10.5分式方程重点题型（4个知识点+9种题型） 2025-2026学年 苏科版数学八年级下册

10.5 分式方程 重点题型（4个知识点+9种题型） 【题型归纳】 题型1 分式方程的识别 2 题型2 解分式方程 2 题型3 分式方程的增根 3 题型4 分式方程无解 3 题型5 根据分式方程解正负性求参 3 题型6 分式方程整数解 4 题型7 分式方程的应用（工程问题） 4 题型8 分式方程的应用（行程问题） 5 题型9 分式方程的应用（利润问题） 6 一、知识梳理 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 二、题型精讲 题型1 分式方程的识别 例1.已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型2 解分式方程 例2.解分式方程： （1）． （2）． 【变式2-1】解方程： （1） （2） 【变式2-2】解方程： （1） （2） 题型3 分式方程的增根 例3.若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____． 【变式3-2】增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：． （1）若该分式方程有增根，则增根为　 　． （2）在（1）的条件下，求出m的值， 题型4 分式方程无解 例4.如果关于x的方程无解，求a的值． 【变式4】已知关于x的方程 （1）已知，求方程的解； （2）若该方程无解，试求m的值； 题型5 根据分式方程解正负性求参 例5.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 【变式5】已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求k的值． （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 题型6 分式方程整数解 例6.若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 【变式6】关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12 题型7 分式方程的应用（工程问题） 例7.为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成． （1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶； （2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？ 【变式7】市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？ 题型8 分式方程的应用（行程问题） 例8.近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度． 【变式8】截至2025年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半． （1）求该长途汽车在国道上行驶的速度； （2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？ 题型9 分式方程的应用（利润问题） 例9.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元. （1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？ （2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？ 【变式9】某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元． （1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件． ①求m的取值范围； ②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 10.5 分式方程 重点题型（4个知识点+9种题型） 【题型归纳】 题型1 分式方程的识别 2 题型2 解分式方程 2 题型3 分式方程的增根 4 题型4 分式方程无解 5 题型5 根据分式方程解正负性求参 6 题型6 分式方程整数解 7 题型7 分式方程的应用（工程问题） 9 题型8 分式方程的应用（行程问题） 11 题型9 分式方程的应用（利润问题） 12 一、知识梳理 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 二、题型精讲 题型1 分式方程的识别 例1.已知方程：① ；② ；③ ；④ ．这四个方程中，分式方程的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答． 【详解】解：根据定义可知：①②③为分式方程，故选：C． 【点睛】此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键． 【变式1】下列关于x的方程：①，②，③，④中，分式方程有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知量的方程叫做分式方程进行判断 【详解】解：关于x的方程①，方程分母中不含未知数，不是分式方程． 关于x的方程②，方程分母含有未知数，是分式方程． 关于x的方程③，方程分母中含有未知数，是分式方程． 关于x的方程④中，方程分母中不含未知数，不是分式方程． 综上，是分式方程的有②、③，共2个．故选C． 【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）． 题型2 解分式方程 例2.解分式方程： （1）． （2）． 【分析】（1）方程两边同乘（x﹣5），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验． （2）方程两边同乘（x﹣2）（x+2），将分式方程转化为整式方程，然后解方程，注意分式方程的结果要进行检验． 【解答】解：（1）方程两边同乘（x﹣5）， 得3﹣x+5＝2x﹣1， 解得x＝3， 经检验，x＝3是原方程的解； （2）方程两边同乘（x﹣5）（x+2）， 得12﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（6﹣x）（x+2）， 解得x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解． 【变式2-1】解方程： （1） （2） 【答案】（1）；（2）无解 【分析】（1）观察可得最简公分母是(x+4)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可；（2）观察可得最简公分母是(x-1)(x-1)，方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可． 【详解】解：（1） 去分母得，5-x-2=x-4 移项合并得-2x=-7 系数化为1，得 经检验，是原方程的解，所以，分式方程的解为：； （2） 去分母得，（x-1）+2(x+1)=4 去括号得，x-1+2x+2=4 移项合并得，3x=3 系数化为1得，x=1 经检验，x=1是原方程的增根，所以，原方程无解． 【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，要注意：（1）解分式方程的思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定要注意验根． 【变式2-2】解方程： （1） （2） 【答案】（1）无解；（2）x=3 【分析】（1）先两边同时乘以得：，然后解整式方程，最后进行检验即可； （2）先两边同时乘以得，然后解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】解：（1） 两边同时乘以得：， ∴，∴，∴， 经检验不是原方程的解，∴此方程无解； （2）即， 两边同时乘以得， ∴，∴，解得， 经检验是原方程的解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键在于能够熟练掌握解分式方程的方法． 题型3 分式方程的增根 例3.若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：由题意，得可知，∴ 由题可知此题中x=1为方程增根即，解得，故选D． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题的关键在于能够熟练掌握分式方程有增根的条件． 【变式3-1】若解关于x的方程＝+2时产生了增根，则m＝_____． 【答案】﹣1． 【分析】先将分式化成化为整式方程，求得x，然后令x=2，即可求得m的值即可 【解析】解：原式去分母得：x﹣1＝﹣m+2x﹣4，解得：x＝m+3， 由分式方程有增根，得到x＝2，则有m+3＝2，解得：m＝﹣1，故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，求出用m表示的分式方程的解是解答本题的关键． 【变式3-2】增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：． （1）若该分式方程有增根，则增根为　x1＝3，x2＝﹣3　． （2）在（1）的条件下，求出m的值， 【分析】（1）分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x2﹣9＝0，故方程产生的增根有两种可能：x1＝3，x2＝﹣3； （2）由增根的定义可知，x1＝3，x2＝﹣3是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m的值． 【解答】解：（1）， 方程两边都乘（x+3）（x﹣3）得2（x+3）+mx＝3（x﹣3） ∵原方程有增根， ∴x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3． 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3； （2）当x＝3时，m＝﹣4， 当x＝﹣3时，m＝6． 故m的值为﹣4或6． 题型4 分式方程无解 例4.如果关于x的方程无解，求a的值． 【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【解答】解：方程去分母得：（x﹣1）（x+1）﹣x（x+2）＝ax+2，即（a+2）x+3＝0 ∵关于x的方程无解， ∴x＝1或x＝﹣2， ∴当x＝1时，﹣3＝a+2，即a＝﹣5， 当x＝﹣2时，3＝﹣2a+2，即a， 另当a＝﹣2时，方程变为3＝0，不成立，所以a＝﹣2时，方程也无解 ∴a＝﹣5或﹣2或时方程无解． 【变式4】已知关于x的方程 （1）已知，求方程的解；（2）若该方程无解，试求m的值； 【答案】（1）；（2）或或1． 【分析】（1）把m=4代入解分式方程即可； （2）化原方程为整式方程，然后据原方程无解，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：（1）把m=4代入原方程得 方程两边同时乘以，去分母并整理得，解得 经检验，是原方程的解； （2）解：方程两边同时乘以， 去分母并整理得， ∵原分式方程有无解，∴或， 当时，得； 当时，解得：或， 当时，得；当时，得； 所以m的值可能为1、或6． 【点睛】此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 题型5 根据分式方程解正负性求参 例5.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为______． 【答案】m＞1且m≠3． 【分析】先解关于x的分式方程，得x=1-m，再根据关于x的分式方程的解为负数，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3． 【详解】解：，去分母，得3-m=x+2，移项，得x=1-m． ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴1-m＜0且1-m≠-2， ∴m＞1且m≠3． 故答案为：m＞1且m≠3． 【点睛】本题主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解决本题的关键． 【变式5】已知关于x的分式方程． （1）若方程有增根，求k的值． （2）若方程的解为负数，求k的取值范围． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值． （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为负数求出k的范围即可； 【解答】解：（1）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1， 将x＝1代入整式方程得：k＝6， 将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8， 则k的值为6或﹣8． （2）分式方程去分母得：4（x﹣1）+3（x+1）＝k， 去括号合并得：7x﹣1＝k，即x， 根据题意得：0，且1且1， 解得：k＜﹣1，且k≠﹣8． 题型6 分式方程整数解 例6.若关于x的不等式组恰有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分别解不等式组的两个不等式，根据“该不等式组恰有3个整数解”，得到关于的不等式组，解之即可初步求得整数a的值，解分式方程，结合“该分式方程有非负整数解”即可得到的值，由此即可得到答案． 【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式组的解集为：， 该不等式组恰有3个整数解，该不等式组的整数解为：2，3，4，则，解得：， ∴整数a的值为0，1，2，3，4，解分式方程得： 且， 该分式方程有非负整数解，∴将整数a的值0，1，2，3，4分别代入，得： 当时，（不是整数，不符合题意，舍去），当时，（是整数，符合题意）， 当时，（不是整数，不符合题意，舍去）， 当时，（是整数，但与矛盾，故不符合题意，舍去）， 当时，（不是整数，不符合题意，舍去）， 综上所述，符合条件的整数a的值为1，∴符合条件的所有整数的和是1．故选：A． 【变式6】关于x的不等式组有解且最多5个整数解，且使关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的积为（　　） A．3 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣12 【分析】根据分式方程的解法、一元一次不等式组的解法解决此题． 【解答】解：∵， ∴3x﹣4+6＜2（x+2）． ∴3x+2＜2x+4． ∴3x﹣2x＜4﹣2． ∴x＜2． ∵， ∴x﹣2a≥2﹣x﹣2． ∴x+x≥2a+2﹣2． ∴2x≥2a． ∴x≥a． ∴a≤x＜2． ∵关于x的不等式组有解且最多5个整数解， ∴﹣4＜a＜2． ∵， ∴ay+3+2（y﹣3）＝3﹣2y． ∴ay+3+2y﹣6＝3﹣2y． ∴ay+2y+2y＝3+6﹣3． ∴（a+4）y＝6． ∴y． ∵关于y的分式方程的解为正整数， ∴a+4＝1或6或2或3． ∴a＝﹣3或2或﹣2或﹣1．（a=-2方程无意义舍去） ∵﹣4＜a＜2， ∴a＝﹣3或﹣1． ∴所有满足条件的整数a的积为﹣3×（﹣1）＝3． 故选：A． 题型7 分式方程的应用（工程问题） 例7.为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划用10天完成． （1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶； （2）生产2天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？ 【答案】（1）2000；（2）该公司原计划安排750名工人生产帐篷． 分析：（1）直接利用20000÷10即可得到平均每天应生产帐篷多少顶； （2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷，那么原计划每名工人每天生产帐篷顶，后来每名工人每天生产帐篷×（1+25%）顶，然后根据已知条件即可列出方程10-2-2=，解方程即可求出该公司原计划安排多少名工人生产帐篷． 【解析】（1）该公司平均每天应生产帐篷20000÷10=2000顶； （2）设该公司原计划安排x名工人生产帐篷， 依题意得，（10-2-2）××1.25×（x+50）=20000-2×2000，即16000x=15000（x+50）， 1000x=750000，解得x=750，经检验x=750是方程的解， 答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷． 【变式7】市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天． （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用3万元，乙队工作一天需付费用2.4万元，如需改造的道路全长900米，改造总费用不超过63万元，至少安排甲队工作多少天？ 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米，根据工作时间＝总工作量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天，列出分式方程，解方程即可； （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用＝每天支付给甲队的费用×甲队工作时间+每天支付给乙队的费用×乙队工作时间结合改造总费用不超过63万元，列出一元一次不等式，解之取其最小值即可． 【解答】解：（1）设乙工程队每天能改造道路x米，则甲工程队每天能改造道路x米， 依题意，得：4， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是分式方程的解，且符合题意， ∴x＝45． 答：甲工程队每天能改造道路45米，乙工程队每天能改造道路30米． （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天， 依题意，得：3m+2.463， 解得：m≥15， 答：至少安排甲队工作15天． 题型8 分式方程的应用（行程问题） 例8.近年来，市区住建部门加快推进“空转绿”“微添绿”等项目建设，新增大小游园数十个，让市民开门即见绿，休憩有绿荫．老王和小王两父子准备从家匀速步行前往位于城西新建的祥泰公园散步，由于小王有事耽搁，比老王晚出发8分钟，小王的步行速度是老王的1.2倍，结果两人同时到达公园．已知老王家与公园相距2.4km，求老王步行的速度． 【答案】老王步行的速度0.05km/min． 【分析】设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】解：设老王平均每小时行x千米，则小王平均每小时行1.2x千米， 根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根， 答：老王步行的速度0.05km/min． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 【变式8】截至2025年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半． （1）求该长途汽车在国道上行驶的速度； （2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？ 【分析】（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h，由题意：甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．列出分式方程，解方程即可； （2）由55+45＝100＞80，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该长途汽车在国道上行驶的速度为xkm/h， 根据题意得：， 解得：x＝55， 经检验：x＝55是原分式方程的解， 答：该长途汽车在国道上行驶的速度为55km/h． （2）∵55+45＝100＞80， ∴该长途汽车从甲地到乙地超速． 题型9 分式方程的应用（利润问题） 例9.某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需A种原料1.2千克、B种原料1千克.已知A种原料每千克的价格比B种原料每千克的价格多10元. （1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的B种原料每千克的价格最高不超过多少元？ （2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元.现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？ 【答案】（1）购入种原料每千克的价格最高不超过10元；（2）这种产品的批发价为50元． 【分析】（1）设B种原料每千克的价格为x元，则A种原料每千克的价格为（x＋10）元，根据使每件产品的成本价不超过34元列出不等式求解即可；（2）设这种产品的批发价为a元，则零售价为（a＋30）元，根据“用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，”正确列出分式方程即可. 【解析】（1）设种原料每千克的价格为元，则种原料每千克的价格为元， 根据题意得：，解得：． 答：购入种原料每千克的价格最高不超过10元． （2）设这种产品的批发价为元，则零售价为元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是原方程的根，且符合实际． 答：这种产品的批发价为50元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出分式方程.、 【变式9】某销售商准备采购一批丝绸，经过调查得知，用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，且一件A型丝绸的进价比一件B型丝绸的进价多100元． （1）一件A型、B型丝绸的进价分别为多少元？ （2）若销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，设购进A型丝绸m件． ①求m的取值范围； ②已知A型丝绸的售价为800元/件，B型丝绸的售价为600元/件，求销售这批丝绸的最大利润． 【分析】（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元，由题意：用10000元采购A型丝绸的件数与用8000元采购B型丝绸的件数相等，列出分式方程，解方程即可； （2）①由题意：销售商购进A型、B型丝绸共50件，其中A型丝绸的件数不多于B型丝绸的件数，且不少于16件，列出不等式组，即可求解； ②设销售这批丝绸的利润为y元，求出销售这批丝绸的利润y（元）与m（件）的函数关系式，再由一次函数的性质即可解答． 【解答】解：（1）设一件B型丝绸的进价为x元，则一件A型丝绸的进价为（x+100）元， 根据题意得：， 解得：x＝400， 经检验，x＝400为原方程的解， ∴x+100＝500， 答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B型丝绸的进价为400元． （2）①根据题意得：， 解得：16≤m≤25， ∴m的取值范围为：16≤m≤25且m为整数． ②设销售这批丝绸的利润为y元， 根据题意得：y＝（800﹣500）m+（600﹣400）•（50﹣m）＝100m+10000， ∵100＞0， ∴y随m的增大而增大， ∴当m＝25时，y最大＝12500（元）， 答：销售这批丝绸的最大利润为12500元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $