板块二 习题讲评（二）三角函数的图象与性质-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

三角函数的图象与性质 习题讲评（二） 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查： （1）三角函数的图象，主要涉及图象变换以及由图象确定函数解析式等问题，主要以选择题、填空题的形式考查； （2）利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以客观题或解答题其中一问考查. 2 1 2 教学点(一)　三角函数的图象与解析式 教学点(二)　三角函数的性质及应用 CONTENTS 目录 3 教学点(三)　三角函数图象与性质的综合应用 三角函数的图象与解析式 教学点（一） 4 [例1]　（2025·临汾二模）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=与曲线y=f（x）的两个交点，若AB=，f（0）=2，则f=（　　） A.0 B.-2 C.1 D.2 B 5 解析：根据f（0）=2可得sin φ=1，故φ=+2kπ，k∈Z，故f（x）= 2sin=2cos ωx.令f（x）=2cos ωx=，故ωx1=+2kπ，k∈Z或ωx2=-+2kπ，k∈Z，结合题图可知ωxA=-+2π，ωxB=+2π， 因此AB=xB-xA==，故ω=2，因此f（x）=2cos 2x，故f=2cos π=-2，故选B. 6 考题溯源：本题与2023年新课标Ⅱ卷T16相似，均通过直线与曲线的相交情况求函数解析式. （2023·新课标Ⅱ卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ），如图A，B是直线y=与曲线y=f（x）的两个交点，若|AB|=，则f（π）=________. - 7 [例2]　如图，将函数f（x）=4sin（ωx+φ） （ω>0，|φ|<π）的图象向左平移得到g（x） =4sin ωx的图象，其中点A是g（x）图象上 的最高点，N，M分别是f（x），g（x）的 图象与x轴的相邻交点（如图所示），若MN=AM，△AMN的面积为10，则f（x）= （　　） A.4sin B.4sin C.4sin D.4sin A 8 思维路径：设图象向左平移最小θ（θ>0）个单位长度，得到ωθ+φ=0，再结合△AMN的面积及MN=AM，列出等式求解ω，φ即可. 解析：设函数f（x）=4sin（ωx+φ）（ω>0，|φ|<π）的图象向左平移最小θ（θ >0）个单位长度得到g（x）=4sin ωx的图象，则4sin[ω（x+θ）+φ]=4sin（ωx +ωθ+φ）=4sin ωx，又ω>0，|φ|<π，所以ωθ+φ=0，即θ=，所以MN=，△AMN的面积为××4=10，即=-5.又函数的周期为，所以AM ==，联立=-5，解得ω=，φ=-，所以f（x）=4sin. 9 |思|维|建|模|　根据图象确定y=Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0）的步骤和方法 （1）求A，b：已知函数的最大值M和最小值m，则A=，b=. （2）求ω：已知函数的最小正周期T，则ω=. （3）求φ：把图象上的一个已知点的坐标代入解析式（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点的坐标代入解析式. 10 11 [练1]　（多选）为了得到函数f（x）=2sin xcos x-2sin2x+1的图象，只要将函数y=sin x图象上（　　） A.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 B.所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度 即时训练 AC 12 C.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D.所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 解析：由题意得f（x）=sin 2x+cos 2x=sin，将y=sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y=sin 2x的图象，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度， 13 得到f（x）=sin的图象，故A正确，B错误.将y=sin x图象上所有的点向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到f（x）的图象，故C正确，D错误. 易错提醒：（1）在图象变换中务必分清是先平移，还是先伸缩，变换只是对其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向. （2）注意平移前后函数名称是否一致，若不一致应用诱导公式化为同名函数再平移. 14 [练2]　（2025·哈尔滨三模）已知函数f（x）=2cos（ωx-φ） 的部分图象如图所示，则f=（　　） A.-1 B.1 C. D.- B 15 解析：由题图可知，=-=，所以T=π.又因为ω>0， 所以ω===2.又因为f=2cos=2， 所以2×-φ=2kπ，k∈Z，所以φ=-2kπ，k∈Z.又|φ|<， 令k=0，可得φ=，所以f（x）=2cos，故f=2cos=1. 16 三角函数的性质及应用 教学点（二） 17 [例1]　 （2025·潍坊二模）[多选]已知函数f（x）=2sin，函数y=g（x）的图象由y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到，则（　　） A.f（x）与g（x）在上有相同的单调性 B.g（x）的图象关于直线x=+（k∈Z）对称 C.设h（x）=，则h（x）的一个对称中心为 D.当x∈[0，2π]时，f与g的图象有6个交点 ACD 18 解析：易知y=f（x）的图象向左平移个单位长度可以得到 g（x）=2sin=2sin=2cos. 对于A，当x∈时，2x+∈，由正弦函数和余弦函数图象性质可知，f（x）与g（x）在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性， 即A正确；对于B，由g（x）=2cos，令2x+=kπ（k∈Z），解得x=-+ （k∈Z），因此可得g（x）的图象关于直线x=-+（k∈Z）对称，即B错误； 19 对于C，易知h（x）===tan，令2x+=（k∈Z）， 解得x=-+（k∈Z）， 即h（x）的对称中心为（k∈Z），当k=1时，h（x）的一个对称中心为，即C正确；对于D，当x∈[0，2π]时，g=2cos 3x，f=2sin=-，画出函数y=g的 图象如图所示.结合图象可知，f与g的图 象有6个交点，即D正确. 20 [例2]　（2025·全国Ⅱ卷）已知函数f（x）=cos（2x+φ）（0≤φ<π），f（0）=. （1）求φ； 解：因为f（x）=cos（2x+φ），且f（0）=cos φ=，φ∈[0，π）， 所以φ=. （2）设函数g（x）=f（x）+f，求g（x）的值域和单调区间. 解：由（1）可知，f（x）=cos， 则g（x）=cos+cos=cos+cos 2x 21 =cos 2x-sin 2x+cos 2x=cos 2x-sin 2x ==cos. 拓展延伸：对于函数f（α）=asin α+bcos α的性质研究，通常先借助“辅助角公式”进行化简，即asin α+bcos α= =sin（α+φ1）=cos（α-φ2）. 22 因为x∈R，所以cos∈[-1，1]，所以函数g（x）的值域为 [-].令2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z， 所以函数g（x）的单调递减区间为，k∈Z； 令2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈Z，解得kπ-≤x≤kπ-，k∈Z， 所以函数g（x）的单调递增区间为，k∈Z. 23 |思|维|建|模| 研究三角函数的性质，首先化函数为f（x）=Asin（ωx+φ）+b的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f（x）的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f（x）的性质；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质求解. 24 即时训练 即时训练 [练1]　 （2025·新乡三模）[多选]已知函数f（x）=sin，则下列结论正确的是（　　 ） A.f（x）的值域是 B.f（π）=- C.f（x）在区间上单调递增 D.f是奇函数 ABD 25 解析：对于A，因为y=sin x的值域为[-1，1]， 所以f（x）的值域为[-]，故A正确； 对于B，f（π）=sin=×=-，故B正确； 对于C，当x∈时，x+∈， 因为y=sin t在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以f（x）在区间上不具有单调性，故C错误； 对于D，f=-sin x，为奇函数，故D正确. 26 [练2]　（2025·盘锦三模）[多选]已知函数f（x）=sin 2x，g（x）= cos（ωx+φ），f（x）与g（x）的图象关于x=对称， 若h（x）=f（x）-g（x），则下列结论正确的是（　　） A.φ=- B.直线x=为h（x）图象的一条对称轴 C.g（x）在上单调递减 D.函数h（x）在[-π，π]上有5个零点 BC 27 解析：在函数y=g（x）的图象上任取一点（x，y）， 此点关于x=的对称点在y=f（x）的图象上， 故y=sin=sin=cos， 所以g（x）=cos，故ω=2，φ=-，故A错误； 则h（x）=sin 2x-sin 2x-cos 2x=sin，所以h=1为其最大值，所以直线x=为h（x）图象的一条对称轴，故B正确； 28 当x∈时，2x-∈， 故g（x）在上单调递减，故C正确； 因为h（x）=sin，令sin=0， 所以2x-=kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z， 令-π≤+≤π，解得-≤k≤，又k∈Z，所以k=-2，-1，0，1， 所以函数h（x）在[-π，π]上有4个零点，故D错误.故选BC. 29 三角函数图象与性质的综合应用 教学点（三） 30 [例1]　（2025·北京高考）设函数f（x）=sin ωx+cos ωx（ω>0），若 f（x+π）=f（x）恒成立，且f（x）在上存在零点，则ω的最小值 为（　　） A.8 B.6 C.4 D.3 C 思维路径：利用三角函数的零点与对称轴或周期的关系，列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围. 31 解析：函数f（x）=sin ωx+cos ωx=sin（ω>0），设函数 f（x）的最小正周期为T，由f（x+π）=f（x），可得kT=π（k∈N*），所以T==（k∈N*），即ω=2k（k∈N*）.又函数f（x）在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈，所以+≥π， 即ω≥3.综上，ω的最小值为4. 32 [例2]　若关于x的方程cos 2x-msin x=0在上有2个实根，则m的取值范围是（　　） A.（-1，0） B.[-1，0] C.（0，1） D.[0，1] A 思维路径：将原方程化为-2sin2x-msin x+1=0，令t=sin x，则t∈，所以m=-2t+，令g（t）=-2t+，t∈，则m∈[-1，0），分m=-1，m∈（-1，0）两种情况，数形结合可得出实数m的取值范围. 33 解析：原方程cos 2x-msin x=0可化为-2sin2x-msin x+1=0.令t=sin x，则t∈，所以m=-2t+.令g（t）=-2t+，t∈，又g（t）在上单调递减，所以g（t）∈[-1，0），则m∈[-1，0）.当m=-1时，t=1，此时t=sin x在上只有1个实根，不符合条件；当m∈（-1，0）时，t∈， 此时t=sin x在上有2个实根， 符合条件.综上，m∈（-1，0）. 34 |思|维|建|模| 解决与三角函数有关的综合问题时，对于含三角函数式的化简，应该朝着统一角或统一名称的方向进行，结合三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、函数值的有界性等）求解，注意数形结合思想的应用. 35 [练1]　（2025·济南三模）已知f（x）=sin（ω>0）在上单调递增，则ω的取值范围是（　　） A. B. C. D. 即时训练 B 36 解析：由题意可知-≤，则0<ω≤， 因为-≤x≤，所以-ω+≤ωx+≤ω+， 则-≤-ω+<<ω+≤，因为f（x） 在上单调递增，结合正弦函数图象性质可得<ω+≤， 解得0<ω≤，所以ω的取值范围是. 习得方略：若函数在区间[a，b]上具有单调性，则b-a≤. 37 [练2]　 已知函数f（x）=2sin（3x+φ）（-π<φ<0）的一条对称轴为x=，当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为-，则t的最大值为_______.  解析：因为函数f（x）=2sin（3x+φ）（-π<φ<0）的一条对称轴为x=， 所以3×+φ=+kπ（k∈Z），得到φ=-+kπ（k∈Z）.又-π<φ<0，所以φ=-， 所以f（x）=2sin.又当x∈[0，t]时，f（x）的最小值为-， 令3x-=z∈，则y=2sin z， 由y=2sin z的图象与性质知，3t-≤， 解得t≤.故t的最大值为. 38 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $