 8已知，月分别是双自线C:若-若=1>0,6>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，P明1P明，图 0:2+y=号口+b,直线PR与圆0相交于A,B两点，直线PR与圆0相交于M,N两点，若四边 形AMBN的面积为9b,则C的离心率为 () A月 R等 C.⑤ D.21o 2 5 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.经验表明，一般树的胸径（树的主干在地面以上1.3m处的直径）越大，树就越高。在研究树高y与胸径x 之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据（如下表） 胸径x/cm89 10 11 12 树高y/m8.210 11 12 13.8 假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为=a一2.2，则 () A.6=1.32 B.当胸径x=15时，树高y的预测值为14 C.表中的树高观测数据y的40%分位数为10 D.当胸径x=11时，树高y的残差为-0.32 10.已知函数f(x)=sincr+2cos匹(a>0)的最小正周期为元，则下列结论正确的是 2 () A.u=2 B.函数f(x)的最大值为√2 C函数)的图象关于点（一，）对称 D函数)在(-g,0)上单调递增 11.已知A,B两点的坐标分别为(-1,0)，(1,0)，M为坐标平面内的动点，直线MA,MB的斜率之和为定 值a。设动点M的轨迹为C,则 () A.轨迹C关于直线y=c对称 B.轨迹C关于原点对称 C.当a=0时，轨迹C为一条直线 D.当a产0时，锁迹C存在渐近线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某城市有10个著名的地标建筑，文旅部门要从中选取3个作为城市名片进行特色文化宜传，且甲、乙、丙 3个建筑中至少选1个，那么共有种不同的选法 13.已知集合A={x|x=2",n∈N},B={x1x=3m+2,n∈N},将AnB中所有元素按从小到大的顺序 构成数列{a},则数列{a}的通项公式为一 14.函数f(x)=xn2+x8-x血8(x>0)的零点为。 四、解答题：本大题共5小题，共77分。 …2 15.(本题13分) 已知数列a}的前n项和为8其中=3，及=号2+机 (1)求A的值以及数列{a}的通项公式： (2)若b=am-4·3”,求数列{b}的前n项和T。 16.(本题15分) 己知函数f(x)=e-ax-a3 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围。 17.(本题15分) 已知圆F:(+1)?+=r2,圆B:(z-1)2+=(4-r),0<r<4。当r变化时，圆乃与圆B的交点P 的轨迹为曲线C, (1)求曲线C的方程： (②)已知点P1,是)过曲线C右焦点B的直线交曲线C于A、B两点，与直线x=m交于点D,是否 存在实数m,,使得k+kPm=p成立，若存在，求出m,:若不存在，请说明理由。 ·3 18.(本题17分) 在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点M为底面半圆弧AD上的动点（点M不与点A,D 重合)。 B C A D M (1)当三棱锥D-MAB体积最大时， (①)求平面MBC与平面MAB所成角的余弦值： ()点N在线段MB上运动，求(AN+DN)?的最小值 (②)是否存在点M,使得直线MB与平面ABCD所成角最大？若存在，求成角最大时的正弦值：若不存在， 请说明理由。 19.(本题17分) 某次投篮游戏，规定每名同学投篮n次（≥2，n∈N),投篮位置有A,B两处，第一次在A处投，从第 二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处：若前一次投进，则下一次投篮位置不变。在A处 每次投进得2分，否则得0分：在B处每次投进得3分，否则得0分。已知甲在A,B两处每次投进的概率分 别为号，合，且每次投篮相互独立。记甲第：(k≤m,人∈N)次在A处投篮的概率为，第k次投篮后 累计得分为X6。 (①)求X,的分布列及数学期望： (2)求{a}的通项公式： ⑧)证明：(X)>亭n-号 参考公式：若X,Y是离散型随机变量，则EX+Y)=E(X)+EY) ·4 沈阳市第120中学2025-2026学年度下学期=19海 高三年级第七次质量监测数学答案 一单选 1 2 3 6 7 D C A D 二多选不泡母示狱形活单究容()元成折，流班时月x意计板0（九做，0≥。落 9 10 11 AD ACD BD<< 三，填空题 保单内+金两单内。，-)前()属同 12.85 013.a,=22 14√e,-时-=(o)八静小谢亦（八腹 四.解答题 01-6m+宿，0>6-sln-=(心)九得回意愿由 15.解：(1)依题意. a=8-8-2+3认-221=-3解得安o 2 0=程断单内(0+0的（的）试西0女4￥色)g侧 所以S,=2+ 2 一一2分 <6千形0<1-。+左静不 当n≥2时.a=8-8-(2+a-+5a-训=.3分 当n=1时4=8=1，满足上式县三L24分1=9联▣由（) 综上所述，an=n.- -5分 <=9+347 (2)依题意，b,=(5n-4)×3”,-----日-6分阳点式，比与曲间 故Tn=1×3+6×32+11×33+…+(5n-4)×3” 一，+子大爵治)姓面酒 故3江.=1x32+6x3++(5n-9列×3”+(5n行4)×3T-7分好（四 两式相减可得，-2江，=1×3+5×32+5×33+…+5×3”-(5n一4)×31的8划直数 =5x3+5×32+5×++5x3”-(5m4利×3-9分+ -9分1= --僧小 2-分 E+ ++江 则7-停碧}+碧一2a分 法2)6=(5n-4到x3”-n-931-gn-93m- --9分 所7-（传碧，93250梦01膜市钢大 处 境厮盥量圆火十巢怨单三高 4 16解：()当a=1时，则/=c-x-l,)=e-1,可得/0=e-2,0=e-1 即切点坐标为(，e-2头、切线斜率k=e-1,一--一-2分 所以切线方程为y-(e-2)=(e-(x-少，即(e-1)x-y1=0,r- --4-4分 (②)因为)的定义域为R,且f代)=0-a,-----5分 若as0,则()≥0对任意X∈R恒成立，可知fx)在R上单调递增，无极值，不合题意： ----7分 若a>0,令代x)>0,解得xma:令f(x)<0,解得x<ha 可知八在(-m,ha)内单调递减，在(ha+o)内单调递增，--9分空三 则f有极小值f(na)-a-alna-d2,无极大值，---10分 由题意可得：f(na)=a-alna-d3<0,即a2+lna-l>0,- --一日分附四 +ha知20-人t=人心一-E+8之-2=意器谢国 则g'(a=2a+。>0.可知g(a)在(0+o)内单调递增，且g)=0, 不等式d2+na-1>0等价于g(a)>g(). ----14分 解特a>.所秋：的范网5》-么=相 17解)由题意可知PF=r,PR4-,F,52.1警，=乙=。和f=兰 所以PE+PF=4>FF引， =到间1冠 所以曲线C为以F、F为焦点的椭圆，且。2=2=4c21,b2=4-1=3,心》S 所以鱼线C的方程为号号-1.生-4分1+无0+=下资 (2)假设存在：由题意知直线4B的斜率存在)+×（心-C)++×0+×=TE始 设直线AB的方程为y=(x-),A(环y小，+B() ×=下5-明西新体两 联粒化2销去7整理花（使约r4n04+2 8 则写+名歌3巧 器26-区 3 所以kp+km=于 2 33 3(名+为-2 2k-2x)23-可=2然266+5 =2k-1 .--10分 -可 B/24 3 =--=-----12分 m-1 因为k4+km=从p, 所似21-292有n9异=08务0 2m-1 ,(-SS)=1M8.(0.A.0)=5800 所以存在m=4,入=2使+如=如成立。15分量向新道8面平货 (法2)假设存在，由题意知直线AB的斜率存在， 0=4 1 0=我组 st-vs+xsf ‘0=5延 当直线AB的斜率为0时，A(-2,0),B(2,0),D(m,0 0 kA+kpa=器+-+(-影=-1kp (.0.9=m假 PG网平2@k,GM商平L8A武因 因为+n-。,所以-1=a三即2m=3a(*7歌6分1M又 当直线B的斜率不为0时，设直线AB的方程为Xy+1,A(仪y》B(x,V2).A 联立2X=ty}消法×整理得(3t2+4y未6ty=9=Q面平里O8M而平货 3x2+4y2=12 -6t -9 则y1+y2=4y1y2=324 --8分 前资m蜘识a4M而平己8M面平 3 所以kpA+kpn= 2，乃空受+2二20022二21山进10分 -11% ty2 汁y小绿+丛强东限调破 8 ------12分 因为+知=k…所以好-1=a(-d可）.所以A=28 3入 2(m-1) =1,得m=4, 所以存在m=4，A=2使+k,=A从%成立品.一5分@=以顶童由 =G鱼A8阁G8=5E=“M组+①4 18.解：(I)间y-ua=w-o-3Soh 又'，So是定值.二.当三棱锥体积'，4o最大时即高h最大，8三+M心)00=国Mo0 即点M为半圆弧D的中点.-- ==--1分 设线段AD的中点为O,以O为原点。建立如图所示的空间直角坐标系， 此世度玖表余由当 3 但-这422 +(江+ 如万E 一， (I-m)5 从=+，试国 则000,0，A0,-2,0,B0,-2,4,M20,0.C(0,24,D(0,2.0M=1- 所以BC=(0,4,0),BM=(22,-4), 设平面BMC的法向量为=（区，y过. 行始一从=十明5=人，=指许出网 BM=0 则宽0x匆80净用-2v-0 「4y=0 0)0,0,s0,0,5-)A#0比率棕的8A直池 则7=(2,0,1) -3分 因为AB⊥平面MAD,MDc平面MAD,·.MD⊥AB, 又，MM1MD,MnAB=么MA ABc平面MaB,二=-阳w从=+A代国 MDL平面M4B,MD=(-2,2,0)是平面MAB的法向量。 一一一一4分姓道酒 设平面MBC与平面MAB所成角的平面角为8，则cos8 M而i o(=天 M而同 5 平面MBC与平面MAB所成角的余弦值为 -5分 1议元=V+1晚 ()将面MAB与面MBD绕MB旋转，展开成平面图，连接AD, 如图所示，此时AW+DN最小，即为AD长， ---6分 B 5人别a品6=1一别阳a从=+d代因 1,=舒，=过 由题意可知MM=MD=22,MB=2√6，BD=4N2 (-)s 、=A+X理至=人，=m间 MD2+BM2=32=BD2所以∠BMD= =mN=,(行《）0到 cos∠AMD=cos(∠AMB+∠BMD)+-sinLAMB=-J5 时8分品2又 再由余孩定理可知AD2=Af+MD2-2M4MDco乙AD=I6+16,6.圆半代认点 3.0'点中面4A碧男 即(MN+DNy的最小值为16+16N6 3 -9分 2)结合1)可设M(2cosa,2sina,0,a∈（号)U(侣，）B(0,-2,4, =(河 2 +0 泳附州西民源处拉人清为么作甲相直云S崔(S 洁×1比率册进前特红数外且控券拉人净为了一 )×(5一)试率层好M师滋出华来月就姓护日自为生解 )+号1通=69网 日品=号始 所以BM=(2cosa,2sina+2,4), ---10分 行肥首绿（后闲 平面ABCD的法向量为n0=(1,0,0): ---11分 设B为直线MB与平面ABCD所成角， 率带喜班换A亦光A比西(C) 当直线MB与平面ABCD所成角最大时，sinB取最大值， 武面源抽西前，多原生多代为A案5 sine =cos (BM,no)= 2cosa N(2c0sa)2+(2sina+2)2+42 8=(S=,3闪 = Rcosa 4-4sin2a 4-4sin2a 4分=6=3月 Y2cosa)2+(2s1na+2)2+4= V8sing+242sing+6 0 4-1(-)+s(-=0=3月 令t=2sina+6∈(4,8)， 则sn0=--t-号+2s分28z+2-2- 4 =2 t 国 ----16分 8了=(。阿 ∴当且仅当t=4V2时，sin0取最大值，此时直线MB与平面ABCD所成角最大， 即存在点M使得直线MB与平面ABCD所成角最大一----17分 19.解：(1)设·甲第1次在A处投进”为事件A甲第1次在B处投进”为事件B, =1,2,依题意，为的可能取值为02.3,4 P及=0)=P4瓦历)=(1-)×(1-)=号 Px=2)=P氏A)=号×1-2)=号 P氏x=3)=R4)=(1-)×-号 PR&=4=P氏A=号×=是 所以飞2的概率分布为 0234 0-3分 0+a1水n小频的(M3+)调 供.-)3D.(0,nm1eS.D203S)1M处a(1)合格(S )=写x0+号×2+号3+号 +9义A3(分)=-=-4分 (2)当2≤k≤n时，甲第k次在A处投篮分两种情形： @第k-1次在A处投篮且投进，这种情形概率为a1×引 ②第-1次在B处投篮且未投进.这种情形概率为(1-ak1)×(1-之)， 所以a=a1×+1-a×-六k1+5 -----7分 故a号=品(a1.因为a-昌-台 所以(a号是以为首项，为公比的等比数列. 在，S+Di8S,n209S)=M日因 所以a号-偏，即a-+×(结*12”n0分 5 的而网95H回平己4券直式6 (3)因为第k次在A处投篮的概率为ak,在B处投篮的概率为1-ak, 2 而平已d整直自 记第k次得分专则专的可能取值为02,3. ---------==-11分 02 Pf=2)=号ak =kon,1Ma)205=6i2 B+气6+Dn12S+(02038) P5=3)=(1-a) r6,-0)=1-影)a+(1-1-a=高 (=gam9o203网 ,(8.,)3a+Di2S=1 所以凤6)-2xa+3x-a助=}品4a含品x(偏 ， ----14分 因为X了n生一￥1二 拟0-2，，eee 价！ =号r后x生宴-知-言+培×结=6分时理 ×16 因为始×（始P0,所以X>n嘉 =-17分 80班外投8若m3甲 A判比“批姓镇A官为1袋-经()城. 又，商返S1司 。花一0 (瓦NA=(0=￥四 是=（停-）=(AA月=(S=月 是-（传-=（月==Xn 品=×=(A月==X网 成布位串降哈灵从网 6