板块二 习题讲评（一）三角函数的化简与求值-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

三角函数的化简与求值 习题讲评（一） （1）三角函数的化简与求值是高考的命题热点，每年必考一道小题，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具. （2）三角恒等变换是利用三角恒等式（两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式）进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心. 2 1 2 教学点(一)　三角函数公式的基本应用 教学点(二)　变换求值 CONTENTS 目录 3 教学点(三)　三角恒等变换的综合应用 三角函数公式的基本应用 教学点（一） 4 [例1]　（2025·全国Ⅱ卷）已知0<α<π，cos=，则sin=（　　） A. B. C. D. D 解析：法一　因为α∈（0，π），cos=，所以cos α=2cos2-1 =2×-1=-，sin α===， 故sin=sin αcos-cos αsin=×-×=. 5 法二　因为0<α<π，所以0<<.又cos=，所以sin==. 故sin α=2sincos=2××=，cos α=cos2-sin2=-=-. 所以sin=sin αcos-cos αsin=×+×=，故选D. 6 法三　因为0<α<π，cos=，所以0<α<，tan=2. 所以sin=（sin α-cos α）= =×=× =×=. 7 法四：估值法　因为cos=∈，所以<<，所以<α-<， 所以sin>，排除A、B、C，故选D. 拓展延伸：利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化，利用= tan α可实现弦切互化. 教材溯源：（本题源自人教A版必修①P218例3） 已知sin α=-，α是第四象限角，求sin，cos，tan的值. 8 [例2]　（2025·泰安模拟）若α∈，且5（1+cos 2α）-10sin 2α=3，则tan 2α=（　　） A.-7 B. C. D. C 解析：∵5（1+cos 2α）-10sin 2α=3，∴（1+cos 2α）-sin 2α=， ∴cos2α-2sin αcos α=，∴=⇒3tan2α+20tan α-7=0， ∴tan α=（舍去）或tan α=-7，∴tan 2α===. 9 |思|维|建|模| 已知部分角的三角函数值，求目标角的三角函数值的步骤 （1）确定目标角与已知角的关系：将目标角表示为已知角的和、差或倍角. （2）计算所需中间量：利用同角三角函数基本关系求未知三角函数值，注意角的范围对符号的影响. （3）代入适当的公式求解，避免展开时符号混淆. 10 [练1]　（2025·自贡三模）已知sin（x-y）=cos（x+y），tan（x-y）=3，则tan xtan y= （　　） A. B.- C. D.- 即时训练 B 解析：根据题意可知cos xcos y≠0，因为sin（x-y）=cos（x+y）， 所以sin xcos y-cos xsin y=cos xcos y-sin xsin y，整理得sin x（cos y +sin y）=cos x（sin y+cos y），等式两边同除cos xcos y得tan x（1+ tan y）=tan y+1，即tan x-tan y=1-tan xtan y.又因为tan（x-y）=3， 所以==3，解得tan xtan y=-，故选B. 11 拓展延伸：两角和与差的公式的常用变形 （1）sin αsin β+cos（α+β）=cos αcos β. （2）cos αsin β+sin（α-β）=sin αcos β. （3）tan α±tan β=tan（α±β）（1∓tan αtan β）. （4）tan αtan β=1-=-1. 12 [练2]　（2025·青岛模拟）已知sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin2β，则cos（2α+β）= （　　） A.0 B. C.1 D. A 解析：依题意sin 2α=2sin 2β，cos 2α=4sin2β，若sin β=0，则cos 2α=0，而sin 2α=2sin 2β=4sin βcos β=0，与sin22α+cos22α=1矛盾，得到sin β ≠0，cos 2α≠0，所以===， 则cos 2αcos β-sin 2αsin β=0，即cos（2α+β）=0，故A正确. 13 变换求值 教学点（二） 14 [例1]　（2025·郴州三模）已知α+β=，sin 2α+sin 2β=，则cos 2α+ cos 2β=（　　） A.± B. C.- D. C 解析：法一　sin 2α+sin 2β=sin[（α+β）+（α-β）]+sin[（α+β）-（α-β）]=2sin（α+β）cos（α-β）=. 15 由α+β=，得sin（α+β）=，则cos（α-β）=， cos 2α+cos 2β=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）] =2cos（α+β）cos（α-β）=2××=-. 法二　因为sin 2α+sin 2β=2sin（α+β）cos（α-β） =2sincos（α-β）=cos（α-β）=， 所以cos 2α+cos 2β=2cos（α+β）cos（α-β）=-cos（α-β）=-. 16 拓展延伸： 1.积化和差公式 （1）cos αcos β=[cos（α+β）+cos（α-β）]； （2）sin αsin β=-[cos（α+β）-cos（α-β）]； （3）sin αcos β=[sin（α+β）+sin（α-β）]； （4）cos αsin β=[sin（α+β）-sin（α-β）]. 17 2.和差化积公式 （1）sin θ+sin φ=2sincos； （2）sin θ-sin φ=2cossin； （3）cos θ+cos φ=2coscos； （4）cos θ-cos φ=-2sinsin. 18 [例2]　已知-=4，则λ=（　　） A.1 B. C. D.2 C 解析：由-=4，得λ=-4cos 10°= === ===，故选C. 19 拓展延伸：三角恒等变换常用方法 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如：1=sin2x+cos2x=tan等. （2）降幂扩角：sin θcos θ=sin 2θ， sin2θ=，cos2θ=等. （3）升幂缩角：1+cos θ=2cos2，1-cos θ=2sin2等. 20 |思|维|建|模| （1）“变角”在三角函数求值中起着关键作用，即把所求角用含已知角的式子表示，如α=（α+β）-β，2α=α+β+（α-β），+α=-，求角时注意对角的范围的讨论. （2）注意下列变换：sin 2x=cos=-cos，cos 2x= sin=sin的应用，以上变换结合二倍角公式可将2x的三角函数与±x的三角函数联系在一起. 21 即时训练 即时训练 A [练1]　（2025·丰台二模）已知cos=cos，则 tan α=（　　） A. B. C. D. 解析：因为cos=cos，所以cos=cos， 即sin=cos，所以tan=， 则tan α=tan==. 22 [练2]　（2025·蚌埠三模）已知cos=，θ∈， 则sin=（　　） A.- B. C.- D. D 23 解析：因为 θ∈，所以θ+∈.因为cos=， 所以sin===， 所以sin=sin=sin=cos =cos=cos=coscos-sinsin= ×-×=. 24 三角恒等变换的综合应用 教学点（三） 25 [例1]　（2025·荆州模拟）已知△ABC的两个内角A，B（A≠B）都是关于x的方程cos 2x+2mcos x+2m2-=0的解，其中-1<m<-，则C=（　　） A. B. C. D. B 思维路径：由题意cos2x+mcos x+m2-=0，进一步cos A+cos B=-m， cos Acos B=m2-，进一步结合三角恒等变换即可求解. 26 解析：因为cos 2x=2cos2x-1，所以方程可化为cos2x+mcos x+m2-=0. 又根据题意及根与系数的关系有cos A+cos B=-m，cos Acos B=m2-， 则（cos A+cos B）2=（-m）2，整理可得cos2A+cos2B=-m2. 因为|sin Asin B|== ==|m2-|，又-1<m<-， 所以sin Asin B=m2-，所以在△ABC中，cos C=cos（π-A-B）= -cos（A+B）=-cos Acos B+sin Asin B=m2--=，则C=. 27 [例2]　（2025·长春模拟）已知C为锐角，若存在△ABC，使得tan A+ tan B=tan C，则tan C的取值范围是__________.  思维路径：由tan C=-tan（A+B）及和角的正切公式得tan Atan B=2，再结合tan A+tan B=tan C，将问题转化为tan C=x+在（0，+∞）上有解，即可求取值范围. [2，+∞） 解析：由tan C=-tan（A+B）知tan A+tan B=-，故tan Atan B=2，于是tan C=tan A+，由tan C>0，知tan A>0.存在△ABC使tan A+tan B =tan C等价于关于x的方程tan C=x+在（0，+∞）上有解，因为x+≥2 =2，当且仅当x=时取等号，所以tan C的取值范围是[2，+∞）. 28 |思|维|建|模| 三角恒等变换中的范围与最值一般有两类 第一类是利用三角函数的性质求出函数的最值； 第二类是利用基本不等式、求导等方法求出最值. 29 [练1]　（2025·哈尔滨模拟）已知函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x +φ）为奇函数，则y=|f（x）|在上的最大值为（　　） A. B. C.+1 D. 即时训练 D 30 解析：由题意得f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2=2sin. 因为f（x）为奇函数，所以φ=-+kπ，k∈Z.所以f（x）=2sin（2x+kπ），k∈Z.当x∈时，2x+kπ∈，k∈Z， 所以|sin（2x+kπ）|∈，所以f（x）的最大值为2sin =2sin=2××+2××=. 31 [练2]　（2025·许昌模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=，则tan B+tan C的最小值是（　　） A. B. C. D.3 C 思维路径：利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出tan Atan B=9，再将tan B+tan C转化，借助基本不等式求最小值. 32 解析：因为+=，由正弦定理得+=，所以tan A+tan B =8tan C.又C=π-（A+B），所以tan A+tan B=-，所以1= ，即tan Atan B=9.所以tan A=，tan C=（tan A+tan B）=，显然tan B必为正，否则tan B和tan C都为负，为两个钝角，所以tan B+tan C=tan B+=tan B+≥2=，当且仅当tan B=，即tan B=1，B=时取等号，所以tan B+tan C的最小值是. 33 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $