精品解析：广东湛江市雷州市雷州八中教育集团雷州市第八中学 等校2025-2026学年度八年级第二学期学情自测质量反馈(数学)试卷

2025-2026学年度八年级第二学期开学质量反馈（数学）试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：∵A、B、D三个选项中的字都不能沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它们都不是轴对称图形，因此都不符合题意； ∵C选项中的字能够沿着一条直线折叠使直线两旁的部分能完全重合， ∴它是轴对称图形，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的定义，即将一个平面图形沿着一条直线折叠能够使直线两旁的部分完全重合，那么这个图形是轴对称图形． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 5，6，10 C. 5，6，11 D. 1，4，7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边满足两边之和大于第三边来进行判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A错误； B、，能构成三角形，故B正确； C、，不能构成三角形，故C错误； D、，不能构成三角形，故D错误． 故选B． 3. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一个小于1的正数用科学记数法表示，n为负数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位,确定a值，写成的形式即可． 详解】解：． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，正确的计算是解题的关键． 5. 下面是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 6. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6， 此时，无法构成三角形，不符合题意； 若腰长为6时，三边长为3，6，6， 此时； 综上所述，它的周长为15． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边长关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键． 7. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用因式分解的定义结合整式乘法运算法则进而分析得出答案． 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B、，从左到右是因式分解，符合题意； C、，从左到右变形是整式的乘法运算，故此选项错误； D、，不符合因式分解的定义，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了因式分解的意义，正确掌握因式分解的意义是解题关键． 8. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论ABC≌ADC，不能添加的条件是（ ） A. BC＝DC B. ∠ACB＝∠ACD C. AB＝AD D. ∠B＝∠D 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得： ，∠1＝∠2， A、当BC＝DC时，是边边角，不能得到结论ABC≌ADC，故本选项符合题意； B、当∠ACB＝∠ACD时，是角边角，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意； C、当AB＝AD时，是边角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意； D、当∠B＝∠D时，是角角边，能得到结论ABC≌ADC，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC即可求出AC. 【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点 的周长为 已知 ，故选B 【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN是直线AB的中点，这样所有的问题就解决了. 10. 如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件证明得到，，，从而得证，最后根据三角形的外角性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ，，，①正确， ，， ，，④正确， ∵，， ∴当时，有，这时， 但与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵，，， ∴，故②正确； 综上所述，正确的是①②④， 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点M(﹣6，2)，则M点关于x轴对称点的坐标是_________. 【答案】(－6，－2) 【解析】 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出横坐标相等，纵坐标互为相反数进而得出答案． 【详解】解：∵点M（－6，2）， ∴点M关于x轴的对称点的坐标是(－6，－2)． 故答案为：(－6，－2)． 【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 12. 如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝_____． 【答案】100° 【解析】 【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可 【详解】解：∵∠A＝40°，∠C＝60°， ∴∠CBD＝∠A+∠C＝100°， 故答案为100° 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 13. 使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握好二次根式的概念是关键． 根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式 有意义 ∴， ∴． 故答案：． 14. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式各项的公因式，再利用平方差公式对剩余部分进行二次分解，直到每一个因式都不能再分解为止． 【详解】解： ． 15. 已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是________（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用证明；根据证明②即可；利用等腰三角形的性质，证明求解即可. 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴ 故①正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴， 故②正确； ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误；④正确. 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式的性质，二次根式的乘法、除法法则化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE． 【详解】证明：∵点C是AE的中点， ∴AC=CE， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠ECD， 在△ABC和△CDE中，， ∴△ABC≌△CDE（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先对括号内的两个分式进行通分，计算出括号内的结果；再将除法运算转化为乘法运算；接着利用平方差公式分解因式后进行约分化简，得到最简整式；最后将代入最简式计算出最终结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 四．解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（4） 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是： （1）作出、、关于直线的对称点、、即可； （2）连接，与y轴交于点P即可； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】解：（1）如图即为所求作； （2）如图：点P即为所求作； （3）此三角形面积为：． 20. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 【答案】（1）购买种书架需要100元，种书架需要80元；（2）最多可购买10个种书架． 【解析】 【分析】（1）根据题意以书架个数为等量关系列出分式方程求解即可； （2）根据题意用代数式表示总费用，小于等于1400，列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）设种书架的单价为元，根据题意，得 解得 经检验：是原分式方程的解 答：购买种书架需要100元，种书架需要80元． （2）设准备购买个种书架，根据题意，得 解得 答：最多可购买10个种书架． 【点睛】本题主要考查分式方程应用、一元一次不等式的应用，解题关键在于根据题意列出方程和不等式． 21. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）先得到，继而求出，然后由的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵，且E为的中点 ∴垂直平分． ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 【答案】（1）；（2）见详解 【解析】 【分析】（1）令，根据题中所给方法进行求解即可； （2）令，然后去括号，再根据题中所给方法进行因式分解，然后根据平方的非负性即可得证． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 将A还原，则原式． （2）证明：将看成整体，令， 则原式， 将B还原，则原式， ∵， ∴无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）存在，点B的坐标为或或或或或 【解析】 【分析】对于本题，需要重点掌握“一线三等角”全等三角形的构造，属于中考常考题型． （1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在平面直角坐标系中存在点B，使得为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图3，过点A作轴，过点C作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件， ∴ ∴； ②当时，，如图4，过点C作轴，过点A作于E，过点B作于F， 同（1）得：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于点对称的点也满足条件； ③当时，，如图5，过点B作轴，交x轴于F，过点C作于E， 同（1）得：， ∴，， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴； ∵点B在平面直角坐标系中， ∴点关于线段中点对称的点也满足条件； 综上，使为等腰直角三角形，点B的坐标为或或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级第二学期开学质量反馈（数学）试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 1. 秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式是小篆，下列四个小篆字中为轴对称图形的是（ ） A B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3，6，9 B. 5，6，10 C. 5，6，11 D. 1，4，7 3. 利用细菌做生物杀虫剂，可以减轻对环境的污染，苏云金杆菌就是其中一种，其长度大约为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 下面是二次根式的是（ ） A B. C. D. 6. 如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 7. 下列式子从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知∠1＝∠2，要得到结论ABC≌ADC，不能添加的条件是（ ） A. BC＝DC B. ∠ACB＝∠ACD C. AB＝AD D. ∠B＝∠D 9. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为 A 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，是上一点，交于，，，则以下说法：①②；；③；④，说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知点M(﹣6，2)，则M点关于x轴对称点的坐标是_________. 12. 如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝_____． 13. 使二次根式 有意义的实数x的取值范围是______． 14. 因式分解：________ 15. 已知：如图，为的角平分线，且，E为延长线上的一点，，过E作，F为垂足，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是________（填序号） 三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 已知：如图，C是AE的中点，AB∥CD，且AB＝CD．求证：△ABC≌△CDE． 18. 先化简，再求值：，其中 四．解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. （1）如图，在正方形网格上有一个．作关于直线的对称图形（不写作法）； （2）在直线找一点P，使的周长最小（不写作法，保留作图痕迹）； （3）若网格上的最小正方形的边长为1，求的面积． 20. 某中学为了创设“书香校园”，准备购买两种书架，用于放置图书．在购买时发现，种书架的单价比种书架的单价多20元，用600元购买种书架的个数与用480元购买种书架的个数相同． （1）求两种书架的单价各是多少元？ （2）学校准备购买两种书架共15个，且购买的总费用不超过1400元，求最多可以购买多少个种书架？ 21. 如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作，垂足为E，此时点E恰为的中点． （1）求证：； （2）若，求的长． 五、解答题（三）（本题共2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】因式分解： 解：，将看成整体，令，则原式，将M还原，则原式．上述解题过程用到是“整体思想”，请用“整体思想”解决以下问题： 【数学理解】（1）因式分解：； 【拓展探索】（2）证明：无论a，b取何值时，的值一定是非负数． 23. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，，，在平面直角坐标系中是否存在一点B，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出B点坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $