板块三 习题讲评（二）数列的通项公式与递推公式-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

数列的通项公式与递推公式 习题讲评（二） 递推公式是给出数列的一种重要方法，难度中等或中等以上，利用递推关系式求数列的通项时，通常将所给递推关系进行适当的变形及构造转化为等差或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用. 2 1 2 教学点(一)　an与Sn的关系 教学点(二)　数列的构造 CONTENTS 目录 an与Sn的关系 教学点（一） 4 [例1]　（2025·长沙模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-2n（n-1），则下列结论正确的是 （　　） A.S6=a17+a1 B.S6=a17-a1 C.S6=a17+a2 D.S6=a17-a2 A 解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-2n（n-1）-（n-1）an-1+2（n-1）（n-2）=nan-（n-1）an-1-4（n-1），则（n-1）an-（n-1）an-1=4（n-1）， 即an-an-1=4，所以数列{an}是公差为4的等差数列.又a1=1，则an=1+ 4（n-1）=4n-3，Sn=×n=n（2n-1）.所以a17=4×17-3=65，S6=6×11=66=a17+a1. 5 [例2]　（2025·杭州模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足3an= 2Sn+1，则S5=_________.  解析：法一　当n=1时，得3a1=2S1+1=2a1+1，得a1=1， 当n≥2时，由3an=2Sn+1，得3an-1=2Sn-1+1， 两式相减得3an-3an-1=2（Sn-Sn-1）=2an，即an=3an-1，即=3， ∴数列{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列， ∴S5==121. 121 6 法二　∵3an=2Sn+1，∴3（Sn-Sn-1）=2Sn+1， ∴Sn=3Sn-1+1，∴Sn+=3. 当n=1时，3a1=2S1+1=2a1+1，得a1=1，∵S1+=a1+=≠0， ∴数列是以为首项，3为公比的等比数列， ∴Sn+=·3n-1，∴Sn=·3n-，∴S5=121. 7 |思|维|建|模|　“项an”与“和Sn”递推式两种速破技巧 （1）转化为项项关系：将递推式中的“n”都换为“n-1”，再利用an=Sn-Sn-1（n≥2）转化为“项”与“项”之间的递推关系，以便构造等差数列或等比数列来解决问题. （2）转化为和和关系：借助an+1=Sn+1-Sn或an=Sn-Sn-1（n≥2）转化为“和”与“和”之间的递推关系，以便构造等差数列或等比数列，最后利用等差数列或等比数列的性质求解. 8 [练1]　（2025·宁波三模）已知数列{an}中，a2=1，记Sn为{an}的前n项和，2Sn=nan，则a2 025的值为 （　　） A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 即时训练 B 解析：数列{an}中，满足2Sn=nan，当n≥3时，可得2Sn-1=（n-1）an-1，两式相减，可得2an=nan-（n-1）an-1，即（n-2）an=（n-1）an-1， 所以=.又由a2=1，则a2 025=a2×××…×= 1×××…×=2 024. 9 [练2]　（2025·常德一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=a1+a2+…+an（n∈N*），则下列结论正确的是 （　　） A.a2=2 B.a4=8 C.S2=3 D.S5=16 D 思维路径：根据an与Sn的关系及等比数列的通项公式求出an的通项，再根据等比数列的前n项和公式求出Sn，最后逐一判断即可. 10 解析：由an+1=a1+a2+…+an=Sn，当n=1时，a2=S1=1， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an+1-an，即an+1=2an， 所以数列{an}从第二项开始是以a2=1为首项，2为公比的等比数列，所以an=Sn==2n-1， 所以a2=1，a4=4，S2=2，S5=16，故A、B、C错误，D正确. 11 数列的构造 教学点（二） 12 [例1]　已知数列{an}的首项a1=1，且各项满足公式an+1=（n∈N*），则数列{an}的通项公式为（　　） A.an=n B.an= C.an=n2 D.an= B 解析：因为数列{an}的首项a1=1，且各项满足公式an+1=（n∈N*），所以a2≠0，a3≠0，…，以此类推，对任意的n∈N*，an≠0.由an+1=可得==+，所以-=，所以数列是等差数列，且首项为=1，公差为，所以=1+=，因此，an=.故选B. 13 [例2]　（2025·泰安模拟）已知数列{an}满足an+1-2an=1，且a1=1，{an}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn+n<100的n的最大值是_______.  5 解析：， 且a1+1=2，∴{an+1}是以2为首项，2为公比的等比 数列.∴an+1=2·2n-1=2n，an=2n-1. ， ∴Sn=-n=2n+1-n-2，∴Sn+n=2n+1-2<100，即2n+1<102， ∴n+1<log2102，n+1≤6，∴n的最大值是5. ①处，对“2”进行分配，使等式左、右两边保持形式上的一致，构造出新的等比数列{an+1}； ②处，数列通项为等差和等比数列通项之和（差）的形式，求和时可使用分组求和的方法. 14 [例3]　已知数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n，则an=________.  2n+1 解析：法一　由an+1=3an-4n， 可设an+1+x（n+1）+y=3（an+xn+y），其中x，y为常数，整理得， 得x=-2，y=-1，所以an+1-2（n+1）-1=3（an-2n-1） =…=3n（a1-2×1-1）=3n（a1-3）.又a1-3=0， 所以{an-2n-1}是各项均为0的常数列，故an-2n-1=0，即an=2n+1. ①处点技巧，利用待定系数法构造数列时，通常将所构造的等式还原成已知等式的形式，然后根据对应项系数相等求解参数； 15 法二　由an+1=3an-4n，得an=3an-1-4（n-1）（n≥2）， 两式相减得an+1-an=3（an-an-1）-4（n≥2）. 令bn=an+1-an，则b1=a2-a1=3a1-4-a1=2， 又b1-2=0，所以bn-2=0，即an+1-an=2， 又a2-a1=2，a1=3，因此{an}是首项为3，公差为2的等差数列， 所以an=2n+1. ②处会构造，此式满足an+1=Aan+B的形式，且A≠1，故可利用待定系数法构造an+1+M=A（an+M）的形式求解. 16 法三　由an+1=3an-4n得-=-， 即-=-4×，-=-8×，…，-=-4（n-1）×（n≥2）， 所以-=-4×（n≥2）， 所以=（2n+1）（n≥2），所以an=2n+1（n≥2）. 当n=1时也符合此式.综上所述，an=2n+1. 17 |思|维|建|模| 对于求解形如an+1=pan+f（n）（p≠1，p≠0）的数列{an}的通项，方法如下： （1）若f（n）为常数q：可构造an+1+λ=p（an+λ）（λ为待定系数），得λ=，则为等比数列，求出an+，即可得an. （2）若f（n）为一次函数：可构造an+1+λ1（n+1）+λ2=p（an+λ1n+λ2）（λ1，λ2为待定系数），得到数列{an+λ1n+λ2}为等比数列，求出an+λ1n+λ2，即可得an. （3）若f（n）为除（1）（2）外的其他类型函数：可将等式两边同时除以pn+1，转化为=+，令bn=，g（n）=，转化为bn+1=bn+g（n），利用累加法求出bn，从而求出an. 18 即时训练 即时训练 C [练1]　已知数列{an}满足an+1=an+4，且a1=1，则{an}的通项公式 为（　　） A.an=12- B.an= C.an=12-11× D.an=8+ 19 解析：设an+1+x=（an+x），即an+1=an-x，所以-x=4，解得x=-12， 所以an+1-12=（an-12），所以{an-12}是首项为a1-12=-11， 公比为的等比数列，所以an-12=-11×，所以an=12-11×. 20 [练2]　（2025·河北名校联考）[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1+4an，则下列说法正确的有 （　　） A.{an+1+an}是等比数列 B.{an+1-4an}是等比数列 C.an= D.Sn= AB 解析：设an+2+λan+1=（λ+3）（an+1+λan），则an+2=3an+1+（λ+3）λan， 所以λ（λ+3）=4，解得λ=-4或λ=1.（本题属于二阶线性递推公式， 利用待定系数法列方程求参数，从而构造两个等比数列{an+1+an}， {an+1-4an}，分别求通项公式即可） 21 对于A，当λ=1时，an+2+an+1=4（an+1+an），因为a2+a1=4≠0，所以{an+1 +an}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an+1+an=4n，故A正确； 对于B，当λ=-4时，an+2-4an+1=-（an+1-4an），因为a2-4a1=3-4=-1≠0，所以{an+1-4an}是以-1为首项，-1为公比的等比数列，所以an+1-4an=（-1）n，故B正确；对于C，由an+1+an=4n，an+1-4an=（-1）n，可得an=，故C错误；对于D，数列的前n项和为×（41+42+…+4n）=× =，数列的前n项和为×[（-1）1+（-1）2+…+（-1）n] =×=，所以Sn=，故D错误.故选AB. 22 [练3]　已知在数列{an}中，a1=，an+1=an+，则{an}的通项公式为_________.  解析：法一　令an+1+λ=，即an+1=an-λ， 由对应项系数相等得λ=-3，则an+1-3×=. 设bn=an-3×，则bn+1=bn，b1=a1-3×=-，所以数列{bn}是以- 为首项，为公比的等比数列，则bn=-×，所以an=-. an=- 23 法二　将an+1=an+两边同乘2n+1，得2n+1·an+1=（2n·an）+1. 令bn=2n·an，， 所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×-3=-，公比为的等比数列， 所以bn-3=-·，即bn=3-2·，所以an=-. ①处会构造，利用待定系数法将等式两边同时减3，从而构造等比数列求解； 24 法三　将an+1=an+两边同乘3n+1，得3n+1an+1=3nan+. 令bn=3n·an，则bn+1=bn+，所以当n≥2时，bn-bn-1=， bn-1-bn-2=，…，b2-b1=，将以上各式累加， 得bn-b1=+…++，n≥2.又b1=3a1=3×==1+， 所以bn=1+++…++=2·-2，n≥2. ，故bn=2·-2，所以an=-. ②处会检验，注意运用累加法求通项时对n=1的检验. 25 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $