精品解析：浙江Z20+名校联盟2025-2026学年高一第二学期创新班联考数学试题

绝密★考试结束前 浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高一数学试题卷 命题学校：天台中学 命题人：蒋永存 审题人：许倩倩 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，， 所以. 2. 已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数单调性求解大小关系，再结合必要条件、充分条件的定义判断选项. 【详解】由，可得，故命题是命题的必要条件； 由不一定得到，故命题不是命题的充分条件， 所以“命题”是“命题”的必要不充分条件. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将分式不等式转化为且，求解即可 【详解】等价于，解得 所以不等式的解集是 4. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数的代数形式，再计算其模长. 【详解】等式两侧同时乘以可得， 则，即. 因为，且， 所以. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到的范围，求出，根据凑角法进行求解. 【详解】，故， 因为，而当时，，不合要求， 当，，满足要求，故， 故， . 6. 已知，其中，.比较下列几个数大小：，，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，分别转化为符合不等式形式的式子，然后利用不等式进行放缩比较，再与比较. 【详解】，根据可得： ，所以， 同理，，所以， 又， 令，则， 故，所以， 综上所述：. 【点睛】利用不等式放缩和作差比较大小的方法. 7. 凸四边形中，，，，点是边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，由条件判断点在以为弦，圆周角为的圆上，求出该圆的参数方程，利用向量数量积的坐标公式结合辅助角公式与正弦函数的值域即可求得. 【详解】以为坐标原点，、所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 依题意，则， 因，，则点在以为弦，圆周角为的圆上， 由正弦定理，可得其半径为，易知弦的斜率为，中点为， 则的中垂线方程为，即，可设该圆的圆心为， 由，解得，不妨取，(另一个圆心同理可求) 则可设圆的参数方程为，即可取， 于是， 则 ，其中， 当时，即时，取得最大值； 当时，即时，取得最小值. 故的取值范围是. 8. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元得到，看作关于的函数，并结合的范围得到，且，分和两种情况，由对勾函数的性质求出最大值. 【详解】，故，， 令， ∵，∴， 又为正数，， 又，故，且， 若，即时， 由于，， 故， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 若，即时，， 则， 由于，由对勾函数单调性可知，当时，的最大值为， 此时， 综上，的最大值是，当时或取等. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ） A. 该校高二学生总数为800 B. 该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C. 用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D. 该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确； 对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误； 对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确； 对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为； 而选考政史地、物化地、生史地组合学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确. 10. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若为线段中点，则与垂直 D. 平面截长方体的外接球所得截面面积是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：根据线线平行可证线面平行，即可判断A选项；B选项：根据线面平行可得体积为定值，并求值；C选项：根据线面垂直可得线线垂直；D选项：易知外接球球心到平面的距离为点到平面距离的一半，再利用等体积转化法可得解. 【详解】A选项：连接，， 由已知为长方体，则，，即， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又平面， 平面，A选项正确； B选项： 由，且平面，平面， 平面， 点在上， ， 又， ，B选项错误； C选项： 当为中点时，， ，即， ，即， 则， 由长方体可知平面，且平面， 所以， 又，，平面， 平面， 平面，，C选项正确； D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点， 则， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为， 在三棱锥中，，， 即， 又，即， 解得， 则平面被长方体外接球所截小圆半径， 其面积为，D选项正确. 11. 已知函数不是常函数，且满足：对任意实数、都有.下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 存在函数使得 D. 具有周期性 【答案】AB 【解析】 【分析】通过对给定的函数等式进行赋值，可以求出特定的函数值，判断函数的奇偶性验证AB，利用赋值法化简得到，验证C，举特例验证D即可 【详解】令得，不恒为0，，A正确； 令得，，是偶函数，B正确； 令得，即， 代入得到， 化简得到，不等式无解，故C错误； D错误，反例：， . 所以满足 假设函数周期为，（） ，则对任意实数 满足，， 将 代入得到， 所以，即， 解得，与矛盾，故不具有周期性，选项D矛盾. 故选：AB. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的一般式，由待定系数法求得解析式，再令，求得函数值. 【详解】设，代入点， 可得， 解得，所以， 所以. 13. 边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】根据题意可知：该几何体是有公共底面的两个一样的圆锥,等边三角形的高为 ,底面半径为,所以所得到的几何体体积为. 故答案为 【点睛】本题考查了按平面图形一边旋转所形成的空间图形的体积问题,考查了空间想象能力,考查了数学运算能力. 14. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由题意可得对任意恒成立，由于要求实数的最大值，可设，再利用单调性定义得到函数单调递增，即可得对任意恒成立，计算即可得解. 【详解】由题意可得，则或， 令，则， 由，故恒成立， 则对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 由于要求实数的最大值，不妨设， 取，则 ， 由，同理， 故，即， 又，，则，故， 故在上单调递增， 又， 由，则，故， 即有对任意恒成立， 即对任意恒成立， 则有，解得，故实数的最大值是. 四、解答题：本大题共5小题，共分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求. 15. 某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【答案】（1）甲； （2） 【解析】 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算，最后应用互斥事件概率和公式求解； 【小问1详解】 甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. 【小问2详解】 甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. （1）证明：； （2）求平面与底面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而利用线面垂直得线线垂直，即可求证平面，即可得证； （2）根据三角形的边角关系求解长度，进而分别求解,即可根据面积之比求解. 【小问1详解】 已知底面，底面，所以， 又，平面， 故平面. 又平面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，平面, 平面， 又平面，， 【小问2详解】 如图，设点在底面的投影分别是， 由题意知分别上， 由（1）知平面，平面，则， 由于，故是的中点，则是的中点， 中，，， ， ， 故， 由于，， 则，故， 在中，，， ， 记平面与底面所成角为，. 17. 已知中，，，，点是边上的动点（不含端点），点关于直线的对称点是点，连接，. （1）当时，求线段的长度. （2）连接，点在运动过程中存在多少个位置，使得，并请说明理由. 【答案】（1）； （2）2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理计算求解； （2）应用正弦定理及余弦定理化简，再令，再结合函数单调性及零点存在定理证明. 【小问1详解】 在中，， 在中，， 【小问2详解】 ，设， 在中，由正弦定理得，， 在中， ， 令，令，或 化简得：， 因式分解得：， 是其中一根 对于：， 当时，变形得， ，，无解. 当时，由上面变形知道只有当时才可能有根， 变形得， 和在时都单调递增， 记，在时单调递增， ，， 在时仅有一根，且在区间内， 综上所述，点在运动过程中存在2个位置，使得 18. 已知，，其中. （1）已知，直接写出该函数的最小正周期和对称中心： （2）已知，求该函数的最大值； （3）已知，.若函数的图像与直线恰有1个交点，求实数的取值范围. 【答案】（1），，； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的性质即可求解， （2）根据二倍角公式，结合基本不等式即可求解， （3）作出两个函数的图像，对分类讨论，结合函数的图像求解交点，即可得解. 【小问1详解】 ，最小正周期为，对称中心是； 【小问2详解】 ， 由于， 故当取到最大值时，是第一象限角， 不妨设，，设，则 ， 当且仅当，即，则时取到等号； 【小问3详解】 ，设， 则 记 作出两个函数图像如下： 当时，方程②无解；此时无交点， 当时，，此时方程①有两个不相等的实数根，此时有两个交点， 当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有3个不相等的实数根，此时有3个交点， 当时，此时方程②有两个不相等的实数根，且，此时方程①有2个不相等的实数根，此时有2个交点， 当时，此时方程②有唯一解，且，此时方程①有1个实数根，此时有1个交点， 当时，方程②无解；此时无交点， 综上可得：实数的取值范围为. 19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. （1）已知复数满足：，求； （2）已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； （3）已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：. 【答案】（1）或； （2）是，理由见解析； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法法则得到的三角形式，且满足进行求解. （2）求出方程的两个复数根，化为三角形式代入函数，再根据复数的幂性质判断是否为周期函数. （3）根据已知条件得出，利用反证法推出矛盾. 【小问1详解】 设，则， 又，所以， 所以，， 即，又， 所以或. 【小问2详解】 因为的两个复数根分别是， 所以， ， 即， 由棣莫弗定理可知，， ， 所以，即24是的其中一个周期； 【小问3详解】 由题意，，， 、、，可得： ， 则虚部， 所以， 假设结论不成立，则， 又，故， 所以， ， 所以， 故，即， 由三倍角公式得， 所以， 即， 又，所以， 即， 产生矛盾，所以假设不成立，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★考试结束前 浙江省Z20+名校联盟2025学年第二学期创新班联考 高一数学试题卷 命题学校：天台中学 命题人：蒋永存 审题人：许倩倩 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，命题，则“命题”是“命题”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，其中，.比较下列几个数大小：，，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 凸四边形中，，，，点是边的中点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ） A. 该校高二学生总数为800 B. 该校高二学生中选考物化地组合人数为70 C. 用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D. 该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 10. 如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若为线段中点，则与垂直 D. 平面截长方体的外接球所得截面面积是 11. 已知函数不是常函数，且满足：对任意实数、都有.下列说法正确的是（ ） A. B. 是偶函数 C. 存在函数使得 D. 具有周期性 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像经过点，则______. 13. 边长为2的等边三角形绕着旋转一周，所得到的几何体体积为______. 14. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的最大值是______. 四、解答题：本大题共5小题，共分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.符合题目要求. 15. 某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，底面，.过点作于，作于，连. （1）证明：； （2）求平面与底面所成角的余弦值. 17. 已知中，，，，点是边上的动点（不含端点），点关于直线的对称点是点，连接，. （1）当时，求线段的长度. （2）连接，点在运动过程中存在多少个位置，使得，并请说明理由. 18. 已知，，其中. （1）已知，直接写出该函数最小正周期和对称中心： （2）已知，求该函数的最大值； （3）已知，.若函数图像与直线恰有1个交点，求实数的取值范围. 19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则. （1）已知复数满足：，求； （2）已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由； （3）已知对任意，都有.设复数不全为实数，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $