26.2 反比例函数的图像与性质（第1课时）讲义-2025-2026学年 沪教版（五四制 )八年级数学下册精讲精练

26.2 反比例函数的图像与性质（第1课时） 一、反比例函数的图像 我们知道，一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0) 的图像是一条直线. 那么,反比例函数的图像是什么呢?我们先用“描点”的方法，画出反比例函数的图像，再利用图像来研究反比例函数的性质. 首先考察k>0的情形.以反比例函数为例. (1) 列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表26- 1, 注意x不能取0. (2) 描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点，如图26-2-1所示. (3) 连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑的曲线连接起来，就得到函数的图像，如图26-2-2所示. 按照前述操作的步骤，画出反比例函数的图像，如图26-2-3所示. 观察这两个函数的图像，可以发现： (1)每个函数的图像都有两支曲线，分别位于 第一、三象限； (2)在第一、三象限内，函数图像均下降； (3)图像的每支都向两个方向无限延伸，分别向x轴 、y轴靠近，但不会与它们相交. 提示：图像的上升或下 降，是对图像变化规律的直观描述.一般情况 下，观察方向都是沿着 x 轴正向从左向右看. 再考虑k<0的情形，可以通过描点法作出反比例函数与的图像(图26-2-4). 观察这两个函数的图像，可以发现： (1)每个函数的图像都有两支曲线，分别位于第二、四象限； (2)在第二、四象限内，函数图像均上升； (3)图像的每支都向两个方向无限延伸，分别向x轴 、y轴靠近，但不会与它们相交. 二、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 提示：只要函数表达式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 题型1：画反比例函数的图像 1．画出函数的图象． (1)由分式有意义可知，函数中自变量的取值范围为___________，列如下表，请你填剩余的空． -6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 (2)在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象． 2．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数的图象． 1 2 4 3．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数与的图象． 题型2：根据反比例函数的图像信息求反比例函数表达式 4．若反比例函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 5．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 6．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 题型3：判断反比例函数图像经过的象限 7．反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．当时，反比例函数的图象在（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 题型4：由反比例函数图像经过的象限求参数 10．反比例函数位于第二、四象限，则k的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 12．若反比例函数的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 13．若反比例函数的图象在第二、四象限，则的取值范围是________． 题型5：正比例函数与反比例函数图像交点问题 14．已知反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为________． 15．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 16．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为______． 17．如图，双曲线（为常数，）与直线（为常数，）相交于、两点，如果点的坐标是，那么点的坐标为____________． 题型6：正比例函数与反比例函数图像（含参数图像判断问题） 18．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 19．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 20．如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   题型7：对称问题 21．已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 题型8：反比例函数的几何应用 22．如图，为反比例函数图象上一点，垂直于轴于点，若，则的值为（   ） A．12 B．6 C． D．不能确定 23．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 24．如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 _______． 25．如图，直线与双曲线交于点A,B．过点A作轴，垂足为点P，连接．若B的坐标为，则_______． 26．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点A，O、C在x轴上，若点，，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 27．如图，为等腰三角形，，反比例函数过点，若，则______． 题型9：反比例函数的几何应用——特殊平行四边形 28．正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为________．    29．如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线在轴上，顶点在反比例函数的图象上，若菱形的面积为4，则的值为___________． 31．如图，矩形的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在上，且， 反比例函数的图象经过点D及矩形的对称中心M，连接，，．若的面积为2，则k的值为____________． 题型10：解答题 32．如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象，并根据图象回答：反比例函数的图象有____________个分支，当时，对应的图象在____________象限；当时，对应的图象在____________象限． 33．已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数过点时，求的值． 34．如图，已知直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点． (1)求、的值； (2)求的面积． 35．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数在第一象限内的图像交于点，点在直线上． (1)求点、的坐标； (2)点C在反比例函数的图像上，如果，将直线平移，使其经过点，求平移后所得直线的表达式． 36．如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，． (1)求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围． (2)求证：． 37．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，点的纵坐标为4，反比例函数的图象也经过点；第一象限内的点在这个反比例函数的图象上，过点作轴，交轴于点，且.求：    (1)这个反比例函数的解析式. (2)求点的坐标. (3)直线的函数表达式. 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，四个点，，，的位置如图所示，其中可能落在反比例函数图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．若，则反比例函数的图象分布在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 3．小明做题时发现，反比例函数的比例系数被污染了，同学告诉他这个反比例函数图象在第二、四象限，则的值可能是（   ） A．3 B．10的平方根 C． D．的相反数 4．若一元二次方程的两根之和为，则反比例函数的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 5．关于反比例函数，下列说法不正确的是（    ） A．在该反比例函数图象的每一个象限内，函数图像均上升 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数的图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 6．已知，则函数和图象大致是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．已知在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的值可以是___．（写出一个即可） 8．若反比例函数图象在一、三象限，则k的取值范围是_______． 9．函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是______． 10．如图，两点在双曲线上，分别经过两点向坐标轴作垂线段，已知，则___________． 11．如图，已知点为反比例函数图象上一点，轴于点为轴上任一点，若的面积为5，则的值为_____． 12．反比例函数和的函数图象如图所示，若点在上，过点分别作轴，轴的垂线，交于点，，交轴，轴于点，，则四边形的面积为_____． 三、解答题 13．已知反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 14．反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，的面积为，求k和m的值． 15．如图，，两点在反比例函数的图象上，，两点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，，，，求的值． 16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.2 反比例函数的图像与性质（第1课时） 一、反比例函数的图像 我们知道，一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0) 的图像是一条直线. 那么,反比例函数的图像是什么呢?我们先用“描点”的方法，画出反比例函数的图像，再利用图像来研究反比例函数的性质. 首先考察k>0的情形.以反比例函数 为例. (1) 列表：取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y, 见表26- 1, 注意x不能取0. (2) 描点：分别以所取x的值和相应的函数值y作为点的横坐标和纵坐标，描出这些坐标所对应的点，如图26-2-1所示. (3) 连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用光滑的曲线连接起来，就得到函数 的图像，如图26-2-2所示. 按照前述操作的步骤，画出反比例函数 的图像，如图26-2-3所示. 观察这两个函数的图像，可以发现： (1)每个函数的图像都有两支曲线，分别位于 第一、三象限； (2)在第一、三象限内，函数图像均下降； (3)图像的每支都向两个方向无限延伸，分别向x轴 、y轴靠近，但不会与它们相交. 提示：图像的上升或下 降，是对图像变化规律的直观描述.一般情况 下，观察方向都是沿着 x 轴正向从左向右看. 再考虑k<0的情形，可以通过描点法作出反比例函数 与 的图像(图26-2-4). 观察这两个函数的图像，可以发现： (1)每个函数的图像都有两支曲线，分别位于第二、四象限； (2)在第二、四象限内，函数图像均上升； (3)图像的每支都向两个方向无限延伸，分别向x轴 、y轴靠近，但不会与它们相交. 二、反比例函数()中的比例系数的几何意义 过双曲线() 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 过双曲线() 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为. 提示：只要函数表达式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 题型1：画反比例函数的图像 1．画出函数的 图象． (1)由分式有意义可知，函数 中自变量 的取值范围为___________，列如下表，请你填剩余的空． -6 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 (2)在坐标系中描点、连线，画函数的大致图象． 【答案】(1) 或 ，表格中的剩余的空见详解 (2)大致图象见详解 【分析】本题考查了反比例函数的图象和对应自变量，画出反比例函数图象是解答本题的关键． （1）①根据分母不等于0进行填空即可；②根据反比例函数图象上点的坐标特征填表即可，最后画出反比例函数在第一、三象限的图象即可． 【详解】（1）解：由分式有意义可知，函数 中自变量x取除0以外的全体实数，即 或 ．表格中剩余的空如下表所示： 1 1.5 2 3 4 6 6 4 3 2 1.5 1 （2）解：如图所示为所求： 2．填表并用描点法在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数 的图象． 1 2 4 【答案】 1 2 4 2 1 ，见解析 【分析】本题考查了反比例函数图象的画法，解题的关键是准确计算函数值、规范进行描点和连线操作． 先将 的值代入反比例函数 求出对应的 值完成表格，再依据表格中的坐标进行描点、连线，画出函数图象 【详解】解： 1 2 4 2 1 3．在如下图所示的平面直角坐标系中画出函数 与 的图象． 【答案】 【分析】根据表格中的数据，描点，连线，画出函数图象即可. 【详解】解：列表 EMBED Equation.DSMT4 描点，连线，如图即为两函数图象； 【点睛】本题侧重考查反比例函数的图象，通过列表，描点，连线画图是解题的关键． 题型2：根据反比例函数的图像信息求反比例函数表达式 4．若反比例函数 的图象经过点 ，则 的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象． 将 代入反比例函数解析式，直接计算k的值即可． 【详解】解：∵点 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 5．如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合 ，且 为定值． 先根据点 是反比例函数 图象上求出 的值，再对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：∵点 在反比例函数 图象上， ． A、 ，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、 ，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、 ，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、 ，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 6．反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出 的取值范围是解题的关键． 根据点 、 的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出 ，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：据点 、 的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知： ，即 ． 故选：C． 题型3：判断反比例函数图像经过的象限 7．反比例函数 的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数的图象在第一、三象限，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵ 中， ， ∴反比例函数 的图象在第一、三象限， 故选：C． 8．当 时，反比例函数 的图象在（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据 判断函数图象所在象限，根据 再次判断这部分函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数 中， ， ∴此函数的图象位于第二、四象限， ∵ ， ∴此函数的图象位于第二象限． 故选：B． 9．反比例函数 的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限， ，位于一、三象限； ，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 题型4：由反比例函数图像经过的象限求参数 10．反比例函数 位于第二、四象限，则k的值可能是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】反比例函数 的图象，当 时在第一、三象限；当 时，在第二、四象限． 【详解】∵反比例函数 的图象位于第二、四象限， ∴ ， 选项中只有 ， ∴ 的值可能是 ． 11．在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象经过第一、三象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：当 时，图象分别分布在第一、三象限；当 时，图象分别分布在第二、四象限． 根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过第一、三象限， ∴ ， ∴ ． 故答案为： 12．若反比例函数 的图像位于第一、三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 反比例函数图像位于第一、三象限时，比例系数大于零，即 ，再解不等式即可解答． 【详解】解：∵反比例函数 的图像位于第一、三象限， ∴比例系数 ， 解得： ． 故答案为： ． 13．若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当比例系数小于零时，图像位于第二、四象限，则 ，解不等式即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴比例系数 ， 解得 ． 故答案为： ． 题型5：正比例函数与反比例函数图像交点问题 14．已知反比例函数 与正比例函数 图象的一个交点坐标为 ，则另一个交点坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查正比例和反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：∵反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的一个交点坐标为 ， ∴另一个交点的坐标是 ． 故答案为： ． 15．已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点 ，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ， 故答案为： ． 16．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数 的图象交于 ， 两点，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，知点A与B关于原点对称， ∵点A的坐标是 ， ∴B点的坐标为 ． 故答案为： ． 17．如图，双曲线 （ 为常数， ）与直线 （ 为常数， ）相交于 、 两点，如果 点的坐标是 ，那么 点的坐标为____________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的对称性，即可求解， 本题考查了反比例函数的对称性，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的对称性． 【详解】解： 点 、 关于原点对称， 点的坐标为 ， 故答案为： ． 题型6：正比例函数与反比例函数图像（含参数图像判断问题） 18．函数 与 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象与比例系数的关系，是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数的性质解题． 【详解】解：当 时，正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，无正确选项； 当 时，正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，D正确． 故选：D． 19．已知函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大，那么它和函数 在同一直角坐标平面内的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先由“y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大”判定k＞0，然后根据k的符号来判断函数 所在的象限． 【详解】解：∵函数y＝kx（k≠0）中y随x的增大而增大， ∴k＞0，该函数图象经过第一、三象限； ∴函数 的图象经过第一、三象限； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点：①反比例函数 的图象是双曲线；②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 20．如果 ，那么函数 与 在同一坐标系中的图象是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据 得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴函数 的图象经过第二、四象限，函数 的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 题型7：对称问题 21．已知A，B两点分别在反比例函数 和 的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为 ，则 ，代入解析式解出a值即可． 【详解】解：设点A坐标为 ，则 ， 将点B坐标代入 得： ， 解得 故答案为： 题型8：反比例函数的几何应用 22．如图， 为反比例函数 图象上一点， 垂直于 轴于点 ，若 ，则 的值为（   ） A．12 B．6 C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，根据反比例函数的比例系数的几何意义可得 ，再根据反比例函数的图象经过第一象限，得到 ，据此可得答案． 【详解】解：∵ 为反比例函数 图象上一点， 垂直于 轴于点 ，且 ， ∴ ， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 23．如图，点 是反比例函数 图象上的一点，过点 作 轴于点 ，连接 ．若 的面积为6，则 的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵ 轴， 的面积为6， ∴ ， 由题意 ， ∴ ． 故选：B． 24．如图，直线 与双曲线 交于A，B两点， 轴于点H，若 的面积为5，则k的值为 _______． 【答案】 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知 ， ∵ 是面积为5， ∴ 的面积是2.5， ∴ ， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝ ． 故答案为： . 25．如图，直线 与双曲线 交于点A,B．过点A作 轴，垂足为点P，连接 ．若B的坐标为 ，则 _______． 【答案】3 【分析】先根据反比例函数和正比例函数的性质求出点 的坐标，从而可得 的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由题意得：点 与点 关于原点 对称， ， ， 边上的高为2， 轴， ， 则 ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，熟练掌握反比例函数和正比例函数的性质（对称性）是解题关键． 26．如图，反比例函数 的图象经过平行四边形 的顶点A，O、C在x轴上，若点 ， ，则实数k的值为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形面积 计算是关键根据A，B的纵坐标相同以及点A在反比例函数上得到的A坐标，进而用代数式表达 的长度，然后根据 列出一元一次方程求解即可． 【详解】解： 四边形 是平行四边形， O，C在x轴上， ，B的纵坐标相同． ， 的纵坐标是3． 顶点A在反比例函数 的图象上， 将 代入函数中，得到 ．则 ． ． ． ，B的纵坐标为3， ，即 ． 解得 ． 故选：C． 27．如图， 为等腰三角形， ，反比例函数 过点 ，若 ，则 ______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数系数 的几何意义是解题的关键．作 轴于点 ，利用三线合一性质得到 ，进而得出 ，再利用反比例函数系数 的几何意义得到 ，解出 ，再结合反比例函数经过第二、四象限，即可确定 的值． 【详解】解：如图，作 轴于点 ， ∵ ， 轴， ∴ ， ， ∴ ， ∵反比例函数 过点B， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∵反比例函数 经过第二、四象限， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 题型9：反比例函数的几何应用——特殊平行四边形 28．正方形 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ，一个反比例函数的图象经过点A，则该反比例函数的表达式为________．    【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，求反比例函数解析式． 连接 ，交 于E，根据正方形的性质得到 ， ，根据k的几何意义求出 ，根据反比例函数图象经过第二象限得到 ，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：如图，连接 ，交 于E，    ∵正方形 ∴ ， ， ∴ ， ∵反比例函数的图象经过第二象限， ∴ ， ∴该反比例函数的表达式为 ． 故答案为： ． 29．如图，点A，B依次在反比例函数 （常数 ， ）的图象上， ， 分别垂直x轴于点C，D， 轴于点E， 于点F，若 ，阴影部分面积为12，则k的值为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形 的面积都是k是解题的关键． 延长 交y轴于H，根据题意得四边形 都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形 的面积都是k，由 得到四边形 的面积为 ，列得 ，即可求出k． 【详解】解：延长 交y轴于H， ∵ ， 分别垂直x轴于点C，D， 轴于点E， 于点F， ∴ ， ， ∴四边形 都是矩形， 同理得四边形 是矩形， ∵点A， 依次在反比例函数 （常数 ， ）的图象上， ∴四边形 的面积都是k， ∵ ， ∴四边形 的面积为 ， ∵阴影部分面积为12， ∴ ， 解得 ， 故选：A． 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形 的对角线 在 轴上，顶点 在反比例函数 的图象上，若菱形 的面积为4，则 的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，反比例函数系数 的几何意义．根据菱形的性质以及反比例函数系数 的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 交 于点 ， 四边形 是菱形， 在 轴上， ， ， ， ∴ ， 解得： ， ， ， 故答案为： ． 31．如图，矩形 的顶点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在 上，且 ， 反比例函数 的图象经过点D及矩形 的对称中心M，连接 ， ， ．若 的面积为2，则k的值为____________． 【答案】 【分析】由题意知延长 则经过点B，设 ，则 ，确定点 ，然后结合图形及反比例函数的k的几何意义，得出 ，再代入求解即可． 【详解】 解： ∵四边形 是矩形， ∴ ， 设点 ， ∵矩形 的对称中心为M， ∴延长 则经过点B， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 过点M作 于点N， ∴ ， ∵反比例函数 的图象经过点D， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数k的几何意义，割补法处理三角形面积，数形结合的思想以及方程思想是解决本题的关键． 题型10：解答题 32．如图，在平面直角坐标系中画出反比例函数 的图象，并根据图象回答：反比例函数 的图象有____________个分支，当 时，对应的图象在____________象限；当 时，对应的图象在____________象限． 【答案】图见解析；两，第四，第二 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象的画法．根据函数图象的画法，作图即可，再根据图象的性质回答问题． 【详解】解：列表得， 1 2 3 1 3 描点，连线，反比例函数 的图象如图， 由图象得：反比例函数 的图象有两个分支， 当 时，对应的图象在第四象限； 当 时，对应的图象在第二象限． 故答案为：两，第四，第二． 33．已知反比例函数 的图象位于第一、三象限． (1)求k的取值范围； (2)当反比例函数过点 时，求 的值． 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）∵反比例函数 的图象位于第一、三象限， ∴ ，解得 ． （2）∵反比例函数过点 ， ∴ ，解得 ． 34．如图，已知直线 与反比例函数 的图像交于点 ，与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交反比例函数 的图像于点 ． (1)求 、 的值； (2)求 的面积． 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）由题意，将 分别代入 、 ，即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由 ，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵直线 与反比例函数 的图像交于点 ， ∴ ， ， 解得： ， ； （2）∵直线 与 轴交于点 ， ∴当 时， ，即 ， ∵过点 作 轴的平行线交反比例函数 的图象于点 ， 当 时， ， ∴ ， ∵ ， 设 表示点 的横坐标， 表示点 的横坐标， 表示点 的纵坐标， 表示点 的纵坐标， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的面积为 ． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，确定函数解析式是解题的关键． 35．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与反比例函数 在第一象限内的图像交于点 ，点 在直线 上． (1)求点 、 的坐标； (2)点C在反比例函数 的图像上，如果 ，将直线 平移，使其经过点 ，求平移后所得直线的表达式． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，涉及反比例函数上点的坐标特征、一次函数解析式的求解以及一次函数的平移性质． （1）先利用反比例函数解析式求出点 的坐标，再根据点 的坐标确定直线 的解析式，最后将点 的纵坐标代入直线解析式求出点 的坐标； （2）由直线 的解析式 得到 ，结合 ，根据同位角相等判定 轴，从而得到点 的横坐标与点 相同，再代入反比例函数求出点 的坐标；最后设出平移后直线的解析式，代入点 的坐标求出参数． 【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 上， ∴代入 得 ，故 . ∵直线 过点 ， ∴ ，解得 ∴直线 的解析式为 . ∵点 在直线 上， ∴代入 得 ，故 ； （2）解：如图，点 在点 右侧，设点 ， ∵ ， ∴点 到两坐标轴的距离相等， ∴ . ∵ ， ∴ 轴， ∴点 的横坐标与点 的横坐标相同，即点 的横坐标为 ， ∴将 代入 ，得 ， ∴点 的坐标为 . 设平移后所得直线的解析式为 ， 将点 代入解析式，得 ，解得 ， ∴平移后所得直线的表达式为 ． 36．如图，在平面直角坐标系中，点 ， 都在反比例函数 的图象上，直线 与 轴， 轴分别相交于点 ， ． (1)求 的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时， 的取值范围． (2)求证： ． 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，直角坐标系中的两点距离公式，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． （1）将 代入 ，即可求出 的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时， 的取值范围； （2）利用 ， 可求出直线 的解析式，再分别求出 和 ，结合 ， ，可求出 和 ，则可得 ，即可证明． 【详解】（1）解：∵点 在反比例函数 的图象上， ∴将 代入 ， 得： ， 解得： ， 根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时， 的取值范围为 ； （2）解：设直线 的解析式为 ， 将 ， 代入， 得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为 ，     令 ，得： ， ∴ ， 令 ，得： ， 解得： ， ∴ ， ∵点 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 37．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 的图象经过点 ，点 的纵坐标为4，反比例函数 的图象也经过点 ；第一象限内的点 在这个反比例函数的图象上，过点 作 轴，交 轴于点 ，且 .求：    (1)这个反比例函数的解析式. (2)求点 的坐标. (3)直线 的函数表达式. 【答案】(1) ； (2) ； (3) ． 【分析】（1）根据正比例函数 的图象经过点 ，点 的纵坐标为4，求出点 的坐标，根据反比例函数 的图象经过点 ，求出 的值； （2）根据点 的坐标和等腰三角形的性质求出点 的坐标，再求出点C坐标即可； （3）运用待定系数法求出直线 的表达式． 【详解】（1） 正比例函数 的图象经过点 ，点 的纵坐标为4， ∴将 代入 得： ， 点 的坐标为 ， 反比例函数 的图象经过点 ， ， 反比例函数的解析式为： ； （2）如图，连接 、 ，作 于 ，    ， ， ， ∴将 代入 得： ， 点 的坐标为： ， ∵ 轴， 点C的坐标为： ， （3）设直线 的表达式为： ， 由题意得， ， 解得， ， 直线 的表达式为： ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和一次函数与反比例函数的交点的求法，注意数形结合的思想在解题中的应用． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，四个点 ， ， ， 的位置如图所示，其中可能落在反比例函数 图象上的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数 的图象在二、四象限，故点 在图象上． 【详解】解：对于反比例函数 ， ∵ ， ∴反比例函数 的图象在二、四象限， ∴点 在函数 的图象上． 故选：B． 2．若 ，则反比例函数 的图象分布在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象的分布，反比例函数图象的分布取决于分子常数的符号，当常数小于0时，图象在第二、四象限，据此解答即可． 【详解】解：∵k < 0， ∴ ， ∴反比例函数 的图象分布在第二、四象限． 故选：D． 3．小明做题时发现，反比例函数 的比例系数 被污染了，同学告诉他这个反比例函数图象在第二、四象限，则 的值可能是（   ） A．3 B．10的平方根 C． D． 的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质； 根据反比例函数图象与比例系数 的关系，当 时，图象在第二、四象限，依次判断每个选项即可． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， A、∵ ，∴此选项不符合题意； B、∵10的平方根为 ，∴ ， ，∴此选项不符合题意； C、 ，∴此选项符合题意； D、 的相反数为5， ，∴此选项不符合题意； 故选：C． 4．若一元二次方程 的两根之和为 ，则反比例函数 的图象在（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，反比例函数的图象性质，掌握韦达定理和反比例函数性质是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和 ，再根据 的符号判断反比例函数图象的象限． 【详解】解：∵方程 中 ， ， ∴两根之和 ， ∴反比例函数为 ， ∵ ， ∴反比例函数图象在第二、四象限． 故选： ． 5．关于反比例函数 ，下列说法不正确的是（    ） A．在该反比例函数图象的每一个象限内，函数图像均上升 B．图象分别在第二、四象限 C．该反比例函数的图象与坐标轴无交点 D．图象经过点 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴图象过二、四象限，在每一个象限内，在每一个象限内，函数图像均上升； ∵ ， ， ∴反比例函数图象与坐标轴无交点； ∵ ， ∴图象经过点 ； 综上，选项B、C、D正确，不符合题意；选项A错误，符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 6．已知 ，则函数 和 图象大致是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据 分析两个函数图象所在象限， 即可选出答案 ． 【详解】解：∵ ， 的图象在一、 三象限， 在一、 二、 四象限， 故选：A． 二、填空题 7．已知在反比例函数 图象的每一支上， 都随 的增大而减小，则 的值可以是___．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，在反比例函数 中，当 时，反比例函数的图象分布在第一和第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当 时，反比例函数的图象分布在第二和第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 在反比例函数 图象的每一支上， 都随 的增大而减小，则 的值是正数，任取一个正数即可． 【详解】解：∵在反比例函数 图象的每一支上， 都随 的增大而减小， ∴ ， ∴ 的值可以是6． 故答案为：6． 8．若反比例函数 图象在一、三象限，则k的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质，可得 ，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数 的图象在第一、第三象限， ∴ ， 解得 ． 故答案为 9．函数 是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则 的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．直接利用反比例函数的定义结合反比例函数图像分布得出 且 ，进而得出答案． 【详解】解：∵ 是反比例函数，且图像在第二、四象限内， ∴ 且 ， ∴ ． 故答案为： ． 10．如图， 两点在双曲线 上，分别经过 两点向坐标轴作垂线段，已知 ，则 ___________． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握意义是解题的关键．根据反比例函数k的几何意义，解答即可． 【详解】解：根据题意， 两点在双曲线 上，分别经过 两点向坐标轴作垂线段，且 ， 则 ， 故答案为：4． 11．如图，已知点 为反比例函数 图象上一点， 轴于点 为 轴上任一点，若 的面积为5，则 的值为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 是解题的关键． 如图，连接 ，利用三角形面积公式得到 ，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到 ，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ 轴 ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∵由图像可知 ， ∴ ． 故答案为：10． 12．反比例函数 和 的函数图象如图所示，若点 在 上，过点 分别作 轴， 轴的垂线，交 于点 ， ，交 轴， 轴于点 ， ，则四边形 的面积为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，在反比例函数 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值 ．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．根据反比例函数k的几何意义得到 ， ，结合图形计算即可． 【详解】解：∵点 在函数 上，过点 分别作 轴， 轴的垂线，交 于点 ， ，交 轴， 轴于点 ， ， ∴ ， ， ∴四边形 的面积为 ． 故答案为：2． 三、解答题 13．已知反比例函数 （ 为常数）的图象位于第二、四象限，求 的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数 中，当 时图象位于第二、四象限是解题的关键． 根据反比例函数的图象性质，当图象位于第二、四象限时，其比例系数小于0，由此建立不等式求解k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数 的图象位于第二、四象限， ∴ ， ∴ ， 故答案为： ． 14．反比例函数 的图像经过点 ，过点A作 轴于点B， 的面积为 ，求k和m的值． 【答案】 ， 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，结合图像的分布计算即可． 【详解】如图所示， ∵ ， ∴ ； 因为反比例函数 的图像经过点 ， 则 ． 【点睛】本题考查了根据三角形面积确定反比例函数比例系数k，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 15．如图， ， 两点在反比例函数 的图象上， ， 两点在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， 轴于点 ， ， ， ，求 的值． 【答案】4 【分析】设 ， ， ， ，则 ， ，然后根据 ， ， 列式求解即可． 【详解】解：设 ， ， ， ， 则 ， ， 则 ， ，得 ， 同理： ，得 ， 又 ， ， 解得 ． 【点睛】考查反比例函数上点的坐标关系，根据坐标转化线段长是解题关键． 16．如图，已知一次函数 与反比例函数 的图象交于第一象限内的点 和 ，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在 轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为 ；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为 或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把 代入 求解，得到反比例函数的解析式，再把 代入求解，得到 ，最后把 和 代入 即可； （2）设 ，分 为对角线、 为对角线、 为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把 代入 ，得 ， ， 反比例函数的解析式为 ； 把 代入 ，得 ， ， 把 和 代入 ，得 ， 解得 ， 一次函数的解析式为 ； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为 或 ． 理由如下： 对于 ， 令 ，则 ， ， ， 设 ， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以 为对角线时， ， 解得 ， ； ②以 为对角线时， ， 解得 ， ； ③以 为对角线时， ， 解得 ， ， 点P在 轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为 或 ． 学科网（北京）股份有限公司 $