板块二 习题讲评（一）三角函数的化简与求值 课时验收评价-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

课时验收评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 一、单项选择题 1.（2025·张家口二模）已知2tan θ-1=0，则=（　　） A. B.- C. D.- D 解析：由题意可得tan θ=，则===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.（2025·白银一模）已知cos=，则sin=（　　） A. B.- C. D.- D 思维路径：注意已知角α-与未知角2α+的关系：2α+=2+. 解析： sin=cos=cos=cos =2cos2-1=2×-1=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 3.已知tan α=e，则=（　　） A.- B. C.- D. A 解析：因为tan α=e，且0<α<，所以==e， 解得cos α=，所以==-2cos α=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 4.已知tan α，tan β是方程x2-4x-3=0的两根，且α，β∈，则α+β的值为（　　） A. B. C. D. C 解析：由题意，则tan（α+β）= ==1，因为α，β∈，则π<α+β<2π，所以α+β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 5.（2025·邯郸二模）利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0° ~90°之间的三角函数值，下表是部分5°的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则sin 2 200°= （　　） A α 5° 15° 25° 35° tan α m n p q A. B. C. D. 解析：sin 2 200°=sin（6×360°+40°）=sin 40°=cos 50° ===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 6.（2025·福州模拟）已知α，β，γ∈，α+β+γ=π，tan γ=，则 tan αtan β的最小值为（　　） A.3 B.5 C.9 D.25 C 解析：依题意，tan（α+β）=tan（π-γ）=-tan γ=-，即=-， 则（tan αtan β-1）=tan α+tan β≥2，当且仅当tan α =tan β时取等号，因此3（）2-8-3≥0，解得tan αtan β≥9，所以当tan α=tan β=3时，tan αtan β取得最小值9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 7.（2025·潍坊二模）已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，其终边与圆O交于点A（3，4）.若角α终边沿逆时针方向旋转角θ，交圆O于点B，则角θ可能为（　　） A.75° B.105° C.375° D.405° D 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：因为角α的终边与圆O交于点A（3，4），所以由任意角三角函数定义得cos α=，sin α=，设旋转后的角为β，且旋转后的角交圆O于点B，则由任意三角函数的定义得cos β=-，sin β=， 得到sin θ=sin（β-α）=×-×==，cos θ=cos（β-α）=×+×==，故θ=45°+2k·180°，k∈Z，当k=1时，θ=405°，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 8.（2025·合肥模拟）已知α，β为锐角，sin α=，sin（α-β）=，则tan（2α-β）的值为（　　） A. B. C.1 D.- C 解析：因为α为锐角，sin α=，所以由sin2α+cos2α=1，可得cos α ==.又α，β为锐角，则-<α-β<，由sin（α-β）=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 得cos（α-β）==. 因为sin（2α-β）=sin（α+α-β）=sin αcos（α-β）+cos αsin（α-β） （将2α-β表示成α+（α-β）是解题的突破口） =×+×=， 同理cos（2α-β）=cos（α+α-β）=cos αcos（α-β）-sin αsin（α-β）=×-×=，所以tan（2α-β）==1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 二、多项选择题 9.（2025·长沙二模）已知sin β+cos β=，β∈（0，π），则下列各式正确的有（　　） A.sin 2β=- B.sin β-cos β=± C.cos 2β= D.tan β=- AD 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：由已知得sin2β+cos2β+2sin βcos β=，因此sin 2β=2sin βcos β=-，故A正确；因为sin βcos β<0，且β∈（0，π），所以β∈，（注意根据三角函数值的符号缩小角的范围）因此sin β-cos β>0.又因为（sin β-cos β）2=1-2sin βcos β=，因此sin β-cos β=，故B错误；cos 2β=cos2β-sin2β=（cos β-sin β）（cos β+sin β）=-，故C错误；由方程组解得于是tan β=-，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 习得方略：sin α+cos α，sin α-cos α，sin αcos α之间的关系： （sin α+cos α）2=1+2sin αcos α；（sin α-cos α）2=1-2sin αcos α； （sin α+cos α）2+（sin α-cos α）2=2.由以上关系，可知对于sin α+ cos α，sin α-cos α，sin αcos α，可“知一求二”，也就是已知这三个三角函数式中任意一个式子的值，就能求其他两个三角函数式的值.同时注意“1”的代换. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 10.下列式子化简后等于sin α的是 （ 　　） A. B.4sincoscos C. D. ABC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：对于A，==sin α，故A正确； 对于B，4sincoscos=2sincos=sin α，故B正确； 对于C，===sin α，故C正确； 对于D，===tan α≠sin α，故D错误. 故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 11.已知α，β，γ∈，sin β+sin γ=sin α，cos α+cos γ=cos β，则下列说法正确的是（　　） A.cos（β-α）= B.cos（β-α）=- C.β-α= D.β-α=- AD 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析：由已知可得所以1=sin2γ+cos2γ=（sin α -sin β）2+（cos β-cos α）2=2-2（cos βcos α+sin βsin α）=2-2cos（β-α），所以cos（β-α）=.因为α，β，γ∈，所以-<β-α<， 因为sin γ=sin α-sin β>0，函数y=sin x在上单调递增， 所以α>β，则-<β-α<0，故β-α=-，故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 三、填空题 12.（5分）（2025·金华二模）已知sin αcos（α+β）-cos αsin（α+β）=，则sin β=_______.  - 解析：因为sin αcos（α+β）-cos αsin（α+β）=sin[α-（α+β）]=sin（-β）=-sin β=，所以sin β=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 13.（5分）（2025·南京模拟）已知向量a=（cos（α-β）+cos β，t），b=（cos α，1），若a∥b且cos α的最小值为-，则实数t=_______.  ±2 解析：因为a∥b，所以cos（α-β）+cos β=tcos α，则cos αcos β+ sin αsin β+cos β=tcos α，即（cos α+1）cos β+sin αsin β=tcos α，则sin（β+φ）=tcos α，其中tan φ=，得sin（β+φ）=，故||≤1，得t2cos2α-2cos α-2≤0， 因为cos α的最小值为-，所以t2-2×-2=0，解得t=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 14.（5分）已知α∈（0，π），β∈，且sin αsin= sin2，cos α=costan，则α-β=________.  解析：由题可得sin αsin=sin2=cos2　①， 由cos α=costan=sintan，得cos αcos =sin2　②，①+②得sin αsin+cos αcos=1， 得cos=1.因为α∈（0，π），β∈， 所以α-β-∈，所以α-β-=0，即α-β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 易错提醒： （1）利用诱导公式时，不清楚函数名和符号的变化规律. （2）得到cos=1后，不能根据角α，β的范围确定α-β的值. （3）防范措施：①熟练掌握诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”. ②根据角的余弦值确定角的大小时，要先确定角的大致范围，从而确定角的大小. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $