精品解析：山东省济宁市曲阜师范大学附属中2026年九年级数学春季开学收心自测

2025-2026学年九年级（下）开学数学试题 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得到a、b的具体值，再计算绝对值，结合有理数大小比较法则判断各选项即可． 【详解】解：∵， ∴ ，， 对选项A，∵， ∴，A错误，不符合题意； 对选项B，∵， ∴，B错误，不符合题意； 对选项C，∵， ∴，C正确，符合题意； 对选项D，∵， ∴，D错误，不符合题意． 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三视图的定义，从正面进行观察判断即可． 【详解】解：由图中标志的正面可以看到的是一个不规则图形，为选项A中图形， 选项C中的图形为俯视图，选项B和D均不是它的主视图或左视图或俯视图， 故选A． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，根据图示标注的方向判断是解题的关键． 3. 5月15日距离地球320000000千米之外，天问一号探测器成功着陆在火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着中国成为继苏联和美国之后世界上第三个探测器成功在火星着陆的国家．将320000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：， 即正九边形内角和为． 故选：D 6. 将三个全等的三角形按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，由图形可得：， ∵三个全等三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴的度数是． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题关键． 7. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方法则、合并同类项法则以及完全平方公式分别判断即可． 【详解】解：、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算正确，符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项以及完全平方公式，掌握运算法则及乘法公式是解题的关键． 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键． 9. 如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，圆周角定理，角平分线的定义，由圆周角定理和角平分线的定义可得的度数，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形， 根据点F的坐标可得，连接，连接交于点，连接，由两点之间线段最短可知，当点N在点时，取得最小值为，根据菱形的性质易得为等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求出，由平行线和菱形的性质易得，进而求出，以此即可求解． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是的中点， ∴， ∴， 如图，连接，连接，交于点N′，连接， ∴当点N在点时，取得最小值为， ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴点E的坐标为． 故选：C． 二．填空题（每题4分，满分20分） 11. 直线与平行,则方程组的解的情况是______． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组解的关系．熟知两个一次函数平行无交点即可得到本题答案． 【详解】解:∵直线与平行, ∴两直线无交点, ∴方程组无解． 故答案为:无解． 12. 如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ___． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．根据平行四边形的性质得，则阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的，然后根据几何概率的意义求解． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于的面积，即为平行四边形面积的， ∴小石子落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 13. 如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质和三角形的外角性质、利用等量代换是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，根据“两直线平行，内错角相等”可得，利用三角形的外角性质及等量代换即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 整理得：， 故答案为：． 14. 某市计划在生态公园内造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共500棵，相关信息如表所示．设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元．则y（元）与x（棵）之间的函数表达式为 ________________．（总费用＝购买树苗的费用+劳务费） 单价（元/棵） 劳务费（元/棵） A种树苗 20 4 B种树苗 25 5 【答案】## 【解析】 【分析】设A种树苗为x棵时，B种树苗为棵，A种树苗一棵总费用为元，B种树苗一棵总费用为元，根据题意容易写出函数关系式． 【详解】设A种树苗为x棵时，B种树苗为棵，A种树苗一棵总费用为元，B种树苗一棵总费用为元， 根据题意，得， 故， 故答案为：． 【点睛】一次函数的应用，正确理解题意，列出等式是解题的关键． 15. 在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点， 四边形是菱形， ，，， ， 由折叠得，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点为边的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的值为． 故答案为： 【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分） 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和实数的有关性质，分别根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂和实数性质化简各式，再计算即可，熟练掌握相关法则是解题的关键． 【详解】解： ． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小大大找不了”确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式① 得：； 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为． 18. 如图：在矩形中，E，F为上两点，且，连接，与交于点O．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】因为矩形，，，，推出在和中，利用证明其全等，即可推出． 【详解】证明：在矩形中，，，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都是直角，全等三角形对应边相等． 19. 山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）将延长交于点，根据三角形内角和定理可得，进而根据，即可求解； （2）过点作于点，得出，，分别求得，进而根据，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，将延长交于点 ， ， ， ， 【小问2详解】 过点作于点， ， ，， ， 答：的长为米． 20. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）由，为半径，可知，，则，，，如图1，连接，由，可得，则，即，进而结论得证； （2）如图2，记与交点为，连接，过作于，证明是等边三角形，则，，设半径为，则，由，，可得，证明，则，即，解得或（舍去）， 根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴，由等边对等角可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图2，记与交点为，连接，过作于， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 设半径为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得或（舍去）， ∴， ∴ 的长为6． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦、正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 21. 为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用表示）分为四组：A组，组，组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）补全学生成绩的频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为_______°，本班成绩的中位数落在_______组； （3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如组：的中间值为65）来代替，求小明班级的平均成绩； （4）根据小明班的成绩，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的人数． 【答案】（1）见解析 （2）， （3）小明班级的平均成绩为85.5分 （4）估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的人数为5600人 【解析】 【分析】（1）先根据C组是10人，所占班级人数的求出班级人数为40人，由此可求出B组的人数为8人，据此可补全频数分布直方图； （2）由C组是4人，班级人数为40人求出A组人数占班级人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数；根据中位数在之间，即可知中位数所在的组； （3）分别求出A组，B组，C组，D组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩； （4）利用样本估计总体思想即可求解． 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可知：组是10人， 由扇形统计图可知：组占班级人数的， ∴班级人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）， ∴补全频数分布直方图如图所示： 【小问2详解】 解：由频数分布直方图可知：C组是4人， ∴A组人数占班级人数的百分比为：， ∴A组所对应的圆心角的度数为：； 本班成绩的中位数在之间，即在C组， 故答案为：36；C； 【小问3详解】 解：∵组中间值为65分，组有4人，组中间值为75分，组有8人，组中间值为85分，组有10人，组中间值为95分，组有18人， ∴班级的平均成绩为：（分）， 答：小明班级的平均成绩为85.5分； 【小问4详解】 解：小明班的学生中，成绩不低于80分的有：（人）， （人）， 答：估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的人数为5600人． 【点睛】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，中位数，加权平均数的计算，用样本估计总体，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． 22. 载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； （2）①；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 【解析】 【分析】（1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个，根据总利润两种模型利润之和列出函数解析式； ②再根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半求出a的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个（元），根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， （元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元； 【小问2详解】 解：①设购买“神舟”模型a个，则购买“天宫”模型个， 则； ②∵， ∴w随着a的增大而增大， ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， 又a是非负整数， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 23. 点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）求一次函数的表达式； （3）若点是轴上一动点，且满足与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）一次函数的表达式为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把，代入反比例函数求出m、n的值即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）先求出点，， 分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ， ， ； 【小问2详解】 解：依题意，将代入中， 得， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 即， 当时，， 解得：，即， 与相似， ∴当时，， ∵点是轴上一动点， ∴此时点的坐标为； 当时，， 设，则， ， 由勾股定理可得：， ， 解得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，反比例函数几何综合，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，过点P作，垂足为Q． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）连接，抛物线上是否存在点P，使得以C、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线解析式为 （2）的最大值为：． （3）或． 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象与y轴交于点，设抛物线为，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，过作轴于，交于，求解，，为，证明，可得，设，则，可得，当最大，则最大，再进一步可得答案； （3）如图， 证明，由以C、P、Q为顶点的三角形与相似，则分两种情况讨论：①，②，再进一步结合平行线的性质，等腰三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴设抛物线为， 把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 如图，过作轴于，交于， ∵，， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当最大，则最大， 当时，最大值为， ∴的最大值为：． 【小问3详解】 如图，∵， ∴， ∵以C、P、Q为顶点的三角形与相似， ∴分两种情况讨论：①，②， 当， ∴， ∴轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 当时，如图，则， 由（2）得：轴， ∴， ∴， ∴， ∵由（2）得：，， ∴， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去） ∴， ∴． 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的计算量大，作出合适的辅助线选择合适的方法解题是关键． 25. 在中，，，将线段绕点C旋转得到线段，连接、． （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； （2）将线段绕点C顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①；②．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再由等腰直角三角形的性质得解； （2）①由旋转易得：，，则，根据，即可得解； ②过点作，交的延长线于点，根据等腰三角形的性质得垂直平分，由①知，，可得，根据得，，可得，证明，根据线段的和差即可得解． 【小问1详解】 解：在中，，，将线段绕点C旋转， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 ①由旋转易得：，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ②． 证明：如图所示，过点C作，交的延长线于点G， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴，， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（下）开学数学试题 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 在数轴上，有理数a与b对应的点分别表示数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 5月15日距离地球320000000千米之外，天问一号探测器成功着陆在火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着中国成为继苏联和美国之后世界上第三个探测器成功在火星着陆的国家．将320000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第三套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则正九边形内角和为（ ） A. B. C. D. 6. 将三个全等的三角形按如图所示的方式摆放，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 8. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在菱形中，，M是的中点，N是对角线上一动点，设长为x，线段与长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（　　） A. （2，3） B. C. D. 二．填空题（每题4分，满分20分） 11. 直线与平行,则方程组的解的情况是______． 12. 如图，在中，、交于点O，直线过O点，交、于点E、F．若向内丢一颗小石子，则小石子落在阴影部分的概率是 ___． 13. 如图，是的边上一点，，和的平分线交于点，若，，则与的关系式是_______________． 14. 某市计划在生态公园内造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗共500棵，相关信息如表所示．设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元．则y（元）与x（棵）之间的函数表达式为 ________________．（总费用＝购买树苗的费用+劳务费） 单价（元/棵） 劳务费（元/棵） A种树苗 20 4 B种树苗 25 5 15. 在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________． 三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分） 16. 计算：． 17. 解不等式组： 18. 如图：在矩形中，E，F为上两点，且，连接，与交于点O．求证：． 19. 山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，． （1）求的度数； （2）求．（结果精确到个位，参考数据：，，） 20. 如图，内接于是延长线上的一点，，相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21. 为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用表示）分为四组：A组，组，组，组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息解决下列问题： （1）补全学生成绩的频数分布直方图； （2）在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数为_______°，本班成绩的中位数落在_______组； （3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如组：的中间值为65）来代替，求小明班级的平均成绩； （4）根据小明班的成绩，估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的人数． 22. 载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“天宫”模型的成本比“神舟”模型低20%，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． （1）“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ （2）该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元． ①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 点和点是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点，并且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． （1）求点和点的坐标； （2）求一次函数的表达式； （3）若点是轴上一动点，且满足与相似时，求点的坐标． 24. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，连接，过点P作，垂足为Q． （1）求抛物线的解析式； （2）求的最大值； （3）连接，抛物线上是否存在点P，使得以C、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请求出点P坐标；如果不存在，请说明理由． 25. 在中，，，将线段绕点C旋转得到线段，连接、． （1）如图1，将线段绕点C逆时针旋转，则的度数为 ； （2）将线段绕点C顺时针旋转， ①如图2，求的度数； ②如图3，若的平分线交于点F，交的延长线于点E，连接．用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $