板块一 习题讲评（二）基本初等函数、函数与方程-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

基本初等函数、函数与方程 习题讲评（二） （1）基本初等函数考查点主要涉及指数式和对数式的运算，指、对、幂比较大小，指、对、幂函数的图象及应用. （2）函数的零点个数及参数范围可单独考查，也可渗透在导数大题中考查，应特别关注. （3）函数模型及应用是近几年高考的热点，常涉及指数函数、对数函数模型，主要考查指、对数式的运算. 2 CONTENTS 目录 1 2 教学点(一)　基本初等函数的图象 与性质 教学点(二)　函数模型及其应用 3 教学点(三)　函数与方程 基本初等函数的图象与性质 教学点（一） 4 [例1]　（2025·全国Ⅰ卷）若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z， 则x，y，z的大小关系不可能是 （　　） A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z 　　D.y>z>x B 解析：法一：数形结合法 设2+log2x=3+log3y=5+log5z=t，则x=2t-2=f（t），y=3t-3=g（t），z=5t-5= h（t）.根据指数函数的单调性，易知各方程只有一个根， 在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t） 的图象，（提示：可先画出y=2t，y=3t，y=5t的图象， 然后分别向右平移2，3，5个单位长度，即可得到函 数f（t），g（t），h（t）的图象）由图可知x，y，z 的关系不可能为x>z>y，故选B. 5 法二：特殊值法 令2+log2x=3+log3y=5+log5z=0，得x=，y=，z=，此时x>y>z； 令2+log2x=3+log3y=5+log5z=5，得x=8，y=9，z=1，此时y>x>z； 令2+log2x=3+log3y=5+log5z=8，得x=26=64，y=35=243，z=53=125， 此时y>z>x.故选B. 拓展延伸：（1）在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则. （2）对于连等式可令其等于k（k>0），然后将指数互化. 6 [例2]　（2025·临汾三模）已知f（x）=log2（1+4-x）+x，则满足f（2m-3）<f（m）的实数m的取值范围为 （　　） A.（1，3） B. C.（-∞，3） D.（3，+∞） A 解析：由f（x）=log2（1+4-x）+x，易知其定义域为R，由f（-x）-f（x）= log2（1+4x）-x-log2（1+4-x）-x=log2-2x=log24x-2x=2x-2x=0， 则函数f（x）为偶函数，f（x）=log2（1+4-x）+x=log2（1+2-2x）+log22x =log2（2x+2-x）. 7 由y=2x在R上单调递增，y=x+在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，则y=2x+在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减. 由f（2m-3）<f（m），则|2m-3|<|m|，即（2m-3）2<m2，（利用函数的单调性与奇偶性将“f”号脱掉，使其转化为关于m的不等式求解） 整理可得3m2-12m+9<0，分解因式可得（m-3）（m-1）<0，解得1<m<3. 8 拓展延伸：对勾函数y=ax+（a>0，b>0）的图象和性质 （1）图象： （2）性质：①定义域： （-∞，0）∪（0，+∞）； 值域：（-∞，-2]∪[2，+∞）. ②奇偶性：奇函数. ③单调性：在区间，上单调 递增，在，上单调递减. ④渐近线：y轴，直线y=ax. 9 |思|维|建|模| （1）对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论； （2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，往往通过换元法转化为若干个基本初等函数，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断. 10 [练1]　（2025·保定一模）[多选]下列不等式成立的有 （　　） A.log0.30.2>log0.20.3 B.0.30.2>0.20.3 C.log30.2<log20.2 D.30.2<20.3 即时训练 AB 解析：对于A，log0.30.2>log0.30.3=1，log0.20.3<log0.20.2=1， 故log0.30.2>log0.20.3，故A正确； 对于B，0.30.2>0.30.3>0.20.3，故0.30.2>0.20.3，故B正确； 即时训练 11 对于C， 由于log30.2<0，log20.2<0，故===log23>1，故log30.2>log20.2，故C错误； 对于D，30.2=，20.3=，因为=32=9，=8， 所以>，故30.2>20.3，故D错误.故选AB. 12 拓展延伸：比较幂、指、对数式的常用方法： （1）求同存异法比较大小，如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式. （2）利用特殊值作“中间量”，在指数、对数中通常可优先选择 “-1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较. 13 [练2]　（2025·武汉模拟）已知正数a，b满足log3a=log4b，则a与b的关系不可能是 （　　） A.b<a<1 B.a<<1 C.1<a<b D.1<a< D 解析：设log3a=log4b=t，则a=3t，b=4t，即=2t. 当t<0时，y=xt在（0，+∞）上为减函数，而函数y=2x在R上为增函数，则20=1>2t>3t>4t，即b<a<<1，故A、B可能成立；当t=0时， 则3t=4t=1，即b=a=1；当t>0时，y=xt在（0，+∞）上单调递增， 则20=1<2t<3t<4t，即1<<a<b，故C可能成立，D不可能成立. 14 [练3]　（2025·合肥三模）已知f（x）=|ln（x-a）|，其中a>0，若f（x1） =f（x2），x1≠x2，a（x1+x2）<x1x2，则a的取值范围为 （　　） A.（1，+∞）　 B.（2，+∞） C.（1，2）　 D.（0，1） D 解析：由题意，得f（x）的定义域为（a，+∞）， 因为f（x）=|ln（x-a）|= 根据y=ln x的函数图象以及图象变换可画出f（x）的函数图象， 15 则f（x）在（a+1，+∞）上单调递增，在（a，a+1）内单调递减. 不妨设0<a<x1<x2，又f（x1）=f（x2）， f（x1）=-ln（x1-a），f（x2）=ln（x2-a）， 则-ln（x1-a）=ln（x2-a），即（x2-a）（x1-a）=1， 则x1x2-a（x1+x2）+a2=1.因为a（x1+x2）<x1x2， 所以1-a2>0，解得-1<a<1，则0<a<1，故a的取值范围为（0，1）. 16 函数模型及其应用 教学点（二） 17 [典例]　（2025·北京高考）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N（单位：小时），其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时） （　　） A.2　　　　　　　　 B.4 C.20 D.40 B 18 解析：设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1，T2，T3，由题意，得T1=klog2106=6klog210， （解题提示：公式logaMn=nlogaM（n∈R）的应用） T2=klog2（1.024×109）=klog2（210×106）=k（10+6log210），T3=klog2（4.096×109）=klog2（212×106）=k（12+6log210）. 因为T2-T1=k（10+6log210）-6klog210=10k=20，所以k=2. 所以T3-T2=k（12+6log210）-k（10+6log210）=2k=4， 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4小时. 19 |思|维|建|模| 1.已知函数模型解决实际问题的关键 （1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. （2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. （3）利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. 2.解决函数模型应用问题的卡壳点 （1）错误理解题意，不能把实际应用问题转化为指数、对数的运算问题； （2）运算失误，没有熟练掌握指数、对数的运算法则及性质，不能借此得到正确的结果. 20 [练1]　已知火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料质量M（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）的函数关系为v=2ln.若已知火箭的质量为3 100 kg，火箭的最大速度为11 km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（参考数值：ln 2≈0.69，ln 244.69≈5.50，结果精确到0.01 t， 1 t=1 000 kg）（　　） A.890.23 t　 B.755.44 t C.244.69 t　 D.243.69 t 即时训练 即时训练 B 即时训练 21 解析：根据题意，知m=3 100，令v=2ln=11， 则ln=ln e11，所以=e11，则1+=e5.5， 即=e5.5-1≈eln 244.69-1=244.69-1=243.69， 所以M=3 100×243.69=755 439 kg≈755.44 t. 22 [练2]　夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风 t分钟后教室内的二氧化碳浓度为y%，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数y=k∞+（k0-k∞）描述，k0%是二氧化碳初始浓度，k∞=0.03，则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10%需要的时间t的最小整数值为（参考数据：ln 7≈1.946，ln 11≈2.398）（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 C 23 解析：由题意可知，y=0.03+（0.14-0.03）=0.03+0.11， 即0.03+0.11≤0.1，则≤， 解得 t≥10（ln 11-ln 7）≈10×（2.398-1.946）=4.52， 所以该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10%需要的时间t的最小整数值为5. 24 函数与方程 教学点（三） 25 [例1]　（2025·长沙二模）若函数f（x）=与直线y=a恰有三个交点，则a的取值范围是（　　） A.[1，2] B.（1，2） C.（1，2] D.[1，2） D 解析：画出f（x）的图象， 由图象可知a的取值范围是[1，2）. 26 习得方略：翻折变换的类型 （1）水平方向：f（x）→f（|x|）=“保留y轴及其右侧图象，并将y轴右侧图象翻折到y轴左侧”. （2）竖直方向：f（x）→|f（x）|=“保留x轴及其上方图象，并将x轴下方图象翻折到x轴上方”. 27 |思|维|建|模| 根据函数零点个数或方程有根求参数的值（取值范围） 直接法 利用零点构建关于参数的方程（组）或不等式（组），直接求解 参数 分离法 将参数与自变量分离，转化为求函数的最值或值域的问题加以解决 数形 结合法 对f（x）=0适当变形，将函数零点的问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合法求解 28 [例2]　（2025·长沙三模）已知函数 f（x）=则方程 f（x）=-x+的根的个数为（　　） A.2 B.3 C.4 　　D.5 B 解析：当x≥0时，f（x）=f（x-2）， 故2是f（x）的一个周期. 又0≤x<2时，-2≤x-2<0， 则f（x）=f（x-2）=ex-2，令g（x）=-x+， 29 作出函数y=f（x）和y=g（x）的函数图象. 因为f（2）=f（0）=f（-2）=e-2<g（2）=， f（4）=f（2）=e-2>g（4）=0， 结合图象可知，f（x）和g（x）的函数图象交点个数为3. 30 |思|维|建|模|　求解函数零点个数的基本方法 直接法 令f（x）=0，方程有多少个解，则f（x）有多少个零点 定理法 利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等 图象法 一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数 31 [例3]　（多选）已知函数f（x）=若函数y=f（x） -m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是（ 　　） A.0<m<1 B.x1x2=1 C.x3+x4=4 D.的取值范围为（4+，6） ABD 32 解析：由题得f（x）= 作出y=f（x）和y=m的图象，如图所示.因为函数y= f（x）-m有4个不同的零点x1，x2，x3，x4，且x1<x2 <x3<x4，所以0<m<1.令f（x）=m，则由图可知log2x2=-log2x1，x3+x4=8，故x1x2=1，x3+x4=8，0<m<1，故C错误，A、B正确； 令x2-8x+13=1，则x=2或x=6；令x2-8x+13=0，则x=4-或x=4+，所以4+<x4<6，所以=x4∈（4+，6），故D正确. 33 习得方略：（1）判断两零点是否“轴对称”，一旦满足了对称性，两零点之和为定值. （2）以数形结合的方法确定零点的取值范围. 34 [练1]　（2025·天津高考）函数f（x）=0.3x-的零点所在区间是（　　） A.（0，0.3）　 B.（0.3，0.5） C.（0.5，1）　 D.（1，2） 即时训练 B 解析：法一　易知y=0.3x与y=-在[0，+∞）上单调递减，所以f（x）在[0，+∞）上单调递减.f（0）=1>0，f（0.3）=0.30.3-0.>0，f（0.5）=-<0，f（1）=-0.7<0，f（2）=0.09-<0，根据函数零点存在定理，可得零点所在区间是（0.3，0.5）.故选B. 即时训练 35 法二：特值法　依据二分法，直接选取区间最小的验证.因为y=0.3x 与y=-在[0，+∞）上单调递减，f（0.5）=-<0，f（0.3）=0.30.3-0.30.5>0，故B正确. 法三：数形结合　令f（x）=0，则0.3x=，即求 g（x）=0.3x与h（x）=的图象交点横坐标所在 的范围.因为g（0.5）=，h（0.5）=， y=在[0，+∞）上单调递增，所以g（0.5）<h（0.5）. 因为g（0.3）=0.30.3，h（0.3）=0.30.5，y=0.3x为减函数， 所以g（0.3）>h（0.3），所以图象交点横坐标所在范围为（0.3，0.5）. 36 易错提醒：函数零点存在定理使用两大误区 误区1 忽视定义域，对于函数在整个定义域上不连续或单调性发生变化的情况，使用函数零点存在定理要分区间进行，在各个小区间上分别研究，这样才能保证得到的答案是全面的、正确的 误区2 不会赋值，在单调区间内找两个符号相反的函数值时，一般直接猜数赋值，若行不通，则通过局部确定范围或消项，借助放缩法、分析法等，探究合适的赋值 37 [练2]　已知函数f（x）=|ln（x+1）|-k有两个零点a，b（a<b），则a+ 2（b+1）的取值范围为___________.  （2，+∞） 解析：易知函数f（x）的定义域为（-1，+∞），令f（x）=0， 得|ln（x+1）|=k，， ①处，数形结合时，要注意作出相对准确的图象，重点关注函数的临界值、极值、单调性等，如y=|ln（x+1）|的图象以直线x=-1为渐近线； 38 函数f（x）=|ln（x+1）|-k有两个零点a，b（a<b）， 由图易知k>0，-1<a<0，b>0， 且-ln（a+1）=ln（b+1）=k，得b+1=，. 令a+1=t，则t∈（0，1），则a+2（b+1）=t+-1（0<t<1）. 易知y=t+-1在区间（0，1）上单调递减，则y=t+-1>2， 所以a+2（b+1）的取值范围为（2，+∞）. ②处，看似符合“基本不等式”模型，实则不满足基本不等式的取等条件，故可通过换元法，利用函数的单调性求范围，换元时注意新元的取值范围. 39 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $