板块二 习题讲评（三）解三角形 课时验收评价Ⅰ卷——题点考法全训-【新高考方案】2026年高考数学二轮复习专题增分方略配套课件

课时验收评价 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.（2025·全国Ⅱ卷）在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=， 则A=（　　） A.45° B.60° C.120° D.135° A Ⅰ卷——题点考法全训 解析：法一　cos A===， 因为0°<A<180°，所以A=45°. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 法二：根据边的大小关系排除 因为BC<AC，BC<AB，所以A为最小角，所以A<60°，排除B、C、D，故选A. 习得方略：在计算带有根式的式子时，针对式子中相同或相近的数据进行因式分解，减少运算量，如本题中 ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A=，b=3，△ABC的面积为6，则a=（　　） A.65 B.17 C. D. C 思维路径：由三角形面积公式求得c=4，再结合余弦定理求得a=即可. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：因为A=，b=3，又S△ABC=bcsin A=×3c×sin=c=6， 所以c=4，由余弦定理得，a2=b2+c2-2bccos A=32+（4）2-2×3×4×=17，所以a=.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 3.（2025·泉州模拟）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos B=，且3ccos A=acos C，则sin 2A=（　　） A.- B. C. D.1 B 解析：法一　因为cos B=>0，B为锐角，所以tan B=2=-tan（A+C），又在△ABC中，3sin Ccos A=sin Acos C，所以3tan C=tan A， 则A，C∈，所以tan（A+C）==-2，解得tan A=3， tan 2A==-，所以sin 2A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　在△ABC中，3sin Ccos A=sin Acos C，因为cos B=， 所以sin B=sin（A+C）=sin Acos C+sin Ccos A=， 所以sin Acos C=，sin Ccos A=，所以sin（A-C）=. 又因为cos（A+C）=-，cos（A-C）=， 所以sin 2A=sin[（A+C）+（A-C）]=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 4.（2025·蚌埠模拟）在△ABC中，已知B=60°，最大边与最小边的比为，则△ABC的最大角为（　　） A.60° B.75° C.90° D.105° B 解析：法一　直接验证排除：若最大角为60°，则三角形为等边三角形，排除A；若最大角为90°，则最大边与最小边的比值为2，排除C；利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为2，可知钝角三角形中大于2，排除D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　不妨令a=1+，c=2，则b2=（1+）2+4-4×（1+）cos 60° =6，∴cos A==，△ABC的最大角A=75°. 法三　不妨令=，由正弦定理得=， 即==，∴tan C=1，C=45°，A=75°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B（1+2cos C）=2sin Acos C+cos Asin C，则下列等式成立的是 （　　） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A A 解析：法一　sin B（1+2cos C）=sin B+2sin Bcos C=sin[π-（A+ C）]+2sin Bcos C=sin（A+C）+2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C +2sin Bcos C.由题意得sin Acos C+cos Asin C+2sin Bcos C= 2sin Acos C+cos Asin C，故sin Acos C=2sin Bcos C. 因为△ABC为锐角三角形，所以cos C>0，故2sin B=sin A，即2b=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二：射影定理　由射影定理，得sin B（1+2cos C）=2sin Acos C +cos Asin C⇒b（1+2cos C）=2acos C+ccos A.而2acos C+ccos A =acos C+（acos C+ccos A）=acos C+b，所以b（1+2cos C）=acos C +b.即2bcos C=acos C，因为△ABC为锐角三角形，所以cos C>0， 故2b=a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 6.（2025·荆州模拟）如图，A，B，C为山脚 两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶 P的仰角分别为α，β，γ，计划沿直线AC开通 隧道DE，设AD，EB，BC的长度分别为a，b，c.为了测出隧道DE的长度，还需直接测出的值是 （　　） A.a和b B.b和c C.a和c D.a，b，c三者 D 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：在△PBC中，∠BPC=β-γ，由正弦定理有==，所以PB=·sin γ，在△ABP中，sin∠APB=sin（π-α-β）=sin（α +β），由正弦定理有==，所以AB=PB· =·sin γ·=c·，因为DE=AB-AD-BE= c·-a-b，所以为了测出隧道DE的长度，还需直接测出a，b，c三者的值.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 7.（2025·黄冈三模）已知锐角△ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=cos B+b=c，则的取值范围为（　　） A. B. C.（0，2） D.（，+∞） A 解析：因为a=cos B+b=c，所以acos B+b=c，由正弦定理得sin Acos B+sin B=sin C=sin（A+B）=sin Acos B+cos Asin B， 所以cos Asin B=sin B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 因为A，B∈，则sin B>0，所以cos A=，即A=. 在锐角△ABC中，由可得<C<， 则====+，又tan C>，则0<<，所以的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 二、多项选择题 8.（2025·西安模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（　　） A.若A>B，则sin A>sin B B.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解 C.若cos Acos Bcos C>0，则△ABC为锐角三角形 D.若a-c·cos B=a·cos C，则△ABC为等腰三角形 AC 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：根据三角形性质，由A>B可知a>b，根据正弦定理可知2Rsin A>2Rsin B，可得sin A>sin B，所以A正确；已知A=30°，b=5，a=2，根据正弦定理可知=，解得sin B=>1，无解，所以B错误；根据三角形性质，A+B+C=180°，当cos Acos Bcos C>0时，可知cos A>0，cos B>0，cos C >0，所以△ABC为锐角三角形，所以C正确；由a-c·cos B=a·cos C得a=a·cos C+c·cos B，边角互化得sin A=sin Acos C+sin Ccos B，由A=180°-（B+C）得sin（B+C）=sin Bcos C+cos Bsin C=sin Acos C+sin Ccos B，化简得 sin Bcos C=sin Acos C，即bcos C=acos C，化简得（b-a）cos C=0， 解得b=a或cos C=0，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 习得方略：三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC的中点为D，BD=，若bsin C=ccos2，则（　　） A.B= B.b的取值范围为[2，2） C.△ABC面积的最大值为 D.△ABC周长的最大值为6 BC 解析：对于A，ccos2=c[1+cos（A+C）]=c（1-cos B）=bsin C.由正弦定理边角互化可得sin Bsin C=sin C（1-cos B）⇒==tan=，则=⇒B=，故A错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 对于B，=+）⇒4=++2||||cos B， 则12=c2+a2+ac⇒c2+a2=12-ac≥2ac⇒ac≤4，当且仅当a=c时取等号. 由余弦定理，b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac，又c2+a2=12-ac，则b2=12-2ac.因为0<ac≤4，所以b2=12-2ac∈[4，12）⇒b∈[2，2），故B正确；对于C，由B分析可知，ac≤4，则S△ABC=acsin B≤×4×=， 故C正确；对于D，由B分析，12=c2+a2+ac=（a+c）2-ac⇒ac=（a+c）2 -12≤4，得a+c≤4.b2=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-3（a+c）2+36 =36-2（a+c）2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 令a+c=t，则t≤4，b=.由三角形三边关系可得a+c>b， 则t>⇒t2>36-2t2⇒t>2，则2<t≤4.则a+b+c=t+，令f（t）=t+，t∈（2，4]，则f'（t）=1-= ，令>2t⇒-<t<，因为t∈（2，4]， 所以f（t）在（2，4]上单调递减，则f（t）=t+<f（2）=4，即△ABC周长无最大值，恒小于4，故D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 三、填空题 10.（5分）（2025·盐城模拟）在△ABC中，A=，点M满足=2，设∠ABM=α，∠CBM=β，若sin α=3sin β，则sin C=_______.  解析：如图，设MC=x，则AM=2x，在△ABM和△CBM中，由正弦定理可得，==，两式相除，可得 =，由sin α=3sin β，A=，代入解得 sin C==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 11.（5分）（2025·大连模拟）在平面四边形ABCD中，AD=1，AB= CD=2，BC=3，且四边形ABCD的面积为，则cos（∠ADC+∠ABC） =_________.  解析：在△ABC，△ADC中，由余弦定理得22+32-2×2×3cos∠ABC= AC2=12+22-2×1×2cos∠ADC，整理得3cos∠ABC-cos∠ADC=2.由四边 形ABCD的面积为，得×2×3sin∠ABC+×1×2sin∠ADC=， 整理得3sin∠ABC+sin∠ADC=，因此（3cos∠ABC-cos∠ADC）2+（3sin∠ABC+sin∠ADC）2=7，整理得10-6cos（∠ADC+∠ABC）=7， 所以cos（∠ADC+∠ABC）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 12.（5分）（2025·郑州一模）如图，在平面四边形 ABCD中，A=B=C=75°，BC=2，则AB的取值范围是 _______________.  （-+） 思维路径： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 解析：如图所示，延长BA，CD交于点E，当A与D重合于E点时， AB最长，在△BCE中，B=∠BCE=75°，E=30°，BC=2，由正弦 定理可得=，即=，解得BE=+.平移AD， 当D与C重合时，AB最短，设此时与AB交于点F，在△BCF中，B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理可得=， 即=，解得BF=-，所以AB的取值范围为（-+）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 四、解答题 13.（13分）（2025·临沂一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C+csin A-b=0. （1）求A；（8分） 解：由正弦定理边化角可得sin Acos C+sin Csin A-sin B=0， 即sin Acos C+sin Csin A=sin B=sin（A+C）=sin Acos C +cos Asin C，所以sin Csin A=cos Asin C.因为sin C>0，cos A =>0，所以tan A=.又A∈（0，π），所以A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）若c=3，asin B=2，求a.（5分） 解：若c=3，asin B=2，则asin B=2Rsin Asin B=bsin A=b=2， 这里R是△ABC外接圆的半径，解得b=4，由余弦定理可得a===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 14.（15分）（2025·德州三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2sin B=sin A+cos Atan C. （1）求C；（5分） 解：由2sin B=sin A+cos Atan C， 得2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C， 即2sin Bcos C=sin（A+C），又A+B+C=π， 则sin（A+C）=sin B≠0， 于是cos C=，又0<C<π，所以C=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）若2（a+b）=c2，求△ABC的边c的最大值.（10分） 解：由（1）知C=，由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcos C=（a+b）2-3ab， 而2（a+b）=c2，则2（a+b）=（a+b）2-3ab，因此（a+b）2-2（a+b）=3ab≤（a+b）2，解得a+b≤8，当且仅当a=b时取等号， 则c=≤4，所以△ABC的边c的最大值为4. 解题关键：在方程2（a+b）=（a+b）2-3ab中，既含有a+b，还含有ab，根据所求利用不等式ab≤消去ab，解不等式可得a+b的最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 15.（17分）（2023·新课标Ⅰ卷）已知在△ABC中，A+B=3C，2sin（A-C）=sin B. （1）求sin A；（8分） 解：法一　第一步：利用三角形的内角和为π以及已知角的等式，求出角C 在△ABC中，A+B=π-C，因为A+B=3C，所以3C=π-C，所以C=. 第二步：把三角式往要求的角A转化 因为2sin（A-C）=sin B，所以2sin=sin， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 第三步：利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值转化为关于角A的三角等式 展开并整理得（sin A-cos A）=（cos A+sin A）， 得sin A=3cos A. 第四步：利用同角三角函数的基本关系求出sin A 又sin2A+cos2A=1，且sin A>0，所以sin A=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　由题设结合A+B+C=π得C=，故A=-B，A-C=-B. 结合已知得2sin=sin B，即2cos B=sin B， 则tan B=2，从而sin B=，cos B=. 所以sin A=sin=（cos B+sin B）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法三　在△ABC中，A+B=π-C，因为A+B=3C，所以3C=π-C， 所以C=.因为2sin（A-C）=sin B，所以2sin（A-C）=sin[π-（A+ C）]=sin（A+C），所以2sin Acos C-2cos Asin C=sin Acos C+ cos Asin C，所以sin Acos C=3cos Asin C，易得cos Acos C≠0， 所以tan A=3tan C=3tan=3.又sin A>0，所以sin A==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 （2）设AB=5，求AB边上的高.（9分） 解：法一：利用正弦定理及直接法求高 第一步：利用第（1）问的结论判断A的范围，求出cos A 由（1）知sin A=，tan A=3>0，所以A为锐角，所以cos A=. 第二步：利用两角差的正弦公式求出sin B 所以sin B=sin=（cos A+sin A）=×=. （说明：若第（1）问采用法二求解，则此处不需再求sin B） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 第三步：利用正弦定理求出AC 由正弦定理=， 得AC===2. 第四步：解直角三角形，求出AB边上的高 故AB边上的高为AC×sin A=2×=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法二　由（1）及正弦定理得BC==3. 由（1）易知A为锐角，所以cos A=， 故sin B=sin=（sin A+cos A）=. （说明：若第（1）问采用法二求解，则此处不需再求sin B） 所以AB边上的高为BC·sin B=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 法三：利用等面积法求高 第一步：利用正弦定理求出BC 由正弦定理=，得BC=×sin A=×=3. 第二步：利用余弦定理求出AC 由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C，得52=AC2+（3）2-2AC· 3cos，整理得AC2-3AC+20=0，解得AC=或AC=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 第三步：利用三角形中大边对大角，得AC的值 由（1）得，tan A=3>，所以<A<，又A+B=，所以B>， 即C<B，所以AB<AC，所以AC=2. 第四步：利用等面积法，求出AB边上的高 设AB边上的高为h，则×AB×h=×AC×BCsin C， 即5h=2×3×，解得h=6，所以AB边上的高为6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 拓展延伸：①△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，h1，h2，h3分别为边BC，AC，AB上的高， 则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶. ②一般采用等面积法求解时，要选取合适的底和高. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $