精品解析：辽宁锦州市渤海大学附属高中2026届高三下学期开学测试数学试题

2026届高三测试 数学试题 注意事项 1本试卷满分150分，考试时间120分钟 2答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上 3答选择题时请用2B铅笔把答案涂在答题卡上. 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 4. 已知向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 6. 墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 异面直线与MN所成角的余弦值为 C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 三棱锥的体积为 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空題 12. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 13. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 四、解答题 15. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数的最大值； 18. 如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 （1）求抛物线的标准方程； （2）线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 19. 已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； （1）若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； （2）若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； （3）若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三测试 数学试题 注意事项 1本试卷满分150分，考试时间120分钟 2答卷前考生务必将姓名准考证号填写在答题卡上 3答选择题时请用2B铅笔把答案涂在答题卡上. 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得，即，则， 解不等式，得或，则， 所以. 故选：D 2. 已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 3. 记为数列的前项和，已知.当最大时，（ ） A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 10或11 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 4. 已知向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 5. 已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E(1,0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆内过定点的最长弦是直径，最短的弦是与最长弦垂直的弦. 【详解】圆的标准方程：5 由题意可得：最长弦为直径： 最短的弦是 则四边形ABCD的面积为 故选D 【点睛】本题考查圆中弦长相关的知识，解题中关键是找到过定点的最长弦与最短弦，且能分析出这两条弦是相互垂直的，这样可以为后面计算四边形面积提供简便算法. 6. 墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即可. 【详解】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大， 且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 7. 已知定点，点为拋物线上一动点，到轴的距离为，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设焦点为，到准线的距离为，根据抛物线的定义，可得，故将变为,求得答案. 【详解】设焦点为，到准线的距离为，则， 所以， 当且仅当P,M,F三点共线时取等号， 故选：A． 8. ，不等式恒成立，则正实数的最大值是（　 　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将所求不等式变形为，构造函数，分析函数的单调性，则所求不等式即为，可得出，由参变量分离法可得出对恒成立，利用导数求出函数在上的最小值，由此可得出正实数的最大值. 【详解】将不等式变形可得， 即， 构造函数，可得， 令，则， 所以当时，，即在上单调递减， 当当时，，即在上单调递增， 所以，即，所以函数在上单调递增， 利用单调性并根据可得，则有， 又，即可得，即对恒成立，因此即可， 令，，则， 显然当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，因此正实数的最大值是. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二、多选题 9. 已知事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若，则与相互独立 D. 若与相互独立，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用集合间的关系，得，即可求解；对于B，利用互斥事件的概率公式，即可求解；对于C和D，利用相互独立事件的判断方法和概率公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，则，所以，故A错误， 对于选项B，因为与互斥，则，所以B正确， 对于选项C，因为，则， 所以与相互独立，故C正确， 对于选项D，因为与相互独立，则与相互独立，又， 所以，故D错误， 故选：BC. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（ ） A. M，N，B，四点共面 B. 异面直线与MN所成角的余弦值为 C. 平面BMN截正方体所得截面为等腰梯形 D. 三棱锥的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系判定A；由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D 【详解】对于A，易知MN与为异面直线，所以M，N，B，不可能四点共面，故A错误； 对于B，连接，CP，易得，所以为异面直线与MN所成角， 设，则， 所以， 所以异面直线与MN所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，连接，，易得， 所以平面BMN截正方体所得截面为梯形，故C正确； 对于D，易得，因为平面MNB，平面MNB， 所以平面MNB， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项. 【详解】由，用代入，得， 又，两式相加得， 由是偶函数，得，代入上式，得， 可得，所以，即， 因为，则， 所以，所以为偶函数，A选项错误； 由，得， 又，两式相减得， 所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确； 由，可得，所以， 由可得，所以， 由，，可得， 由，，可得. 所以，C选项正确； 由上面推导可知， 因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1， 同理可得偶数的平方除以4的余数为， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空題 12. 若圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件确定圆锥的底面半径和母线长，结合圆锥侧面积公式求结论. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形， 所以圆锥的底面半径，母线长， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 13. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 14. 记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由值域为得到不等式，再利用不等式的性质比较三者大小，再借助分数的性质及不等式放缩求解最值可得. 【详解】若函数的值域为， 记， 则，故， 由，得，且， 所以，又， 所以， 故. 则由且， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于利用不等式及分数的性质求解最小值. 四、解答题 15. 如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，， 以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又，点是棱上靠近端的三等分点 则. ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 又，可得， 因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量的坐标运算可得线面平行； （2）利用空间向量坐标运算分别得到平面与平面一个法向量，计算面面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知，设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 16. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表. 年龄 次数 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60] 每周0~2次 70 55 36 59 每周3~4次 25 40 44 31 每周5次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联； （2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望； （3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率. 参考公式： 附： α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论； （2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案； （3）利用全概率公式即可得到答案. 【小问1详解】 零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关， 由题得列联表如下： 青年 中年 合计 体育锻炼频率低 125 95 220 体育锻炼频率高 75 105 180 合计 200 200 400 ， 根据小概率值的独立性检验推断不成立， 即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问2详解】 由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2， 依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2， 所以， ， ， 所以的分布列：： 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C， 星期天选择跑步为事件，则， ， 所以 所以小明星期天选择跑步的概率为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解. 17. 已知函数 （1）讨论函数的单调区间； （2）若曲线在处的切线垂直于直线，对任意恒成立，求实数的最大值； 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况分别判断导数的正负，即可得到的单调区间； （2）由条件先求出的值，再将不等式转化为在恒成立，利用导数求出在的最小值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导可得. 当时，恒成立，此时，在单调递增； 当时，令，解得. 当，，函数单调递增； 当，，函数单调递减. 综上可知，当时，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减； 【小问2详解】 因为曲线在处的切线垂直于直线， 直线的斜率为2，故切线斜率为. 故，解得. 对任意恒成立， 即恒成立，整理可得. 令，所以的最小值即为的最大值. ，令，解得. 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故在处取得最小值， 所以实数的最大值为. 18. 如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 （1）求抛物线的标准方程； （2）线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 【答案】（1） （2） ①证明：设. 若，则直线斜率不存在， 由对称性，可知均在轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：方程：， 方程：.设， 因，则. 则直线与轴平行，设直线与线段交点为. 将代入直线方程， 则； 将代入直线方程， 则. 注意到 ，又，则两点重合， 即为线段与交点，且点三点共线； ②9 【解析】 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求出即可； （2）①设分别求得的方程，求得和，根据，得到，再由的方程，求得的表达式，即可得证； ②由①，得到和，由和，分别求得和，两式相减得，结合和三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为抛物线焦点为， 则，即， 所以直线， 代入抛物线方程可得：， 即， 则，由题意，解得， 所以所求抛物线方程为. 【小问2详解】 ①略 ②由（2），直线与轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 ， 如图， 过作平行线，交为，则四边形为平行四边形， 结合，则. 因，则，结合， 则，又M为中点，则E为NC中点. 则， 则四边形的面积 19. 已知是无穷数列，是数列的前n项和，对于，给出下列三个条件：①；②；③； （1）若，对任意的，数列是否恒满足条件②，并说明理由； （2）若，数列同时满足条件①②，且，求数列的通项公式； （3）若，数列同时满足条件①③，求证： 数列为常数列. 【答案】（1）不恒满足条件②，理由： ，则数列是以为首项，2为公比的等比数列， ， 不防令， 则， ， 则， 所以数列不恒满足条件②. （2）或 （3）证明：当时，由③得， 即， 所以， 若，由①不妨设，则，则数列为常数列. 若，当时，，与矛盾. 当时，令， 则， ， ， 则， 各式相加得. 当时，，与矛盾. 综上所述，只有当，即，且时满足①③， 所以数列为常数列. 【解析】 【分析】（1）由，求得，令取特殊值验证即可说明； （2）由②可得，可推得数列是等差数列，求出和，即可求得的通项公式； （3）由已知，通过条件③可得，进行递推，即可证得数列为常数列. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，由②得，即， 当时，， 两式相减得， 即，， 两式相减得，即，，又， 时，，即， 数列是等差数列， 设数列的公差为， 是无穷数列，， 或， 或. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $