板块二 习题讲评（二）三角函数的图象与性质 课时验收评价-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

课时验收评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.（2025·德阳二模）已知函数f（x）=cos，现将函数f（x）的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数g（x），则g的值为（　　） A. B.- C.D.- B 解析：将函数f（x）的图象横坐标变为原来的， 可得g（x）=cos的图象，所以g=cos=-，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.（2025·汉中二模）函数f（x）=sin的单调递增区间 为（　　） A.（k∈Z） B.（k∈Z） C.（k∈Z） D.（k∈Z） A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：依题意，函数f（x）的单调递增区间，即为函数y=sin的单调递减区间，由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），解得+kπ≤x≤+kπ （k∈Z），所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）. 易错提醒：用整体代换法求函数y=Asin（ωx+φ）或y=Acos（ωx+φ）的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数；然后整体代换，将“ωx+φ”看成一个整体“z”，利用正（余）弦函数的单调性，求原函数的单调性. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.（2025·全国Ⅰ卷）若点（a，0）（a>0）是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为（　　） A. B. C. D. C 解析：正切函数y=tan x图象的对称中心为（k∈Z）.由点（a，0）（a>0）是函数y=2tan的图象的一个对称中心，可知a-=（k∈Z）， 即a=+（k∈Z）.由a>0可得，当k=0时，a取得最小值.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.（2025·天津和平二模）函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A>0，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，要得 到y=sin x的图象，只需将函数f（x）的图象上所 有的点（　　） A.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右 平移个单位长度 B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 D.横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由题图可知，A==-，得T=π，又T=，由ω>0，解得ω=2；将点代入f（x），得0=sin在函数单调递减区间上，则2×+φ=π+2kπ，k∈Z，解得φ=2kπ+，k∈Z.又|φ|<π，所以φ=，得f（x）=sin.将f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到y=sin x的图象. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.已知f（x）=sin（ω>0）在上单调递增，且其图象关于点对称，则f=（　　） A.- B.- C. D. C 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由函数f（x）在上单调递增，得≥2=π，解得0<ω≤2，由f（x）关于点对称，得-=kπ，k∈N， 得ω=3k+，k∈N，于是k=0，ω=，f（x）=sin， 故f=sin=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.若f（x）=sin x+cos x在区间[-θ，θ]上单调递增，则tan θ的最大值是（　　） A. B. C.1 D. A 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析： f（x）=sin x+cos x=2sin，令2kπ-≤x+≤2kπ+（k∈Z），则2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）.因为f（x）在区间[-θ，θ]上单调递增，所以θ>0.令k=0，所以[-θ，θ]⊆，则0<θ≤， 所以当θ=时，tan θ取最大值，且最大值为，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.已知函数f（x）=asin x-cos x的一条对称轴为x=-，且f（x1）·f（x2）=-4，则|x1+x2|的最小值为（　　） A. B. C. D. C 思维路径：先根据对称轴确定函数f（x）的解析式，再利用f（x1）· f（x2）=-4，借助正弦函数的最值求出x1，x2的值，即可求出|x1+x2|的最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析： f（x）=asin x-cos x=sin（x-φ），由题意知f（x）的一条对称轴为x=-，所以--φ=+kπ（k∈Z），即φ=--kπ（k∈Z），所以tan=（k∈Z），解得a=1，所以f（x）=2sin. 因为f（x1）·f（x2）=-4，即sinsin=-1，不妨令sin=1，则sin=-1，所以x1-=2k1π+（k1∈Z），x2-=2k2π-（k2∈Z）， 即x1=2k1π+（k1∈Z），x2=2k2π-（k2∈Z），所以|x1+x2|=|2k1π++2k2π-|=|2（k1+k2）π+|.所以当k1=-k2时，|x1+x2|取到最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、多项选择题 8.（2025·辽阳一模）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1的最大值与最小值的差为2，其图象与y轴的交点坐标为（0，2），且图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，则下列结论正确的是（ 　　） A.A=2 B.ω= C.φ= D.f（x）的单调递增区间为[1+4k，3+4k]，k∈Z ACD 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析： f（x）=Acos2（ωx+φ）+1=A×+1 ， 因为f（x）的最大值与最小值的差为2， 所以A×+1-=2，解得A=2，A正确；因为函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，解得ω=，B不正确；又f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2）， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 可得2×+1=2⇒cos 2φ=0，2φ=，解得φ=，C正确； 由上知函数的解析式为f（x）=cos+2=-sinx+2， 令+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，解得1+4k≤x≤3+4k，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间为[1+4k，3+4k]，k∈Z，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.（2025·沈阳二模）如图是因不慎丢失部分图象后，函数f（x）=2tan（ωx+ φ）的局部图象，则下列结论正确的是（　 ） A.f（x）的最小正周期为 B.是f（x）图象的一个对称中心 C.|f（x）|图象的对称轴方程为x=+（k∈Z） D.f（x）的图象是由函数y=2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的函数图象向右平移个单位长度得到的 AC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由题图可知f（x）的最小正周期为T==，故A正确；由T==，则ω=2，即f（x）=2tan（2x+φ），由图象的对称性可知为函数f（x）的一个对称中心，且在函数图象上，所以f=2tan=0，因为|φ|<，所以φ=-，则f（x）=2tan，当x=时，f=2tan=2≠0，所以不是f（x）图象的一个对称中心，故B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 令2x-=，k∈Z，解得x=+，k∈Z，所以函数f（x）的对称中心为，k∈Z，则|f（x）|图象的对称轴方程为x=+，k∈Z，故C正确；由函数y=2tan x图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到y=2tan 2x的图象，再向右平移个单位长度， 得到y=2tan=2tan≠f（x），故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 10.（2025·郑州三模）已知函数f（x）=3sin+2，则下列结论正确的是（　　） A.直线x=是f（x）的图象的一条对称轴 B.g（x）=f+2为奇函数 C.f（x）在区间（0，π）内有两个零点 D.若f（x1）f（x2）=-5且f（x1）<f（x2），则|2x1-x2|的最小值为 AC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：对于A，当x=时，f=3sin+2=3sin+2=5，所以直线x=是f（x）图象的一条对称轴，A正确.对于B，g（x）=f+2= 3sin+2+2=3sin 2x+4，g（-x）=3sin（-2x）+4=-3sin 2x+ 4≠-g（x），不是奇函数，B错误.对于C，令f（x）=3sin+2=0，即sin=-.在区间（0，π）内，2x +∈，结合y=sin t在上 的图象可知，直线y=-与y=sin x的图象有 两个交点， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 则sin=-有两解，所以f（x）在区间（0，π）内有两个零点，C正确.对于D，因为-1≤sin≤1，所以-1≤f（x）≤5. 若f（x1）f（x2）=-5且f（x1）<f（x2），则f（x1）=-1，f（x2）=5. 当f（x1）=-1时，2x1+=2kπ-，k∈Z；当f（x2）=5时，2x2+=2mπ+，m∈Z，则|2x1-x2|=|2kπ--mπ-|=|（2k-m）π-|≥，k，m∈Z， 即|2x1-x2|的最小值为，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、填空题 11.（5分）（2025·景德镇三模）函数f（x）=3sin-1（ω>0）的最小正周期为π，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）在区间上的值域为_______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为f（x）的最小正周期为π，则ω=2， 所以f（x）=3sin-1，则g（x）=f=3sin-1， 因为x∈，所以2x-∈， 则sin∈，则g（x）∈， 故g（x）在区间上的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.（5分）（2025·泉州模拟）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，y=f（x）的图象与y轴交于点C，且D（5，0），B（2，A），·=0，则f（4）=________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：由题图可知=5-2=3，则T=12，所以ω==，所以f（x）=Asin，由f（5）=Asin=0，得+φ=2kπ+π，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z.因为|φ|<，所以φ=，则f（x）=Asin. 又f（0）=Asin=，则C，所以= =·=-10+=0，解得A=2（舍负）， 所以f（x）=2sin，所以f（4）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 13.（5分）（2025·常德模拟）已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）的极大值点，若f（x）在有两个零点和三条对称轴， 则a的取值范围为________.  思维路径：根据极值点及已知可得φ=-，则f（x）=sin，结合正弦型函数的性质及区间零点和对称轴有≤2a-<3π，即可得. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为x=是f（x）=sin（2x+φ）的极大值点， 所以2×+φ=2kπ+，k∈Z，即φ=2kπ-，k∈Z.又|φ|<， 故φ=-，所以f（x）=sin.当x∈时， 2x-∈，又在有两个零点和三条对称轴， 所以≤2a-<3π，解得≤a<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 四、解答题 14.（13分）（2025·北京海淀三模）已知函数f（x）=2（sin ωxcos φ+ cos ωxsin φ）. （1）若f（0）=，求φ的值；（5分） 解：由f（0）=，得sin φ=，而|φ|<，所以φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）若f（x）在一个周期内的部分取值如下表，其中m>0： x 0 f（x） m -m -m 求f（x）的解析式及单调递增区间.（8分） 解：函数f（x）=2（sin ωxcos φ+cos ωxsin φ）=2sin（ωx+φ）， 由题表中数据知，x==是函数f（x）图象的对称轴， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 对称中心可能为或.（解题关键： 利用题表中数据求出对称轴及可能的对称中心，进而求出ω，φ，再利用正弦函数的单调性求出单调递增区间）又所给取值在函数f（x）的一个周期内， 则周期T>>，则=-或=-，解得T=或T=π， 则ω=或ω=2，而ω∈N+，因此ω=2，即f（x）=2sin（2x+φ）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 由f=-2，得+φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<，则k=0，φ=， 所以f（x）的解析式是f（x）=2sin. 由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以f（x）的单调递增区间是，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.（15分）（2025·长沙模拟）已知函数f（x）=sin（π-ωx）+sin（ω>0）. （1）若f（x）的最小正周期为π，求当x∈时，f（x）的值域；（7分） 解：由已知，f（x）=sin ωx+cos ωx=2sin（ω>0）. 因为f（x）的最小正周期为π，则=π， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 所以ω=2，f（x）=2sin. 当x∈时，2x+∈， 则sin∈， 所以f（x）的值域是（-，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解：法一　令f（x）=0，则ωx+=kπ，k∈Z，即x=π，k∈Z. 因为f（x）在内无零点， 则⊆， 所以≤，且≥1， （2）若f（x）在区间内无零点，求ω的取值范围.（8分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 即ω≥3k-1，且ω≤k+. 因为ω>0，则k+>0，且k+≥3k-1， 所以-<k≤.因为k∈Z，则k=0， 所以ω的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　令t=ωx+，则当x∈时，t∈. 据题意，函数y=2sin t在区间内无零点， 则≥kπ，且ωπ+≤kπ+π，k∈Z， 即ω≥3k-1，且ω≤k+，k∈Z.因为ω>0，则k+>0，且k+≥3k-1， 所以-<k≤.因为k∈Z，则k=0，所以ω的取值范围是. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $